MIT线性代数中文笔记
人工智能+Python：MIT线性代数课程笔记
知识概要本节始，们来学习线性代数的有关知识，首节们从解方程谈起，学习线性代数的应用之一就求解复杂方程问题，本节核心之一即为从行图像与列图像的角度解方程。
方程组的几何解释基础：2.1二维的行图像们首先通过一个例子来从行图像角度求解方程：们首先按行将方程写为矩阵形式：系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵。
未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。
向量(b)：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量。
接下来们通过行图像来求解这个方程：所谓行图像，就在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图。
和们在初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。
2.2二维的列图像接下来们使用列图像求解此方程：即寻找合适的x，y使得x倍的(2,-1)+y倍的(-1,2)得到最终的向量(0,3)。
很明显能看出来，1倍(2,-1)+2倍(-1,2)即满足条件。
反映在图像上，明显结果正确。
3方程组的几何解释推广3.1高维行图像如果绘制行图像，很明显这一个三个平面相交得到一，们想直接看出这个的性质可谓难上加难。
比较靠谱的思路先联立其中两个平面，使其相交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪个，最后得到坐标即为方程的解。
这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢?五维甚至更高维数呢?直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。
3.2高维列图像左侧线性组合，右侧合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，“寻找线性组合”成为了解题关键。
很明显这道题一个特例，们只需要取x=0，y=0，z=1。
就得到了结果，这在行图像之中并不明显。
当然，之所以们更。
《线性代数》学习笔记三
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记三——矩阵的概念、运算、分块矩阵1． 矩阵概念定义：由mxn 个数a ij (i-1.2,……，m;j=1.2,……,n)排成m 行n 列的数表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个mxn 矩阵，a ij 称为第i 行第j 列上的元素，可简记作A=(a ij )mxn 或Amxn ，当m=n 时也称Amxn 为n 阶方阵，可记为An 。
当m=1时，Amxn=(a 11,a 12,……a 1n )称为行矩阵，当n=1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m mxna a a A 称为列矩阵，有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，记作0。
对于n 阶方阵An ，称a n ，a 22 ，…，nn a 为A 的全对角线上元素称∑=ni ii a 1为分阵A 的迹，记作tr A ，即tr A =1nii i a 。
当n 阶方阵A 的主对角线以下（上）的所有元素皆为零称A 为上（下）三角形矩阵，除主对角线上元素外其元素皆为零的方阵为对角形矩阵，主对角线上有元素皆为1的对角形矩阵称为单位方阵，记作F 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001F 2.矩阵运算1加法A=（ij a ）mxn ，B=（ig b ）mxn 则A+B=（a ij +b ij ）mxn即只有两个矩阵都是mxn 矩阵，也称为同型矩阵，才能做加法运算。
称（－a ij ）mxn 为A 的负矩阵，记作－A ，即－A=（－a ij ）mxn 。
由此可定义A －B=A+（－B ）=（a ij －bij ）mxn 。
证与数的加、减运算类似，矩阵的加法运算满足 （1）A+B=B+A （交换律）（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（结合律） （3）A+O=O+A=A ，（4）A+（－A ）=（－A ）+A=O 2．数乘：设K 是一个数， mxnijmxnA a 则R 与矩阵A 相乘定义为111212122212n n ijmxnm m mnka ka ka ka ka ka kAka ka kaka也就是ka 是指用k 去乘A 的每一个元素，另证，其满足以下规律： （1）K （A+B ）=KA+KB ，（K+L ）A=KA+LA ，（分配律） （2）（KL ）A=K （LA ）=L （KA ），（结合律）， （3）若KA=0，则K=0或A=0。
考研数学线性代数手写笔记
隽卷轴对 埔
d
里
蝉 竹触 © 闭 C 八
哺
八
商愆酏 翅 癫 <娣榭蹊 八啪 一 夜娴© 蜘 t!枘碑堤 微
(· &i i t ój j j Éj & > 1 > t & , l s t ! d M
1
LJ; 1
1 1
AJ 1
A
八
月
A"
1
Aj
1
[
铀赫佴醐
,
F
k
wi f i q
&=
亡
创 制
Jill
@f q w Ê
觳入 罗耗僻 A W禾我让仟
苄 \
,
人0 4 入住°
A\
"
与 与
兼 多当A 吕 o 对不能弘 A · 荻8 - o 4 瓷A 和 却粼川 s o
> x -
a
2国
/ ¢i t h 1/ 14 ®Ptìi gM
a
\
77
3 虽t
八j乙肘 A
萨 八 八 良+ 9
男沫豹力毛亭泌 朗 荫 心
z3
黄 已知八 良 t 与沟司逐短 瞬 W掌硝
只 阳目 园国
k M' A0
j 0 0
1
11
巨
厂
:犍 ® f c 胪 时穿易患花 ( t i. j
r
M
0i L
豸
名 国
.
