方景龙应用离散数学第5章 图课件
离散数学及其应用课件第5-8章
2i5(2x)25i
(3y)i
令i＝13得到展开式中x12y13的系数，即
1235212 (3)13
25! 212313 13!12!
5.3 容斥原理
定理5.3.1 （容斥原理）设 , , , 是有穷集。那么
A1 A2 An Ai
Ai I Aj
1in
1i jn
Ai I Aj I Ak (1)n1 A1 I A2 I I An
例题
例5.1.3 TCP/IP网络中，A类地址中，全0和全1不做网络地 址，A、B、C三类地址中全0和全1都不作为主机地址。在 Internet中有多少个可统一分配的有效的IP地址？
解 在Internet中有可统一分配的有效的IP地址为A、B、C 三类地址，令这三类地址总数为N，A类、B类、C类的有效IP 地址数分别为NA、NB、NC。由加法法则，N= NA+NB+NC。令 Wi和Ci(i{A,B,C})表示每类地址的网络地址数和主机地址数， 由乘法法则，Ni=WiCi (i{A,B,C})。
n! (n r)!r!
因此左边=右边，得证。 对于一个n元素集合的r-组合数也有另一种常用的记号，即C（n， r）可写为 。
这个数也叫做二项式系数。
推论2
推论2 帕斯卡恒等式。设n，r为正整数，n r 0，则
C(n,r) C(n 1,r 1) C(n 1,r)
证明 利用定理5.2.2得
C(n 1, r 1) C(n 1, r) (n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n 1 r)!
例题
例5.1.2 m个男孩，n个女孩排成一排，如果女孩不相邻，有 多少种方法？
解 先排好男孩，这对应于m元集合的全排列问题，有m！种 方法。为使得女孩不相邻，将男孩看作格子分界，将女孩放入 格子中间，m个男孩构成了m十1个格子（包含男孩的全排列之 外的头尾两个位置在内），从中选出n个放入女孩，选法数是 P（m＋1，n）。根据乘法法则所求的方法数是m！P（m＋1， n）。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学课件第5章(1)
Chapter 5
graph theory
CHAPTER 5 Graphs
5.1 Introduction to Graphs 图的概述
5.2 Graph Terminology 图的术语
5.3 Representing Graphs and Graph Isomorphism图的表示和图的同构
b d
c
Solution:
12 2021/5/30
0 0 1 0
AG
1 0
0 0
0 0
0
0
1
1
1
0
5.3 Representing Graphs and Graph Isomorphism
Question:
1. What is the sum of the entries in a row of the adjacency matrix for an undirected graph?
Representing Graphs 图的表 示
Methods for representing graphs: Adjacency lists 邻接表 -- lists that specify all the vertices that are adjacent to each vertex该表规定与图的每个顶点 邻接的顶点 Adjacency matrice 邻接矩阵 Incidence matrices 关联矩阵
5.3 Representing Graphs and Graph Isomorphism
〖Example 2〗 What is the adjacency matrix AG for the following graph G based on the order of vertices a, b, c, d ?
离散数学第5讲PPT课件
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
离散数学 第五、六、七讲 群、环、域共51页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
离散数学 第五、六、七讲 群、环、域6、露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
离散数学讲解第五章PPT课件
17
又例如 (a2)3 a6 因为 (a2)3(a (2)1)3(a2)1(a2)1(a2)1
(aa)1(aa)1(aa)1
根据结合(a律 a )(a 1a1)(a1a1)(aa)e 所以 (a a)1 a1a1 因此 (a2) 3 (a1a1)(a1a1)(a1a1)
a 1a 1 a1a1a1a1 (a 1)6 a 6
2021/4/8
7
定理5-2：设h是从代数系统V1＝ <S;*>到V2＝ <S;>的 满同态，其中运算*和都是二元运算，则 （1）若V1是半群，则V2也是半群； （2）若V1是独异点，则V2也是独异点。
2021/4/8
8
四、有限独异点的幂等元 设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列： e，g，g2，g3，.... ，gn-1，gn，gn+1，......
