量纲分析作业
量纲分析习题
[例6—8—2] 试用定律分析球体绕流阻力的方程形式。
思考题
第四章相似原理和量纲分析
1．何谓几何相似，运动相似和动力相似？试举例说明之。
2．为了确定所有动力学量的比例尺，工程上一般选取哪三个量作为基本比例尺。
3．何谓牛顿相似准则，试写出牛顿数的表达式及其物理意义。
4．试写出佛劳德数、雷诺数、欧拉数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数的定义式及其物理意义。
5．保证两流动相似的条件是什么？由这些相似条件可以解决模型试验中哪些问题？
6．何谓工程中常常采用的近似模型试验方法？请举例说明之。
7．对于无压的明渠流动及其它水工建筑物中的流动，应考虑什么准则数？对于有压的粘性管流或其它有压内流，又应该考虑什么准则数？8．何谓量纲分析法？它对于进行模型试验有何作用？
9．试述利用瑞利法和π定理，探索流动规律的基本思路。
10．应用量纲分析法探索运动规律时，必须注意哪几点？。
量纲分析法的6个应用案例
量纲分析法的6个应用案例《量纲分析法的6个应用案例》一、量纲分析法的概述量纲分析法是一种常用的基于数字的法则，它通过分析概念的大小，可以用来评价和比较植物多样性和空间分布，形成植物的生物多样性的全局视图。
一般来说，它把样地的多样性指数划分为不同的量纲，按照瞬时时刻、地质学空间大小和植物多样性3个量纲进行比较，是一种快速、有效的生物多样性分析方法，它可以用来监测植物景观的空间分布特征和植物群落的生态结构分布,从而为生物资源保护提供决策依据。
二、量纲分析法的6个应用案例1、监测植物景观空间分布量纲分析法可以用来监测植物景观的空间分布特征，这样可以帮助决策者分析出植物景观的变化特征，应用量纲分析研究植物景观的空间分布特征可以加快决策和管理行动。
例如，tockstead研究了在美国佛罗里达州特拉孜罗湖地区植物景观空间分布特征，通过量纲分析法，发现了植物多样性的空间分布特征，有助于管理者构建有效的景观管理模式。
2、分析植物群落的生态结构特征量纲分析法还可以用来分析植物群落的生态结构特征，可以在表面上显示出植物群落的生态结构特征，从而帮助决策者分析植物群落的生态学演化过程。
例如，朱哥尔研究了意大利北部地区植物群落的生态结构特征，发现植物群落的生态结构特征是多样性和空间差异之间的动态平衡，具有很强的群落结构.3、识别保护地的实用性量纲分析法还可以用来识别保护地的实用性，可以帮助决策者比较保护地的功能，从而制定有效的数量和质量控制措施，有助于保护受过度利用的植物群落。
例如，马萨里斯研究了挪威西北部湖泊和河流植物群落的变化，发现量纲分析结果表明，该地区湖泊和河流植物景观是一种有效的物种多样性保护工具。
4、研究植物多样性的变化趋势量纲分析法可以用来研究植物多样性的变化趋势，帮助决策者正确识别植物种类的多样性状况和变化趋势，从而为保护生物资源提供重要参考。
例如，卢森伯格研究了新西兰维多利亚湖流域不同植物群落的多样性变化趋势，发现通过量纲分析法可以清楚地观察到植物群落的多样性变化和发展趋势，这有助于在管理过程中有效增强生物多样性的可持续性。
5.2 量纲分析
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
[量纲分析]习题
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[量纲分析]习题习题1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。
3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。
5、求谐振子的自振频率。
6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。
7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更为本质？8、从隐函数法证明π定理。
9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。
10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。
11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明其物理原因。
12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度的缩比范围？13、作船舶润湿面积的量纲分析。
14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。
15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。
16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。
17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。
18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。
19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。
22、求有限弹性体的固有周期。
23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。
26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。
28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。
[最新]量纲剖析
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量纲分析1，试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q 的表达式。
已知q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关。