目届
零
卅车间
74 囤川 麟 9· Pl 花中
断腐元 囤
糙角囝闲 祥 不同 1爿啄盈凶钰 间闲
) ( 日 六 ' " 一
线性代数07.Ax=0：主变量，特解
线性代数07.Ax=0：主变量，特解本篇为MIT公开课——线性代数笔记。
这节课开始我们将把重点转向如何在空间中计算出向量，由定义转向算法。
Ax=0的求解求解Ax=0 的算法就是消元。
举例A=1222 2468 36810消元E21、E31消元：主元是第⼀⾏第⼀列的"1",结果为122200240024发现主元2出现0，⽽且⾏交换⽆效，说明：第⼆列相关于第⼀列，所以我们不去管第⼆列，继续找主元2：第⼆⾏第三列 "2".继续消元E33消元，结果为阶梯形式矩阵U122200240000=U消元完后，就变成求解Ux=0 。
秩这个例⼦中，矩阵的主元的数量只有 2 ,该数字称为矩阵的 “秩”（rank）。
它的意义就是表⽰主元的个数。
主列和⾃由列主列：主元所在的列。
其他列称为⾃由列。
该例⼦中，主列是列 1 和列 3.⾃由列是列 2 和列 4 .⾃由列的意思是，可以⾃由或任意分配数值给对应列的未知数。
我们可以对列⼆和列四的乘数项x2、x4任意取值。
然后只需要求解x1和x3.取值：x=◻1◻0()()()() Processing math: 100%回代和特解x 1+2x 2+2x 3+2x 4=02x 3+4x 4=0可以求得x =−2100这是零空间的⼀个向量，也是Ax =0 的⼀个解。
将她乘以任意倍数，就能得到四维空间中⼀条⽆限延申的直线。
x =c−2100但它不是整个零空间，因为 x 2、x 4 还可以取其他的值。
取值：x =◻0◻1可以求得另⼀个零空间中的向量：x =d20−21这样我们就得到零空间中的两个向量，下⾯我们就能求出整个零空间。
Ax =0 的所有解。
这两个解称为特解，即特定的解。
特定在于给⾃由变量分配特定值。
给⾃由变量分配的是0和1. 每对⾃由变量都对应着⼀个特解。
两个特解的所有的线性组合就是整个零空间。
即x =c−2100+d20−21总结对于m ∗n 矩阵，n 变量，若 秩 r =2，主变量就有 r 个，⾃由变量 就有 n −r 。
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源网易云课堂）
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源⽹易云课堂）线性代数（笔记四）课程来源：（课程链接）作者简述：作者为⼀名正在读研的学⽣，⾃⼰的数学状态较差。
本科期间所学均能算跟得上，⽽且通过⾃⼰的努⼒经过了研究⽣考试。
但是对数学的理解并不透彻，只是根据课上所学去做题⽽已。
如今科研中，许多过程均需要⽤到所学的数学知识，然⽽⼀个好的理解和⼀个扎实的基础才是科研之本。
数学虽然是作为⼀种⼯具，如果不了解含义，⽆论是是使⽤上还是在其基础之上进⾏修改均显得⽀⽀吾吾。
于是决定重新学习线性代数相关知识，并做此笔记以供复习或和他⼈分享。
⽤途：此系列⽂章均是作者在课上所学及其⾃⼰相关的数学思想所做的笔记，如有理解错误之处还望⼤家指出。
本系列⽂章均可不咨询情况下任意转载和学习（不可商⽤）。
作者研究⽅向为机器学习，如果有相同⽅向的⼩伙伴想⼀起学习，请加QQ123854340（备注来源博客），如果⼈数较多还可能建群。
同时发现⽂章中有错误之处也请发邮件到。
在上节课中，我们介绍了矩阵乘法的五种⽅法。
同时引出了矩阵的逆，并利⽤前⼏节课的知识对逆进⾏理解及求解。
在这节课中，我们⾸先介绍求解逆矩阵的⼏个基本的公式，然后在消元的基础上来叙述A的LU分解。
⼀、逆的基本公式在这⾸先介绍两个逆的基本公式，并且给出其推导⽅法。
这样我们就可以从定义的⾓度进⾏理解，⽽⾮死记硬背。
1、由定义⽽来的最基本的公式AA~ = I = A~A（~为逆），这⾥两个矩阵的乘法可以交换顺序。
2、求矩阵A和矩阵B的乘积AB的逆矩阵。
具体推导过程如下：AB（？） = I ，我们想求解？所表⽰的矩阵是什么。
不难看出ABB~A~ = I，由结合律可以很明显的表现出A（BB~）A~ = I，再由结合律可以看出（AB）（B~A~）= I。
则由此可以得出？所表⽰的矩阵为B~A~。
AB的逆为B~A~，这⾥的乘积顺序发⽣了变化。
在视频中教授开了⼀个玩笑说。
这就好⽐穿了袜⼦再穿鞋的相反动作那就是得要先脱鞋再拖袜⼦。
MIT线性代数公开课学习笔记
MIT线性代数公开课学习笔记在MIT公开课《线性代数》中，我学习到了许多有关线性代数的基本知识和应用。
线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学、物理学、经济学等领域中有着重要的作用。
本文将着重讨论我在这门课程中学到的内容和理解。
几何矢量和向量空间线性代数的基础是对几何矢量和向量空间的研究。
在课程中，我了解到几何矢量是具有大小和方向的物理量，可以通过箭头表示。
向量空间是指由一组向量所张成的空间，具有加法和数乘运算，并且满足一定的公理。
通过学习几何矢量和向量空间的性质，我可以更好地理解线性代数的基本概念和操作。
矩阵和线性变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它是一个由元素排列成矩形的数表。
在课程中，我学习到了矩阵的代数运算和性质，并了解了矩阵和线性方程组之间的关系。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作。
通过矩阵的乘法运算，我可以更方便地描述和计算线性变换。
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性变换的理解中起到了关键作用。
在课程中，我学习到了如何通过计算特征值和特征向量来分析矩阵的性质和行为。
特征值表示线性变换在某个方向上的缩放比例，而特征向量则表示在该方向上的不变性。
通过对特征值和特征向量的计算和分析，我可以更好地理解线性代数的应用。
内积和正交性内积是指将两个向量进行运算得到一个标量的操作，它在线性代数中有着重要的应用。
在课程中，我学习到了内积的性质和计算方法，并了解了内积和向量的夹角之间的关系。
正交性是指两个向量之间的夹角为90度，它在很多实际问题中具有重要的性质。
通过学习内积和正交性的概念，我可以更好地理解向量的投影和正交基的概念。
奇异值分解和最小二乘法奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
