等比数列第一课时导学案
《等比数列》 导学案
《等比数列》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。
3、了解等比数列的性质，能够运用性质简化计算和解决问题。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。
（2）等比数列性质的应用。
2、难点（1）等比数列通项公式的推导。
（2）灵活运用等比数列的性质解决问题。
三、知识链接1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
2、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
四、自主学习（一）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_{n}｝＝ q\）（n∈N）例如：数列 2，4，8，16，32，… 是等比数列，公比 q ＝ 2；数列 1，＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），… 是等比数列，公比 q ＝＼（＼frac{1}｛2}＼）。
思考：（1）公比 q 可以为负数吗？（2）常数列一定是等比数列吗？（二）等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项为\（a_{1}＼），公比为q，则其通项公式为\（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）。
推导过程：＼（a_{2} ＝ a_{1}q\）＼（a_{3} ＝ a_{2}q ＝ a_{1}q^｛2}＼）＼（a_{4} ＝ a_{3}q ＝ a_{1}q^｛3}＼）……＼（a_{n} ＝ a_{n-1}q ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）例1：已知等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项\（a_{1} ＝2\），公比\（q ＝ 3\），求\（a_{5}＼）。
《等比数列》导学案
§2.4 《等比数列》导学案【学习目标】〖知识目标〗1.正确认识和理解等比数列的定义，明确等比数列中公比的概念，探索并掌握等比数列的通项公式.2.懂得将生活中的实例抽象为等比数列模型来解决生活中的实际问题.〖能力目标〗1．通过发现几个具体简单的数列的等比关系，类比于之前的等差数列概念的推导过程，归纳出等比数列的概念，探索出等比数列的通项公式.2．培养学生严密的思维习惯，通过对等比数列的研究，采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学，发挥学生的主体作用，并进一步培养学生善于思考、解决问题的能力.〖情感目标〗1．感受等比数列丰富的现实背景，培养学生勇于探索，实事求是的科学态度.2．进一步激发学生主动参与学习，感受数学文化，激发学生的学习欲望．〖教学重点〗等比数列的定义和通项公式．〖教学难点〗等比数列与指数函数的关系．【学习过程】一．探求新知〖探究一〗：阅读教材48、49页的具体实例①～④，并把各自对应的数列补充完整：①1, 2， 4，，…②1，，，，…③1，，，，…④10000×1.0198，，，，观察这几个数列：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于。
共同特点：。
1、等比数列定义：一般地，如果一个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．等价数学表达式为：思考讨论：1.等比数列中的项能否为零?2.等比数列的公比q 能否为零?3.常数列是否是等比数列？4.既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a, G , b 成 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
想一想： 1、G 与a 、b,之间的关系 2、a 、b 的符号有什么特点？3、等比数列通项公式：〖探究二〗：类比等差数列通项公式的推导过程，完成等比数列通项公式的推导： （法一）归纳法等差数列：21314123a a da a da a d =+=+=+L L，由此归纳等差数列的通项公式可得．1(1)n a a n d =+-（法二）累加法2132431n n a a d a a d a a d a a d-ì-=ïïïï-=ïïï-=íïïïïïï-=ïîL L 相加得1(1)n a a n d =+-等比数列：21a a q =〖探究三〗：等比数列与指数函数的关系分别在下面的直角坐标系中，画出通项公式为12-=n n a 的数列的图象和函数12y -=x 的图像．通过画图象并观察图象，我们可以发现：等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a 的图像是分布在)1q 0(1≠>=且q q qa y n 的图像上的一些 。
等比数列
高一数学必修5《等比数列》（第一课时）导学案班级 姓名学习目标1．通过实例，发现数列的等比关系并归纳等比数列的概念，进而探索等比数列的通项公式，并能初步应用。
2.通过对等比数列通项公式的探索，体会类比思想以及特殊到一般思想方法的应用。
重点难点重点：等比数列概念的理解和通项公式的探索及初步应用。
难点：等比数列通项公式的探索及初步应用。
课前热身请你从游戏和实例中抽象数列的模型，并把所得的数列填空。
1．悄悄话游戏中不同时刻知道悄悄话的同学个数依次组成的数列： ___； 2．“一尺之棰，日取其半，万事不竭。
”得到的数列： ___； 3．病毒每一轮感染的计算机数构成的数列： 。
思考：请同学们观察上面的数列①②③，说说它们有什么共同特点？学习探究（一）等比数列概念的形成归纳：(二)等比中项的概念（三）等比数列的通项公式：请你写出上面三个等比数列的通项公式，类比等差数列的通项公式的推导过程，请你补全首项为1a ，公比是q 的等比数列{}n a 的通项公式： )(q a a n 1=知识应用例. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第n 项。