1. 分析影响因素，列出函数方程根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关系式表示为2. 将q 写成H ，ρ，g 的指数乘积形式，即3. 写出量纲表达式4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5. L ：2=a-3b+c T ：-1=-2c ⇒M ：0=b6. 代入指数乘积式，得即2求水泵输出功率的表达式。
已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关。
1. 分析影响因素，列出函数方程根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关,用函数关系式表示为2. 将N 写成γ ，Q ，H 的指数乘积形式，即(,,)q f H g ρ=a b c q kH gρ=dim dim()a b c q H g ρ=2132[][][][]a b cL T L ML LT ---=3/201/23/2qkH g ρ==3/23/2q k ==g γρ=(,,,)0f N Q H γ=3. 写出量纲表达式4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.L ：2=-2a+3b+c T ：-3=-2a-b ⇒M ：1=a6. 代入指数乘积式，得其中，k 为无量纲系数，通过实验来确定相似准则【例4.10】汽车高h p ＝1.5m ，最大行速为108km/h ，拟在风洞中测定其阻力。
风洞的最大风速为45m/s ，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为1.50KN ，试求原型汽车所受得阻力。
解：把握两个方面：一是确定哪个是决定性相似准则；二是分清哪些量是模型上得量，哪些量是原型上得量。
对于分析气体阻力问题，可按雷诺相似准则计算。
雷诺准则为由于 故又因为阻力得比尺可写成：由于此a b cN k Q H γ=dim dim()a b c N Q H γ=232231[][][][]a b c L T M L T M LT L ----=N k QHγ=1l v υλλλ=1v λ=1m l p υυλλυ==1081.5145 3.6p p m p l m h h h m υλυ===⨯=⨯22P F l ρυλλλλλ==1,1/l ρυλλλ==22221l P l l υλλλλλ===1.50P m P P KN==【例4.9】长度比λL =50的船舶模型，在水池中以1m/s 的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N 。
量纲分析例题集
1-4-6、解：（1）当T=20℃时，=1.205kg/,=1.81Pa s=998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数设空气的流动为“实物”，水的流动为“模型”，则：===1，===1.207，===0.018 考虑雷诺相似，有==14.913,所以，风速v==14.913 2.5=37.28m/s（2）由欧拉相似，得==0.268由=，得=3.73即通过空气时测得的压力损失应扩大3.73倍才是通过水的压降。
1-4-7、解：（1）当T=20℃时，=998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数==10，===4.007，===0.036 考虑雷诺相似，有==8.984，所以，水速===0.89m/s（2）由欧拉相似，得==0.032所以===3.75kPa1-4-8、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0 取d，v，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，，）=0式中=，=，对以上三式可写出量纲方程式如下：=由=0 ，可解得所以=同理，可解得==，=所以f（，即= f（所以v=1-4-9、解：拟定函数关系式为f（D，v，，，，F）=0取D，v，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以==同理，可解得=所以f（）=0即= f（）所以F=f（）1-4-10、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0取d，v，为基本物理量，显然h f/L是一个π，因h f和L量纲都是长度由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以==同理，可解得=，=所以=f（1-4-11、解：拟定函数关系式为f（D，n，，，，P）=0取D，n，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以=同理，可解得=，所以f（）=0即= f（）所以P=f（）1-4-12、解：当T=10℃时，=999.7kg/，=1.306Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数由=2.78/s ，=4.5m 可解得=0.175m/s由=2.78/s ，=2.25m 可解得=0.670m/s考虑雷诺相似，有===v=0.018==3.15由=Q 可解得=3.46m同理，可解得=1.74m故用水做实验时，大口处的直径=3.46m ，小口处的直径=1.74m课外例题例1：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
第十一章量纲分析法(续)(2011-9-11)
第十一章 量纲分析法 （续）
1
量纲、量纲和谐性原理
2
问题1
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么 区别和联系？
a2 1 b2 0 c2 0
2
D2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
3
p
D14Q2
25
5. 写出无量纲量方程
f (1, 2 , 3 )
f
( D11Q
, D2 D1
,
p D14Q 2
)
0
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它 的无量纲性质。即：
D14Q2 f ( D11Q , D2 )
H有关。
12
解： 1.