证明：对任意的a∈S，令Sa＝{ a0,a1,a2,...,an,...} 因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。 可以验证<S; * >是一具有生成元a的有限循环独异点。 因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。 记j＝kl，即aj是幂等元。 注：这里j≥1，有可能aj=e
2021/4/8
（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一个群。 (N)
（2）令EA = {f|f:AA是双射}, 则<EA;>是一个群。 (Y )
（3）EA 定义同上，<EA;>是一个交换群。 (N)
（4）EA 定义同上，<EA;>是一个循环群。 (N )
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5.3 群的性质
一、关于相约性 定理5-6 设<G;*>是一个群，则对任意的a,b G， （1）存在唯一的元素xG，使a*x=b； （2）存在唯一的元素yG，使y*a=b。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学及应用课件
离散数学及应用课件离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学离散对象，如集合、图、树、数等。
它涵盖了一系列丰富而又有深度的主题，包括集合论、图论、数论、逻辑学等。
这些主题不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学、经济学等多个领域有所涉及。
一、离散数学的主要内容1、集合论：集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其性质和运算。
集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、补集等。
2、图论：图论是离散数学中一门研究图形和网络结构的学科。
图论中的基本概念包括节点、边、路径、环、子图等。
图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域都有广泛的应用。
3、数论：数论是研究整数性质和运算的学科。
数论中的基本概念包括整数、素数、合数、约数、倍数等。
数论在密码学、计算机科学等领域有着重要的应用。
4、逻辑学：逻辑学是研究推理和证明的学科。
逻辑学中的基本概念包括命题、推理、证明、反证等。
逻辑学在人工智能、哲学、法学等领域有着广泛的应用。
二、离散数学的应用1、计算机科学：离散数学在计算机科学中的应用广泛而重要。
例如，图论被用于解决计算机科学中的一些基本问题，如排序问题、旅行商问题等。
离散数学还在计算机科学的其他领域有所应用，如算法设计、数据结构、数据库系统等。
2、物理学：离散数学在物理学中的应用也十分广泛。
例如，量子力学和统计力学的理论框架中都有离散数学的影子。
离散数学还在固体物理学、分子物理学等领域有所应用。
3、经济学：离散数学在经济学中的应用也日益增多。
例如，离散数学被用于研究金融市场中的复杂行为，以及分析经济数据的模式和趋势。
离散数学还在博弈论、决策理论等领域有所应用。
三、总结离散数学作为数学的一个重要分支，其理论和应用已经渗透到科学的各个领域。
学习和研究离散数学，不仅可以增强我们的数学素养，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，我们应该重视离散数学的学习和应用。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散量的结构及其相互关系。
离散数学 教学课件 ppt 作者 杨圣洪 张英杰 陈义明 ch5图论
第五章图论杨圣洪D形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。
其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集，M(E,V)=边与点连接关系。
常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。