合作交流，解决问题 在等比数列{}n a 中，(1) 已知122,54,;a a q ==求 （2）已知4124,2,;a q a ==-求(3) 已知 11,2,32,.n a q a ===求n （4）已知3a =20，1606=a ，求n a .展示提炼达标检测1.已知在等比数列{}n a 中，13a =，2q =-，则4a =______.2.2和8的等比中项是( )(A)4 (B)－4 (C)±4 (D)2 3. 已知等比数列{}n a 中，427a =，3q =，则该数列的通项n a =( )(A)3n(B)13n - (C) 13n -- (D) 3n-分层作业基础性作业：（必做）1、自习课本例1、例22、完成课本P 53习题2.2[A 组]的第1、2题。
07等比数列(1)导学案
第 1 页 （共4页） 第 2 页 （共4 页）2.4 等比数列（1）【课前准备】 课本，学案，练习本，笔记本，双色笔【复习回顾】复习：1.等差数列的定义？2.等差数列的通项公式：n a = ，推导方法：【激情导入】 我国古代学者提出：“ 一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”你理解这句话的含义吗 ？【学习内容】 〔学习目标〕1．理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.〔学习过程〕一、课前学习 探究一：等比数列的概念 观察：①1，2，4，8，16，… ②1，21 ，41 ，81 ，161 ，… ③1，20，202，203，204，…思考以上三个数列有什么共同特征？1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数， 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比 数列的 , 通常用字母 表示（q ≠0），即：1-n na a = （q ≠0，n>1） 探究二：等比数列的通项公式 2. 等比数列的通项公式：2a = 1a ； 1123)(a q q a q a a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11a q a a n n ==- . 等式成立的条件 . 问题:等比数列的通项公式n a 是n 的 型函数，你还有其它推导方法吗？探究三：等比中项的概念 3.等比中项的定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与 b 的等比中项.即G = （a ，b 同号）.试试：数 4 和 6 的等比中项是 ；等差中项是 .二、课堂学习例1、 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?例2、 一个等比数列的第三项和第四项分别是12和18，求它的第一项和第二项.★例3、 已知数列{n a }中，lg n a = 3n+ 5 ，试用定义证明数列{n a }是等比数列；★变式：数列{120lg -n }是等差数列吗？试用等差数列的定义证明.★由例3和变式你能总结出一般结论吗？【师生小结】1. 等比数列定义： 2. 等比数列的通项公式：3. 等比中项的概念： 【当堂练习】 1、判断下列数列是否为等比数列，若是，写出其公比. ;41,21,1,2)7(;16,8,4,2)6(;81,41,21,2)5(;16,8,4,2)4(;161,81,41,21,1)3(;8,4,2,1,0)2(;1,1,1,1,1)1(----------2、 (1)求45和80的等比中项；(2)已知两个数9+k 和k -6的等比中项是k 2，求k .【高考链接】（13年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于（ ）A.-24B.0C.12D.24【布置作业】1.完成自主训练2.预习作业：下个学案 【体验反思】第 3 页 （共4页） 第 4 页 （共4 页）【自主训练】A 层（提示：在预习完后需完成的题目）1、 在等比数列{}n a 中，112a =，224a =，则3a =（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 722、在等比数列{}n a 中，首项1a 和公比q 满足的条件是3、已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：(1)2,（ ）,8； (2)-4,（ ），（ ），12； (3)（ ）27,3,；(4)3，（ ），27； (5)1，（ ），4，（ ），16.B 层1. 等比数列的首项为98 ，末项为13 ，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A.3B.4C.5D.62. 已知数列a ，a （1－a ），a (1-a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1C. a ≠0D. a ≠0或a ≠13. 设1234,,,a a a a 成等比数列，公比为 2，则432122a a a a ++＝ .4. 在等比数列{n a }中，24a = 6a -5a ，则公比 q ＝ .5、 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.6．第54页第7题C 层1、一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D.2.下列数列哪些是等差数列，哪些是等比数列？（1）;12lg ,6lg ,3lg (2);2,2,1,2,2212-- (3)a a a a a ,,,,.3、按照数列的分类，当公比1=q 时，数列为___________； 当公比0<q 时，数列___________ ；当公比1>q 时，又需要考虑 ，如何分类呢？ 当公比10<<q 时呢？ 4、在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ；⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ；⑶ 44a =，76a =，求9a ；⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .。