分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的
重量 、 流g量Q、扬程H 有关,用函数关系式表示
为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k aQbH c
13
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式 应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动 力学量中各选一个，即可满足要求。
单位与量纲（五）量纲分析
单位与量纲（五）量纲分析【单位与量纲】系列文章之（五）假如一个物理量只需要用长度和时间表达，那么它的单位将会是长度（Length）和时间(Time)的一定幂次，记为[L]a[T]b，这样的表达式就称为该物理量的量纲，其中的a和b称为量纲指数，可以为正负数。
比如力=质量(Mass)乘以加速度，所以单位为kgm/s^2，其量纲表达就为[MLT-2]。
假如所有的幂次为零时，这个物理量就被称为无量纲数。
量纲可以用于快速检验公式的正确性，只有等式两端的量纲相同，公式才合理。
也只有量纲一致的条件下，物理量之间才可能进行加减操作。
量纲分析是考场上记不清公式时的一根救命稻草。
自由落体公式中，s=gt2/2，假如记不得了，我们可以猜测自由落体与地球重力加速度有关，与时间有关，跟别的事情无关。
s的量纲是长度[L]，重力加速度的量纲是[LT-2]，时间的量纲是[T]，所以[L]= [LT-2]a[T]b=[L]a [T]b-2a，以[L]和[T]两个量纲分别列方程，对[L]，推出a=1，对[T]，推出b=2，所以s跟gt2成比例关系。
这个例子比较简单，我们接下来利用量纲分析推出开普勒第三定律。
开普勒定律的是牛顿力学建立的重要基础，其中开普勒第三定律又称为周期定律，指行星绕太阳转动周期的平方与椭圆轨道长轴立方成正比。
我们现在忽略历史，假设我们处在牛顿的年代，刚被苹果砸了脑袋，意识到了引力的存在，想到了万有引力常数G。
那么，量纲分析将帮助我们最快地验证自己的理论。
首先，我们知道行星绕太阳转动，那么转动有周期T，涉及时间[T]，行星跟太阳有距离r，涉及长度[L]，如果引力有作用，需要太阳质量m，涉及[M]，为什么行星质量可以不出现？因为既然称为定律，那么对不同质量的行星都必须成立。
假如周期的表达式写为T=f(m,r,G)，G为万有引力常数，量纲为[M-1L3T-2]（详细推导见说明）。
我们将写下如下等式：[T]=[M]a[L]b[M-1L3T-2]c=[T]-2c[M]a-c[L]b+3c我们分别对[T]、[M]、[L]列方程：1=-2c0=a-c0=b+3c这时候，这样简单的方程组可以解出c=-1/2，a=-1/2，b=3/2。
量纲分析
v1最大
60º < θ < 75º
s1>> s2 备注
• 只讨论起航时的航向，是静态模型 只讨论起航时的航向， • 航行过程中终点 将不在正东方 航行过程中终点B将不在正东方
2.9量纲分析与无量纲化 量纲分析与无量纲化
量纲是物理学中的重要概念， 量纲是物理学中的重要概念，量纲分析是物理学中的 重要方法。物理量分为基本量 导出量, 基本量和 重要方法。物理量分为基本量和导出量, 基本量是通 过测量来定义的量; 过测量来定义的量; 导出量是通过基本概念或定律导 出的量。 不考虑数字因素时 出的量。在不考虑数字因素时, 表示一个量是由哪些 基本量导出的及如何导出的式子, 基本量导出的及如何导出的式子, 称为此量的量纲 或量纲式) (或量纲式)。把不存在任何联系的性质不同的量纲叫 做基本量纲; 做基本量纲; 把可以由基本量纲导出的量纲叫做导出 量纲。物理量Q 的量纲记为dimQ, 国际物理学界沿用 量纲。 的量纲记为dim 习惯记为[ 习惯记为[ Q ]