《线性代数》学习笔记一
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记一——行列式的定义和性质1、二、三阶行列式的定义解二元线性方程组 a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1=a 22x 2=b 2用消元法去x 2得 （a 11a 22-a 12a 21）x 1=b 1a 22-b 2a 12, 消去x 1得 （a 11a 22-a 12a 21）x 2=a 11b 2-a 21b 1, 当a 11a 22-a 12a 21≠0时，得出211222*********a a a a a b a b x --=， 211222111212112a a a a b a b a x --=分子与分母都是由4个数构成的两对乘积之差，例如分母是由方程的4个系数确定的，若将4个系数按出现在方程中的相对位置排成二行（横为行）二列（纵为列）的数表a 11 a 12 a 21 a 22a 11a 22-a 12a 21就是二对角线上两个数乘积之差定义1 a 11a 22-a 12a 12称为由数表 a 11 a 12 a 21 a 22确定的二阶行列式，记作：11122122,,a a a a 改为 11122122a a a a 即1112112212212122a a a a a a a a数a ij (i,j=1,2)称为行列式的元素，a ij 的第一个下标i 称为行标，第二个下标j称为列标，a ij 表示该元素在第i 行，第j 列。
由以上定义知： 222121122221,,a b a b a b a b =- ，221111121211b a b a b a b a =- 把行列式中元素间的逗号去掉，两个元素间应该有空格。
于是以上所得的方程组的解完全可以用行列式表示。
仿照以上解二元联立方程组，用消元法解三元联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可以引出三阶行列式的概念。
《线性代数》学习笔记十二
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=； （2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。
干货MIT线性代数课程精细笔记
干货MIT线性代数课程精细笔记[第二课]1知识概要这一节中我们介绍一下消元法，即是上一节中我们提到的“系统化”求解方程所用的方法，通过矩阵消元运算可以很轻松地求解复杂方程。
另外还介绍了消元矩阵，即我们的消元运算在矩阵乘法中所表现的形式。
并从消元矩阵引入，介绍逆矩阵的基础知识。
2消元法求解方程2.1 消元法介绍对于一些“好”的系数矩阵（可逆矩阵）A 来说，我们可以使用消元法来求解方程Ax = b，我们还是从一个例子谈起。
所谓矩阵的消元法，与我们初等数学中学习的解二元一次方程组的消元法其实师出同门，都是通过将不同行的方程进行消元运算来简化方程，最后能得到简化的方程组，只不过这里我们把系数单独抽出来进行运算，寻找一种矩阵情况下的普遍规律而已。
注：并不是所有的A 矩阵都可消元处理，需要注意在我们消元过程中，如果主元位置（左上角）为0，那么意味着这个主元不可取，需要进行“换行”处理：首先看它的下一行对应位置是不是0，如果不是，就将这两行位置互换，将非零数视为主元。
如果是，就再看下下行，以此类推。
若其下面每一行都看到了，仍然没有非零数的话，那就意味着这个矩阵不可逆，消元法求出的解不唯一。
下面是三个例子：2.2 回带求解其实回带求解应该和消元法同时进行，只不过本课中以及一些软件工作原理中它们是先后进行的，所以我们这里分开讨论，先介绍增广矩阵：一下子就看出来了，就是把系数矩阵A 和向量b 拼接成一个矩阵就行了。
3消元矩阵3.1 行向量与矩阵的乘法上面的消元法是从简单的变换角度介绍了消元的具体操作，接下来我们需要用矩阵来表示变换的步骤，这也十分有必要，因为这是一种“系统地”变换矩阵的方法。
导致错误。
其实学过矩阵之间的乘法之后这些东西都极为简单，但这里还是建议大家尽量从向量的角度去考虑问题。
好的，接下来是重点。
学会了行向量与矩阵之间的乘法，我们就可以使用行向量对矩阵的行做操作了。
所谓消元矩阵，就是将消元过程中的行变换转化为矩阵之间的乘法形式。
MIT公开课线性代数笔记
矩阵的逆
定义：矩阵A的 逆矩阵是矩阵B， 使得AB=BA=I
性质：矩阵A的逆 矩阵是唯一的，且 A的逆矩阵也是方 阵
计算方法：使用高 斯-约旦消元法、 克莱姆法则等方法 计算矩阵的逆
应用：求解线性方 程组、求矩阵的秩、 求矩阵的逆等
矩阵的行列式
定义：矩阵的行列 式是一个数值，表 示矩阵的体积或面 积
子空间
定义：向量空间中的子集，满足加法和数乘运算 性质：子空间中的向量线性组合仍然是子空间中的向量 例子：二维平面上的直线、三维空间中的平面 应用：线性方程组的解空间、矩阵的秩和零空间
正交向量组
定义：一组线性无关的向量，且向量之间的内积为零 性质：正交向量组是线性无关的，且向量之间的内积为零 应用：正交向量组可以用来求解线性方程组，以及进行矩阵分解 例子：二维平面上的单位向量组（1,0）和（0,1）是正交向量组
计算方法：通过行 列式的计算公式进 行计算
性质：矩阵的行列 式与矩阵的转置行 列式相等
应用：矩阵的行列式 在求解线性方程组、 特征值和特征向量等 方面有广泛应用
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是一种特 殊的函数，它满足 线性性质
线性变换可以将一 个向量映射到另一 个向量
线性变换可以用矩 阵来表示，矩阵的 每一行代表一个基 向量的变换
性、相似性等
矩阵的相似性
定义：两个矩 阵A和B相似， 如果存在一个 可逆矩阵P，使
得B=P^(1)AP
性质：相似矩 阵具有相同的 特征值和特征
向量
应用：相似矩 阵可以用来简 化矩阵的运算
和求解
例子：对角矩阵 和单位矩阵是相 似的，因为它们 的特征值和特征 向量都是相同的。
矩阵的相似对角化
线性代数笔记
线性代数笔记(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数笔记第一章行列式 .................................................................................................. 错误!未定义书签。
