勾股定理的逆定理2
勾股定理的逆定理(2)
2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
科教园地
如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知 数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式 各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。 法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是 律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些 数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解 x2 + y2 = z2 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说 不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更 一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的 证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是： 当n≥3时, xn + yn = zn 没有正整数解。 1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出， 对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提 出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮 娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至 今一个也没有证明。 1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。 由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走 通。 英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取 得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。解开了困惑世间300多年的谜 .
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
初二数学勾股定理的逆定理2[人教版]
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F为DC BC.
【证明】设正方形ABCD的边长为4a， A
D
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
F
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE 2＝AB 2＋BE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2. B
EC
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF 2＝AD2＋DF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.
在Rt△ECF中，由勾股定理得
练习
1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n). 试判定由a、b、c组成的三角形是不是直 角三角形．
不是
(二)解答题：
练习
2．五边形ABCDE的各边的长都是12， ∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一 点，且MA＝13，MB＝5， 求ME、MC、MD的长．
ME＝ 193
A 4B
AD2＝132＝169，
∴ AC2＋CD2＝AD2.
∴∴∴SS△S△四△A边ACADB形CC＝AD＝B是C21D21直AAC＝角B·C·SB三△DCA＝角B＝C21形＋21×.S×△5A×3C×D1＝24＝＝3636.0，.
四 、新课
例4
求已中证知点：：，∠如E为E图FBA，C＝上正9一0方°点形. ，AB且CDEC中＝，14
例2 已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ， 求AB上的高CD的长.
【解】由于(2 6)2 (2 2 )2 24 8 32 (4 2 )2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1 2
AB·CD＝
1 2
BC·AC，
CD 2 6 2 2 6 42
三 、引入
一般地说，在平面几何中，经常是利 用直线间的位置关系，角的数量关系而判 定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的. 三角形的三边长a、 b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是 直角三角形；如果a2＋b2 ≠c2，则这个三 角形不是直角三角形.
人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案
17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。
新人教版第十七章勾股定理教案
新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。
教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。
教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。
教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
今天我们就来一同探索勾股定理。
二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。
他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。
下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
17.2勾股定理的逆定理2—子龙
A B
CD 2 3 AC 2 19
D
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高.
AD 12
S ABC 60
120 A BE 13
A
A
E
两个直角三角形中，如果有一条公共边， 可利用勾股定理建立方程求解 C B C B .
已知：如图，四边形ABCD中，∠A ＝900，AB＝3， BC＝12 ，CD＝13 , AD＝4，求四边形ABCD的面积?
SABCD 6 30 36 SABCD 30 6 24
A 4 3 B
D
3 4 A 13 12 C
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD= 3 ,DE=3,求证:AD⊥CD
D
3
90
3
C
60° A 4
2
E
2 3 2 3
2 3 60°
B
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各 边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？此时四 边形ABCD的面积是多少? C C 13 D D 30 12 46 5 A B A3 B
SABCD 6 30 36
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD ∵AB=AC，∴BE=CE
勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组 2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ADA D8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.A D C B勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾A ME NC B顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .拓广创新◆ 试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠BPC 的度数．B12 5。
18.2勾股定理的逆定理(2)
变式3：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，
求四边形的面积
三、本课知识能力提升训练
提升能力点
灵活运用“勾股定理的逆定理”解决实际图形问题
学生层面
数形结合能力的培养，数学建模思想的渗透
提升容
在正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC上一点，
且 如图
四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容
1、典型例题的解题方法2、变式的灵活处理
详细分层作业
布置要求说明
必做：书76页习题18.2 3导航34页第二课时随堂练习
选作：书76页习题18.2 5学案课后提升题
例2某小区有一块草坪如图，已知AB=3 m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且AB BC，则这块草坪的面积是多少？
针对性练习：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=CD=1，AD= ，试求四边形ABCD的面积。
变式1：如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，若∠B=90°，猜想∠A与∠C的关系，并证明你的猜想
初二学案记录学科八下数学时间月日
课题
18.2勾股定理的逆定理（2）
课型
新授
课时
2-2
一、课堂导入知识点衔接
复习内容重点
1、勾股定理的逆定理2、命题与逆命题
具体衔接点
1、勾股定理成立的条件
2、勾股定理逆定理的成立条件3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识
二、本课知识点强调说明
本课重点难点
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题
勾股定理的逆定理(二)导学案
图18.2-3 勾股定理逆定理（二）导学案班级： 姓名： 学号：学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一.预习新知已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形二.课堂展示1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
三.随堂练习1..一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:12D 10:8:22.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式182-+b a +（b-18）2+30-c =0则△ABC 是 _______三角形。
四.课堂检测1.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）ABD EA BA ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。
2.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。
3.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理》(第2课时)
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
A
B组行了9×2=18(km)，
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东 25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( B ) A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
课堂检测
17.2 勾股定理的逆定理
17.2 勾股定理的逆定理
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
D
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm, B
学习目标
17.2 勾股定理的逆定理
3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数 学问题.