模型 建立
α
w1
• θ
船在正东方向速度分量v 船在正东方向速度分量 1=vcosθ
模型建立
v1=vcosθ = k1(f1-p1)cosθ f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ p2 p1 p v
模型求解
求θ,α ,使 v1最大 使
1) 当θ固定时求α使f1最大 f1=w[cos(θ-2α)-cosθ]/2
Pi定理 (Buckingham) 定理
设 f(q1, q2, …, qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律， 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为 ≤
量纲分析
p1 p1 p2 p 2
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
[q j ] X i ,
2
xc v / g , t c v / g
2
1 2 x(t ) gt vt 2
x g x ( 0) 0 x ( 0) v
原 问 题
r2g x 2 (x r) x(0) 0, x(0) v
火箭发射过程 中引力m1g不变 即 x+r r
dx xv vx dt 2 2 2 v d x v x x 2 r dt r
r g x (x r)2 x(0) 0, x(0) v
2
1 v , x 2 ( x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
x 无解
不能忽略项
1 x ( x 1) 2 2) x (0) 0 v2 x (0) , rg
忽略项 x
1 , 2 ( x 1) x (0) 0, x (0) 0
量纲试题参考答案
1、你认为，量纲分析中最重要的概念和原则是什么？为什么？各举例说明。
答：量纲分析中最重要的概念是量纲。
应当区别量纲和单位，量纲不是单位。
量纲表示物理量的基本属性。
不同属性的物理量具有不同的量纲。
单位是用来对物理量度量的标准。
最重要的原理是∏定理：问题中若有N 个变量（包括n 个自变量和1个应变量），而基本量的数目为k ，那么一定形成N-k 个无量纲变量（包括N-k-1个无量纲自变量和1个无量纲应变量），他们之间形成确定的函数关系。
即：12(,,...)0N k f -∏∏∏=以分析单摆问题为例：显然，单摆的周期p T 取决于四个控制参数，即悬物的质量m ，细绳的长度l ,重力加速度g 以及初始方位角α，于是有一下函数关系：(,,,)p f m l g αT =量纲：m(M), l (L),g(2LT -),α为无量纲数问题中自变量有4个参数，有三个具有独立的量纲，所以问题中的无量纲数只有一个。
选取m, l ,g 作为本问题的基本单位系统就有：12/(/)(1,1,1,)p l g f αT = 可以写为：12/(/)()p l g f αT =这样我们就可以得出一下几个结果：A. p T 正比于12lB. p T 反比于12gC. p T 与m 无关D. p T 只取决于α，()f α的具体形式要用实验或理论分析来求取。
如果初始的方位角α是个小量，那问题就更简单了，从物理上可以判断，()f α实际上是α的偶函数，将()f α在α=0处进行泰勒展开：24''(4)()(0)(0).(0).+......(0)24f f f f f ααα=++≅！于是近似有：12(/).(0)p T l g f = 那么只要一次实验就可以确定(0)f 数值了，这个常数值其实就是从理 论意义上可以推导出的2π。
2、在流体力学和固体力学问题中，各举两个无量纲数，对每个无量纲数，说明其物理意义，并举例说明可以用它来表示现象发生质的变化的判据。
量纲分析
解:下面我们按照定理的过程来做.