第二章矩阵 ...................................................................................................... 错误!未定义书签。
第三章向量空间............................................................................................. 错误!未定义书签。
第四章线性方程组.......................................................................................... 错误!未定义书签。
第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。
第一章行列式行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。
即(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
线性代数笔记
1、1二阶行列式和三阶行列式1、定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211a a a a)5(42221121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式-即.2112221122211211a a a a a a a a D -==2、定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.2、2全排列及其逆序数1、定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.2、我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、定义：在一个排列中()n s t i i i i i 21，若数s t i i >则称这两个数组成一个逆序.4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。
6、计算排列逆序数的方法方法1）分别计算出排在n ,n ,,,121- 前面比它大的数码之和即分别算出n ,n ,,,121- 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211)5(339a a a a a a a a a 列的数表行个数排成设有,312213332112322311322113312312332211)6(a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a1、3 n 阶行列式1、定义：nnn n nn np p p ta a a a a a a a a D a a an n n n212222111211212.)1(21=-∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由2为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中t n p p p n 21213、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是n ！项的代数和；3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆；5、nnp p p a a a 2121的符号为().1t-4、1、4 对换1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．2、定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.3、定理 n 阶行列式也可定义为()np p p tn a aaD 21211∑-=其中t 为行标排列np p p 21的逆序数.4、定理 n 阶行列式也可定义为()nn q p qp q p t a a a D 22111∑-=其中nn q q q ,p p p 2121是两个n 级排列，t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a ()()nnn np p p p p p p p p t nnn n n na a a a a a a a a a a a D 212121212122221112111∑-==1、5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.]性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaD=1、6 行列式按行和列展开1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作.ijM()，记ijjiijMA+-=1叫做元素ija的代数余子式．2、引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijA a D =．3、定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =4、范德蒙德(Vandermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nn n x x x x x x x x x x x D()n i ,,2,1 =5、推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++6、⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ1、7克拉默法则1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.2、克拉默法则：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111的系数行列式不等,,,,21全为零若常数项n