第23讲函数可积条件2009

第23讲 可积条件及可积函数类

讲授内容

一、可积的必要条件

定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．

证：用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间

k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记().i

k

i i

x f G ∆=

∑≠ξ

现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得().k

k x G

M f ∆+>

ξ 于是有

()()()i k

i i k k i n

i i x f x f x f ∆-

∆≥∆∑∑≠=ξξξ1

M G x x G

M k k

=-∆⋅∆+

由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾．

例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数()⎩⎨

⎧=x x x D ,0,1为无理数

为有理数

，在[]10，

上有界但不可积． 证：显然()[].1,0,1∈≤x x D ，对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T

的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，

()11

1

=∆=∆∑∑==n

i i

i

n i i

x

x D ξ；当取i ξ全为无理数时，

()01

=∆∑=i

n

i i

x

D ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同

极限，即()x D 在[]10，

上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．

二、可积的充要条件

要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分

和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．

设{}

n i T i ,,2,1 =∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：

()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M i

i

x i x i ===∆∈∆∈作和()(),,1

1

i n i n

i i i i x m T s x M T S ∆=∆=∑∑==分别称为f 关于分割

T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,n i i i =∆∈ξ，显然有

()()().1∑=≤∆≤n

i i i T S x f T s ξ 与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．通过讨论上和

与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．

定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得()()ε<-T s T S

设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为f

i ω。由于S(T )－()=

T s ∑=n

i i

1

ω

i x ∆(或记为i T

i x ∆∑ω)，因此可积准则又可改述如下：

定理

3.9' 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存

在相应的某一分割T ，使得

εω<∆∑i

T

i x

几何意义是：若f 在[]b a ,上可积，则包围曲线=y ()x f 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．

三、可积函数类

根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)． 定理9．4 若f 为[]b a ,上的连续函数，则f 在[]b a ,上可积．

证：由于f 在闭区间[]b a ,上连续，因此在[]b a ,上一致连续．这就是说，任给0>ε，存在>δ0，对[]b a ,中任意两点x '`x ''，只要x x ''-'δ<，便有()()a

b x f x f -<

''-'ε

所以只要对[]b a ,所作的分割T 满足

δ

b x f x f m M i i i -<

''-'=-=ε

ωsup

从而导致

εε

ω=∆-≤

∆∑∑T

i

i T

i x

a

b x ，由定理3.9'，证得f 在[]b a ,上可积．

定理9．5 若f 是区间[]b a ,上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[]b a ,上可积．， 证：不失一般性，这里只证明f 在[]b a ,上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点b ． 任给0>ε，取δ'，满足()

m M -<

'<20ε

δ，且a b -<'δ，其中M 与m 分别为f 在[]b a ,上的上确

界与下确界(设M m <，否则f 为常量函数，显然可积)．记f 在小区间[]b b ,δ'-=∆'上的振幅为ω'，则

()()

2

2ε

ε

δω=

-⋅

-<''m M m M ， 因为f 在[]δ'-b a ,上连续，由定理9．4知f 在[]δ'-b a ,上可积．再

由定理9．3，(必要性)，存在对[]δ'-b a ,的某个分割{}121,,,-∆∆∆='n T ，使得

2

ε

ω<

∆∑'

i T i x

令∆'=∆n ，则 {}n n T ∆∆∆∆=-,,,,121 是对[]b a ,的一个分割，对于T ，有

.2

2

εε

ε

δωωω=+

<

''+∆=∆∑∑'

i T i i T

i x x

根据定理9.3(充分性)，证得f 在[]b a ,上可积．

定理9.6 若f 是[]b a ,上的单调函数，则f 在[]b a ,上可积．

证：设f 为增函数，且()()()(),,b f a f b f a f =<若，则f 为常量函数，显然可积．对[]b a ,的任一分割T ，由f 的增性，f 在T 所属的每个小区间i ∆上的振幅为()(),1--=i i i x f x f ω 于是有

()()[]T x f x f x n

i i i

i

T

i

∑∑---≤∆1

1

ω()()[].T a f b f -=

由此可见，任给0>ε，只要()()

,a f b f T -<

ε

这时就有,εω<∆∑i T

i x 所以f 在[]b a ,上可积．

注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．