设关系式为 ( f,l,h,v, , , g) 0
(7)
取基本量纲为L, M ,T .由于
[ ] L3 M ,[] [ p / v ] L1MT 1.
x
回忆：压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
因此量纲矩阵为
加速度a dv , 故[a] LT 2; dt
力f :由牛顿第二定律f ma知,[ f ] LMT 2;
动量[mv ] LMT 1;压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如
万 有 引 力 常 数: 由f
k
m1m2 r2
1 1 1 1 3 1 1 L
A
1
00
0
1
1
0
M
2 0 0 1 0 1 2 T
f lhv g
易验证R( A) 3.因此其一个基础解系含4个解向量 :
0
1
1
y1
0
,
0 0
0
0
l
2
v
2
(
l h
,
lg v2
, lv )
l 2v2 ( l , Fr, Re).
h
虽然ψ的具体表达式我们不知道,但是这并不 能妨碍我们应用这个结果.思想是:
记我们做实验的比例模型的数据为f,l,h,v, , , g;
而航船原型的数据为f ,l,h,v,, , g.
|t 0 1,
(13)
此问题的解仍可记为 x x(t ; )
量纲分析——精选推荐
量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。
例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。
我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。
离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。
单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。
然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。
我们把这种统一性称为量纲。
单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。
例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。
通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。
一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲分析法2篇
量纲分析法2篇量纲分析法是一种常用于理论计算、实验设计和模型推导的方法，可用于确定物理量之间的关系和理论公式中未知参数的数量和单位。
本文将从量纲的基本概念、量纲分析的原理和步骤、应用和局限性等方面进行介绍。
一、量纲的基本概念物理量是指可测量和可表示的物理现象或性质。
测量物理量需要确定其数量和单位，量纲是指物理量的单位所表示的测量属性或特征。
量纲可分为基本量纲和导出量纲两类。
基本量纲是指用于表示国际单位制或其它量制基本单位的物理量，如长度、质量、时间、温度等；导出量纲是指通过基本量纲和其它导出量纲经过一定的运算和组合所得到的物理量，如速度、加速度、密度、功率等。
二、量纲分析的原理和步骤量纲分析的原理是基于物理量之间的数量关系和单位关系。
在同一物理学体系中，物理量之间的关系可以通过数量式和等式表达，单位关系可以用换算式表示。
在分析物理问题时，可以通过量纲分析确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位。
量纲分析的步骤如下：（1）选择适当的基本量纲：根据具体问题选择基本量纲。
（2）列出问题中的物理量：根据问题陈述列出涉及的物理量。
（3）建立物理量的数量关系：根据问题陈述以及物理学原理建立物理量的数量关系。
（4）建立物理量的单位关系：根据国际单位制或其他量制建立物理量的单位关系。
（5）将物理量的数量关系和单位关系进行联立，消去公式中多余的量纲（基本量纲和导出量纲），并利用未知参数的量纲关系，求出未知参数的数量和单位。
三、应用和局限性量纲分析法广泛应用于理论分析、实验设计和模型推导等领域。
其主要优点是简单实用，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为进一步研究和分析提供了重要的基础。
但是，量纲分析法也存在一些局限性，如物理量的表达式必须是线性的或近似线性的，未知参数的数量必须较少，物理量之间的数量关系和单位关系必须明确，不能处理非线性关系和复杂的物理问题等。
综上所述，量纲分析法是一种常用的物理方法，它通过建立物理量的数量关系和单位关系，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为物理研究提供了重要的基础。
第六讲 相似原理与量纲分析(练习题)
5-1、想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
5-2、判断：惯性力是所有外力的矢量和。
你的回答：BA对； B错5-3、想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。
动力5-4、算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。
2.55-5、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：AA.雷诺准则；B.弗劳德准则；C.欧拉准则；D.其他准则。
5-6、雷诺数的物理意义表示：CA. 粘滞力与重力之比；B.重力与惯性力之比；C.惯性力与粘滞力之比；D.压力与粘滞力之比。
5-7、压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：CA.1／2；B.1／4；C.1／8；D.1／16。
