基本不等式专题复习(优.选)
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
基本不等式培优专题
x y 1
3
13.已知正实数 x, y ,满足 1 2 1 ，则 xy 的最大值为__________, 3 2
(2x y) y (x 2y)x
2
补充：已知正实数 x, y ,则
6xy x2 9y2
2xy x2 y2
的最大值为__________,
3
三、换元法
14.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 1 1 的最小值为__________, 3 2 2
21.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x
1 y
1，则
4x x 1
9y y 1
的最小值为__________,25
22.已知实数 x, y ，满足 4x 9y 1 ，则 2 x13y1 的取值范围为__________, (2, 13]
23.已知实数 x, y ，满足 4x 4y 2x1 2y1 ，则 S 2 x 2y 的取值范围为__________, (2, 4]
一、常规配凑发
1.已知 2a 4b 2(a, b R) ，则 a 2b 的最大值为__________,0
2.已知实数 x, y ,满足 x2 y2 1，则 x 2 y 2 的最大值为__________, 9
16
4
3. 已 知 不 等 式 (x my)( 1 1 ) 9 对 任 意 正 实 数 x, y 恒 成 立 ， 则 正 实 数 m 的 最 小 值 xy
______,4
4.已知实数 x, y ,满足 x 1 ，则
x y
x
1
1
y
的最小值为__________,1
5.已知实数 x 0, y 0 ,满足 2 3 xy ，则 xy 的最小值为__________, 2 6 xy
基本不等式的应用专题复习_
龙源期刊网
基本不等式的应用专题复习
作者：杨向文
来源：《高考进行时·高三数学》2013年第04期
运用基本不等式求最值或解决生活中实际问题，在近五年高考题中都有涉及，其中08、10、11年在填空题中单独出现，09、12年在解答题中进行应用。
解决此类问题的难点体现在构建基本不等式上，解题失误的原因往往是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（各项均为正）、“定”（积或和为定值）、“等”（等号能否取得的条件）。
一、考纲要求
基本不等式在江苏省自主命题考试中属于C级考点，考纲中要求学生能系统地掌握其知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
与基本不等式相关的主要知识点有：
二、难点疑点
1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正、二定、三相等”，若忽略了某个条件，就会出现错误。
2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22；a+b2≥ab（a、b>0）逆用就是ab≤a+b22 （a、b>0）等。
还要注意“添项、拆项”技巧和公式等号成立的条件。
3. 基本不等式是几个正数的和与积转化的依据，不仅可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性，还可以解决其他形式的不等问题。
4. 利用基本不等式求解与其他知识的综合问题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。
三、例题精析
（作者：杨向文江苏教育学院附属高级中学）。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
高考一轮复习之基本不等式
高考一轮复习之基本不等式要点梳理1.基本不等式ab b a ≥+2（a>0,b>0）, 当且仅当a=b 时取等号.a 2+b 2≥ 2ab (a,b ∈R).2.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_x=y_时，x+y有最 小 值是p 2.（简记：积定和最小）(2)如果和x+y 是定值p,那么当且仅当_x=y_时,xy 有最__大__值是42p .（简记：和定积最大） 题型一 利用基本不等式求最值【例1】求下列各题的最值.（1）x>0,求 x xx f 312)(+=的最小值； 21,2)2(-+>x x x 求时当的最小值； )38(,3803x x x -<<求时）当（的最大值；（4）已知a>0,b>0，,131=+ba 则a+2b 的最小值为212,2)5(2-+->x x x x 求的最小值；（6）x<3，求x x x f +-=34)( 的最大值；（7）x ∈R ，求y=4522++x x 的最小值.思想方法 感悟提高1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.2．使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.基本不等式 课时作业1.下列结论中不正确的是 （ ） A. 21,0≥+>a a a 时 B. 2≥+ba ab C.a 2+b 2≥2ab D. 2)(222b a b a +≥+ 2.在下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝3x ＋3－xC ．y ＝lg x ＋1lg x (0＜x ＜1)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π23.当x>1时，关于函数,11)(-+=x x x f 下列叙述正确 的是 （ ） A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值34.若0<x<1，则f(x)=x(4-3x)取得最大值时，x 的值为 （ ）A. 1/3B. 1/2C. 3/4D. 2/35.已知向量a=(x-1,1),b=),1,1(xx - 则|a+b|的最小值是 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D.26.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)7．(2008年江西五校联考)已知正整数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得1a ＋1b取最小值时，则实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)8．若x ＋2y ＝1，则2x ＋4y 的最小值是________．9．(2008年启东中学测试)当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．设a ，b 为不相等的正数，那么式子ab 、a ＋b 2、 a 2＋b 22、2ab a ＋b中最小者与最大者分别是( ) A.2ab a ＋b 与a ＋b 2 B.2ab a ＋b与 a 2＋b 22 C.ab 与a ＋b 2D.ab 与 a 2＋b 2211．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，则1m＋1n的最小值为________．12．(2009年佛山一中月考)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．13．(2010年聊城统测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
初一数学 不等式专题复习
初一数学不等式专题复习一．选择题（共35小题）1．在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①﹣3＜0；②a+b＜0；③x＝3；④x≠5；⑤x+2＞y+3．A．2个B．3个C．4个D．5个2．梁老师在黑板上写了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．下列是一元一次不等式的有（）x＞0，，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各式：①x2+2＞5；②a+b；③；④x﹣1；⑤x+2≤3．其中是一元一次不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣2＜b﹣2D．﹣a＜﹣b6．若实数x，y满足x＞y，则下列式子一定成立的是（）A．B．x﹣2＞y﹣3C．﹣2x＞﹣2y D．a2x＞a2y7．已知实数a，b，c满足a+2b＝3c，则下列结论不正确的是（）A．a﹣b＝3（c﹣b）B．C．若a＞b，则a＞c＞b D．若a＞c，则8．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2C．若a＞b，则﹣a＞﹣b D．若ac2＞bc2，则a＞b9．下列判断不正确的是（）A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b10．已知关于x的不等式组的解集是x≥a，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣111．若关于x的不等式的解集为x＞4，则m的取值范围是（）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≤412．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＜C．a＜﹣D．a＞﹣13．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣114．若一元一次不等式组的解集为x＜a﹣4，则a的取值范围是（）A．a＜﹣6B．