数值分析作业答案(第6章part2 第7章)

6.4.设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与

高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

解 雅可比迭代法的迭代矩阵

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-050100100100000001010101

a b b a a b b a B J ， ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J =

ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3

100

||

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0500010100001000000000100101021

b

a b ab a b a a b B S ， ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=-1003||2ab B I S λλλ，100||3)(ab B S =

ρ。 高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是3

100

||

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛13212321x x ，若用迭代法 )()()()1(b Ax x x k k k -+=+α，Λ,1,0=k

求解，问α在什么范围内取值可使迭代收敛，α取什么值可使迭代收敛更快？

解 迭代公式可以写成

b x A I x k k αα-+=+)()1()(，

迭代矩阵为A I B α+=。由

)4)(1(452

1

2

3

||2--=+-=----=

-λλλλλλλA I ，

故矩阵A 的特征值为1和4，所以矩阵B 的特征值为α+1，α41+，因而

}41,1max{)(ααρ++=B 。

这样

0211

411

11)(<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+<+⇔<αααρB ，

所以当02

1

<<-

α时迭代收敛。 当52

-=α时，

达到最小值53，故5

2

-=α时收敛最快。

6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组b Ax =，证明若取

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=212120203A ，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？

解 雅可比迭代法的迭代矩阵

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

-=+=-021121

03200)(1U L D B J ，11211)(<=J B ρ， 故雅可比迭代法收敛。

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

-=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--12110021003200000100200212020003)(1

1

U L D B S ，11211)(<=

S B ρ， 故高斯—塞德尔迭代法收敛。

因)(12

11

1211)(J S B B ρρ=<=

，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。 6.9.设有线性方程组b Ax =，其中A 为对称正定矩阵，迭代公式

)()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，Λ,2,1,0=k ，

试证明当β

ω2

0<

<时上述迭代法收敛(其中βλα≤≤<)(0A )。

证明 将迭代公式写成

b x A I x k k ωω+-=+)()1()(，Λ,2,1,0=k ，

迭代矩阵为A I B ω-=，其特征值)(1A ωλμ-=。

由

1<μ，即1)(1<-A ωλ，得

)

(2

0A λω<

<， 故当β

ω2

0<

<时，有)

(2

0A λω<

<，即1<μ，这时1)(

=--x x 的正根，要求误差小于0.05.

解 设1)(2

--=x x x f ，因为01)0(<-=f ，01)2(>=f ，所以]2,0[为)(x f 的有根区间。

又12)('-=x x f ，故当210<

1

>x 时，)(x f 单调递增。

而4

521-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛f ，1)0(-=f ，由单调性知)(x f 的唯一正根)2,5.1(*

∈x 。

根据二分法的误差估计式，要求误差小于05.0，只需

05.021

1

<+k ，

解得322.51>+k ，故至少应二分6次。具体计算结果见下表。

因此609375.15*

=≈x x 。