特殊值法巧解数列题示例

特殊值法巧解数列题示例

特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用.

【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( )

(A)5 (B)10 (C)15 (D)20

【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2

54252=⇒=

a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( )

(A)45 (B)75 (C)180 (D)300

【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=⇒=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C.

【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( )

(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3

【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=⇒=a a ,所以

103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B.

如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！

【例4】等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）

(A)130 (B)170 (C)210 (D)260

【分析】取1=m 得100,30211=+=a a a ，从而求得702=a ，所以公差403070=-=d ，故11040703=+=a ，于是它的前m 3项和为2101107030321=++=++a a a ，选C.

【例5】已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是___________________.

【分析】注意到931,,a a a 成等比数列,它们的下标1,3,9也成等比数列,所以设n a n =,则16

1310429311042931=++++=++++a a a a a a 为所求. 【例6】已知c b a ,,成等比数列,b x a ,,成等差数列,c y b ,,也成等差数列,则=+y

c x a ___. 【分析】取c b a ==,则b x a ==,c y ==故=+y

c x a 1+1=2. 从上可见,只要在解题过程中细心观察,抓住题目的主要特征,选取恰当的特殊数列或特殊数值,不但可简化解题过程,而且对磨练解题者的思维,提高观察分析问题的解题能力都有很大的作用.