第五章气体内的运输过程

ut
圆柱体内 分子数
n ut
n ut Z n u t
实际上一切分子都在运动
平均自由程 单位时间内分子A经过路程为
u
2v
v
Z
1 2d n
2
单位时间内A与其它分子发生碰撞的平均次数
平均自由程
v Z
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT

kT 2 2d p
根据能均分定理，dS两侧分子的热运动的平均能量分别为：
1 ikT 2
1
1 ikT 2
2
1 ik T T 2 1 1 dt时间内输运的热量为： dQ nvdSdt ik T T 6 2 dT 用温度梯度表示温度差： T T 2 dz 1 1 dT dQ nv ik dSdt 可得： 3 2 dz
2、湍流 流体的不规则运动。 3、稳恒层流中的粘滞现象 内摩擦现象 u=u（z）
x
U1
U2
y
z
内摩擦 流体内各部分流动速度不同时,就发生内摩擦现象.
相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称为内摩
擦力,也叫粘滞力. 流体沿x方向流速是z的函数
z L
z0
df dS df
u0
1 D v 3
扩散系数
满足d<<λ<<L条件的理想气体。 微观解释 气体内的扩散在微观上是分子在热运动中输运质量的过程.
§5－5 三种输运现象的讨论及理论与实验结果的比较
一、三种输运现象的共性 存在某种物理量的不均匀性（梯度），输运过程的进 行方向是消除这种不均匀性。一旦达到均匀状态，输 运过程即告结束。
§5－1
平均碰撞频率和平均自由程
一、分子间碰撞与无引力的弹性刚球模型 气体分子 平均速率
RT v 1.60 M mol
氮气分子在270C时的平均 速率为476m.s-1.
要考虑分子 的体积了！
矛盾
气体分子热运动平均速率高， 但气体扩散过程进行得相当慢。
气体分子的速度虽然很大，但前进中 要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一 次，分子运动方向就发生改变，所走 的路程非常曲折。
§5－4
扩散现象的宏观规律及其微观解释
扩散(diffusion) 物体内各部分的密度不均匀时，由于分 子的热运动，从而引起质量从密度大的区域向密度小的区 域迁移的现象。
1 2
2
dM
(z)
密度梯度
d dz
表示气体的密度沿x 轴方向的空 间变化率。 在dt时间内，通过dS传递的质量
z L
z0
df dS df
u0
u 宏观流速
B
u u( z )
v 分子热运动平均速率
如果
u v
o
可认为气体处于平衡态
u0
A x
z L
z0
df dS df
u0
o
u0
根据分子热运动的各向同性, 总分子中平均有1/6 的分子 u u( z ) 从下向上垂直越过dS面. 假定1： A x n 分子数密度 等几率
又 uz0 uz0 du 2 dz z0
1 du 故 dp nmvdSdt 3 dz z0
z L
z0
df dS df
u0
B
u u( z )
1 du dp nmvdSdt 3 dz z0
扩散现象的微观解释 气体扩散系数的导出
1 2
2
dM
(z)
考虑自扩散过程：两种不同 颜色代表某种元素及其同位 素。通过dS面dt时间交换的 分子数相同，但包含的两种 分子的比例不同。
如果只观察一种分子的运动 情况，则交换的分子数是不 相等的，分别为：
z z0
dS
1 n vdSdt 6
二、平均碰撞频率和平均自由程 在相同的t时间内，分子由A到B的 位移大小比它的路程小得多 扩散速率
A
B
分子碰撞频率:
(位移量/时间)

平均速率 (路程/时间)
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
分子自由程:
气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。 可以求出平均自由程和平均碰撞次数。
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
d 3.5 1010 m

kT 2 d p
2
23
1.38 10 273 8 6.9 10 m 10 5 1.41 3.14 (3.5 10 ) 1.01 10
平均碰撞次数
假 定
每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均相对速率 u运动， 其余分子都静止。
d
u
u
A
d