2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的 认识.
1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理
知识点 1 利用勾股定理的逆定理解答角度问题 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海
2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽小车汽车超速了吗?
解：小汽车在车速检测仪
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件(第2课时)
13
4
12
┐
3
探究新知
解：连接BD 在Rt△ABD中
∵AB=3，AD=4 ∴BD= AB 2 AD 2 =5
在△BCD中 ∵CD=13 , BC=12
∴CD2=BC2+BD2
13
45
12
┐
3
∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 1×3×4+ 1×5×12=36
此时四边形ABCD 的面积是多少?
5、 已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形，正三角形，以三边为 直则径作是半直圆角，三若角S形1+吗S2=？S3成立，
C
S2
A
b
ca
能替工人师傅想办法完成任务吗?
9.三个半圆的面积分别为S1=3π， S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如 右图所示的图形，则△ABC一定是
直角三角形吗？
B
C
D
B'
A'
A
B
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b， 斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
B
反过来，如果一个 a
c
三角形的三边长a、b、
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
3. 三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形;
B. 是锐角三角形;
八年级数学勾股定理的逆定理2
|标签：清洁清洁保养家具其实禁忌多多，大家都清楚知道吗？一个不留神，保养不当就把家具毁了，岂不是后悔莫及？如何避免，赶紧学习一下。
1、1、不用粗布或旧衣当抹布 在清洁家具的时候，最好的擦拭用料是棉布、毛巾、棉织品或法兰绒布。那些用料粗糙或者有按扣、线头、钮扣、缝线的抹布就不要使用了。 2、 2、不用肥皂水或清水清洗家具 因肥皂不能有效的去除堆积在家具表面的灰尘，也无法去除打光前的细砂微粒，反而会让家具变得黯淡无光，而且水分若渗透到木头里还会导致木材发霉或局部变形，减短使用寿命。 3、3、不用干布擦拭家具 由于灰尘是由纤维、砂土等构成，许多消费者习惯以干布擦拭家具表面，从而导致这些细微颗粒在家具表面留下细小的刮痕。 4、 4、避免不当使用蜡制产品 有些人为了让家具看起来有光泽，而将蜡制产品直接涂抹在家具上，或是不当使用家具蜡油，反而会让家具看起来雾雾的，有斑点。 为了避免因不当的清洁保养方式让家具失去原有的光泽亮度，最好是配合使用沾有清洁护理喷蜡的布擦拭，便能避免引起刮痕，同时维持家具原有的亮度。 目前有“家具护理喷蜡”和“家具清洁保养剂”等家具保养品，前者主要针对各种木质、皮革、聚脂、防火胶板、大理石、电器等家用品，并有茉莉和柠檬两种不同的清新香味。 后者适用于各种木制、皮革沙发、玻璃、合成木、美耐板等材质的家具。 特别是一般人家中的家具多是混合材质，因此，若能使用兼具清洁、护理效果的保养品，便能节省许多宝贵的时间。 使用前最好先摇匀，握直喷雾罐，呈45度角，为了让罐内的液体成分能在不漏失压力的情况下完全被释放出来，在距离干布约15公分的地方轻轻喷一下再擦拭，便能充分发挥护理家具的功能。
1、家具甲醛释放时间，一般来说，新装修完的房子，每天保持通风散出甲醛的刺激，大概释放到三个月左右时间差不多。如果不放心最好买一个甲醛检测盒测试一下室内的甲醛含量，入住之后还需要注意要多通风。2、家具甲醛释放要多长时间，也要看你的家具是什么材料。一般家具小编就简单的给大家介绍一下。 开窗、除甲醛产品、空气净化器、叶广泥 1、开窗通风 家具甲醛超标，我们可以将家具放置窗户等通风处，将家具的柜门、箱体等全部打开，通过开窗通风，加快家具中的甲醛释放。不过我们需要注意，木质家具不能长时间放置太阳照射的地方，因为木质家具长时间的暴晒不仅会损害家具油漆表面，还会造成家具内部开裂。2、使用除甲醛物品 市场上除甲醛的产品很多，大家可将活性炭放置家具抽屉、表面等场所，活性炭需要经常更换，以免造成二次污染;或者是在家具旁边放置吊兰、绿萝等绿色植物，不过植物、活性炭吸附甲醛能力有限，只能作为辅助使用。3、我们也可以使用空气净化器，对室内有害气体进行吸附净化，不过市场 木质家具怎么防潮？ 石灰包樟脑丸注意通风换气1、留有通风换气的空间 在摆放木质家具的时候，不要把木质家具紧贴着墙面摆放，因为这样会影响木质家具表面通风，经年累月的积累，会使木质家具表面被腐蚀。 2、家具门柜长打开 平常要注意经常打开木质家具的门柜，不要总是把木质家具的门柜闭合的非常严丝合缝，因为家具在制作的过程中很可能没有充分干燥，打开门柜的目的就是释放水分。 3、开窗透气 平常家里要经常开窗，这样做的目的就是为了通风换气，不仅对家具非常有好处，而且对人的身体健康也是很有好处的。4、当然南方地区的朋友不要这样做，因为南方地区水分较大，很有可能会使水分附着在木质家具上。 家具是家庭居室不可缺少的东西，家具给我们的生活带来了非常多的便利，也给室内增添了很多活力，但是家具中也会散发出很多的有害气体，危害人体的健康，尤其是新家具。很多新家具中含有大量的甲醛，而且会不断的释放出来，释放的时间还比较长，那么我们要如何去除家具中的甲醛呢?
勾股定理(二)
（1）若k是一个奇数，且k≥3
（k， ， ）（k≥3的奇数）①
（2）设m是一个偶数，且m≥4，
（m， ， ）（m≥4的偶数）②
（3）若（a，b，c）是勾股数组，则（ a， b， c）也是勾股数组，其中 为任意正整数。
并约定 （a，b，c）=（ a， b， c）。
31.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，求MN的长。
2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
3．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
4．若三角形的三边是⑴1、 、2；⑵ ；
⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．三角形的三个内角的比为1:2:3，则这个三角形三边之比为（）A. 1:2:3B. C. D.
6．如图，正方形网格中的△ABC，若小
所以这次台风影响该城市的持续时间为.
t=小时
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－ ＝6.5级．
1．（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中， ，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△