高中数学必修五导学案等比数列(一).docx
必修五等比数列（一）【学习目标】1.正确理解等比数列的概念，能用等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列。
2.掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单问题。
3.通过自主学习、合作探究，体验学习的快乐。
【重点和难点】重点：等比数列的概念的理解，掌握等比数列的通项公式。
难点：利用等比数列的定义和通项公式解决相关问题。
【使用说明及学法指导】1．先学习课本P48P52然后开始做导学案； 2. 针对复习提纲，理解等比数列的概念及通项公式。
预习案一．问题导学1.既是等比又是等差的数列存在吗？如果存在你能举出例子吗？。
2.你能用定义证明等比数列的通项公式吗？二．知识梳理1.等比数列的定义：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q 表示。
即若an q n 2, q为常数，则称数列a n为， q 为，且 q。
a n12.等比数列的通项公式 a n。
3.若a, G,b成等比数列，则；其中G叫做a与b的。
此时a与b （填同号或异号）。
三. 预习自测1.下列各数列一定成等比数列的是（）① -1 ，-2 ， -4 ，-8 ；②1， - 3 ，3，-3 3 ；③ a,a,a,a;④ 1,12,13,14.a a a aA、①②③B、①②C、①②④D、①②③④2.2+ 3与 2- 3 的等比中项为。
3．在等比数列{ a n}中，已知a110 ，公比 q3, a n90 ，则 n。
4．在等比数列{ a n}中，a n 12a n0 ，则2a1a2。
2a3a4四 . 我的疑问：探究案一．合作探究探究 1：在等比数列a n中，（1） a32, a158 ，求 a9；（2） a5＝1， a n＝256， q ＝2，求 n 。
探究 2：若a,2a2,3a 3 成等比数列，求实数 a 的值。
探究 3：已知a n为等比数列， a3 2,a2 a420，求 a n的通项公式。
3探究 4：已知数列a n满足 lg a n3n 5 ,试用定义证明a n是等比数列。
《等比数列的前n项和》(第一课时)导学案
《等比数列的前n项和》（第一课时）导学案【教学目标】知识与技能1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.过程与方法1. 提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力;2. 体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法;3. 渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想.情感与态度1. 培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验;2. 感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美.【教学重难点】重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用;难点：等比数列的前n项和公式的推导.【教学方法】启发式和探究式相结合【教学过程】一、学而时习之1. }a是等比数列 .{n2. 设}a是等比数列，则通项n a的表达式为{n(1) ;(2) . (知三求一)3. 设数列}{a的前n项和是n S, 则用n S表示n a的关系式应为n二、温故而知新1. 从印度国王奖赏国际象棋发明者的实例中，我们得到一个数列}{n b , 它的通项公式是什么呢？ （如果你是发明者，最关心什么事呢？欲知所获麦粒总数，且待今日精彩探究！）2. 你能写出上述数列求和的表达式吗？三、勇于尝试对于一般的等比数列}{n a ，你能运用上述方法，求出它的前n 项和吗？四、实践出真知（知三求二）例1 求等比数列 ,161,81,41,21前8项的和. 例2 等比数列 ,161,81,41,21中前多少项的和是6463? 例3求等比数列 ,161,81,41,21中第5项到第10项的和. 例4 求等比数列 ,161,81,41,21前n 2项中所有偶数项的和. 例5 求和.1132-+++++n a a a a五、问题解决国王奖赏的小麦约有多少？重量约为多少？他能履行承诺吗？六、生活链接神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第x 位接收此消息的……”假定这家公司发出的10条短信中的x 值均为1，以后每一位收到短信后将x 值都增加1，再将短信发出．据统计，所发短信中x 的最大值为10．试问通过这家公司最多发了多少条短信？七、颗粒归仓1. 晒晒你的收获：2. 数学思想方法：3. 洗洗你的疑惑：八、分层练习必做：(1)设}{n a 是等比数列, 263,2763==S S , 求n a .(2) 求数列的前n 项和.选做：(1)求和+++3232x x x …n nx +.(2)“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加以解释．。
等比数列公开课导学案
§2.4等比数列（1）1．理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及推导过程方法；3.体会等比数列与指数函数的关系.等差数列的通项公式n a = ，变式 ， 。
