一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次方程的通解
一阶线性非齐次方程的通解
一阶线性微分方程可以写成y’+p(x)y=g(x)。
形如y’+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y’的次数为0或1。
对于一阶齐次线性微分方程：
其吉龙德形式为：
其中c为常数，由函数的初始条件决定。
对于一阶非齐次线性微分方程：
其应齐次方程解为：
令c=u(x)，得
带入原方程得：
对u’(x)分数得u(x)并带进得其吉龙德形式为：
其中c为常数，由函数的初始条件决定。
注意到，上式右端第一项就是对应的齐次线性方程式（式2）的吉龙德，第二项不为齐次线性方程式（式1）的一个直和。
由此可知，一阶非齐次线性方程的吉龙德等同于对应的齐次线性方程的吉龙德与非齐次线性方程的一个直和之和。
一阶非线性微分方程求解
一阶非线性微分方程求解一阶非线性微分方程是数学和物理学领域中一类重要的微分方程，它反映了物质和能量等物质间的相互作用，是近代物理学和数学理论发展的重要基础之一。
本文将介绍一阶非线性微分方程的概念、特性、分类以及常用的求解方法，并给出一个实例来加深对一阶非线性微分方程的理解。
1. 一阶非线性微分方程的概念定义：一阶非线性微分方程（Ordinary Nonlinear Differential Equations）是一类特殊的微分方程，它的求解不可能由简单的积分或积分变换来解决，而是必须用更复杂的解析方法来求解。
一阶非线性微分方程可以表示为：$$frac{dy}{dx}=f(x,y), qquad xin(a,b), yin R$$ 其中，a、b为有界区间上限和下限，f(x,y)为满足某种条件的非线性函数，y为变量，表示待求解函数。
2. 一阶非线性微分方程的特性一阶非线性微分方程的特性主要包括：（1）一阶非线性微分方程的解不能简单的利用积分或者积分变换来解决，必须利用更复杂的解析方法来求解；（2）一阶非线性微分方程的变量y连续变化，不得有任何突变现象；（3）解的多样性，y的解是一个多函数，而且每个解函数有可能是不同的，这就要求对待求解方程有足够细致的分析和计算，才能得到正确的解。
3. 一阶非线性微分方程的分类根据不同的函数f(x,y)，一阶非线性微分方程可以分为以下几类：（1）一元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x)$的一阶非线性微分方程；（2）二元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x,y)$的一阶非线性微分方程；（3）非线性积分方程，即形如$y=f(x)+int[f(x,y)] dx$的一阶非线性微分方程。
4. 一阶非线性微分方程的求解方法一阶非线性微分方程的解法不尽相同，其常用的求解方法有：（1）拟合法：拟合法是一种直观的、简易的求解方法，它要求将待求解方程用曲线拟合，通过简单的分析和绘图，得出方程的解。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$其中，$P(x)$和$Q(x)$是给定函数。
下面我们将对一阶线性非齐次微分方程的求解方法进行分类。
1. 齐次线性微分方程求解：当$Q(x)=0$时，微分方程可以化简为一阶齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = 0$。
这类微分方程可以直接求解，通常使用分离变量法将方程分离并积分。
2.直接求解法：当$P(x)$和$Q(x)$是已知函数时，可以直接求解一阶线性非齐次微分方程。
可以通过求解齐次线性微分方程得到其通解，然后使用常数变易法得到非齐次微分方程的特解。
3. 变量分离法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过变量变化或分离变量法将方程化为可直接积分的形式。
例如，当$Q(x)$是$y$的函数时，可以使用分离变量法将方程化为$\frac{{dy}}{{Q(y) - P(x)y}} = dx$，然后积分得到解。
4. 求导数法：对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，可以通过求导数的方式求解。
例如，当方程可以写成$\frac{{dy}}{{dx}} = f(ax + by + c)$的形式时，可以通过求导数来化简方程，并使用变量分离法进行求解。
5.积分因子法：当$P(x)$是一个可导函数时，可以使用积分因子法来求解一阶线性非齐次微分方程。
积分因子是一个乘法因子，可以使得原方程变成一个恰当微分方程，从而可以直接进行积分得到解。
积分因子的计算可以通过乘以一个合适的因子来使得原方程的左边满足恰当微分方程的条件。
综上所述，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要有齐次线性微分方程求解、直接求解法、变量分离法、求导数法和积分因子法等方法。
根据具体的微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
特别是对于一些特殊的一阶线性非齐次微分方程，如可线性化的方程和恰当方程，还可以使用对应的特殊方法进行求解。
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶非齐次微分方程
一阶非齐次微分方程解一阶非齐次微分方程的常用方法之一是变量分离法。
具体步骤如下：Step 1: 将dy/dx + P(x)y = Q(x)移项，得到dy/dx = -P(x)y +Q(x)。
Step 2: 对于右侧Q(x)项，如果存在一个函数u(x)，使得u'(x) =Q(x)，则可以将方程写成dy/dx = -P(x)y + u'(x)。
