圆周角定理
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分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
解：∵AB是直径
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°
C
在Rt△ABC中
BC AB 2 AC 2 102 62 8 A
O
B
∵CD平分∠ACB
∴ ∠ACD= ∠BCD
D
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
C2
推论
C1
半圆（或直径）所对的圆周
C3
角是直角； A 90°的圆周角所对的弦是直径。
·O
B
如图，已知△ABC内接于⊙O， ， 的度数分别为80°和110°，则△ABC的三 个内角度数分别是多少度？
答： △ABC的三内角分别是 ∠A＝55 °，∠B＝85 ° ，∠C＝40 °
例1 在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽 力向球门AB冲近(如图1)，你说为什么
如果圆心角和圆周角所对的弧相同,那么 1、圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢? 2、圆周角与圆心角之间又有什么关系呢?
同学们可以大胆地说出你的猜想？
同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角
∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A。由
于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
解 :设球员在位于C处接到球，
他带球尽力向球门冲近到D， 此时不仅距离球门近了，射 门更为有力，而且对球门AB 的张角也扩大了，球更容易射 中.可以证明如下：
延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE 所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE 即∠ADB＞∠ACB 这样，更容易射门得分
顶点在圆周百度文库，并且两边都和圆相交的角
叫做圆周角。
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1
图2
图3
图4
图5
图7
图8
图6 图9
重点观察下面三个图形中,圆心与圆周角的位置关系?
图1
图2
图3
在以上三个图形中,哪 个图形是特殊的,其它 图形可以转化为特殊
图形吗?
圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的 度数。
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC
2
（2）在圆周角的内部， 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC) 2
又∵AB为直径
∴∠ACB=
1 2
×180°=
90°
∴ △ABC 为直角三角形。
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你 都知道了吗？
2
2
练习
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形。（提示：作出以这条边为直径的圆。）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形。
C
证明： 以AB为直径作⊙O
∵AO=BO，
CO=
1 2
AB
∴AO=BO=CO
A
·
B
O
∴点C在⊙O上
BAC 1 BOC
2
B
A
O·
C D
（3）在圆周角的外部，
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD
2
DAC 1 DOC
2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
练习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下。
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等。
例题
例2 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
圆周角定理
足球场上有句顺口溜：”冲向球门跑，越近就越好；
歪着球门跑，射点要选好。”可见踢足球是有“学问”的， 以下我们将来学些几何知识来分析类似足球射门的问题。
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心，并且两边都和圆相交
的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
解：∵AB是直径
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°
C
在Rt△ABC中
BC AB 2 AC 2 102 62 8 A
O
B
∵CD平分∠ACB
∴ ∠ACD= ∠BCD
D
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
C2
推论
C1
半圆（或直径）所对的圆周
C3
角是直角； A 90°的圆周角所对的弦是直径。
·O
B
如图，已知△ABC内接于⊙O， ， 的度数分别为80°和110°，则△ABC的三 个内角度数分别是多少度？
答： △ABC的三内角分别是 ∠A＝55 °，∠B＝85 ° ，∠C＝40 °
例1 在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽 力向球门AB冲近(如图1)，你说为什么
如果圆心角和圆周角所对的弧相同,那么 1、圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢? 2、圆周角与圆心角之间又有什么关系呢?
同学们可以大胆地说出你的猜想？
同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角
∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A。由
于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
解 :设球员在位于C处接到球，
他带球尽力向球门冲近到D， 此时不仅距离球门近了，射 门更为有力，而且对球门AB 的张角也扩大了，球更容易射 中.可以证明如下：
延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE 所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE 即∠ADB＞∠ACB 这样，更容易射门得分
顶点在圆周百度文库，并且两边都和圆相交的角
叫做圆周角。
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1
图2
图3
图4
图5
图7
图8
图6 图9
重点观察下面三个图形中,圆心与圆周角的位置关系?
图1
图2
图3
在以上三个图形中,哪 个图形是特殊的,其它 图形可以转化为特殊
图形吗?
圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的 度数。
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC
2
（2）在圆周角的内部， 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC) 2
又∵AB为直径
∴∠ACB=
1 2
×180°=
90°
∴ △ABC 为直角三角形。
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你 都知道了吗？
2
2
练习
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形。（提示：作出以这条边为直径的圆。）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形。
C
证明： 以AB为直径作⊙O
∵AO=BO，
CO=
1 2
AB
∴AO=BO=CO
A
·
B
O
∴点C在⊙O上
BAC 1 BOC
2
B
A
O·
C D
（3）在圆周角的外部，
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，
利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD
2
DAC 1 DOC
2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
练习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下。
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等。
例题
例2 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
圆周角定理
足球场上有句顺口溜：”冲向球门跑，越近就越好；
歪着球门跑，射点要选好。”可见踢足球是有“学问”的， 以下我们将来学些几何知识来分析类似足球射门的问题。
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心，并且两边都和圆相交
的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？