简记为G=(V,E)。
5.1图的概念与描述-邻接矩阵对于有向图，如果从结点vi到结点vj之间有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于结点vi到vj有一条边，反过来vj到vi之间不一定有一条，故不一定对称。
对于无向图，如果结点vi到Vj有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于Vi到Vj有一条边时，反过来Vj到Vi肯定也有一条边。
故它是对称的。
⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011010001101100011a b c de1e2e3e4e5e6V={a, b, c, d}E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}|V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图|E|称为边数，记为m.该值有限。
有限图无限图如果每条边都有方向的，则为有向图。
如果每条边都没有方向，则为无向图。
某些边有方向，某些边没有方向，混合图有向图无向图与D相邻,e1与A、D相关，D为A的后继。
点与边关联相邻，e1与a、b相关联。
自环/自旋。
某两个点之间，称为该点的度数：=4, 有向图某结点的边，也称为“负边”，负度某结点的边，也称为“正边”，正度各点度数和=边数的2倍∑deg(v)=2|E|=2m (为偶数)证明：先去掉所有的边，每个点、整个图的度数为0增加一条边e=(u,v)，使结点u与v的度数的各增加1 。
每增加一条边使整个图的度数增加2。
∑deg(v)=2|E| =2m(为偶数)握手定理边数=5，(2*5)，边数=66)图中度数为奇的结点有偶数个用Vo表示度数为奇(odd)的结点集合，Ve为偶(even)的结点的集合,则有：∑e deg(v)+ ∑o deg(v)= ∑deg(v)=2m。
因Ve中每点度数均为偶数⇒∑e deg(v)为偶数，不妨记为2k⇒∑o deg(v)=2m-2k=2(m-k) ，由于Vo中每个结点的度数为奇数，不妨依次记为2n1-1,2n2-1,…,2n t-1，t为个数⇒其和为2(n1+n2+…n t)-1-1-…-1=2n'-t ⇒2n‘-t=2(m-k) 个数t=2(m-k)-2n'=2(m-k-n'):A(5) B(3)共2个:B(3),D(3)共2个n个结点完全图Kn的边数=n(n-1)/2 Kn:n个结点的完全图⇒该图的任何两个结点之间都有边相连⇒每个点都与其它n-1个点之间有边相连⇒每个点度数为(n-1)，n个点的度数和n(n-1),而整图的度数和为n(n-1)=边数2倍=2m⇒n(n-1)=2m，故边数m=n(n-1)/2由组合学可知m=C(n,2)⇒证明了c(n,2)=n(n-1)/2说明：简单图中点的度≤(n-1)，边数≤n(n-1)/2非空简单图一定存在度相同的结点证明:图G的结点数记为n。
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（2）图5.4（b）所示的具有8个顶点的环型图 C8 是二部图，因为把它的顶点集分成两个集合 V1 {a，c，e，g} 和 V2 {b，d，f ，h} ，C8 的每一条边都连接V1里的一个顶点与V2里
证明 设组内人的集合为图G 的顶点集合，若两人彼此是朋友，则其间连一条边。这样得到的图 G 是组内人员的关系图。显然，G 是简单图，图中顶点的度恰好表示该人在组内朋友的个数。利 用图G，原题就抽象为下面的图论问题：在简单图G 种，若顶点数 p≥ 2，则在G 中存在度数相
等的两个顶点。下面用反证法来证明这个命题。
完全二部图记作 Km，n 。容易看出，完全二部图的总边数为 m n 。
（7）如果 ( p，q) 图G 的每条边 ei 都赋以一个实数 wi 作为该边的权，则称G 为赋权图。赋
权图常常记作 G V，E，W ，其中 W {w1，w2，w3，
，wq
}，并称
w(G)
q
wi
为G 的总权值数。
i 1
图5.2 一个图的示例
例5.2 在图5.3中，（a）和（b）均为二部图，同时，（b）还是完全二部图。在二部图中，顶 点被分成了两组，在同组内没有边相连，所有的边都是连接不同组中的顶点。完全二部图中，边 集是连接两组顶点的所有边。
