湖北省十堰市郧阳中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题文
2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题文总分：150分考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共60分）1.的值为（）A. B.1 C. D.2.下面说法正确的是( )A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等3.在中，是AD的中点，则=（）A. B.C. D.4.的值是( )A. B. C.2 D.5.已知，，则的值等于( )A. B. C. D.6.已知，则=( )A．B．C．D．7.若，则（）A. B.1 C. D.38.下列各式中，不正确的是( )A. B.C. D.9.若点M是的重心,则下列各向量中与共线的是( )A. B.C. D.10.若O是所在平面内一点，且满足，则一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11.在△ABC所在平面上有一点P，满足，则与的面积之比是（）A．B．C．D．12.如图所示,两个不共线向量,的夹角为,,分别为与的中点,点在直线上,且,则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题(每题5分，共20分)13.若，则______.14.的值__________.15.定义运算，若，，则______.16.已知等边的边长为2,若,则的面积为_________.三、解答题（总70分）17.（10分）已知为锐角,(1)求的值(2)求的值（12分）设两个非零向量a与b不共线.1.若,,,求证:三点共线.2.试确定实数k,使和反向共线.19.（12分）已知函数图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式;设,求的值.20.（12分）已知函数1.求函数的单调递减区间和对称轴级对称中心;2.将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域。
21.（12分）如图所示,在中,与相交于点M.(1)用表示;(2)若,证明:三点共线.22.（12分）如图，是一块半径为1，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛，其中动点C在扇形的弧上，记.(1)写出矩形的面积S与角θ之间的函数关系式；(2)当角θ取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题文总分：150分考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共60分）1.的值为（）A. B.1 C. D.2.下面说法正确的是( )A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等3.在中，是AD的中点，则=（）A. B.C. D.4.的值是( )A. B. C.2 D.5.已知，，则的值等于( )A. B. C. D.6.已知，则=( )A．B．C．D．7.若，则（）A. B.1 C. D.38.下列各式中，不正确的是( )A. B.C. D.9.若点M是的重心,则下列各向量中与共线的是( )A. B.C. D.10.若O是所在平面内一点，且满足，则一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11.在△ABC所在平面上有一点P，满足，则与的面积之比是（）A．B．C．D．12.如图所示,两个不共线向量,的夹角为,,分别为与的中点,点在直线上,且,则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题(每题5分，共20分)13.若，则______.14.的值__________.15.定义运算，若，，则______.16.已知等边的边长为2,若,则的面积为_________.三、解答题（总70分）17.（10分）已知为锐角,(1)求的值(2)求的值（12分）设两个非零向量a与b不共线.1.若,,,求证:三点共线.2.试确定实数k,使和反向共线.19.（12分）已知函数图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式;设,求的值.20.（12分）已知函数1.求函数的单调递减区间和对称轴级对称中心;2.将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域。
湖北省部分省重点中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题解析版
π A． (0, )
4
ππ B． ( , )
42
ππ C． ( , )
43
D．（ ， ）
【答案】D
【 解 答 】 解 ： ∵ b=2 c2 + ac ∴ co= s B a2 + c2 −= b2 a2 −= ac a= − c sin A − sin C ，
2ac
2ac 2C
2sin C
2sin C co= s B sin A − sin C ，所以 sin B cos C − sin C cos B = sin C
23
12．在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，O 为△ABC 的外心，且有 AB+BC＝ AC，
3
sinC（cosA﹣ 3 ）+cosCsinA＝0，若 AO = xAB + yAC, x, y ∈ R ，则 x﹣y＝（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设三角形的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
A． 6a
B． 6 a 2
C． ( 3 +1)a
D． 3a
【答案】B 【解答】解：由图形知，在⊿ACD 中， ∠ACD=900，∠ADC=450，所以 AC=a，在⊿BCD 中，∠BCD=300，
∠CDB=1050，所以∠CBD=450，由正弦定理得
BC sin1050
=
sina45= 0 ，所以 BC
2
3x + 3 x + 2y 2 2
3) − 3 = 1 + 22
3
，所以
2x
+
y
的最小值为
湖北省高一数学下学期第一次月考试题(含答案)
高一年级下学期 第一次半月考数学试卷一．选择题（每小题5分，共12小题） 1．化简﹣+所得的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．2． cos24°cos36°-cos66°co s54°的值等于( )A ．0B ．C ．D ．﹣3．设是的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A ．与的长度必相等B ．∥C ．与一定不相等D ．+= 4．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点（m ，m ），则sin2α=（ ） A ．±43 B ．43 C ．±23 D ．235．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且，则r+s 的值是（ ）A ．B ．C ．﹣3D ．0 6．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ），则下列说法正确的是( )A ．f （x ）的最小正周期为π2B ．f （x ）的图象关于直线8π=x 对称C ．f （x ）的图象关于点)0,8(π-对称D ． f （x ）的图象向左平移4π个单位长度后得到一个偶函数图象7．已知31)6sin(=+πα，则=+)32cos(πα（ ）A ．98B ．97C ．98-D ．97-8．设︒︒-=2sin 232cos 21a ,22tan141tan 14b ︒︒=-，250cos 1︒-=c ，则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 9．使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移65π个长度单位 B ．向右平移65π个长度单位 C ．向左平移125π个长度单位 D ．向右平移125π个长度单位11．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AC AB AM 4143+=，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知奇函数)(x f 在]0,1[-上为单调递减函数，又βα,为锐角三角形两内角，则（ ）A ．)(cos )(cos βαf f >B ．)(sin )(sin βαf f >C ．)(cos )(sin βαf f >D ．)(sin )(cos αβf f > 二．填空题（每小题5分，共4小题）13．计算： =+︒︒1140cos 210sin 14．若[)π,0∈x ，则22sin <x 的x 取值范围为 15．已知f （x ）=x 2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y 轴对称，则θθ2cos 2sin +的值为16．给出下列命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②函数)23sin(x y +=π是偶函数；③直线8π=x 是函数)245sin(x y +=π的一条对称轴；④若βα,是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >．⑤对于向量、、，若∥，∥，则∥； 其中正确命题的序号是三．解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17．（10分）已知)3tan()2cos()23sin()cos()23cos()5sin()(παπαπααππααπα-⋅+⋅-+⋅+⋅-=f（1）化简)(αf ； （2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-απ，求)(αf 的值．18．（12分）已知.20,71)sin(,1413sin παββαα<<<=-=（1）求)2sin(βα-的值； （2）求β的值.19．（12分）已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，且函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为2π． （Ⅰ）求)8(πf 的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．20．（12分）已知21,e e 是平面内两个不共线的非零向量，212e e +=，21e e λ+-=，212e e +-=，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）设点G 是ABC ∆的重心，请用21,e e 表示GE ．21．（12分）已知函数g （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜2π，ω＞0）的图象如图所示，函x x x g x f 2sin 232cos 23)()(-+= （1）如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且g （x 1）=g （x 2），求g （x 1+x 2）的值； （2）当]3,6[ππ-∈x 时，求函数f （x ）的最大值、最小值； （3）已知方程f （x ）﹣k=0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上只有一解，则k 的取值集合．22．（12分）已知定义在())(,00,-∞+∞上的奇函数()f x 满足(2)0f =,且在(),0-∞上是增函数;又定义行列式12142334a a a a a a a a =-; 函数sin 3cos ()sin g mθθθθ-=(其中02πθ≤≤)．(1)求()2g π的值； (2) 若函数()g θ的最大值为4，求m 的值;(3) 若记集合{}|M m θ=>恒有g()0,[]{}|0N m f θ=<恒有g(),求N M ⋂．参考答案：1--------5 CBCDD 6-----------10 BBDBC 11---12 DD 13. 0 14. 15. 1 16.②③ ．17. 解：（1）==cosα． （2）∵，∴，又∵α为第三象限角，∴，∴．18.解：（1）98355)2sin(=-βα； （8分） （2）3πβ= （4分） 19. 解：（Ⅰ）==．∵f（x ）为偶函数，∴对x∈R，f （﹣x ）=f （x ）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω=2．故f （x ）=2cos2x ．∴．（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g （x ）单调递减，因此g （x ）的单调递减区间为（k∈Z）．20. 解：（1）∵，，∴==+=．∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在m∈R，使得，∵， ∴=．∵是平面内两个不共线的非零向量，∴，∴，∴实数λ的值为．（2）12542333GE BA BC e e =-=- （借助AC 中点） 21. 解：（1）由图象得，A=1，2T =，则，所以ω=2，把点代入得，sin （2×+φ）=0，则2×+φ=kπ，解得（k∈Z），由﹣π＜ϕ＜0得，，所以，因为，且g （x 1）=g （x 2），所以由图得，，则；（2）由（1）得，f （x ）=g （x ）+cos2x ﹣sin2x==，因为，所以，当时，即时，y max =2，当时，即时，；（3）由（2）得，f （x ）=，因为x∈，所以∈，则，即，因为方程f （x ）﹣k=0在上只有一解，则k 的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}．22.解(1) 22()sin (3cos )cos cos 31g m m m θθθθθ=--=-+-+22(cos )3124m m m θ=--+-+m g 31)2(-=∴π（2）[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦因为()g θ的最大值只可能在cos 0(0)2m θ=≤,cos 1(1)2mθ=≥,cos (01)22m m θ=<<处取. 若cos 0θ=，()4g θ=，则有134,1m m -==-，此时122m =-，符合; 若cos 1θ=，()4g θ=，则有24,2m m -==-,此时12m=-，不符合; 若cos 2mθ=，()4g θ=，则有2314,6434m m m -+==+643m =-此时3232m =+3232m=-不符合 . 1m ∴=- ． (3) ()f x 是定义在())(,00,-∞+∞上的奇函数且满足(2)0f = (2)0f ∴-=又()f x 在)((,0),0,-∞+∞上均是增函数, 由[]()0f g θ< 得()2g θ<-或2()0g θ>> 又{}|M m θ=>恒有g()0[]{}{}|0| g() 2 2>g()>0 N m f m θθθ=<=<-恒有g()恒有或所以=⋂N M {}|2m θ<<恒有0g()即不等式20cos cos 312m m θθ<-+-+<在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立当221cos (3cos )6(3cos )103cos 3cos m θθθθθ----+-->=-- 1010(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤=---+=--++⎢⎥--⎣⎦[][]0,,cos 0,1,3cos 2,32πθθθ⎡⎤∈∴∈-∈⎢⎥⎣⎦10197(3cos )()3cos 3θθ∴≥-+≥-，即101(3cos )()61,3cos 3θθ⎡⎤⎡⎤--++∈--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,此时13m >- 当221cos (3cos )6(3cos )83cos 3cos m θθθθθ---+--<=-- 88(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤=---+=--++⎢⎥--⎣⎦86(3cos )()3cos θθ∴≥-+≥-8(3cos )()60,63cos θθ⎡⎤⎡--++∈-⎢⎥⎣-⎣⎦,此时0m < 综上所得1(,0)3m ∈-。