d
d
u u
A
d 球心在圆柱 体内的分子

d
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞 d 2 被称为碰撞截面 一秒钟内A t 时间内: 分子A经过路程为 与其它分子 发生碰撞的 ut 相应圆柱体体积为 平均次数
7 10
氮
氧
7
空气
7
(m) 1.13 10
d (m)
0.599 10 3.10 10
0.647 10 2.90 10
7.0 10
8 10
2.30 10
10
10
3.70 10
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平 均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
8RT 空气分子在标准状态下 v 448m / s M mol 的平均速率
448 9 1 z 6.5 10 s 8 6.9 10
v
§5－2 粘滞现象的宏观规律及其微观解释
1、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称 为层流。
理论与实验结果有偏差的原因： 忽略了分子间的引力作用；忽略了温度对分子有效直径的影 响；对非平衡态使用了平衡态才成立的公式等。 通过修正模型，可以得到与实验更加符合的结果。 无论如何，气体动理论在处理气体输运这类非平衡态向平 衡态过渡的问题上是成功的。
三、低压下气体的粘滞现象和热传导 前面处理气体输运过程中，我们假定了气体压强比较适 中。即气体的密度合适，既保证可以不计分子间的引力作用， 又保证分子间的碰撞机会远大于分子碰撞器壁的机会。 这样才导致粘滞系数和导热系数与气体压强无关。 当气体足够稀薄，即λ≥ L 时，η、κ随压强的降低而减小。 因为分子间无碰撞，输运的动量和热量只与参与过程的分子 数有关。
热传导(heat conduction) 当系统内各部分的温度不均匀时，由于温差而产生的 热量传递现象。
傅立叶定律：在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平 面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所在处的温 度梯度和面积元成正比。
dT dQ dSdt dz
z0
u0
B
u u( z )
z0 处的定向动量
1 dp1 nvdSdtmuz0 6
o
A x u0 同理,在dt时间内,由于分子热运动从上向下带过dS
面的定向动量
可得dS面上方气体的定向动量增量
1 dp2 nvdSdtmuz0 6
1 dp dp1 dp2 nvdSdtm(uz0 uz0 ) 6
气体内的输运过程
输运过程
系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时， 系统处于非平衡态。
非平衡态问题是至今没有完全解决的问题， 理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。 最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非 平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 --- 输运过程 介绍三种输运过程的基本规律： 粘滞现象 热传导 扩散
z z0
dS
o
1
x
d dM D dSdt dz z0
斐克定律
d dM D dSdt dz z0
来自百度文库
这里D为扩散系数，单位m2s-1, 扩散系数的大小表征了扩 散过程的快慢。
' ' 表示扩散总沿减小的方向
自扩散与互扩散 互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间分布不均 匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。 自扩散：两种分子质量和有效直径基本相同的气体的扩散，是 互扩散的一种特例。如：某种元素与其同位素组成的系统。
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
平均自由程与压强、温度的关系
v z
1 2 d n
2

(m)
p nkT
T = 273K： p(atm) 1
T p 2 d 2 p
kT
～7×10-8
10-7
10-11
～0.7（灯泡内）
～7×103（几百公里高空）
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程 气体 氢
B
在dt时间内从下向上垂直越过dS
面的平均气体分子数:
1 nvdSdt 6
这些分子是经过最后一次碰撞越过dS面的, 它们离dS面的平均距离为平均自由程 ,所以
假定2： 一次碰撞 同化
在dt时间内,由于分子热运动从下向上带过dS面的定向 动量等于分子处于 z 的定向动量
0
z L
z0
df dS df
3
导热系数 扩散系数
1 vc c m T 3 1 D v m p T 3
1 1 2 v v
1 1 2 1 3 2
1
2
式中σ、m与气体种类有关，T、P为体系状态参量。
实验数据表明：η和κ约与T0.7成正比，D与T1.75~2.0成正比， 都比理论值大。 而通过实验测定η、κ、D 后，分别计算分子的碰撞截面σ， 对同一种分子得到的数值却不一样。
热导率恒为正值，负号表示热量沿温度减小的方向输运。
气体热传导系数的导出
z
T2 ( T1 )
B
温度梯度
dT dz
z0
dS
dQ
T1
T T (z)
表示流体中温度沿z轴方 向的空间变化率。
o
A x
忽略温差引起的扩散现象，假定dS两侧交换的分子数是对等的。
dt时间内交换的分子对数为：
1 nvdSdt 6
1
o
1
1 n vdSdt 6
2
x
这种不等导致了 质量的输运：
1 1 dM m( n vdSdt n vdSdt ) 6 6
1 2
即： 用密度梯度表示：
1 dM vdSdt ( ) 6 1 d dM v dSdt 3 dz
1 2
z0
与斐克定律相比有：
B
u u( z )
du 流速梯度 dz
沿z方向所出现的流速 空间变化率。
o
u0
A x
4、牛顿粘滞定律：
由于流速不均匀， A部分受到B部分的一 个平行与x 轴的力，方 向沿x轴正方向，大小 与接触面积及速度梯 度有关。
z L
z0
df dS df
u0
B
u u( z )
o
u0
v 微观上：三个系数均含有 v 与平均速度 平方成正比，与碰撞频率成反比。Z
2
平均速率和平均碰撞频率决定输运过程进行的快慢， 碰撞阻碍输运过程的进行。
二、理论与实验结果比较
理论上，三个系数与系统微观量的统计平均值之间的 关系为： 与P无 1 1 1 1 2 2 v m T 粘滞系数 关！
A x
du f dS dz z0
为粘滞系数
它的单位是N.s.m-2
液体内的粘滞力主要起源于分子间的相互作用力，但气体分子 之间的相互作用力很弱。那么气体的粘滞现象是什么引起的？
气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中的输运定 向动量的过程.也就是分子在热运动中通过dS面交换定 向动量的结果.
每交换一对分子输运的热量为：
1 2
1 2
1 2 z0 z0
与傅立叶定律对比： 热导率
1 1 1 nv ik vc 3 2 3
CV
气体定容比热
v
讨论
1）与气体密度、平均自由程、平均速率及定体比热成正比。 2）适用于温度梯度较小，满足d<<λ<<L条件的理想气体。
微观解释 气体内的热传导在微观上是分子在热运动中的输运热运 动能量的过程.
内摩擦力
o
u0
A x
dp df dt
1 du df nmvdS 3 dz z0
1 du vdS 3 dz z0
du 又 df dS dz z0
1 v 3
§5－3
热传导现象的宏观规律及其微观解释