复习2：等差数列的单调性复习3：等差数列的通项公式推导方法是什么？与函数的关系如何？图像呢？二、新课导学 创设情景，探索新知 ※ 学习探究创设情景：见课件探究1：阅读课本的4个背景实例，找出规律，写出4个实例所得到的数列。
新知1：根据等比数列的规律，你能给出等比数列的定义吗？1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a -= （q ≠0）或 （数学符号表示） 探究2：⑴上述例子的公比分别是什么？⑵你能举一些在生活中的等比数列吗？等比小于0的呢？课堂练习：给出以下几组数列，哪些是等比数列？.由此你得到什么？①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，⑨0，1，2，4，8，…⑩1，x ，,432,,x x x … ※合作讨论1：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的等比数列是什么数列？（3）常数列都是等比数列吗？（4）有没有既是等差数列又是等比数列的数列？我的总结：新知2：等比数列的通项公式及推导过程方法在学习等差数列时我们能够用公差d ，项数n 及首项1a 表示数列的任一项，也就是它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列通项公式，需要确定几个条件？探究3：想想等差数列通项公式的推导过程，你能动手推导一下等比数列的通项公式吗？法一：法二：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件所以, 等比数列的通项公式是等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：新知3：等比数列的通项公式与指数函数的关系※合作讨论2：阅读课本50页探究（2），（3）你发现了什么？等比数列与指数函数的关系：※ 知识拓展 等比数列的单调性在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列；⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列；⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.三、例题讲解 巩固提升，深化理解 ※ 典型例题例1：某种放射性物质持续变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的半衰期为多少？（精确到1年）※ 动手试试 当堂检测（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.课本例3：一个等比数列的第3项和第四项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
高二数学导学案等比数列
§2.4.1等比数列（第一课时）【学习目标】1、理解等比数列定义，会用定义判断等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式。
3、掌握等比中项的定义并能解决相应问题。
【自学指导】一、复习回顾：(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
由定义可得等差数列的递推公式：。
(2)设等差数列{}n a的首项为1a，公差为d，则它的通项公式n a= （定义式）设等差数列{}n a的第m项为m a（m<n），公差为d，则它的通项公式为n a= .(3)等差数列的通项公式是如何得到的？二、探索新知⑴形成概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示。
由定义可得等比数列的递推公式：。
2.等比数列通项公式设等比数列{}n a的首项为1a，公比为q，则它的通项公式n a= （定义式）设等比数列{}n a的第m项为m a（m<n），公比为q，则它的通项公式为n a= .3. 等比中项的定义：如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b 的，⑵深入探究①、根据等比数列的定义，你能得到等比数列的哪些特点？②、根据等比中项的定义，你又能得到等比数列的哪些特点？③、你是如何得到等比数列的通项公式的？等比数列的图像与指数函数的图像之间有何关系？三、典例引导，增强应用例1：判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？① 1, 2, 4, 8, …，263② 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19③ -1, -2, -4, -8,④－1, －1, －1, －1,…⑤1, 0, 1, 0,…例2：一个等比数列的第3项为12，第4项为18，求它的首项和公比以及通项公式.例3：已知数列{}n a {}b n 是项数相同的等比数列，那么数列{}n n a b 是等比数列吗？四、当堂检测1、下列各数列成等比数列的是（ ）①-1，-2，-4，-8； ②1，-3，3，-33； ③x,x,x,x; ④4321,1,1,1a a a a . A 、①②③ B 、①② C 、①②④ D 、①②③④2、a,,b c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ）A 、一定有两个不相等的实数根B 、一定有两个相等的实数根C 、一定没有实数根D 、以上三种情况均可出现3、1与1的等比中项为 .4、若2G ab =,则,,a G b 一定成等比数列吗？请举例说明？五、课堂小结1)等比数列的定义是什么？怎样判断一个数列是否是等比数列？2)等比数列得通项公式是？其中每个字母所代表的含义是什么？3)等比数列应注意哪些问题？。
高中数学《等比数列》(一)导学案 新人教版必修5