高一下学期数学第一次月考题及答案
2019-2020学年度下学期高一月考数学试卷时间：120分钟 分数：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为 ( )A.π12B.π6C.π4D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )， q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为 ( )A.π6B.π3C.π2D.2π33．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)5．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为 ( )A. 35B.58C.53D.856．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是 ( )A ．23<x <2 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．1<x < 57.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是 ( ) A ．a n ＝(－1)n·(2n－1) B ．a n ＝(－1)n·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)8.在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．1210．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为 ( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则 △ABC 是 ( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是 ( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14 的等差数列，则|m －n |＝________.14.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝ 时，S n 取到最大值. 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16.已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 数列{a n }满足a 1＝1，12a n ＋1＝12a n＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长19．(12分)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .20．(12分)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．2019—2020学年度下学期高一数学参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12； 14. 5或6 ； 15．8 6 ； 16．15 3三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分10分）【解】 (1)证明：由12a n ＋1＝12a n ＋1，可得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列．-------------------5(2) 由(1)知1a n＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)------------------------------------------------1018.（本题满分12分）解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.----------------------------------------------------------------4(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.----------------------------------------------------------------------6由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.------------------------------------------------------------8由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，----------------------------------------------------11∴⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.---------------------------------------1219.（本题满分12分）解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.-----------------------------------------3根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).---------------------------------------------------------------------------7 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β). -------------------------------------------------------------------------10 即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).-------------------------------------------------------------1220、【解】 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )----------------------3 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.-----6 (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.----------------------------------------------9设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.--------------------------------------------------1221．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.--------------------------------3联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.----------------------6(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.---------------9所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.---------------------------1222．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°.--------------------------------- 2在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.-------------------------5 又OCsin 60°－θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．---------7因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝2sin θ·cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33-----------------------------------------10∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.-------------------------------12。
湖北省十堰市2020学年高一数学下学期第一次月考试题(含解析)
湖北省十堰市2020学年高一数学下学期第一次月考试题（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. （5分）（2020•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：在高二年级的学生中应抽取的人数为：，故选B．考点：分层抽样．2.[2020·茶陵二中]掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（）A. B. C. D.【答案】D每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D.3.[2020·宜昌期末]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7【答案】B【解析】【分析】观察茎叶图可知甲组数为，乙组数为，根据平均数以及中位数的定义可得，的值．【详解】观察茎叶图可知甲组数为，乙组数为，甲组的中位数为，由于中位数相等，所以，乙组的平均数为，由于平均数相等，所以，解得，故选B.【点睛】本题主要考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数的概念，难度不大，属于基础题．4.[2020·济南外国语]对于实数，，定义一种新运算“”：，其运算原理如程序框图所示，则（）A. 26B. 32C. 40D. 46【解析】【分析】模拟程序的运行，打开程序框图的功能是求y的值，由此计算式子5⊗3+2⊗4的值，可得答案．【详解】由程序框图知：算法的功能是求y的值，∴式子5⊗3+2⊗4＝52+3+4（2+1）＝40．故选：C．【点睛】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．5.[2020·武汉六中]袋子中有四个小球，分别写有“武、汉、军、运”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“军”“运”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“军、运、武、汉”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220231 130 133 231 331 320 122 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知，经随机模拟产生了如下16组随机数，在16组随机数中恰好第三次就停止的可以通过列举得到共2组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知，经随机模拟产生了如下16组随机数，在16组随机数中恰好第三次就停止的有：021、130．共2组随机数，∴所求概率为．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．6.[2020·赣州期末]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．收集到的数据如下表，由最小二乘法求得回归直线方程．零件数/个10 20 30 40 50加工时间62 75 81 89表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A. 66B. 67C. 68D. 69【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程过样本中心点，计算代入回归直线方程，解方程求得模糊不清的数据.【详解】设模糊的数据为，，，由于回归直线方程过样本中心点，将代入回归直线方程得，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查平均值的计算方法，考查回归直线方程过样本中心点这一性质，考查方程的思想.属于基础题.平均值的计算公式是，称为样本点的中心，这个点的坐标是满足回归直线方程的，也就是说，样本中心点在回归直线的图像上.7.[2020·四川一诊]如图所示，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖飞镖的大小忽略不计，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出半径为6分米的圆形图案的面积与圆内接边长为分米的正六边形的面积，利用几何概型求出对应的概率．【详解】半径为6的圆形图案的面积为36π，其圆内接正六边形的面积为：6××1×sin60°=，故所求的概率为：P= =．