5-9、进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：BA.雷诺准则；B.弗劳德准则；C.欧拉准则；D. 其它准则。
5-10、明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: DA.1／2；B.1／4；C.1／8；D. 1／32。
5-11、长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N p为：BA.2.17kW；B.32.4kW；C.17.8kW；D.13.8kW。
5-12、设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ CA.0.01；B.108；C.10；D.10000。
5-13、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：AA.雷诺准则；B.弗劳德准则；C.欧拉准则。
5-14、判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。
你的回答：AA对；B错5-15、想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。
量纲分析作业 谈庆明
陈汭（ru ì） 2012280007180311、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？ 量纲不是单位，量纲是单位的属性。
例如：力的单位是N （牛顿），而力的量纲是2[]M LT -（在质量系统（M L T 系统）中），量纲2[]M LT -是单位N 的属性。
2、“Dimension ”一词包含什么涵义？能否说说涵义的历史演变？Dimension 一词的名词性词义目前有一下三种：①尺寸、长度；②维度（数学）；③量纲（物理）。
最初，Dimension 一词的涵义为物体的尺寸或长度；然后，随着数学的发展，Dimension 又多了维度的涵义，代表数学空间里的维的概念；再后来，量纲的概念被提出，同样用Dimension 来表示。
3、自由落体问题中，什么是基本量？什么是导出量？取什么做单位系统？选取是否唯一？表3-1 自由落体问题中所涉及的物理量4、用隐函数表示因果关系，并证明∏定理。
假设一个物理过程中包含n 个物理量，则函数关系可以表示成121(,,...,,,...,)0k k n f s s s s s +=（4-1）式（4-1）即用隐函数表示的因果关系。
下面证明∏定理：假设前k 项为一个独立变量组，用如下符号表示前k 项变量的量纲1122[],[],...,[]k k s A s A s A ===（4-2）则其余()n k -项变量的量纲可以表示成前k 项变量的量纲的函数1111222122()1()2()11221212[][].................................[]k k n k n k n k kr r r k k r r r k kr r r nk s A A A s A A A s A A A ---++⎧=⋅⋅⋅⎪=⋅⋅⋅⎪⎨⎪⎪=⋅⋅⋅⎩（4-3）如果前k 项变量分别乘以某一倍数12,,...,k a a a ，记新的变量为111222.............kk k s a s s a s s a s'=⎧⎪'=⎪⎨⎪⎪'=⎩（4-4） 则新的物理量的量纲为111111222222[][][][][][]......................................[][][]kk k k k k s a s a A A s a s a A A s a s a A A ''===⎧⎪''===⎪⎨⎪⎪''===⎩（4-5） 相应的其余()n k -项新变量的量纲可以表示为1111112111211122222122212221221121212121212122[]()[][]()[]..........................................................k k k k k k r r r r r r r r r kk k k k r r r r r r r r r k k k k k s a a a A A A a a a s s a a a A A A a a a s ++++'=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅'=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅()1()2()()1()2()()1()2()121212.....................................[]()[]n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k k r r r r r r r r r nk k k n s a a a A A A a a a s ---------⎧⎪⎪⎨⎪⎪'=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎩（4-6） 将式（4-6）改变书写格式，可以得到其余()n k -项新变量与原变量的倍数关系1111222122()1()2()1121212212.....................................k k n k n k n k k r r r k k k r r r kk k r r r nk n s a a a s s a a a s s a a a s---++++⎧'=⋅⋅⋅⎪'=⋅⋅⋅⎪⎨⎪⎪'=⋅⋅⋅⎩（4-7） 由于新变量仍然满足函数关系，故有121(,,...,,,...,)0k k n f s s s s s +'''''=（4-8） 将（4-4）式和（4-7）式代入（4-8）式得()1()2()11112112212112(,,...,,,...,)0n k n k n k kk rrr rrrk k k k kn f a s a s