数理统计 汪荣鑫 西安交通大学出版社 课后答案
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版
所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
题的结果可知
x = 2000 + y = 2240.444
sx2
=
s
2 y
= 197032.247
5. 解：变换
yi = 100( xi − 80)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
xi 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02
y
∫ FY4
( y) =
P {Y4
≤
y} =
P σY42
≤
y σ2
=
σ2 0
fχ2(1) ( x)dx
fχ2
(y) =
F' Y4
(y) =
y fχ2 (1) σ 2
数理统计习题答案汪鑫荣版
数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 i y-61-303103042420909-1852031011n i i y y n ==∑()161303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247xyx y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i x 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 i y-2424334-3532213111113n i i i i y y y n ====∑∑ []12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-*i x23.5 26.1 28.2 30.4 i y -35 -9 12 34 i m234111li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==7解：身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182 组中值 156 160 164 168 172 176180学生数101426281282*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n i i s x x n n +==-+∑10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1
n i 1n i 1n i 1第一章1•在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为 （单位：斤） ，求子样平均数和子样方差。
解： -1 nX x i 100n i 121 n2 —2SX i x 34n i 12•从母体中抽取容量为 60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。
s .18.67 4.322 2 2x a cy,s x c s y 。
解：由变换y inX ii 1X i a 即X icy i ,nxa cy ina cnycnai 1X a cy由2 1n _21 n2c 2 n_ 2 2 2而s xX i Xa cy i a cy yi y C解:—1l* .Xmi i X4n i 1 2 1* 2 — 2sm i x i x 18.67ni 192, 94, 103, 105， 1063•子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值 X i ,X 2, ,X n 的平均数为为x 。
作变换 y占一a ，得到y i , y 2,c,y n ，它的平均数为— 2y 和方差为S y X 和方差。
试证：ni 110得到它的子样的下列观测数据 （单位：磅/英寸2）： 1815, 2020, 2310后利用第3题中的公式获得X 和s 2的数值。
i*m i y i4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909,采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。
先作变换 y iX i2000，再计算y 与s ：，然解：作变换yX i2000，a 2000Y i2164 240.442240.444 2S X2Sy1 nn 2 — y iyi 12197032.2475.在冰的溶解热研究中， 测量从0.72 r 的冰变成 0c 的水所需热量，取作试验得到热量数据如下 :79.98， 80.04, 80.02,80.04,80.03,80.03, 80.04,79.97， 80.05， 80.03， 80.02, 80.00,80.02试用变换y i 100X i 80 简化计算法计算子样平均数和子样方差。
数理统计(汪荣鑫)答案第三章
2
∴接受 H0 。 4.某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64Ω 。 改变加工工艺后， 测得 100 个零件的 平均电阻为 2.62Ω， 电阻标准差 (s) 为 0.06Ω ， 问新工艺对此零件的电阻有无显著影响
（α = 0.01 ）？ 解： n = 100 ， x = 2.62 ， s = 0.06 ①建立原假设 H0 ： µ = 2.64Ω
= Φ(0.575)
= 0.719
3.某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定为
x(%) 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
数理统计(汪荣鑫)Chapitre 3
设测定值服从正态分布。问在α = 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为 3.25。 解：设 x ~ N (µ,σ 2 ) ，σ 2 未知，计算得 x = 3.252 ， s* = 0.013
问此段时间内该机工作是否正常（α = 5% ）？假定金属棒长度服从正态分布。
解： n = 15 ， x = 10.48 ， s* = 0.2366
①建立原假设 H0 ： µ = 10,5
②在 H 0 成立前提下，构造统计量 T
=
x − µ0 s* / n
~ t(n −1)
{ } ③给定α = 0.05 ，查得 tα (14) = 2.1448 ，使 p T > tα (n −1) = α
=
x − µ0 σn
~
N (0,1)
③给定显著水平α = 0.05 ，有 µα = 1.96 ，使
2
{ } P µ ≥ µα
=
α
即
⎧ P⎨
x
−
µ0
⎫ ≥ 1.96⎬ = 0.05
数理统计 (汪荣鑫著) 西安交通大学出版社 课后答案
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证明：令
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da
kh
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om
课
U2 X = 2 ,由F 分布定义 ∴ X 2 ∼ F (1, n) χ /n
2
后 答
χ 2 ∼ χ 2 (n), 且U 与χ 2独立,U 2亦与χ 2独立
om
课
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kh
w
w
立， 2 Z2 Z 22 ∼ N (0,1), ∼ χ (1) 3 3 2 2 且与χ 相互独立。由 χ 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 + = ( Z1 + Z 2 2 ) = Y ∼ χ 2 (2),∴ c = 3 3 3 3 3
θ −1
+∞
hd 案网 aw kh .c da om w .c
1
2矩法估计
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后 答
da
试求 σ 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. ∑x x n n 1 −σ 1 n − σ 解：
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1 −σ e , −∞ < x < ∞ 5.设母体X的密度为 f ( x) = 2σ
w
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课
后 答
xi − a c
课后答案网
da
yi = xi − 100, a = 100, y =
kh
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.k
sx 2 = s y 2 =
课
x = a + y = 100
2 1 1 yi 2 − y = × [( −8)2 + ( −6)2 + 32 + 52 + 62 ] − 0 = 34 ∑ 5 n i
数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)
Page 2
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和DX 。 x p( ), E x E ( 1 x ) 1 Ex 1 n i n i n n i i 解：
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi n2 Dx n i i
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 1 1 22 1 解： U (1,1), Ex x 0, Dx
2 12 3
1 1 E x E ( xi ) Exi Ex 0 n i n i 1 1 1 Dx D( xi ) Dx n i n Page 3 3n
2 2 1 2 3 4 5 6
Z1 Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 Z22 N (0,1), 2 (1) 3 3
2
且与 相互独立。由 分布可加性，
2
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 2 2 ( Z1 Z 2 ) Y (2), c 3 3 3 3 3 Page 5
1i n
12设母体X服从正态分布 N (,1),( X1, X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
3 3 1 3 2 （2）＾ 4 X 1 4 X 2 1 1 （3）＾ X 1 X 2 3 2 2
i
xi
) yi
2 i
2
2 分布定义Y 2 (n)，Y服从自由度为n的 由 2 分布。
最新西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx随机过程习题解答第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ ＝0()1jtkjt k pp qe qe ∞==-∑ 又20()kk k k q qE X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 100()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。