故选：B．【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了圆内接正六边形的面积的计算问题，属于基础题．8.[2020·宜昌期末]执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件，跳出循环，计算输出的值．【详解】由程序框图知：输入时，，，，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；满足条件，跳出循环，输出，故选C．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于基础题．9.[2020·牡丹江一中]某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（）A. 73.3，75，72B. 73.3，80，73C. 70，70，76D. 70，75，75【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图，求出这组数据的中位数、众数和平均数．【详解】由频率分布直方图知，小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70，80]之间18人，所以中位数为7073.3；众数就是分布图里最高的小矩形底边的中点，即[70，80]的中点横坐标，是75；平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．故选：A．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数和众数的应用问题，是基础题．10.[2020·开封一模]已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时求出满足题意的选项即可．【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A＝2时，n能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C．故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差12.[2020·海淀八模]小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，根据题意列出有序实数对（x，y）满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案．【详解】假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，如图所示；∴小李需要去快递柜收取商品的概率为P．故选：D．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.[2020·孝昌一中]某学校有300名教职工，现要用系统抽样的方法从中抽取50名教职工．将全体教职工按1-300编号，并按编号顺序平均分为50组（1-6号，7-12号，…，295-300号），若第3组抽出的号码是15，则第6组抽出的号码为_____．【答案】33【解析】【分析】由系统抽样的知识计算出第6组抽出的号码【详解】1～300编号，平均分为50组，则每组6个号，第3组抽出的号码是15，则第6组抽出的号码为故答案为33【点睛】本题主要考查了系统抽样，运用系统抽样的知识来求出结果，较为简单。
湖北省十堰市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷含解析
湖北省十堰市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．下列各式属于最简二次根式的有（ ） A ．8B ．21x +C ．3yD ．124．一次函数()()y m 1x m 2=-+-的图象上有点()11M x ,y 和点()22N x ,y ，且12x x >，下列叙述正确的是( )A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则12y y <B ．该函数图象必经过点()1,1--C ．无论m 为何值，该函数图象一定过第四象限D ．该函数图象向上平移一个单位后，会与x 轴正半轴有交点5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径弧AC 的长为（ ）A ．3π2B ．πC ．2πD ．3π6．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）7．－10－4的结果是（ ）A ．－7B ．7C ．－14D ．138．甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．甲的速度是70米/分B ．乙的速度是60米/分C ．甲距离景点2100米D ．乙距离景点420米9．下列图形中，周长不是32 m 的图形是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--o11．（2011•雅安）点P 关于x 轴对称点为P 1（3，4），则点P 的坐标为（ ） A ．（3，﹣4） B ．（﹣3，﹣4） C ．（﹣4，﹣3） D ．（﹣3，4）12．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ） A ．70.2110⨯B ．62.110⨯C ．52110⨯D ．72.110⨯二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m ）分别为：2.21，2.12，2.1，2.39，2.1，2.40，2.1．这组数据的中位数和众数分别是_____．14．已知圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角 °． 15．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____． 16．将数字37000000用科学记数法表示为_____．17．如图为两正方形ABCD 、CEFG 和矩形DFHI 的位置图，其中D ，A 两点分别在CG 、BI 上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI 的面积是_____．18．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=10，AC=6，则DF 的长为__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m 分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表． 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 60≤m ＜70 38 0.38 70≤m ＜80 a 0.32 80≤m ＜90 b c 90≤m≤100 10 0.1 合计1请根据以上信息，解决下列问题：（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．20．（6分）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．21．（6分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；若∠1=40°，求∠BDE的度数．22．（8分）如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．（问题）如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连结AE，求证：AB＝DE．（探究）如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连结AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．（应用）在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE 的面积．23．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，作ED ⊥EB 交AB 于点D ，⊙O 是△BED 的外接圆．求证：AC 是⊙O 的切线；已知⊙O 的半径为2.5，BE=4，求BC ，AD 的长．24．（10分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建．如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途径C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走多少千米？开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）25．（10分）先化简，再求值：22m 35m 23m 6m m 2-⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中m 是方程2x 3x 10++=的根． 26．（12分）已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值. 27．（12分）综合与探究： 如图1，抛物线y=﹣33x 22333与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （03． （1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A′，连接F A′、BA′，设直线l 的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；C、主视图，俯视图均为圆，故C选项错误；D、主视图为矩形，俯视图为三角形，故D选项错误.故选：B.2．D【解析】从正面看，共2列，左边是1个正方形，右边是2个正方形，且下齐．故选D.3．B【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．A =A 选项错误；B 是最简二次根式，故B 选项正确；C =D =D 选项错误； 故选：B ． 【点睛】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 4．B 【解析】 【分析】利用一次函数的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论． 【详解】解：一次函数()()y m 1x m 2=-+-的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，则m 10->，m 20->，若12x x >，则12y y >，故A 错误；把x 1=-代入()()y m 1x m 2=-+-得，y 1=-，则该函数图象必经过点()1,1--，故B 正确； 当m 2>时，m 10->，m 20->，函数图象过一二三象限，不过第四象限，故C 错误；函数图象向上平移一个单位后，函数变为()()y m 1x m 1=-+-，所以当y 0=时，x 1=-，故函数图象向上平移一个单位后，会与x 轴负半轴有交点，故D 错误， 故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 5．A 【解析】 【分析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可． 【详解】解：∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ， ∴∠AOC ＝90°，∴点A经过的路径弧AC的长＝903180π⨯=3π2，故选：A．【点睛】此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．6．C【解析】试题分析：=，∴点M（m，﹣m2﹣1），∴点M′（﹣m，m2+1），∴m2+2m2﹣1=m2+1．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．考点：二次函数的性质．7．C【解析】解：－10－4=－1．故选C．8．D【解析】【分析】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可.【详解】甲的速度=4206=70米/分，故A正确，不符合题意；设乙的速度为x米/分．则有，660+24x-70×24=420，解得x=60，故B正确，本选项不符合题意，70×30=2100，故选项C正确，不符合题意，24×60=1440米，乙距离景点1440米，故D错误，故选D．【点睛】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．9．B【解析】【分析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.10．A【解析】【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 11．A【解析】∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P的坐标为（3，﹣4）．故选A．12．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】210万=2100000，2100000=2.1×106，故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2.40，2.1．【解析】∵把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.1，2.1，2.1．∴它们的中位数为2.40，众数为2.1．故答案为2.40，2.1．点睛:本题考查了中位数和众数的求法，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数.14．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积即可求出圆心角的度数．解：∵侧面积为15πcm2，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×3×l=15π，解得：l=5，∴扇形面积为15π=，解得：n=1，∴侧面展开图的圆心角是1度．故答案为1．考点：圆锥的计算．15．2【解析】分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．详解：根据三角形的三边关系，得第三边＞4，而＜1．又第三条边长为整数，则第三边是2．点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．16．3.7×107【解析】【分析】根据科学记数法即可得到答案.【详解】数字37000000用科学记数法表示为3.7×107.【点睛】本题主要考查了科学记数法的基本概念，解本题的要点在于熟知科学记数法的相关知识.17．