Step 3: 对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-P(x)y + u'(x))dx。
Step 4: 对右侧第一项进行整理，得到∫dy = -∫P(x)ydx +∫u'(x)dx。
Step 5: 对于第一项，可以利用乘法法则进行化简，得到∫dy = -y∫P(x)dx + ∫u'(x)dx。
Step 6: 对第一项利用积分的线性性质，得到∫dy = -y∫P(x)dx +u(x)。
Step 7: 对两边同时积分，得到y = -∫P(x)dx + ∫u(x)dx + C。
这就是一阶非齐次微分方程的通解。
需要说明的是，如果在求解途中无法找到合适的u(x)使得u'(x)=Q(x)，则无法使用变量分离法求解，需要考虑其他的解法。
除了变量分离法外，常见的解法还包括常数变易法、指数函数解、一阶线性微分方程解等等。
这里不一一赘述。
下面以一个具体的例子来说明一阶非齐次微分方程的求解过程。
例题：求解微分方程dy/dx + y/x = cos(x)/x。
解：首先将方程改写为dy/dx = -y/x + cos(x)/x。
然后观察右侧项，发现可以取u(x) = sin(x)，则u'(x) = cos(x)。
将u'(x)带回方程，得到dy/dx = -y/x + u'(x)。
对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-y/x + u'(x))dx。
进行整理，得到∫dy = -∫(y/x)dx + ∫u'(x)dx。
一阶线性非齐次方程的凑微解法
The Solution of First Order Linear Nonhomogeneous Differential Equation Using Improvising Differential Method(一阶线性非齐次方程的凑微解法)有许多学生反应说书本上解一阶线性非齐次方程用的方法在常数变异的时候不大理解，对此我思考一个非常简单的方法：凑微法。
一阶线性非齐次方程的数学形式可表为d yd x + P （x ）y = Q (x) ..ie ()()dy P x ydx Q x +=dx对上面这个方程我们凑上一个函数f (x), 则得到()()()()()f x dy yP x f x dx Q x f x dx +=注意f(x)必不为0，否则对我们讨论的问题来说无意义。
由此我们可以想到，只要等式 左边能够凑成一些全微分问题就解决了。
即()()[()]P x f x dx d f x =，从而()[()]()()f x dy yd f x Q x f x dx +=[()]()()d yf x Q x f x dx =两边积分[()]d yf x ⎰ = ()()Q x f x dx ⎰所以()()()yf x Q x f x dx =⎰ +C 1 (C 1是常数)i.e. 1[()()()y Q x f x dx f x =⎰ + C 1 ]于是，当Q （x ） = 0 时，11()y C f x =，而Q(x) = 0时原方程即为一阶线性齐次方程，众所周知其解可表为 y = C e－∫P(x)dx ，因此1()C f x = C e －∫P(x)dx ，（此处若将C 1和C 都换为同一个常数C 我感觉也应是可以的，因为Q （x ）= 0 的话，则C 1和C 都来自方程 d yd x + P （x ）y = 0的解，只不过C 1是此方程凑微后再积分的解，而C 是直接积分的解，同样都是积分，C 1应该等于C ；这样分析应该没有什么问题，若确实有问题的话，那C 和C 1就不合并成C 了）所以()f x = 1C C · e ∫P(x)dx从而得到一阶线性非齐次方程的解为 y = 1CC e －∫P(x)dx ·[1C +()Q x ⎰1C C e ∫P(x)dx ·dx ] 将1CC 乘到中括号里面得y = e －∫P(x)dx ·[()C Q X +⎰·e ∫P(x)dx dx ] (C 是常数)。
浅论解一阶线性非齐次微分方程的方法
浅论解一阶线性非齐次微分方程的方法作者：沈兆益来源：《新教育时代·教师版》2016年第34期摘要：求解一阶线性非齐次微分方程的方法较是教学难点。
各类教材中常使用的求解的方法为公式法与常数变易法。
公式法由于公式相对复杂，常数变易法较难理解且步骤相对较多，这两种方法对于基础较欠缺的学生较难接受。
本文论述教学过程中可向学生介绍了较为简单的方法，有助于学生跨越这一学习难点。
关键词：一阶线性非齐次微分方程公式法通解高职院校教的高等数学教学内容虽然相对简单，但由于学生学习能力相对欠缺，但仍需要教师不断探索新的教学方法。
在进行“一阶非齐次线性方程”的求解的教学过程中，师生通常使用的是教材中所涉的公式法或常数变易法进行解题。
高职院校学生由于学习基础较为薄弱，学习积极性相对不足，而这两类方法在理论介绍上需要较长篇幅，应用中也需要较大的计算量。
若教师在教学中解释不够言简意赅，学生会出理论学习现缺乏耐心，对解题方法在理解上不够透彻，因此在解题应用上，缺乏信心，会出现较高的错误率。
不论是学生还是教师都会认为“一阶非齐次线性方程”的教与学是难以克服的困难。
例如，求解微分方程的通解。
若使用公式法求解：首先需要得到一阶线性微分方程的标准形式，因此原式左右同除以cosx，得：，然后化成标准形式：。
其中p（x）=-tanx，q（x）=cosx然后求解，解题中需注意常数c与绝对值在此不表示出来，这与原先学生学习过的不定积分中的要求是不一致的，使学生容易产生困惑，本题中所得到的结果表示为，需要教师介绍公式法时认真解释“对于中所产生的常数与绝对值可以被的常数c所包含吸收。
”其次求解，本题中：将上述结论代入，得到：。
可见：公式法求解一阶线性微分方程，解题步骤分段较多；对于常数c的处理容易引起学生的困惑；公式法中学生所记忆的公式“”较长，且有些细节容易混淆，若学生理解与记忆不够透彻就容易遗忘。