a≤﹣6C．a＞﹣6D．a≥﹣615．已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．1≤a≤2D．1≤a＜216．如果关于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4个正整数解，那么a的取值范围是（）A．1≤a≤2B．1＜a＜2C．1≤a＜2D．1＜a≤217．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（）A．2＜a＜3B．2≤a≤3C．2≤a＜3D．3≤a＜418．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（）A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤1219．关于x的不等式组的整数解有4个，那么a的取值范围是（）A．4＜a＜6B．4≤a＜6C．4＜a≤6D．2＜a≤420．六一儿童节即将到来，苏老师给同学们准备了甜甜的糖果．在给八（6）班的同学分糖果时，若每人分4块，则剩下9块糖果：若每人分6块，则最后一名同学有分到糖果但少于3块．设八（6）班有x名同学，则根据题意可列不等式组为（）A．B．C．D．21．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（）A．B．C．D．22．将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（）A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜823．若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满．．．．，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（）A．B．C．D．24．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（）A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5C．D．25．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则a+b为（）A．1B．2C．3D．﹣126．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（）A．﹣1B．1C．0D．202427．已知不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则（a﹣b）2023的值为（）A．2023B．1C．﹣2023D．﹣128．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2023＜x﹣y＜2025，则整数k值为（）A．2022B．2023C．2024D．202529．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2022＜x﹣y＜2024，则整数k值为（）A．2022B．2023C．2024D．202530．若方程组的解满足1＜x+y＜2，则a的取值范围是（）A．0＜a＜5B．0＜a＜2C．5＜a＜10D．a＞031．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜0B．﹣4＜k＜0C．0＜k＜8D．k＞﹣432．若不等式组无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．m＞2 33．若不等式组无解，求m的取值范围（）A．m＞1B．m≥1C．m＞2D．m≥2 34．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4 35．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜﹣1D．m≤﹣1二．填空题（共10小题）36．若关于x的不等式组有解，则a的取值范围为．37．已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为．38．若不等式组有解，则m的取值范围是．39．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．40．已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是．41．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为．42．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是．43．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．44．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则ab的值是．45．已知关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m的值为．三．解答题（共14小题）46．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）用m的式子分别表示出x、y；（2）求m的取值范围；（3）化简：|m﹣3|﹣|m+2|．47．已知关于x，y的方程组的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+4|﹣|4a﹣5|．48．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简：|a﹣6|+|a+3|．49．已知方程组的解满足x≤0，y＞0，（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣4|+|3﹣m|．50．已知，关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|﹣|2﹣a|．51．已知关于x、y的方程组．（1）若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，求满足条件的a的整数值．52．已知关于x，y的方程组．（1）若该方程组的解满足x﹣y＝2024，求m的值；（2）若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，求m的整数值．53．若关于x，y的二元一次方程组．（1）若﹣2＜x+y≤1，求a的取值范围；（2）若x，y满足方程x﹣y＝﹣4，求a的值．54．若关于x，y的二元一次方程组．（1）若﹣2≤x+y≤1，求a的取值范围；（2）若x，y满足方程x+y＝4，求a的值．55．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．（1）求书籍和实验器材各有多少套？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．56．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？57．为提升学校学生书画素养水平，城关区某中学举行了学生书画大赛，校活动办准备购买甲、乙两种文具，奖励在大赛活动中表现优秀的学生．已知购买4个甲种文具、1个乙种文具共需花费65元；购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若该校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具a个，求有多少种购买方案？58．阅读材料，解决问题．解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）直接写出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是；（2）求不等式的解集．。
不等式-专题复习
＋1＝3
1 当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
例题
4、若实数 m,n,x,y 满足 m 2 n 2 a ,x 2 y 2 b (a b )，
则 mxny的最大值是（ B ）
( A) a b 2
(B)
ab
a2 b2 (C )
这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值
时c，o 一s 定 (要)认真1研时究，等m号x能n否y有成最立大。值 ab
例题
x 5、解不等式 x2 8x 15 ≥2
解：不等式等价于
x2
17x30
≥0
即
x2 8x15
x2 17x 30
x2 8x 15 ≤0
即 (x15)(x2)
(x3)(x5) ≤0
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正； b、令分子，分母等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重 复的根要重复标；
d、画曲线（从右上角开始）； e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3 2、公式法： 若 a x a ，则 |x|＜a （ 其中 a＞0） |x|＞a（a＞0）那么_x_ _a _或 __x__ _a___ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
重点内容
不等式性质的应用
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
1、两个正数，和为定值，积有最大值；
2、两个正数，积为定值，和有最小值。