87 2【解析】【分析】由题意先求出DG和FG的长，再根据勾股定理可求得DF的长，然后再证明△DGF∽△DAI，依据相似三角形的性质可得到DI的长，最后依据矩形的面积公式求解即可．【详解】∵四边形ABCD、CEFG均为正方形，∴CD=AD=3，CG=CE=5，∴DG=2，在Rt△DGF中，DF=22DG FG+=222529+=，∵∠FDG+∠GDI=90°，∠GDI+∠IDA=90°，∴∠FDG=∠IDA．又∵∠DAI=∠DGF，∴△DGF∽△DAI，∴23DF DGDI AD==，即2923DI=，解得：DI=3292，∴矩形DFHI的面积是=DF•DI=32987 2922⨯=，故答案为：872．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解题的关键．18．1【解析】【详解】试题分析：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）=1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）0.2；（2）答案见解析；（3）300【解析】【分析】第一问，根据频率的和为1，求出c的值；第二问，先用分数段是90到100的频数和频率求出总的样本数量，然后再乘以频率分别求出a和b的值，再画出频数分布直方图；第三问用全市征文的总篇数乘以80分以上的频率得到全市80分以上的征文的篇数.【详解】解：（1）1﹣0.38﹣0.32﹣0.1=0.2，故答案为0.2；（2）10÷0.1=100，100×0.32=32，100×0.2=20，补全征文比赛成绩频数分布直方图：（3）全市获得一等奖征文的篇数为：1000×（0.2+0.1）=300（篇）．【点睛】掌握有关频率和频数的相关概念和计算，是解答本题的关键.20．（1）证明见解析；（2；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；（2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由12MF MNAB BC==即可得证．详解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵AB DBNBE ABN BN BN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=±10（负值舍去）， ∴（3）∵F 是AB 的中点，∴在Rt △MAB 中，MF=AF=BF ，∴∠MAB=∠FMN ，又∵∠MAB=∠CBD ，∴∠FMN=∠CBD ， ∵12MF MN AB BC ==， ∴12MF MN BD BC ==， ∴△MFN ∽△BDC ．点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．21．（1）见解析；（1）70°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；（1）由（1）可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE 的度数.【详解】证明：（1）∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠1．又∵∠1=∠1，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（1）∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ．在△EDC 中，∵EC=ED ，∠1=40°，∴∠C=∠EDC=70°，∴∠BDE=∠C=70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.22．【问题】：详见解析；【探究】：四边形ABPE 是平行四边形，理由详见解析；【应用】：8.【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质和等量代换得出∠1＝∠3，再利用中线性质得到BD ＝DC ，证明△ABD ≌△EDC ，从而证明AB ＝DE （2）方法一：过点D 作DN ∥PE 交直线CF 于点N ，由平行线性质得出四边形PDNE 是平行四边形，从而得到四边形ABPE 是平行四边形.方法二: 延长BP 交直线CF 于点N ，根据平行线的性质结合等量代换证明△ABP ≌△EPN ，从而证明四边形ABPE 是平行四边形（3）延长BP 交CF 于H ，根据平行四边形的性质结合三角形的面积公式求解即可.【详解】证明：如图①12,42313DG ABB CF AD∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∠=∠Q Q ‖‖AD Q 是ABC V 的中线，BD DC ∴＝，ABD EDC V V ≌，∴ AB DE ∴＝．（或证明四边形ABDE 是平行四边形，从而得到AB DE ＝．）【探究】四边形ABPE 是平行四边形．方法一：如图②，证明：过点D 作DN PE P 交直线CF 于点N ，CF AD Q P ，∴四边形PDNE 是平行四边形，PE DN ∴＝，∵由问题结论可得 AB DN ＝，PE AB ＝，∴ ∴四边形ABPE 是平行四边形．方法二：如图③，证明：延长BP 交直线CF 于点N ，PG AB Q P ，1254＝，＝，∠∠∠∠∴ CF AD Q P ，23∠∠∴＝，13∠∠∴＝，∵AD 是ABC V 的中线，CF AD P ，BP PN ∴＝，ABP EPN V V ≌，∴ AB PE ∴＝，∴四边形ABPE 是平行四边形．【应用】如图④，延长BP 交CF 于H ．由上面可知，四边形ABPE是平行四边形，AE BH∴P，PA EH∴P，∴四边形APHE是平行四边形，PA EH∴＝，BD DC DP CHQ P＝，，BP PH∴＝，CH2PD∴＝，AP PDQ＝，EC3PA∴＝，PA ECQ P，PM PA1EM EC3∴==，S AEM3S APM3∴V V＝＝，S ABP S APE4∴V V＝＝，S ABPE8∴平行四边形＝．【点睛】此题重点考查学生对平行线性质，平行四边形性质的综合应用能力，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）BC=165，AD=457．【解析】分析：（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；（2）证△BDE∽△BEC得BD BEBE BC=，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得AO OEAB BC=，据此可得AD的长．详解：（1）如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴BD BEBE BC=，即54=4BC，∴BC=165；∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴AO OEAB BC=，即2.5 2.51655ADAD+=+，解得：AD=457．点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．24．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【详解】解：（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，∵AB ⊥CD ，sin30°=CD BC ，BC=80千米， ∴CD=BC•sin30°=80×1402=（千米）， AC=40=402sin 4522CD =︒（千米）， AC+BC=80+402≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=BD BC，BC=80（千米）， ∴BD=BC•cos30°=80×34032=（千米）， ∵tan45°=CD AD，CD=40（千米）， ∴AD=4040tan 451CD ==︒（千米）， ∴AB=AD+BD=40+403≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC+BC ﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为27.2千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．25．原式=()()()()()22m 3m 9m 3m 211 3m m 2m 23m m 2m 3m 33m m 33(m 3m)----÷=⋅==---+-++． ∵m 是方程2x 3x 10++=的根．∴，即2m 3m 1+=-，∴原式=()11=313-⨯-． 【解析】试题分析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m 是方程2x 3x 10++=的根，那么，可得2m 3m +的值，再把2m 3m +的值整体代入化简后的式子，计算即可．试题解析：原式=()()()()()22m 3m 9m 3m 211 3m m 2m 23m m 2m 3m 33m m 33(m 3m)----÷=⋅==---+-++. ∵m 是方程2x 3x 10++=的根．∴，即2m 3m 1+=-，∴原式=()11=313-⨯-. 考点:分式的化简求值；一元二次方程的解．26．（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解析】【分析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=， 由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-， 即AC 2m 1=-.解方程()2x m m 3+=，得m x 2=， 即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时， 则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=. 综上可得，4m 7=或1. 【点睛】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C 点的位置，避免漏解是解题关键.27．（1）A （﹣1，0），B （3，0），y=33（2）①A′（32t﹣1t）；②A′BEF为菱形，见解析；（3）存在，P点坐标为（5373）．【解析】【分析】（1）通过解方程﹣3x20得A（−1，0），B（3，0），然后利用待定系数法确定直线l的解析式；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图2，利用OA＝1，OD得到∠OAD＝60°，再利用平移和对称的性质得到EA＝EA′＝t，∠A′EF＝∠AEF＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A′H，EH 即可得到A′的坐标；②把A′（32t−1，2t）代入y＝−3x2＋3x−3（32t−1）2＋3（32t−1）2t，解方程得到t＝2，此时A′点的坐标为（2，E（1，0），然后通过计算得到AF＝BE＝2，A′F∥BE，从而判断四边形A′BEF为平行四边形，然后加上EF＝BE可判定四边形A′BEF为菱形；（3）讨论：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，利用点A′和点B的横坐标相同得到32t−1＝3，解方程求出t得到A′（3，3），再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A′B⊥EA′，如图4，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，先确定此时A′点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标．【详解】（1）当y=02=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），D（0{k bb-+==，解得{kb==∴直线l的解析式为y=；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，∵OA=1，OD=3，∴∠OAD=60°，∵EF∥AD，∴∠AEF=60°，∵点A 关于直线l的对称点为A′，∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，A′H=3EH=3t，∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，∴A′（32t﹣1，3t）；②把A′（32t﹣1，32t）代入y=﹣33x2+233x+3得﹣33（32t﹣1）2+233（32t﹣1）+3=32t，解得t1=0（舍去），t2=2，∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），∵∠OEF=60°∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，∴F（0，3），∴A′F∥x轴，∵A′F=BE=2，A′F∥BE，∴四边形A′BEF为平行四边形，而EF=BE=2，∴四边形A′BEF为菱形；（3）存在，如图：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，433），∵OE=t﹣1=53，∴此时P点坐标为（53，433）；当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，∵∠AEA′=120°，∴∠A′EB=60°，∴∠EBA′=30°∴33332t，∴32t﹣1+32t=3，解得t=43，此时A′（123），E（13，0），点A′向左平移23个单位，向下平移23个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移23个单位，向下平移23个单位得到点P，则P（7323，综上所述，满足条件的P点坐标为（53，33）或（73，﹣233）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．。
湖北高一高中数学月考试卷带答案解析