绕点 顺时针旋转90 后，得到△ ，连接 ，下列结论：
①△ ≌△ ；②；
③ ；
其中正确的是
勾股定理逆定理(二)汇总
教学目标教学重点教学难点学情分析学法指导教学内容自学互帮导学法”课堂教学设计勾股定理逆定理（二）课时修改意见知识与能力：1 •掌握互逆命题的意义，会写一个命题的逆命题，并判断是否成立；理及逆定理解决实际问题。
过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感态度与价值观：通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.勾股定理的逆定理及其应用.建立实际问题转化成用勾股定理的逆定理的数学模型，解决数■学问题。
2、灵活应用勾股定八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何，向推理几何过渡的重要阶段。
这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
引导、尝试、发现、探究、合作交流。
效果预测教师活动学生活动（可能出现补救措施修改意见的问题）启动课堂 （知 识再现）［活动1］知识回顾：一、勾股定理及其逆定理的文字和几何语言的叙述：1、勾股定理（“形”到“数”的结合）：文字表达：直角三角形两直角边和平方和等于斜边的平方 几何语言表达：•••/C=902 . 2 2…a +b=c2、文字表达：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那 么这个三角形是直角三角形。
几何语言表述：a+b=C•••/ C=903、点评学生汇报。
独自写出 两个定理的两 种表达方式， 并作好汇报准 备。
学生汇报。
前因后果 可能混淆“数”与“形”的完美结 合，才产生勾股 定理及其逆定 理，怎样结合， 其结果可以让 学生讨论后加 深印象，并将定 理和逆定理区 别开来。
二、复习训练:1、如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC=2、由五根木棍，长度分别为3、4、5、12、13,若取其中三根木棍，组成三角形，有_______________________ 种取法；构成直角三角形的有. 种取法。
专题02 勾股定理逆定理(解析版)
八年级数学上册北师大版版链接教材精准变式练专题02 勾股定理的逆定理【典例1】判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a cb +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． 典例解读【总结】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b 是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．【典例2】如图，点D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△CBE ，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；（2）求∠ADB 的度数．【点拨】把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE ，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB 的度数．【解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2；故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【总结】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．【典例3】已知：,,a b c 为ABC ∆的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ∆的形状.【解析】解：∵222338102426a b c a b c +++=++∴0338262410222=+-+-+-c c b b a a 0)13()12()5(222=-+-+-c b a∴5,12,13a b c ===，222c b a =+∴△ABC 是直角三角形.【总结】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.【典例4】如图，铁路MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点A 处是第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【点拨】（1）过点A 作AE ⊥MN 于点E ，由点A 到铁路MN 的距离为80米可知AE=80m ，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB=AC=100m ，在Rt △ABE 中利用勾股定理求出BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC 是所用的时间即可．【解析】解：（1）会受到影响．过点A 作AE ⊥MN 于点E ，∵点A到铁路MN的距离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【总结】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．【典例5】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【解析】解：令438 324a b c+++===k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC 是直角三角形．【总结】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．【典例6】如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)． 所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【教材知识必背】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 教材知识链接要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【变式1】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形； 精准变式题②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C ．【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°．∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACP ＝∠BCD ．∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)，∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =．∵ 29DB =，∴ 22819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°，∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．【变式3】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， 第一步∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步∴c2=a2+b2，第三步∴△ABC为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_________ ；（2）错误的原因是：_________ ；（3）本题正确的结论是：_________ ．【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0∵a2﹣b2=0∴a+b=0或a﹣b=0∵a+b≠0∴c2=a2+b2或a﹣b=0∴c2=a2+b2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．【变式4】△ABC的三边a、b、c满足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC的形状是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC是直角三角形．1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）A ．13，16，19B ．31，41，51 C ．18，24，36 D ．12，35，37 【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D 项满足．2．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.a ：b ：c=1：2：1B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5C.（a+b ）（a ﹣b ）=c 2D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：3【答案】B3． 已知△ABC 三边长分别为2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，（n 为正整数），则△ABC 为（ ）A ．直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 锐角三角形 D ． 钝角三角形 【答案】A ；【解析】由2n 2+2n+1＞2n 2+2n ，且2n 2+2n+1＞2n+1，得到2n 2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形．4． 有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a +b ）（a ﹣b ）=c 2．以上判断正确的有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a ﹣b ）≠c 2，故错误．5． c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②222111,,a b c能组成直角三角形 综合提升变式练③h b a 1,1,1能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为ab ch =，所以ab c h =．又因为222a b c +=．得22222a b a b h+=．两边同除以22a b ，得222111a b h +=②正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确，360°×512=150°，最大角并不是90°，所以④错误．6. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）．A. CD 、EF 、GHB.AB 、EF 、GHC.AB 、CF 、EFD.GH 、AB 、CD 【答案】B【解析】AB 2=22+22=8，CD 2=42+22=20，EF 2=12+22=5，GH 2=32+22=13，所以AB 2+EF 2=GH 2．7. 下列说法：（1）在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；（2）若△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2；（3）在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为1360．其中说法正确的有（ ）． A.4个 B.3个 C.2个D.1个 【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a 2+c 2=b 2，则△ABC 也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确．8．已知三角形的三边长为1n n m +、、(其中221m n =+)，则此三角形( )．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定【答案】C 【解析】()()222221,211n m n n n n +=+++=+，满足勾股定理的逆定理. 9．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【答案】A【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理. 10．在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342，∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向，∴BO 是南偏东30°．故答案为：30．11． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2c b a ________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．【答案】能；【解析】设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ ． 12. 已知0435=-+-+-Z y x ,则由此x y z ，，为边的三角形是 三角形.【答案】直角13．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．【答案】108【解析】△ABC 是直角三角形.14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【解析】解：连结AE ，设正方形的边长为4a ，则DF ＝CF ＝2a ，CE ＝a ，BE ＝3a ，在Rt △ADF 中，22222216420AF AD DF a a a =+=+=，在Rt △CEF 中，22222245EF CE CF a a a =+=+=，在Rt △ABE 中，22222216925AE AB BE a a a =+=+=，因为222AE AF EF =+，所以三角形AEF 为直角三角形，AF ⊥FE ．15．观察下列各式：322345+=，2228610+=，22215817+=，222241026+=，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．【解析】解：222351237+=， ()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(n ≥1且n 为整数) 16． 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴EC=BC，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．。