初四数学不等式及不等式组专题复习三
1．下列说法，错误的是（ ）A 、3x 3-<的解集是1x -<B 、-10是10x 2-<的解C 、2x <的整数解有无数多个D 、2x <的负整数解只有有限多个2．若,a a >-则a 必为（ ）A 、负整数B 、 正整数C 、负数D 、正数3．设“○”“△”“□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“○”“△”“□”质量从大到小的顺序排列为（ ）A 、□○△B 、 □△○C 、 △○□D 、△□○4．若a <b <０，则下列答案中，正确的是（ ）A 、a <bB 、a >bC 、2a <2bD 、a 3>b 25．关于x 的方程a x 4125=+的解都是负数，则a 的取值范围（ ）A 、a >3B 、a <3-C 、a <3D 、a >3-6. a |a |+的值一定是( )．(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零7. 若由x ＜ y 可得到ax ＞ ay ，应满足的条件是( )．(A) a ≥0 (B) a ≤0 (C) a ＞0 (D) a ＜08. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A) a ＜0 (B) a ＞－1 (C) a ＜－1 (D) a ＜19．不等式组⎩⎨⎧>+<-02x 01x 的解集是（ ） A 、12<<-x B 、1x < C 、x 2<- D 、无解10．不等式组2130x x ≤⎧⎨+≥⎩的解在数轴上可以表示为（ ）A、、、11.不等式组⎩⎨⎧->-≥-31x 20x 1 的整数解是（ ） A 、－1，０ B 、－1，1 C 、0，1 D 、无解12.九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )．(A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人13. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm ，那么x 的最大值是( )．(A)11 (B)8 (C)7 (D)514.当x 时，代数式52+x 的值不大于零15.若x <１，则22+-x 0（用“>”“=”或“”号填空）16.不等式x 27->１，的正整数解是17.不等式x ->10-a 的解集为3x <，则a18.有解集3x 2<<的不等式组是（写出一个即可）19.若不等式组⎩⎨⎧>>3x a x 的解集为3x >，则a 的取值范围是 20.关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->+25a 332b x x 的解集为-1<x <1，则ab____________。
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
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基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。
2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。
3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。
4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。
5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。
6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。
2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。
高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。
高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式
高一数学复习考点题型专题讲解第7讲 基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； 当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确； 当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”， 所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可 【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误． 故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件； 当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4． 故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件； 根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误； 故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（ ） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（ ） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（ ）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（ ） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______． 【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=， 所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______． 【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值． 【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=， 当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…， 当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤， 当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-． 【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果． （2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果． （4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果． （5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立． 综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的， 原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立． 正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值； （2）已知x ＜0，求y 的最大值． 【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证： （1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． （2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥， 当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x， 绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到8000040018400y x x=++， 由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ （3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？ 【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
初中数学不等式专题复习