湖北高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合的非空真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.函数的图象与直线的交点有几个 （ ）A ．B ．C ．或D ．或3.下列函数中与函数是同一个函数的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4.函数在上为增函数，则实数取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知 ，则f{f[f （－3）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．96.设，则 （ ）A ．B ．C ．D ．7.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为（ ）．A ．－2，－，，2 B ．2，，－，－2C ．－，－2,2，D ．2，，－2，－8.下列区间中，函数存在零点的区间是（ ） A ．B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）9.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（）．A．①②B．①③C．①④D．③④10.指数函数在上的最大值与最小值的和为3，则（）A．B．2C．4D．11.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则f（x）＜0的解集为（）A．（－2,0）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（0,2）C．（－2,0）D．（－2,0）∪（0,2）12.（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域为．2.已知幂函数的图象过点，则为．3.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，，则当时函数的解析式为．4.已知函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是．三、解答题1.（本题满分8分）已知集合，求：（1）；（2）．2.（本题满分8分）化简求值：（1）;（2）．3.（本题满分8分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果每提高单价1元，那么销售量Q（件）会减少20，设每件商品售价为（元）；（1）请将销售量Q（件）表示成关于每件商品售价（元）的函数；（2）请问当售价（元）为多少，才能使这批商品的总利润（元）最大？4.（本题满分8分）已知函数，，求：（1）求的取值范围； （2）求的值域．5.（本题满分12分）已知函数的图象经过点，．（1）求函数的解析式；（2）写出函数的定义域，并判断其奇偶性；（3）当t ＞时，求函数在区间上的最小值6.（本题满分12分）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f （）＝f （x 1）－f （x 2），且当x>1时f （x ）>0，若f （3）＝1． （1）判断f （x ）的单调性； （2）解关于的不等式；（3）若对所有恒成立,求实数．湖北高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合的非空真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】集合的非空真子集有共3个,故选B【考点】集合的子集2.函数的图象与直线的交点有几个 （ ） A ． B ． C ．或D ．或【答案】C【解析】由函数的概念，每一个自变量的值都有唯一的函数值与之对应，因此若函数定义域包含则对应的函数值只有一个，即图像只有一个交点，若函数定义域不包含则图像无交点，故选C 【考点】函数的概念3.下列函数中与函数是同一个函数的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】原函数定义域R ，A 中函数与原函数定义域相同，对应关系相同，因此是同一函数；B 中函数与原函数定义域不同；C 中函数与原函数定义域不同；D 中函数与原函数对应关系不同，故选A 【考点】判断两函数是否为同一函数4.函数在上为增函数，则实数取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】二次函数对称轴为，单调增区间为，已知函数在上为增函数可得，故选C【考点】二次函数单调性【方法点睛】求解此类题目一般有两种思路：其一，当函数的单调区间比较容易求时（如函数为二次函数，指数函数，对数函数等模型的形式）可以结合基本初等函数性质首先求得其单调区间，将题目中给定的区间与单调区间对比，确定子集关系，从而得到参数范围；其二，利用函数的导数与单调区间的关系，如函数在区间上为增函数（减函数），则有在该区间上恒成立，转化为不等式恒成立问题5.已知 ，则f{f[f （－3）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．9【答案】C【解析】分段函数求值时将自变量代入相应的函数式，，故选C【考点】分段函数求值 6.设，则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由指数函数的单调性可知，由指数函数的单调性可知，由对数函数单调性可知，故选A【考点】函数单调性比较大小7.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为（ ）．A ．－2，－，，2 B ．2，，－，－2C ．－，－2,2，D ．2，，－2，－【答案】B 【解析】函数中令得到的函数值一次为，函数值由大到小对应的解析式为因此相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，，－，－2，故选B【考点】幂函数性质8.下列区间中，函数存在零点的区间是（）A．B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】D【解析】，函数零点在区间（2，3）内，故选D【考点】零点存在性定理9.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（）．A．①②B．①③C．①④D．③④【答案】B【解析】二分法求函数零点值需满足在零点的两侧函数值正负号相反，即零点两侧函数值一正一负，因此图中①③零点不能用二分法求解，故选B【考点】二分法求零点10.指数函数在上的最大值与最小值的和为3，则（）A．B．2C．4D．【答案】B【解析】当时函数为增函数，在处函数取得最小值和最大值，当时函数为减函数，在处函数取得最大值和最小值，因此最值之和为，故选B【考点】指数函数单调性与最值11.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则f（x）＜0的解集为（）A．（－2,0）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（0,2）C．（－2,0）D．（－2,0）∪（0,2）【答案】A【解析】函数为加奇函数，图像关于原点对称，在（－∞，0）内是减函数，所以在上也是减函数，，由图像可知当的解集为或，用区间表示为（－2,0）∪（2，＋∞），故选A【考点】函数奇偶性单调性解不等式【方法点睛】不等式的解集即为使函数函数值为负值的自变量的取值范围，因此可作出函数图像，通过观察图像求解，结合奇函数关于原点对称的性质可由（－∞，0）上的单调递减得到（0，+∞）上的单调递减，由函数过得到函数过，借此即可作出图像，与此题在已知条件基础上可改编为求或的解集12.（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将两式相加得恒成立，故选D【考点】整理代换代数式求值【方法点睛】本题中由已知关系式中的次数最高为3次，因此直接解方程组有一定的困难，因此考虑将已知两关系式进行拼凑使其出现项，结合两式中出现与，因此考虑到两式相加得，进而需将结合立方和公式转化出项来表示，从而通过提取公因式的方法使方程次数降低，达到求解的目的二、填空题1.函数的定义域为．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足，所以函数定义域为【考点】函数定义域2.已知幂函数的图象过点，则为．【答案】【解析】由题意可知【考点】幂函数求值3.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，，则当时函数的解析式为．【答案】【解析】当时，代入函数解析式，得，由函数是奇函数可得，两式结合得【考点】奇偶性求函数解析式【方法点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，求当时函数的解析式时需将转化为，此时满足已知函数自变量的取值范围，代入函数式得到函数式，借助于奇函数得，两式相结合可求得时的函数解析式，在本题的基础上可改变拓展为：函数是定义在R上的函数，关于点对称，当时，求当时函数的解析式4.已知函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是．【答案】【解析】方程有转化为或共有三个解，其中由函数的性质可知当时始终有一个解，因此需满足有两个解，考察函数在的性质，当时函数取得最小值，所以的取值范围是【考点】1．函数图像与性质；2．方程与函数的转化【方法点睛】有关于方程的根的个数问题常将其转化为两函数图像交点个数问题，本题中方程有三个解转化为函数有三个交点，通过作出两函数图像，观察图像得到满足的条件，题目求解中要求掌握对数函数，二次函数的基本性质，如单调性，值域等，此类题目已知条件方程有三个不等的实根可转化为另一说法：函数有三个不同的零点三、解答题1.（本题满分8分）已知集合，求：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】两集合A,B的交集为两集合中所有相同的元素构成的集合，集合A的补集为全集中除去集合A中的元素，剩余的元素构成的集合，与B的并集为在A的补集或B中的所有元素构成的集合试题解析：（1）（2），【考点】集合的交并补运算2.（本题满分8分）化简求值：（1）;（2）．【答案】（1）1（2）1【解析】（1）指数式化简一般将底数整理为幂指数形式，然后再利用指数式运算公式，化简；（2）对数式化简一般将真数化为幂指数或者将对数的系数转化到真数位置，然后利用对数运算公式化简试题解析：（1）（2）【考点】指数式对数式运算法则3.（本题满分8分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果每提高单价1元，那么销售量Q（件）会减少20，设每件商品售价为（元）；（1）请将销售量Q（件）表示成关于每件商品售价（元）的函数；（2）请问当售价（元）为多少，才能使这批商品的总利润（元）最大？【答案】（1），（2）故当时总利润最大【解析】（1）销售量在原销售量400的基础上，减去价格上引起的减少量即可得到与售价的函数关系式（2）总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，利用公式法可得二次函数的最值，减去原价即为提高的售价试题解析：（1）（2）（）二次函数对称轴为由二次函数性质可知当时总利润最大…8分【考点】二次函数的实际应用4.（本题满分8分）已知函数，，求：（1）求的取值范围；（2）求的值域．【答案】（1）（2）【解析】（1）求的取值范围即求函数在定义域下的值域，求解时结合函数单调性可得到其最值；（2）利用对数运算法则将函数式整理变形为关于的二次函数，结合的范围即二次函数的定义域求解函数的值域试题解析：（1）设，结合函数为增函数，当，，所以的取值范围为（2）设则，结合二次函数对称轴可得函数值域为【考点】1．对数函数单调性及最值；2．二次函数单调性及最值5.（本题满分12分）已知函数的图象经过点，．（1）求函数的解析式；（2）写出函数的定义域，并判断其奇偶性；（3）当t ＞时，求函数在区间上的最小值【答案】（1）（2）奇函数（3）【解析】（1）将函数过的点代入函数式即可求得参数值，从而得到解析式；（2）由求得的函数式确定定义域，判断奇偶性只需判断是否成立；（3）求函数在区间上的最值首先考虑该区间上的单调性，结合单调性即可确定函数的最大值和最小值，本题中确定单调性时需对分情况讨论 试题解析：（1），（2）定义域为…6分，故为奇函数…8分（3），设=当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数；…10分……12分（无单调性证明、无分类讨论等适当扣分）【考点】1．求函数解析式；2．函数奇偶性；3．函数单调性与最值【方法点睛】本题主要考察了求待定系数法求函数解析式，函数奇偶性的判断，函数最值等知识，其中求解析式只需将函数过的点代入即可求得参数值，得到解析式，在判断函数奇偶性前先要看定义域是否对称，只有在定义域对称的前提下才判断是否成立，从而得到奇偶性，函数的奇偶性有4中情况：非奇非偶，奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，在求解函数在区间上的最小值时先要确定该区间单调性，确定单调性可采用定义的方法或结合对勾函数性质，通过讨论不同的的范围得到不同的单调区间6.（本题满分12分）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f （）＝f （x 1）－f （x 2），且当x>1时f （x ）>0，若f （3）＝1． （1）判断f （x ）的单调性； （2）解关于的不等式；（3）若对所有恒成立,求实数． 【答案】（1）递增；（2）；（3）【解析】（1）判断函数单调性一般采用定义法，定义域上任取，判断的正负，当时函数递增，当函数递减；（2）由可得到，不等式转化，借助于函数单调性可求得的范围；（3）将不等式恒成立转化为求函数的最大值，通过函数单调性可得到最大值为，即恒成立试题解析：（1）设时，所以函数为增函数（2）中令，不等式转化为，由函数为增函数可得，不等式解集为（3）函数在上是递增函数，因此最大值为，所以不等式恒成立转化为对所有恒成立，恒成立，设，所以需满足，解不等式得【考点】1．函数单调性的判定；2．函数单调性解不等式；3．不等式恒成立问题；4．不等式与函数的转化【方法点睛】本题中的函数为抽象函数，判断其单调性一般采用定义法，在定义域上任取，通过判断的正负来得到函数的单调性，抽象函数构成的不等式的求解一般采用单调性求解，转化时首先将不等式变形为或，借助于函数为增函数得到的不等式或，从而得到的取值范围，在求解不等式恒成立问题时，一般将不等式变形转化为求函数最值，本题中首先求得函数的最大值，不等式化为恒成立，此时分离参数的方法不适合，因此转化为关于的一次函数，利用函数性质求解实数的范围。
湖北省十堰市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