人教版勾股定理的逆定理(2)
C’A’=b, 那么A’B’2= a2+b2
A
A’
∵ a2+b2=c2 ∴ A’B’= c(A’B’>0)
cb
cb
在△ABC和△A‘B’C‘中， B a C B’ a C’
∵ BC=a= B’C’， CA=b= C’A’， AB=c= A’B’
∴ △ABC≌△A‘B’C‘
∴ ∠C=∠C’= = 90o 11
以(2)题中你所画的三角形的两条较短边长为直角边，画一个
直角三角形。
（4）剪一剪：把上述你所画的两个三角形分别用剪刀剪下来。
（5）叠一叠：把你刚才合后的两个三角形存在什么关系？
你还能得出什么结论呢？
（7）通过以上的实验操作验证：实验一当中的猜想是否正确？
D
A
BC
17
作业： 1、书面作业：P42 9 2、思考作业：假如前几天爸爸去一家钢窗厂，订作
了钢窗，一周后，钢窗厂派人前来送货。恰巧，这天爸爸 临时外出。怎么办？动动脑筋，你能想出办法替爸爸验收 并确定这批钢窗的各个角都符合要求：每个角都是直角吗？
3、实践作业：课余时间成立学习实验小组，组织伙 伴们去一建筑工地，向建筑师们请教一下：他们在打地基 之前，是怎样先画出地基线的？（请注意安全，莫忘戴安 全帽）
∴ a2+c2=b2
∴ △ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）
∵ b边最长
∴ b边所对角为直角
∴ a,c为Rt △ABC的直角边
∴ S △ABC=
ac 2
=60
16
四、如图所示，在四边形ABCD中， AB=3,BC=4, ∠ABC=90O,AD=12,DC=13。
动动脑筋吧！
你能求出这个四边形的面积吗？怎样求？
人教版八年级数学下册勾股定理逆定理课件第二课时
检测目标
2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一 点，且CE＝1 CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
4
解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿ 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向 点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 思考1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问 题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问 题呢？我们一起来探究吧。
人教版八年级数学 下册
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
壮志与毅力是事业的双翼。
母鸡的理想不过是一把糠。
生无一锥土，常有四海心。
远大的希望造就伟大的人物。
志高山峰矮，路从脚下伸。
雄心志四海，万里望风尘。
检测目标
3.已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c 且a = m2 - n2 ,b = 2mn,c = m2 n2 (m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形吗?说明理由
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追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
拓展练习
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了 像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大 家有没有发现 18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
N
30 n mile ．如果知道
“远航”号沿东北方
S
Q
向航行，能知道“海
R
天”号沿哪个方向航
行吗？
P
E
巩固练习
练习1 教科书第 33页练习3．
例题讲解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 如图，在四边形 ABCD中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形 ABCD的面积．
2
2
巩固练习
练习2 如图，在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的中点，点 F是CD 上一点，且 CF = 1 CD ．求证：∠ AEF=90°．
4
A
D
F
B
E
C
拓展练习
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了 像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大 家有没有发现 18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？
八年级 下册
17.2 勾股定理的逆定理（2）
回顾与复习
问题1 上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请 说出它的内容及用途；并说明它与勾股定理的联系与区 别．
例题讲解
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
D
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
A
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形． B
C
∴ 四边形ABCD的面积为 1 ? 3 ? 4+ 1 ? 5 ? 12=36 ．
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么 ak，bk，ck （k为正整数 )也是一组勾股数．
课堂小结
（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及 其逆定理的用途及用法，你能说说吗？
（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？
课后作业
作业：教科书第 34页练习1，2，3．