江苏省徐州市王杰中学高一数学必修五《等比数列（一）》导学案 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模一．自学准备与知识导学：1．观察下列数列有何特点?（1）1，2，4，8，…（2）10，2110⨯，2)21(10⨯，3)21(10⨯，… （3）1，21，41，81，… （4）05110000．⨯，205110000．⨯，305110000．⨯，… 2．等比数列的定义：____________________ ________________________________ ． 思考：等比数列的公比可以为0吗? 可以有为0的项吗?3．练习：（1）判断下列数列是否为等比数列：①1，1，1，1，1；②0，1，2，4，8； ③1，21-，41，81-，161； ④1，2，1，2，1； ⑤1，31，91，271，811； ⑥2，1，21，41，0． （2）求出下列等比数列中的未知项： ①2，a ，8； ②4-，b ，c ，21．（3）已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：①、（ ），3，27； ②、3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），881． 3．等比数列的通项公式的推导与证明：4．练习：求下列等比数列的公比q 、第5项5a 及第n 项n a ：①2，6，18，54，…=q ______，=5a ______，=n a _________； ②7，314，928，2756，… =q ______，=5a ______，=n a _________； ③30．，090．-，0270．，00810．-，…=q ______，=5a ______，=n a _________； ④5，15+c ，125+c ，135+c ，… =q ______，=5a ______，=n a _________．二．学习交流与问题研讨： （1）在等比数列{}n a 中，是否有112+-⋅=n n n a a a ？（2）如果数列{}n a 中，对于任意正整数)2(≥n n ，都有112+-⋅=n n n a a a ，那么{}n a 一定是等比数列吗？例1在等比数列{}n a 中，（1）已知31=a ，2-=q ，求6a ； （2）已知203=a ，1606=a ，求n a ．例3 试在243和3中间插入3个数, 使这5个数成等比数列．三．练习检测与拓展延伸：1．下列哪些数列是等差数列，哪些数列是等比数列？（1）12lg 6lg 3lg ，，； （2）2122222-- ，，，； （3）a a a a a ，，，，．2．已知等比数列{}n a 的公比为52，第4项是25，求前3项．四．课后反思或经验总结： 等比数列的概念、通项公式. 例2。
高中数学 2.4等比数列(1)导学案 新人教版必修5
高中数学人教版必修五 2.4等比数列（1）学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式na=，等差数列的性质有：新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示（q≠0），即：1nnaa-=（q≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a=；3211()a a q a q q a===；24311()a a q a q q a===；……∴11n na a q a-==⋅等式成立的条件3. 等比数列中任意两项na与ma的关系是：※典型例题例1 （1）一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.三、总结提升※ 学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 当堂检测1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则12342a a +＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .课后作业在等比数列{}n a 中，⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ；⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ；⑶ 44a =，76a =，求9a ；⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .。
等比数列导学学案
,,,a思考：在等比数列中，各项的符号与公比，那么各项的符号与,n a 它的前n a ，公比为项和是.1n a -++1n a -++ 〔.项和n S 与通项等比数列综合练习一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，那么3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，那么=1020a a 〔 〕 A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 3.等比数列{}n a 中，121264a a a =，那么46a a 的值为〔 〕A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，那么a 3的值为〔 〕A. －4B.4C. ±4D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，假设63S S =3 ，那么69SS = A ． 2 B. 73 C. 83D. 36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设242S S =，那么公比为〔 〕A.1B.1或－1C.21或21- D.2或－2 7.等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，那么前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．