湖北省十堰市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）A．13B．23C．12D．252．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定3．若关于x的不等式组221x mx m->⎧⎨-<-⎩无解，则m的取值范围（）A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3D．m≥34．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是( )A．10 B．11 C．12 D．136．为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位C︒：﹣6，﹣1，x，2，﹣1，1．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣1 7．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )A．49B．13C．16D．198．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）9．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（ ） A ．0.4×108B ．4×108C ．4×10﹣8D ．﹣4×10810．下面计算中，正确的是（ ） A ．（a+b ）2=a 2+b 2 B ．3a+4a=7a 2 C ．（ab ）3=ab 3 D ．a 2•a 5=a 7 11．计算111xx x ---结果是( ) A ．0B ．1C ．﹣1D ．x12．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A ，B 在围成的正方体中的距离是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．二次根式2x -在实数范围内有意义，x 的取值范围是_____．14．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD ，使AD=1，则∠CAD 的度数为_____°．15．如果75x 3n y m+4与﹣3x 6y 2n 是同类项，那么mn 的值为_____．16．计算：2111x x x+=--___________.17．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________.18．王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜_________袋三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x 轴交于点C ．求双曲线解析式；点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为5，求点P 的坐标.20．（6分）如图，在△ABC 中，AB AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线BM 交AE 于点M ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点M ，交BC 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，求线段BG 的长．21．（6分） (y ﹣z)1+(x ﹣y)1+(z ﹣x)1＝(y+z ﹣1x)1+(z+x ﹣1y)1+(x+y ﹣1z)1． 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值．22．（8分）如图，已知AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC ．求证：CD 是⊙O 的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．23．（8分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，若2OA OB OC OD ==== AB ，求证：四边形 ABCD 是正方形24．（10分）如图，直线:3l y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，且与双曲线ky x=的一个交点为(1,)B m -，将直线l 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到一个“V ”形折线AMN 的新函数．若点P 是线段BM 上一动点（不包括端点），过点P 作x 轴的平行线，与新函数交于另一点C ，与双曲线交于点D ．（1）若点P 的横坐标为a ，求MPD V 的面积；（用含a 的式子表示） （2）探索：在点P 的运动过程中，四边形BDMC 能否为平行四边形？若能，求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．25．（10分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．画出△AOB 平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD 的方向，平移的距离为AD 的长．观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．26．（12分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A ），豆沙粽子（记为B ），肉粽子（记为C ），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．根据以上情况，请你回答下列问题：假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率． 27．（12分）如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D .（1）求证：AO 平分BAC ∠； （2）若6BC =，3sin 5BAC ∠=，求AC 和CD 的长. 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 【分析】本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算. 【详解】①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为23，第二次，摸到白球的概率为12，则有211323⨯＝；②若第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为13，第二次摸到白球的概率为1，则有11133⨯＝，则两次摸到的球的颜色不同的概率为112333+＝. 【点睛】掌握分类讨论的方法是本题解题的关键. 2．D 【解析】 【分析】 由于中奖概率为13，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生． 【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定. 故选D ． 【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：()P A 0=①，为不可能事件； ()P A 1=②为必然事件； ()0P A 1③<<为随机事件．3．C 【解析】 【分析】根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m -1，即可得出m 的取值范围． 【详解】221x m x m ->⎧⎨-<-⎩①② ， 由①得：x ＞2+m ， 由②得：x ＜2m ﹣1， ∵不等式组无解， ∴2+m≥2m ﹣1， ∴m≤3， 故选C ． 【点睛】考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则得出是解题关键． 4．D 【解析】【分析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可． 【详解】由图可知，OA=10，OD=1，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=1，=， ∴tan ∠1=ADOD=1=60°， 同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°， ∴∠C=60°， ∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.5．B【解析】【分析】根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决．【详解】由统计图可得，本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11，故选B．【点睛】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．6．A【解析】根据题意可知x=-1，平均数=（-6-1-1-1+2+1）÷6=-1，∵数据-1出现两次最多，∴众数为-1，极差=1-（-6）=2，方差=16[（-6+1）2+（-1+1）2+（-1+1）2+（2+1）2+（-1+1）2+（1+1）2]=2．故选A．7．D【解析】试题分析：列表如下由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是19．故答案选D．考点：用列表法求概率．8．C【解析】【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．9．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【详解】0.000 000 04=4×10-8,故选C【点睛】此题考查科学记数法，难度不大10．D【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】A. (a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项错误；B. 3a+4a=7a，故此选项错误；C. (ab)3=a3b3，故此选项错误；D. a2⋅a5=a7，正确。
湖北省十堰市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
湖北省十堰市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于H ，则DH=（ ）A ．245B ．125C ．12D ．242．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）A ．4π-B ．πC ．12π+D ．π154+ 3．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为( )A ．B ．C ．D ．4．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°5．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.1，所以“罚球命中”的概率是0.1．其中合理的是（）A．①B．②C．①③D．②③7．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A．(3，2) B．(4，1) C．(4，3) D．(4，23)9．某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（）. A．众数B．中位数C．平均数D．方差10．式子2x1x1+-有意义的x的取值范围是（）A．1x2≥-且x≠1B．x≠1C．1x2≥-D．1x>2-且x≠111．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积是（）A．无法求出B．8 C．8πD．16π12．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC 的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣14=0有实数根，则a的取值范围为________．14．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）A．B．C．D．15．如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为_____（结果保留π）16．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且1tan3EAC∠=，则BE的长为__________．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.18．如图，在O e 中，AB 为直径，点C 在O e 上，ACB ∠的平分线交O e 于D ，则ABD ∠=______.o三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了传承祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.九宫格20．（6分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m ＝162﹣3x ．请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．21．（6分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，现对A 1，A 2，A 3，A 4统计后，制成如图所示的统计图．求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；将条形统计图补充完整，并求出A 1所在扇形的圆心角的度数；现从A 1，A 2中各选出一人进行座谈，若A 1中有一名女生，A 2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．22．（8分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．24．（10分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM的仰角α=37°，此时把手端点A、出水口B和点落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2.（参考数据：sin37°= 35，cos37°=45，tan37°=34）(1)求把手端点A到BD的距离；(2)求CH的长.25．（10分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？26．（12分）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．27．（12分）如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】【详解】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=12AC=12×8=4，BO=12BD=12×6=3，由勾股定理的，AB=22AO BO+=2243+=5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=12 AC•BD，即5DH=12×8×6，解得DH=245．故选A．【点睛】本题考查菱形的性质．2．C【解析】【分析】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积．【详解】解：如图：∵正方形的面积是：4×4=16；扇形BAO 的面积是：229013603604n r πππ⨯⨯==， ∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×4π=4-π，∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-（4-π）=12+π，故选C ．【点睛】本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键．