一、不等式的基本性质1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（）A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则3．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解1．如图，数轴所表示的不等式的解集是．2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（）A．B．C．D．3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集是（）5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为．6．不等式组的最小整数解为（）7．不等式组的所有整数解的积是（）8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．三、解不等式（组）1．解不等式，并把解集表示在数轴上．①2x+9≥3（x+2）②③≤﹣12．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）．（1）（2）（3）（4）四、可转化为不等式（组）1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 .3．若代数式的值不小于1，则t 的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 .5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围．7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 五、求不等式（组）中字母的取值范围1．若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围是（）2．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）3．若不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是4．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．5．若不等式x＜a的正整数解有两个，那么a的取值范围是．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）7．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是．六、不等式（组）与一次函数1．函数y=中自变量x的取值范围是（）2．如左图，当y＞0时，自变量x的取值范围是．3．如中图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为（）4．如右图直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为．5．在k=1的条件下求一次函数y=与坐标轴围成的面积．七、不等式（组）应用题1．学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对道题才能达到目标要求．2．出租车的收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米都需付6元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地路程是x千米，出租车费为16.5元，那么x 的最大值是（）3．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%4．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：（1）若甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？选1．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？选2．学校图书馆准备采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．选3．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品可获总A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元利润是y元，其中A种产品的生产件数是x．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）符合题意的生产方案有几种？请你帮忙设计出来；（3）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．。
2023高考数学考点专题复习——基本不等式练习题
2023考点专题复习——基本不等式考法一： 直接法例题1、已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．10C ．9D ．6例题2、若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A ．14B ．18C ．19D ．116例题3、若0x >，则___________.练习1、已知x 、y R +∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.练习2、若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 练习3、已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 练习4、已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____． 练习5、若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____． 考法二：配凑法例1、已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．23D ．34例2、已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（ ） A ．4B ．7C ．2D ．8例3、若103x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 例4、 若1x >-，则22441x x x +++的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4练习1、函数9424y x x=--，12x >的最小值为__________．练习2、函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3练习3、函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1练习4、若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为 。
练习5、已知1x >-，求函数11y x x =++的最小值是 。
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基本不等式专题复习
[基础知识]
1.(1)若R a ∈,则2
a 0，
a 222
b a + 2)2
(b a +
(3)222c b a ++ ac bc ab ++ (4)若a>b>0,m>0则a b m
a m
b ++
(5)若a,b 同号且a>b 则a 1 b
1
(6)R b a ∈,,则22b a + ab 2 变形
2．均值不等式:
两个正数的均值不等式：
ab b
a ≥+2
变形 ，
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由
（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,2
2
S xy 积有最大值（）
运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。
4．)0(>+=a x
a
x y 的草图：
[典型例析]
例1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .
变式 （1）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 .
（2）已知lg lg 1x y +=，则52
x y
+的最小值是 .
例2
（1）已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值.
（2）求函数1
4
2
2++=x x y 的最小值
（3）求22
2
42
y x x =--+的最大值.
（4） 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22
x y x y
+-的最小值是 .
（5）已知0＜x ＜3
1
，求函数y=x(1-3x)的最大值
（6）求函数y=1
3
3224+++x x x 的最小值.
例3若0,0x y >>1x y +=,则41
x y
+的最小值为 ．
变式 （1）已知x 、y 为正实数，且12
1+=x y
，求x+y 的最小值。
（2）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11
m n +的最小值为 ．
（3）已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y
b
x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
例4 （1）已知A(0,9) B(0,16)是y 轴正半轴上的两点，C(x,0)是x 轴上任意一点，求当点C 在何位置时，ACB ∠最大？
(2)已知下列四个结论
①当2lg 1lg ,10≥+≠>x
x x x 时且
；②02x >≥当时；
③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当x
x x 1
,20-≤<时无最大值,则其中正确的个数为
(3)已知不等式1()()9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为
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