a s a a a s a a a s ---+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（4-9）令11221/1/..............1/kk a s a s a s=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩（4-10） 将（4-10）式代入（4-9）式得()1()2()11112111212(1,1, (1),...,)0n k n k n k kkk k nr r r r r r kks s f s s s s s s ---+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个（4-11）显然（4-11）式中前k 项变量是无量纲的，根据量纲齐次原则，其余()n k -项也应该是无量纲的，这()n k -项称为相似准则或∏项。
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量纲作业整理：夏伟光1、量纲是否就是单位？两者有何关系。
答:量纲不是单位。
量纲表示物理量的基本属性。
不同属性的物理量具有不同的量纲。
单位是用来对物理量度量的标准。
2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。
3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。
可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。
t，g为单位系统，选法不唯一。
4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。
答：对于一个单摆，当摆长l一定时，摆球的位置由摆角 确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。
5、什么是谐振子，求自然频率。
答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。
所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
自频率f 与弹性系数k ，微粒质量m 有关。
所以2(,)1 Tf g m k M M T = 取m ，k 为基本量并作单位系统，所以(1,1)g Cf =≡∴=6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。
相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。
相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。
相似三定理与π定理相比，显然π定理中各12,,,N k πππ- 表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f ，f 内各无量纲量值相同后，f 值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。
（1）相似第一定理：即π定理中若两个现象具有相同的函数12(,,,)N k f ππππ-= ，则其无量纲量数值相同。
（2）相似第二定理：即π定理中一个物理现象，因变量a 是n个自变量12n a a a ，，，的函数，即121(,,,,)k k n a f a a a a a += ，，，取12,k a a a ，，作为单位，将因变量a 无量化为12(,)n k f ππππ-= ，，，即无量纲化因变量π是n k -个无量纲化自变量12,n k πππ- ，，的函数。
(3) 相似第三定理：即π定理中两个现象的各无量纲量12,,,N k πππ- 数值相同，且函数f 形式相同，则f 值也必定唯一。
相似三定律这么复杂的表述，用π定理一句话就能得到，显然π定理更本质。
7、用隐函数证明π定理。
答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N 。
记作12N a a a ，，，，则可将物理规律表示为12()0N f a a a = ，，，不妨取前k 个变量，它们是12k a a a ，，，，其量纲分别为12k A A A ，，，。
后面N-k 变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式：12121211221212[],[],[]k k kp p p k k q q q k k r r r N k a A A A a A A A a A A A ++===用基本量12k a a a ，，，作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们满足的关系是：12121211221212(1,1,,1;(),(),,()0k k k p q r p p q q r r k k k k N k f a a a a a a a a a a a a ++= ）上式后面N-k 个为对F 起作用的无量纲因变量，记为12,,,N k πππ- ，因此函数关系可写为12(,,,)0N k f πππ-=8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。