3．C【解析】试题分析：通过图示可知，要想通过圆，则可以是圆柱、圆锥、球，而能通过三角形的只能是圆锥，综合可知只有圆锥符合条件.故选C4．B【解析】【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：3点40分时针与分针相距4+2060=133份， 30°×133=130， 故选B ．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．5．C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.【详解】A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误．故选C ．考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形6．B【解析】【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题【详解】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.2附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.2．故②正确；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.1，但是“罚球命中”的概率不是0.1，故③错误．故选：B ．【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.7．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状8．D【解析】【分析】由已知条件得到AD′=AD=4，AO=12AB=2，根据勾股定理得到 ，于是得到结论．【详解】解：∵AD′=AD=4， AO=12AB=1，∴，∵C ′D′=4，C′D′∥AB ，∴C′（4，），【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键．9．B【解析】分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选B ．点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数 10．A【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x 1x 1+-在实数范围内有意义，必须12x 10x 1{{x 2x 102x 1+≥≥-⇒⇒≥--≠≠且x 1≠．故选A ． 11．D【解析】试题分析：设AB 于小圆切于点C ，连接OC ，OB ．∵AB 于小圆切于点C ，∴OC ⊥AB ，∴BC=AC=12AB=12×8=4cm ． ∵圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）又∵直角△OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴圆环（阴影）的面积=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）=π•BC 2=16π．故选D ．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．12．C【解析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．a≥﹣1且a≠1【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠1且△=（﹣1）2﹣4a•（﹣14）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得a≠1且△=（﹣1）2﹣4a•（﹣14）≥1，解得：a≥﹣1且a≠1．故答案为a≥﹣1且a≠1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．14．B【解析】【分析】过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．【详解】解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP，∵△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴三角形PBC的面积=12三角形ABC的面积=12cm1，选项中只有B的长方形面积为12cm1，故选B．15．18π【解析】【分析】根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可．【详解】解：∵正六边形的内角为(62)1806-⨯＝120°，∴扇形的圆心角为360°−120°＝240°，∴“三叶草”图案中阴影部分的面积为224033360π⨯⨯＝18π，故答案为18π．【点睛】此题考查正多边形与圆，关键是根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和解答．16．3或1【解析】【分析】菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，由菱形的性质及勾股定理可得AC⊥BD，BO=4，分当点E 在对角线交点左侧时（如图1）和当点E在对角线交点左侧时（如图2）两种情况求BE得长即可．【详解】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，222253AB AO-=-=4，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，222253AB AO-=-，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=1，故答案为3或1．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决问题时要注意分当点E在对角线交点左侧时和当点E在对角线交点左侧时两种情况求BE得长．17．6【解析】【分析】根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=12AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=12AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=12CD·PD可得.【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴AC=BC，∵CD⊥AB ，∴AD=BD=CD=12 AB，∵AP2-PB2=48 ，∴(AP+PB)(AP-PB)=48， ∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48， ∴2CD·2PD=48， ∴CD·PD=12， ∴ △PCD 的面积=12CD·PD=6. 故答案为6. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一 18．1 【解析】 【分析】由AB 为直径，得到ACB 90∠=o ，由因为CD 平分ACB ∠，所以ACD 45∠=o ，这样就可求出ABD ∠． 【详解】解：AB Q 为直径，ACB 90∠∴=o ，又CD Q 平分ACB ∠，ACD 45∠∴=o ，ABD ACD 45o ∠∠∴==．故答案为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了直径所对的圆周角为90度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）12；（2）14【解析】试题分析：（1）利用概率公式直接计算即可；（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率． 试题解析：（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率=，故答案为；（2）画树形图得：由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率=．考点：列表法与树状图法；概率公式．20．（1）y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【解析】【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【详解】（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣2）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣2）．又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣2）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣1．∵x﹣2≥0，∴x≥2．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴2≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣1=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．21．（1）15人;(2)补图见解析.（3）1 2 .【解析】【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率．【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；（2）A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A1所在圆心角度数为：215×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=31 62 .【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．22．1 2【解析】【分析】过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=2，进而求出PE=4，AE=5，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°．在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°．∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=1．∴0.75PD﹣0.50PD=1，解得PD=2．∴BD=PD•tan26.6°≈2×0.50=3．∵OB=220，∴PE=OD=OB﹣BD=4．∵OE=PD=2，∴AE=OE﹣OA=2﹣200=5．∴PE60tanAE12120α===．23．（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）（﹣32，154）【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（0，1），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+1，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+1），E点的坐标为（x，x+1），那么PE=（-x2-2x+1）-（x+1）=-（x+32）2+94，根据二次函数的性质可知当x=-32时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-32代入-x2-2x+1，进而得到P点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），∴9a-3b+c=0 {c=3a+b+c=0，解得a=-1 {b=-2 c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）∵A（﹣1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形， ∴PE 越大，△PDE 的周长越大． 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则-3k+b=0{b=3，解得k=1{b=3， 即直线AB 的解析式为y=x+1．设P 点的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+1），E 点的坐标为（x ，x+1）， 则PE=（﹣x 2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x 2﹣1x=﹣（x+32）2+94，所以当x=﹣32时，PE 最大，△PDE 的周长也最大． 当x=﹣32时，﹣x 2﹣2x+1=﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+1=154，即点P 坐标为（﹣32，154）时，△PDE 的周长最大．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中． 24．（1）12；（2）CH 的长度是10cm ． 【解析】 【分析】(1)、过点A 作AN BD ⊥于点N ，过点M 作MQ AN ⊥于点Q ，根据Rt △AMQ 中α的三角函数得出得出AN 的长度；(2)、根据△ANB 和△AGC 相似得出DN 的长度，然后求出BN 的长度，最后求出GC 的长度，从而得出答案． 【详解】解：(1)、过点A 作AN BD ⊥于点N ，过点M 作MQ AN ⊥于点Q.在t R AMQ ∆中，310,sin 5AB α==. ∴35AO AB =， ∴365AO AB ==，∴12AN =.(2)、根据题意：NB ∥GC . ∴ANB AGC ∆~∆. ∴BN ANGC AG=. ∵8MQ DN ==， ∴4BN DB DN =-=. ∴41236GC =. ∴12GC =.∴3081210CH =--=. 答：CH 的长度是10cm .点睛：本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题． 25．（1）S=﹣3x 1+14x ，143≤x< 8；（1） 5m ；（3）46.67m 1 【解析】 【分析】（1）设花圃宽AB 为xm ，则长为（14-3x ），利用长方形的面积公式，可求出S 与x 关系式，根据墙的最大长度求出x 的取值范围；（1）根据（1）所求的关系式把S=2代入即可求出x ，即AB ； （3）根据二次函数的性质及x 的取值范围求出即可. 【详解】解：（1）根据题意，得S ＝x （14﹣3x ）， 即所求的函数解析式为：S ＝﹣3x 1+14x ，又∵0＜14﹣3x≤10，∴1483x≤＜；（1）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），∴﹣3x1+14x＝2．