而若使用常数变易法，同样会有较大的计算量，以下为使用常数变易法解法求解这一题过程：首先计算对应齐次方程的通解为：于是对应非齐次方程的通解设为：，两边求导得到：然后将和代入得：化简得到：，两边求解积分，得到：代入得到：可见，常数变易法求解方程，所涉步骤比公式法更多，每一步骤的目的需要学生较长时间的学习和练习才能理解，并且对于积分常数的处理学生会有同公式法一样的疑惑，因此常数变易法同样是的基础较为薄弱的学生难以掌握。
一阶非线性微分方程的解法
一阶非线性微分方程的解法微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述运动、生物、物理等领域的问题。
微分方程的解法有很多种，其中一阶非线性微分方程的解法是常见的一种。
一阶非线性微分方程的一般形式是dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。
这种类型的微分方程通常不能用常规的解法来求解。
但是，有些技巧可以帮助我们解决这类问题。
1. 变量分离法变量分离法是一种常用的解法。
对于方程dy/dx=f(x,g(x))，将f(x,g(x))写成f(g(x))和g'(x)的乘积形式，即dy/f(g(x))=g'(x)dx，然后将方程两边积分，得到解y=F(g(x))。
最后将g(x)换成y，就可以得到y的解。
例如，对于方程dy/dx=2xy，将方程两边变形，得到dy/y=2xdx。
将方程两边积分，得到ln|y|=x^2+C，其中C是常数。
解y=e^(x^2+C)，再将C换成一个常数就可以得到方程的通解。
2. 齐次方程的解法如果方程dy/dx=f(y/x)，可以使用齐次方程的解法来求解。
将y/x=u代入到方程dy/dx=f(y/x)中，得到y=ux。
然后将dy/dx=u+xdu/dx代入到方程中，得到du/(u+f(x))=dx，其中f(x)等于f(y/x)。
将方程两边积分，得到ln|u+f(x)|=ln|Cx|，其中C是常数。
解出u和x的关系，即u=Cx-f(x)，然后将u和x代回到y=ux中，得到y=Cx^2-F(x)。
例如，对于方程xy'+y^2=x，将y/x=u代入方程中，得到du/((u^2-1)+u)=dx/x。
将方程两边积分，得到ln|u+1|=ln|x|+ln|C|，其中C是常数。
解出u，即u=Cx-1，然后将u代回到y=ux中，得到y=Cx/(1-Cx)。
这就是方程的通解。
3. 带入法带入法是另一种常用的解法。
对于方程dy/dx=f(x,y)，假设y=g(x)是方程的解，将y=g(x)代入方程中，得到dy/dx=f(x,g(x))。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得。
一阶线性非齐次微分方程的解法探悉
， ：
１ ｙ ＝４ 通解为（ ＋１ ｙ＝Ｗ ＋ｃ ） ］ ｘ， ） － 。 ３ ．利用积分 因子转化为可积组合法 用观察法困难时， 可先求积分因子 （ 或 “ ｙ ， ） （ ）在原方稗两端 同乘 ｕ （） 或 （）把方程左边一些项组合为两个函数之积的导数。 ｙ，
南 （ ） Ｎ（ Ｙ １设 ，）＝１Ｍ（ Ｙ ， ，）＝ 一Ｐ（ Ｙ ）
ｎ ｎ
有 ｏＭＣ腴 【 一 ：ｓ ＝ ＝Ｓ ｒ ］。 ， Ｏ￣ ３ Ｘ １ｏ Ｍ ｃ，
得到 ｕＸ （ ）＝ｅ ＝ｅ …
微分方程 ， 可按常数变异法求 （ ） ５ 的通解 ． ＞ ｎ ０时 ， 还有解 Ｙ ０ ＝。
（ ） 二 变量代替法 １ ．变量代替法概念 ｌ ４ 设 Ｙ＝ ） ） （ （ 是方程 （ ） １ 的解 ， 中 （ 为 （ ） 解 ， Ｙ ＝ 其 ） ２ 特 将 （ （ （ （ 代入（ ） 得 ｕ（ （ ） ）＋ ） ） １， ） ）＋“ ） （ Ｖ（ ）＝Ｐ（ “ ） ） （
将上式代入（ ） 得到方程（ ） ４， １ 通解 Ｙ＝ｅ （） Ｑ（ ） 一Ｐｘ ｘｘ＋ ）这 』 （』 ｘ ｅ ］（ｄｄ ｃ ， ） 将常数变易为待定 函数的方法 ， 称常数变易法 。
２ 努 利 微 分 方 程概 念 ．伯
定 ２ 形 警＝（ｙＱ ） 方 ，为 努 微 方 ， 义 ：如 Ｐ ） （ｙ 程称 伯 利 分 程 ＋
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类一、常系数法：当$P(x)$为常数时，可以采用常系数法求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.利用常数变易法，设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
二、一阶线性微分方程的常数变易法：对于一般的一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以采用常数变易法求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
三、常数变易法的特殊形式：当非齐次方程的右端项$Q(x)$具有形式$Q(x)=P(x)F(x)$时，可以采用常数变易法的特殊形式求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
四、拉普拉斯变换法：该方法适用于解微分方程初值问题。
通过拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后根据拉普拉斯变换的性质求解代数方程，最后利用拉普拉斯逆变换得到微分方程的解。
五、解法总结：1.首先判断是否为一阶线性非齐次微分方程；2.如果是常系数非齐次线性微分方程，可以用常系数法求解；3.如果是非常数非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解；4.如果非齐次方程的右端项具有特殊形式，可以用常数变易法的特殊形式求解；5.如果初值问题，可以考虑使用拉普拉斯变换法求解。