218.等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，那么该数为〔A 、 S 1B 、S 2C 、 S 3D 、 S 49.数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),那么数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列 10.某人为了观看2021年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，假设年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2021年将所有的存款和利息全部取回，那么可取回的钱的总数〔元〕为〔 〕． A a(1+p)7 Ba(1+p)8 C)]1()1[(7p p pa+-+ D)1()1[(8p p pa+-+] 二、填空题11.假设各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，那么公比q =． 12.1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，那么=+221b a a ______． 13.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=，那么{n a }的前4项和4S =_____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n，那么n a =_______.三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．〔1〕试用n a 表示1n a +；〔2〕求证：2{}3n a -是等比数列； 〔3〕当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．16.数列{}n a 满足：111,1,22,nn n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈ 〔Ⅰ〕求234,,a a a ；〔Ⅱ〕求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； 〔Ⅲ〕求和2462n nT a a a a =+++17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； 〔3〕试比拟n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，231,,S S S 成等差数列.〔1〕求{}n a 的公比q ； 〔2〕假设331=-a a ，求n S .等差等比数列求和习题一、选择题.. .word..。
等比数列(经典导学案及练习答案详解)
§6.3 等比数列 学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3， 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3， a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( )A ．－2或32B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1， 故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式． (1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643 C.323D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13， 所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92D ．6 答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ， ∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里 答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列． 6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
等比数列导学案设计
课题等比数列（一课时）课型新课媒体用具PPT 日期学习目标：1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用2．掌握等比中项的概念并会应用3．理解等比数列的通项公式及推导重点：等比数列的定义及通项公式难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题过程学习内容师生活动及设计意图一、二、复习引入：等差数列的定义：na－1-na=d ，（n≥2，n∈N+）观察：请同学们仔细观察一下，看看数列①、②、③、有什么共同特征？①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…新知探究1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示。
符号表示：引例中的三个等比数列的通项公式分别是？猜想，等比数列的通项公式？2.等比数列的通项公式的推导:1）累乘法：2）归纳法：3、等比中项：若bGa,,成等比数列，则bGa,,的关系？G叫做a与b的，此时a与b（填同号或异号）。
