含可调参数的一次有理样条插值

含可调参数的一次有理样条插值

为了使有理插值样条在计算机图形和CAD领域有更灵活的应用，构造了带有可调参数一次有理样条函数（1/1型）。该函数可通过选取适当的形状参数使得曲线具有保形性。可以通过调整参数交互式的修改插值曲线的形状，以得到满意的曲线，并证明了此类插值函数的保单调性和给出了其误差分析。

标签：有理样条；参数；保单调

引言

有理插值在逼近理论中有着重要的作用，多项式插值是其中典型的方法。然而生成的曲线虽然具有较好的光滑性，但容易产生不必要的震荡，并且有时还会破坏原函数的单调性。所以文章构造一个分母分子均为一次的分段有理插值函数（即1/1型），它具有非常好的保单调性并得以验证，而且是含有可调参数的。带有可调参数的有理插值样条可以通过调节相应区间上的可调参数来局部改变曲线形状。因为保形问题一直是插值中一个很重要的问题，实际的工程问题往往要求所构造的插值曲线保持被插函数或者插值点所反映的在插值区间上的单调、凹凸性质。

1 插值函数的构造

定义如果函数s（x）满足条件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每个区间[xi，xi+1]上分子、分母均为一次多项式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是单调的，

则称S（x）是定义在[xi，xn]上的分段线性保形有理插值。

构造上述函数的表达式f（x），设f（x）在区间[a，b]上有定义，区间[a，b]剖分为a=x10是可调参数，由式（1）构造的函数明显满足以下等式

由此可以得到函数S（x）满足上述对于分段线性保形有理插值定义的条件（i）与（ii）。

2 一元插值函数的严格保单调性

定理（严格保单调性）已知严格单调数据{（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且参数ui满足ui+1=（？驻i-1/？驻i）ui-1，i=2，3，…，n-1时，则有理插值函数s（x）∈C1[a，b]并且是保单调的。

证明：不妨假设f1>f2…>fn或？驻i<0

因为s（x）是C0连续的，为了讨论s（x）的一阶连续性，对式（1）求导，并化简得：

因为

所以

又由于，明显得到。

所以函数S（x）在区间[xi，xn]上是保单调的并且是一阶连续的。

3 误差估计

因为文章所构造的函数是分段的，故只需考虑在区间[xi，xi+1]上的情形。

定理假设，s（x）为由（1）定义的分段有理插值函数，当时

成立，其中：。

证明：

其中，又设l（x）是区间[xi，xi+1]上关于f（x）的线性插值，即

令

因为Li（t）是区间[0，1]上关于Pi（t），Qi（t）线性插值，所以有

（2）

（3）

又对（1）式求二阶导数得

上式带入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

将（2）、（4）式代入（5），即

4 结束语

针对多项式插值的不稳定性，构造了分子分母均为一次的分段线有理插值函数（即1/1型），并讨论了此插值函数的保单调性，而且适当地调节可调参数，可以达到曲线的保形性。不过此插值只能处理严格的单调数据，所以，文章所构造的插值还有许多不足，需要继续改进。

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