答：(,,)(,,)()(,,)(,,)(,,)()(,,)(,,)(,,)()(,,)l m t l m t l l m t l ll l m t l m t m l m t m m m l m t l m t t l m t t t t f r r r f r r r f r f r r r r r r f r r r f r r r f r f r r r r r r f r r r f r r r f r f r r r r r r ααββγγ⎧⎧∂∂⋅==⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂⋅=⇒=⎨⎨∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂⋅==⎪⎪∂∂⎩⎩ l m t l m t l m t l m tf f f f f f df dr dr dr dr dr dr r r r r r r αβγ∂∂∂=++=++∂∂∂ l m t l m tdf dr dr dr f r r r αβγ∴=++ 两边积分得：ln ln ln ln ln l m t f r r r C αβγ=+++所以 (1)l m t f Cr r r αβγ=由于(,,)(,,)(,,)l m t l l m m t t l m t f r r r f r r r r r r f r r r '''='''而,,l m t r r r '''的取值也具有任意性，可取,,l l m m t t r r r r r r '''=== 可得：(1,1,1)1f =代入（1）式可得：C=1，所以(,,)l m t l m t f r r r r r r αβγ=可见，与之相对应，物理量X 的量纲表示式应为[]X L M T αβγ=9、盛水容器底侧小孔的出流速度。
（有图）答：小孔的出流速度v 与容器中水的高度h ，重力加速度g 和小孔的直径d 有关。
2(,,)L v f d g h L L L T T= 取,,g d ρ()d f h =将()d f h在x=0点泰勒展开，2'(0)()(0)'(0)()......2!d d f d f f f h h h=+++ 由于是小孔，d h 《1，所以()d f h ≈(0)f =C ，C =, v =由不可压缩流体的伯努利方程知即v = 10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。
（有图）答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q ，控制参数有三角形的底部顶角α，流体的密度ρ，上游水头h ，重力加速度g 。
32(,,,) 1Q f g h M M LL T L Tρα= 取ρ，g ，h 为单位系统，则：1522(1,1,1,)Qf g hαρ=，所以1522()Q g h f ρα=11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。
答：摩擦系数d C 为单位面积上的管流阻力和管动压之比。
因此，d C 与管直径d ，液体密度ρ，粘度系数μ，流速U 相关。
即(,,,)d C f U d μρ=取,,U d ρ为基本量并作单位系统，得()()d C f f Re Udμρ'==总管阻22(Re)22d U dlP C dl U f ρρππ'=⋅⋅=（2）层流时，可以不考虑密度的影响。
层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。
因此可不考虑惯性即密度的影响。
12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？解：固体受到流体的作用力(,',,,,)w f l l v αρμ= 取l ,v ,ρ作为单位，得22'(,,Re)w l f v l l αρ=，其中Re vlρμ=低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即 ① 几何相似：''()()m p l l ll=和m p αα=； ② 动力学相似：(Re)(Re)m p =。
（1）先分析低速飞机在水中的模拟对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200～400km/h ，即50～120m/s ，一般飞机的尺寸：长30～60m ，翼展30～60m ，高10～20m ，水洞的尺寸：直径d=0.1～2m ， 则尺寸缩比为15600p l ml l α== （考虑做模型试验时飞机的放置方式，显然应以翼展方向的缩比为准）。
常温下空气的运动粘性系数62()14.810/p p m s μνρ-==⨯，水的运动粘性系数62() 1.00710/m m m s μνρ-==⨯，由(Re)(Re)m p =，得()()m p vl vlρρμμ=，得66()(/)14.81014.7()(/) 1.00710p p m m vl vl μρμρ--⨯===⨯ 则14.70.021p mmpv l v l =∙= 又50120/p v m s = ，所以506000/m v m s =一般情况下，水洞的水流速度的量级为1～10m/s ，显然流速远远达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。
（2）再分析潜艇在空气中的模拟：对于低速前行的潜艇，其实际速度520/p v m s = ，潜艇的尺寸：长50～100m ，宽5～15m ，风洞的尺寸：直径为0.1～3m ， 则尺寸缩比为2150p l ml l α== （考虑做模型试验时潜艇的放置方式，显然应以宽度方向的缩比为准）。
常温下水的运动粘性系数62() 1.00710/p p m s μνρ-==⨯，空气的运动粘性系数62()14.810/m m m s μνρ-==⨯。
由(Re)(Re)m p =，得()()m p vl vlρρμμ=，得66()(/) 1.007100.068()(/)14.810p p m m vl vl μρμρ--⨯===⨯ 所以0.0680.00050.03p mmpv l v l =∙= 又520/p v m s = ，所以15040000/m v m s =因此当潜艇的速度很小且尺寸较小时，可以用大尺寸的风洞进行模拟，即只有在这种情况下模型试验才可以在风洞中进行。
13、作船舶润湿面积的量纲分析。
（有图）答：船舶的润湿面积S 的控制参数有：船舶外形的特征长度l ，排水体积D ，船行进的速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g 。