学生观察找出共同特点/3通过类比法学生归纳等比数列定义思考？1）定义中的关键句？2）公比能否为0？3）公比为1时？4）常数列？是等差数列还是等比数列组内合作探究等比数列通项公式过程学习内容师生活动及设计意图三、四、五、六、跟踪练习（抢答）1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（），3,27；②2，（），8；③1，（），（），881．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）1,1,1,1,1；2）8,4,2,1,0；（3）161,81,41,21,1--（4）432,,,xxxx4、求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a；（2）21,,,4cb-5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列；②数列Λ,81,41,21,1是公比为2的等比数列；③若cbba=，则cba,,成等比数列；④若()*1Nnnaann∈=+，则数列{}n a成等比数列；合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
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2.3等比数列导学案（1）学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2 ••掌握等比数列的通项公式并能简单应用；重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题1 11 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 ——2 48问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？2、 等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。
3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法）4、等比数列的通项公式a n玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4a 3qa 1a na n 1q a 1a o根据等比数列的定义，可以得到—a 3---- ?a 4---- ?a n---- ? ?一以上共有a 1 a 2 a 3a n 1式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得__________ ，即a 1a 2 a 3a 1，即得到等比数列的通项公式。
方法2:（累乘法）a 2a 3 a 4a n 1三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 •这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项a n 0且q 03 q= 1时，｛a n ｝为常数。
2、 等比数列的通项公式 1: _________________________ .3、 等比数列的通项公式 2: _________________________ .4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。
贝U.5、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列四、预习检查：1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…；(2) -1,1,2,4,8 , ;⑶Ig3,lg6,lg12,…;(4) 1 2 3a ,a ,an7aJ；(5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n3 2n 。
(6) 已知数列 a n 的通项公式为ann32.已知数列1,24,-8,16•…它的公比是 ,通项公式是3. 已知数列 1 — 1 11 --- --- •… 则一 1是它的第项。
24 81284. 一个等比数列的第 9项是4，公比是一1 ,求它的第1项935.一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项示(q z 0),即:a n=q (q* 0)a n 1｛an ｝成等比数列a n 1 =q ( na nN ,q *0)精品文档3 五、导学探疑例题：在等比数列｛a n ｝中，1.已知 a i = 3, q=-2,求 a 6 ;2.已知a 3=20， a 6=160，求 a归纳方法： 六. 固学思疑：1 •等比数列 a n 中，a2 9,a 5 243,则 q %()A . 3B . 4C . 5D . 6 2. .21与2 1，两数的等比中项是()1A . 1B . - 1C . 1D .23. 等比数列 a n 中a 427,q3,求a 74. ____________________________________________________ 在等比数列 a n 中，若a 3 3, a 9 75,则a 10 = __________________________________________ .45. (13 大纲理6)已知数列a n满足3a n 1a n0, a2(n>1,n N )，则通项a n= _____________ .3§ 2.3等比数列(2)学习目标1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.一、温故知新1. 等比数列的定义：_______________________________2. 等比数列的通项公式a n =公比q满足的条件是_____________3. 等差数列有何性质？____________________________________________________4•.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列，那么称这个数G 称为a与b的等比中项.即G= _________________ (a, b同号).•学习探究(1) .在等比数列｛a n｝中，a52 a3a7是否成立呢？2(2) .a n a n i a n i(n 1)是否成立？你据此能得到什么结论？(3) .a2 % k% k(n k 0)是否成立？你又能得到什么结论?2. 等比数列的性质在等比数列中，若m+n = p+q,则a m a n a p a k .试一试：在等比数列a n，已知a1 5, a9a10 100，那么盹________________ .三•例题例1在等比数列｛ a n｝中，已知a4a7 512，且a3逐124，公比为整数，求a® .练习1。