图5.3 二部图和完全二部图
例5.3 （1）图5.4（a）所示的具有3个顶点的完全图 K3 不是二部图。为了看明白这一点，注
（2）对于图 G V，E ，若 V p， E q，则通常称它为 ( p，q) 图。 称为图G 的阶。
边集 E 为空集的图称为零图，而（1，0）图称为平凡图。
（3）在图中，若边 e (u，v) ，则称顶点u 与顶点v 相邻接；并说顶点 u与边e 相关联，顶
点 v 与边 e 相关联；若边 e 和边f 有一个共同的端点，则称边e 和边f 相邻接；没有边关联于它
图论中的图是一个非常抽象的概念，它可以表示许多具体的东西。下面给出图的数学定义。
定义5.1 一个图G 是一个序偶 V，E ，其中， V 是一个非空集合， E 是V 的2-元素子集的
集合。分别称 V 和 E 图G 的顶点集和边集， V 中的元素是图G 的顶点， E 中的元素是图G 的边。
说明：（1）在容易引起混淆的情况下，通常把 V 记为V (G) ， E 记为E(G) 。
的一个顶点。
图5.4 二部图与非二部图
例5.4 在图5.5中，（b）和（c）都为（a）的子图，但（c）是（a）的导出子图而（b）不是， （b）为（a）的生成子图而（c）不是。
图5.5 图和子图
由于所有偶数点的度数之和必然为偶数，所以所有奇点度数之和为偶数，而每个奇点的度数 为奇数Байду номын сангаас所以奇点的个数必然为偶数。 例5.6 在任何由两个或两个以上的人组成的小组里，证明必有两个人组内朋友的个数相等。
5.2 图的连通性
5.2.1 通路
定义5.4 G V，E 是一个图，G 的一个点边交替序列(v0，e1，v1，…，vn−1，en，vn) 称
为G 的通路，其中ei=(vi−1，vi )，i =1，2，…，n。通路中边的条数称为通路的长度。特别地，
若 ，则该通路称为回路。 在通路的定义中，边或顶点可以重复出现，但在实际应用中，常常要求经过的边不重复，或
的顶点称为孤立点，不与其他任何边相邻接的边称为孤立边。 （4）在图中，两端点相同的边称为环；两端点间的若干条边称为平行边；有环的图称为带环图， 没有环的图称为无环图；有平行边的图称为多重图；没有环也没有平行边的图，称为简单图。
（5）任何两个不同顶点之间都有边相连的简单图叫完全图。具有 p 个顶点的完全图记作 K p 。 完全图的总边数为 p( p 1) / 2 。
21世纪高等教育计算机规划教材
第5章 图
《应用离散数学（第2版）》
方景龙 周丽 编著
目录
5.1 基本概念 5.2 图的连通性 5.3 欧拉图与哈密尔顿图 5.4 最短通路 5.5 树 5.6 平面图及图的着色
关于图论最早的论文可以追溯到1736年，当时欧拉（Leonhard Eular）发表了一篇论文，给出 了图论中的一个一般性的理论，其中包括现在被称为Königsberg七桥问题的解。其背景是一个非常 有趣的问题：在Königsberg城郊的Pregerl河上有两个小岛，小岛和河两岸的陆地由7座桥相连（如 图5.1（a）），问题是如何从河岸或岛上的某一个位置出发，7座桥正好各经过一次，最后回到出发 地。有人尝试了很多次，始终没能成功。Euler在论文中给出了该问题的数学模型，用4个点代表4个 被河隔开的陆地（两岸和岛屿），把桥表示为连接两个陆地之间的边，则得到图5.1（b）所示的图， 从而问题变为如何从图中的某个点出发，经过所有的边正好一次，最后回到这个点。在研究这个图的 基础上，Euler在论文中证明了该七桥问题无解，并且给出了一些规律性的理论。把实际问题抽象成 点和边构成的图进行研究，标志着图论研究的开始。
（6）设 G V，E 是简单图且 V V1 V2，V1 V2 。若 (u，v) E ，均有 u V1
且 v V2 ，或 v V1 且 u V2，则称G 为二部图。 若 u V1， v V2 ，均有 (u，v) E ，则称G 为完全二部图，V1 m，V2 n 时的
图5.1 Königsberg七桥问题
图论中几个重要的结论也是在19世纪得到的，但图论引起人们持续的、广泛的兴趣是在20 世纪20年代以后，其主要原因是它在许多不同领域内的应用，包括计算机科学、化学、运筹学、 电子工程、语言学和经济学等。
5.1 基本概念
5.1.1 图的定义 在许多实际问题中，事物之间的某些关系往往可以用图来描述。 一个图通常包含一些结点及结点之间的连线，图中线段的长度及结点的位置并不重要。因此，