整理，得x1﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，长＝14﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，长＝14﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m；（3）S＝14x﹣3x1＝﹣3（x﹣4）1+48∵墙的最大可用长度为10m，0≤14﹣3x≤10，∴1483x≤＜，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143m，有最大面积的花圃．【点睛】二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.26．(1) 抛物线的解析式为y=13x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是814，点P（92，﹣54）；(3) Q（4,1）或（-3，1）. 【解析】【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，13m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.【详解】解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝13x2−2x＋1；(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，∴13x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，13m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，∴PE＝m＋1−(13m2−2m＋1)＝−13m2＋3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC⋅EF＋12AC⋅PF＝12AC⋅(EF＋PF)＝12AC⋅EP＝12×6(−13m2＋3m)＝−m2＋9m.∵0<m<6，∴当m＝92时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524，)；(3)∵y＝13x2−2x＋1＝13(x−3)2−2，P(3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝32:92，解得t＝4，所以Q(4，1)；②当△CQP∽△ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(6−t):9232:＝6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ 的比例，要分类讨论，以防遗漏．27．（【解析】【分析】【详解】解：设建筑物AB 的高度为x 米在Rt △ABD 中，∠ADB=45°∴AB=DB=x∴BC=DB+CD= x+60在Rt △ABC 中，∠ACB=30°, ∴tan ∠ACB=AB CB∴tan 3060x x ︒=+60x x =+ ∴x=30+30∴建筑物AB 的高度为（30+30）米。
湖北省十堰市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷A卷
湖北省十堰市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·上虞期末) 集合，，若，则a的值为（）．A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A . 20°B . 70°C . 160°D . 120°3. （2分）(2020·新课标Ⅲ·文) 在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）A .B . 2C . 4D . 84. （2分） (2016高一下·湖南期中) 已知角α的终边在函数y=x的图象上，则1﹣2sinαcosα﹣3cos2α的值为（）A . ±B . ±C .D . ﹣5. （2分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2016八下·曲阜期中) sin(-)= （）A .B . −C . −D .7. （2分）若、为异面直线，直线，则与的位置关系是（）A . 相交B . 异面C . 平行D . 异面或相交8. （2分）(2019·荆门模拟) 若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A .B .C .D .9. （2分）如图所示，程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数（）A . y=x+1的图象上B . y=2x的图象上C . y=2x的图象上D . y=2x-1的图象上10. （2分） (2016高一上·莆田期中) 已知函数f（x）的定义域为（﹣2，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（）A . （﹣，1）B . （﹣5，1）C . （，1）D . （﹣2，1）11. （2分）(2020·山西模拟) 已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=30.2f（30.2），b=（logπ2）f（logπ2），c=（log2 ）f（log2 ），则a，b，c之间的大小关系为（）A . a＞c＞bB . c＞a＞bC . b＞a＞cD . c＞b＞a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·江西理) 函数y= 最小正周期T为________．14. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 已知，，，则 ________.15. （1分） (2020高二下·长春月考) 在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则 ________.16. （1分）(2012·上海理) 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分） (2016高一下·邵东期中) 已知函数f（x）=sinx+sin（x+ ），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）= ，求sin 2α的值．18. （15分）(2017·孝义模拟) 某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况，现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的机器人样本，试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数据如图所示，请据此回答如下问题：分组机器人数频率[50，60）0.08[60，70）10[70，80）10[80，90）[90，100]6（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；（2）若随机抽的第一个号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人记为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19. （10分）(2020·湛江模拟) 我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间有意愿数808187868483837066（参考数据和公式：，，，，，）（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）；（2）从，，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．20. （5分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．21. （5分）(2020·南通模拟) 在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点到直线：的最大距离.22. （5分） (2017高三下·正阳开学考) 已知函数f（x）=x+ +lnx，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）﹣x的零点个数．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
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cos
cos sin
cos ,sin(
)
cos
sin(
) ，又因为
，
2
2
2
0 ，所以 ，即 2 ，选 C
2
2
2
2
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．
8.若 f x cosx sinx 在a, a 是减函数，则 a 的最大值是
A. 4
郧阳中学 2019 级高一下学期第一次月考数学试题
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的）
1.下列命题中正确的是（ ）
A. OA OB AB
B.
AB BC CD AD C.
4
4
4
因此[a, a] [ π , 3π ]a a, a π , a 3π 0 a π ，从而 a 的最大值为 π ，选 A.
44
44
4
4
点睛：函数 y Asin(x ) B( A 0, 0) 的性质：
(1) ymax =A+B，ymin A B .
(2)周期 T
2π
.
(3)由
x π kπ(k Z) 求对称轴， 2
(4)由
π 2kπ x π 2kπ(k Z) 求增区间；
2
2
由 π 2kπ x 3π 2kπ(k Z) 求减区间.
2
2
9.已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小值是( )
6.在△ABC
中,
a,b,c
分别为
A,B,C
的对边,若 sin2
B
sin
Asin C
，
a a
b c
a
c
c
，a=6,则△ABC
的外接
圆的面积( )
A. 12π
B. 24π
C. 36π
D. 48π
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理化角为边,可得 b2
ac
,整理
a a
b c
a
c c
可得 ac
bc
B. 2
C. 3 4
D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 a 的最大值.
详解：因为 f (x) cos x sin x
2
cos( x
π )
，
4
所以由 0 2kπ x π π 2kπ,(k Z) 得 π 2kπ x 3π 2kπ,(k Z)
cos sin
(cos sin )2
∵
1
tan
2
2 sin
cos
2
2 sin
(cos
22 sin )(cos
sin )
2 1
2
22
2 22 2
cos
2
1 cos2
sin sin2
1 sin cos
1 ( 3) 5
4
1 2
．
2
2
5
考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．
A. 8 【答案】D
B. 4
C. 3
D. 6
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系,则 A 0, 2
3
,设
P
x,
y
,
PA
(PB
PC)
2PA
PO
,进而利用向量的坐标法求解
即可.
【详解】取 BC 中点 O ,将 ABC 放入平面直角坐标系中,如图所示,
A. 1∶2∶3
B. 2∶3∶4
C. 3∶4∶5
D. 1∶ 3 ∶2
【答案】D
【解析】 分析：由三角形内角和为 180°可得 A,B,C 的值，然后根据正弦定理可得结论.
详解：由题可得：A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理： a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 3 : 2 ,故选 D.
5.在△ABC 中,角 C 为 90°, AB =(k,1). AC =(2,3)则 k 的值为( )
A. 5 【答案】A
B. -5
C. 3 2
D. - 3 2
【解析】
：∵ AB k,1 . AC 2,3
则 BC＝(2 k，2)C 90 AC • BC＝02(2 k) 6＝0k＝5
故选 A．
( x,1),
b
(4,
x)
，当
a
与
b
共线且方向相同时，
x
等于( )
A. 2
【答案】C
B. 2
C. 2
D. 0
【解析】
分析：由向量的共线结论即可得，又因为共线且方向相同，故两向量之间应存在一个正的倍数关系.
详解：由题可得：因为
a
与b
共线，所以
x2
4
x
2 ，又因为方向相同，所以
x=2
选 C. 点睛：考查向量的共线定理和方向相同的关系，属于基础题. 3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则 a∶b∶c 等于( )
(0, ), 且 tan 2
1 sin cos
, 则（
）
A. 3 2
【答案】C
B. 3 2
C. 2 2
D. 2 2
【解析】
试题分析：由已知得， tan
sin cos
1 sin cos
，去分母得， sin
cos
cos
cos sin
，所以
sin
2bc
2bc 2
因为 A 0, ,所以 A 2 ,则 sin A 3 ,
3
2
a 6 2R
由正弦定理可得 sin A 3
,即 R 2 3 ,
2
所以 S R2 12 ,
故选:A 【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查正弦定理的应用,考查利用余弦定理求角.
7.设
(0, ), 2
0 AB 0
D. AB BA 0
【答案】B
【解析】
分析：根据想的线性运算即可得.
详解：A. OA OB BA 故错误，B 正确，C,向量之积为一个数不再是向量故错误，D.向量加向量应还是
向量而不是数，故错误，故选 B.
点睛：考查向量线性运算和定义，属于基础题.
2.若向量
a
a2
c2
,即 b2
bc
a2
c2
,再利
用余弦定理得到角 A ,由正弦定理得到 ABC 外接圆半径,即可求解.
【详解】由题,由正弦定理可得 b2 ac ,
因为
a a
b c
a
c c
,所以 ac
bc
a2
c2
,所以 b2
bc
a2
c2
,即 b2
c2
a2
bc
,
所以 cos A b2 c2 a2 bc 1 ,
点睛：考查三角形的内角和，正弦定理的边角互化关系，属于基础题.
4.若 cos
4 ,
5
1 tan
是第三象限的角,则
1
tan
2 Βιβλιοθήκη （）2A. 1
B. 1
C. 2
2
2
【答案】A
D. -2
【解析】
试题分析：∵ cos 4 ， 为 第三象限，∴ sin 3 ,
5
5
sin
1 tan
1
cos
2