在等比数列｛ a n｝中，已知a7a125，则a8a9a10a11 _______ .练习2.在7和56之间插入a、b，使7、a、b、56成等比数列，若插入c、d，使7、c、d、56成等差数列，求 a + b + c + d的值.变式：三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91,求这三个数。
例2•已知｛a n｝, ｛b n｝是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什a 2 a4a10变式：项数相同等比数列｛%｝与｛ b n｝，数列｛空｝也一定是等比数列吗？证明你的结论b n小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列•四.学习小结1. 等比中项定义；2.等比数列的性质.3、公比为q的等比数列｛a n｝具有如下基本性质：⑴数列｛| a n |｝, ｛a n2｝, ｛ca n｝ (C 0) , ｛a nm｝ (m N*), ｛a n k｝等，也为等比数列，公比分别为|q|,q2,q,q m,q k.若数列｛b n｝为等比数列，则｛a n g)n｝, ｛色｝也等比•b n* n m⑵若m N ,则a n a m gq .当m=1时，便得到等比数列的通项公式*(3 )若m n k l , m, n, k,l N，则am® a k ga i.⑷若｛a n｝各项为正，c>0,则｛log c a n｝是一个以log。
印为首项，log°q为公差的等差数列.若｛b n｝是以d为公差的等差数列，则｛C b n｝是以c b为首项，c d为公比的等比数列.当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列五.当堂检测1.在a n为等比数列中, a n 0, a?a4 2a3a52a5 16，那么a3 a5 ( ).A. ± 4B. 4C. 2D. 82.右一9, a1, a2, —1四个实数成等差数列，一9, b1, b2, b3,—1五个实数成等比数列,则b2(a2—a1)=( ).A . 8B . —89C. ± 8D.-83. 若正数a, b, c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log a X , log b X , log c X ( )A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1 ,16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于---------------5. 在各项都为正数的等比数列an中，玄5玄6=9，贝U log3 a1+ Iog3a2+…+log3a106. 在a n为等比数列中，a1a9 64 , a3 a? 20 ,求a^的值.7. 已知等差数列a n的公差0,且a1, a3, a：成等比数列，求一竺_ .a2 a4 a10§ 233等比数列的前n 项和一. 学习目标1. 掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的S n ,a n ,a i ,n,q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题学习过程二、 学习探究 等比数列的前n 项和②当 q=1 时，S n _ 公式的推导方法二:=a 1 qS n 1 = a 1 q(S n a n ). 二(1 q)Si a 1 a n q (结论同上)试试：求等比数列-,1 , 1 ,…的前8项的和.2 4 8三.例题例1已知a 1=27 ,玄9=丄,q<0，求这个等比数列前 5项的和.243练习2：等比数列中，a 3 - ,S 3 9,求$及q.2 2新知：等比数列的前n 项和公式 设等比数列 a 1, a 2,a 3,L a n L 公式的推导方法一： 则SnqS n a i ay ay 2L ag(1 q)S n它的前 2agn 项和是S n 1 时，S na ia2a3L an,公比为q z 0,① 或S n由等比数列的定义,a2a3La a 2a n a n 1a 2 q ，有丄a 〔 a 2a 3 L a .L a n 1S naiSnanS n a 1即 S n anq.二(1 q)S n a 1 公式的推导方法三:S n a n q (结论同上)a 1 a ? a 3 L a . = a 1 q(q a ? a 3 L a . J练习1:3 , a s 48 .求此等比数列的前 5项和.精品文档例 2.等比数列｛a n｝中，S30 13S o , S10 S30 140，求S20.变式：在等比数列中，已知S n48, S2n 60，求S3n.例3.数列｛a n｝的前n项和0 a n 1 (a^ 0, a工1)，试证明数列｛a n｝是等比数列变式：数列a n的前n项和为S n，a! 1 2S n 1,(n N*)，则a n四•当堂检测1. 等比数列｛a n｝中，S3 3 , S6 9，则S92. 在等比数列中，若2S3 a3 2S2 a4，则公比q= __________________3. 在等比数列中，印1 , a n 512 , S n ____ 341，则q = _ ,n =4. 等比数列的前n项和Sn2n1，求通项a n.则数列a n的前六项的和精品文档5. ( 13湖北理18)已知等比数列a n满足：a2 a3 10, a1a2a3 125。