一阶线性非齐次微分方程的解法探悉
我 曾对 “ 一题多改 ”法做过尝试 ，意在调动学生对评改作 文的主
动性和积极性 。
我 的做法主要分为两大步骤 ： （ ）作 文前 ，要重视 下笔前 的 “ 一 评改 ” ，即是指学生 自己或相互 推敲写作提纲 。这种 下笔前 的 “ 改”，是最 重要不 过 了。正 如盖房 评 子 ， 先要打好 图样 ，作战首先要订好 计划一样 。要 是这一步 功夫没 有用够 ，写起来就常常写不下去 ，或 者勉强写下 去了 ，结果还是 要不 得 。这种事先 “ 评改” 提纲 ，有大部分学生过去是不做 的，他 们习惯
＝ 一 ＝
１［ｘ ２
一
把Ｙ Ｍ ＋， 人 程即 Ｍ一 ＿ ］＋ ＝ １ ／代 原方 得［ ＿ （＋） ＝ ＂ｄ Ｖ Ｍ Ｔ
由“一 ＝ ， ＝ ＋ ） 由Ｕ ＝ ＋ ） ， ＝ （ — ０得“ （ １ Ｖ （ １手 得 ÷
÷ ］ 。１ ） 』 ＝（ 一 ＋ 丁
这里 Ｐ（ ， ） ） Ｑ（ 为 连续函数 ， ≠０， 是 常数 ， ｔ ｌ １ 对于 Ｙ ， Ｙ 乘 上 ≠Ｏ 用
１ （ ） （ （ 舢 ） 一 ＝ 若 测ｕ） ２ ￣ ｏ ）ｒ 叭 ｌ（ ） （￣ｔｄ ＝ ） ｙ ｅｙ ）］） ｐｘ （
Ｍ
一
缸
４ ．利用积分 因子转化为可积组合法例题分析
结 论
本课题讨论 的是一 阶线性非齐次方程的解法 ， 研究 了它的几种解
１４ ８
现代 企 业教 育
ＭＯＤＥ Ｅ Ｔ Ｒ Ｒ Ｓ Ｅ Ｕ Ｔ ＯＮ ＲＮ Ｎ Ｅ Ｐ ＩＥ Ｄ ＣＡ Ｉ
２ 年６ ・ ０ ・月 １ ３
学 理 现代衾 术・ 论 等
一阶非齐次微分方程的通解
一阶非齐次微分方程的通解
一阶非齐次微分方程的通解是指，解决非齐次微分方程后得到的能够满足方程所有初始条件的解的集合。
求解非齐次微分方程的方法可以使用常数变易法、待定系数法等，通过这些方法可以得到特解和通解。
其中，特解是非齐次微分方程的一个具体解，而通解则是由特解和齐次微分方程的通解组成的。
在求解非齐次微分方程的过程中，需要先求得齐次微分方程的通解，然后再根据特解的形式，将特解和齐次微分方程的通解相加，得到非齐次微分方程的通解。
不同的特解形式对应着不同的非齐次项形式，需要根据非齐次项的形式来选择相应的特解形式。
总之，求解一阶非齐次微分方程的通解是一个比较基础的数学问题，掌握常用的求解方法，可以为更复杂的微分方程解题奠定基础。
- 1 -。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次方程解法推倒一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()() 于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
非齐次通解 =齐次通解 +非齐次特解【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
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一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换
y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得
'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()
u c Q x e dx
P x dx =+⎰⎰()()
于是得到非齐次线性方程1的通解
[]
y e c Q x e dx
P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()
将它写成两项之和
y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()
【例1】求方程
dy dx y x x -+=+21
13
2
()
的通解。
解：
]
23
)1([121
2dx e x c e
y dx x dx
x ⎰⎰++⋅⎰
=+-+--
]
23
)1([22
)1(ln )1(ln dx e x c e
x x +-+⎰⋅++⋅=
=+⋅++-
⎰()[()]x c x dx 1121
2
=+⋅++()[()]
x c x 12121
2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法
1 预备知识
形如
()()dy
P x y Q x dx
+= (1) 的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为
()0dy
P x y dx
+= (2) 方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如
()()n dy
P x y Q x y dx
+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.
现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果
定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式
'()()()n
n
dy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()n
n
d F x dy F x y Q x dx dx
⎡⎤⎣⎦+
= ()()()n n
F x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦
()()n
d F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦
两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰
1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ 证毕. 推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式
'()
()()dy
F x F x y Q x dx
+= (6) 则它的通解为 1()()
y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ (7)
定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式
'()()0n
n
dy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()
n C
y F x =
(9) 证明 在定理1的结果1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式
'()
()0dy
F x F x y dx
+= (10) 则它的通解为 ()
C
y F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式
()ln ()()ln ()n dy
P x y F y Q x y F y dx
+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d y
Q x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)
当1n ≠时,其通解为
其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为
()ln ()()ln ()dy
P x y F y Q x y F y dx
+= (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得
[]()()ln ()
dy
Q x P x dx y F y =-
[]ln ()()ln ()
d y
Q x P x dx F y =-
两边积分得
[]ln ()()ln ()d y
Q x P x dx C F y =-+⎰⎰
此即为方程(15)的通解表达式.
若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()n
y F y 得
1
1()
()ln ()ln ()
n n dy P x Q x y F y dx F y -+= 令1ln
()n
z F y -=,则
定理3 若一阶微分方程具有如下形式
'()
()()n dy
F x F x y Q x y dx
+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()
()n dy dF x F x y Q x y dx dx
+= []()()n d F x y y Q x dx =
方程两端除以n
y ,得到 1()()
()n
n
dy dF x y F x y Q x dx dx
--+= 11()()()1n
n n n d F x F x dy y Q x n dx dx
--⎡⎤⎣⎦+
=- 令1n
z y
-=,则(1)n
dy dz
n y
dx dx
--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx
⎡⎤⎣⎦+
=- ()(1)()(1)()n n
F x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦
()()n
d F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦
两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰
1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ 证毕.
定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式
'()
()()n n n dy F x F x y Q x y dx
⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n n
n d F x dy F x y Q x y dx dx
⎡⎤⎣⎦+
= 方程两端除以n y ,得到 1()()()n
n n
n d F x dy y F x y Q x dx dx
--⎡⎤⎣⎦+
= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx
--⎡⎤⎣⎦+
=- 令1n
z y
-=,则(1)n
dy dz
n y
dx dx
--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx
⎡⎤⎣⎦+
=- ()(1)()(1)()n n
F x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦
()()n
d F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦
两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰
1()()
n y Q x dx C F x ⎡
⎤=
+⎣⎦⎰ 证毕.。