b b b ⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij当，当其中δ于零，即nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=0≠那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,232211D D x D Dx D D x D D x n n ====其中D j 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nn j n nj n n nj j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=3、定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0则（1）一定有解,且解是唯一的 .4、定理2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5、齐次线性方程组的相关定理()2000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D ≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解.2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。
线性代数(经管类)笔记
第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，，再记，称为元素的代数余子式.例如，，那么，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式一阶行列式n阶行列式其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与有相同值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3 三阶范德蒙德行列式（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.例4当取何值时，齐次线性方程组只有零解？解：方程组的系数行列式由于故当且且时，方程组只有零解.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如的矩阵②n阶单位方阵是指形如的矩阵③n阶三角矩阵是指形如的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设，，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A 的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①；②③（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则①是可逆矩阵，且；②AB是可逆矩阵，且；③kA是可逆矩阵，且④是可逆矩阵，且⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则2．伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足（n为A的阶数）3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求的逆矩阵解：则例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则（六）矩阵的秩1．秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的一个基任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，，的线性组合？解：设线性方程组为对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解所以可以唯一地表示成的线性组合，且（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别单个向量线性相关；单个向量线性无关2．求相关系数的方法设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m例2 设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组其系数矩阵于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令，得一个非零解为则3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．向量在某个基下的坐标设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.例4证明：构成的一个基，并求出在此基下的坐标.解：考虑由这三个3维向量组成的三阶行列式所以线性无关，它们构成的基，令由得唯一解,则所求在此基下的坐标为第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是定理2当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么（1）有唯一解；（2）有无穷多解.定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是推论1设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解推论2 设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为求基础解系与通解的方法是：对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为写成向量形式，令，为任意常数，则通解为可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果是的解，则是的解性质2如果是的解，是的解，则是的解由这两个性质，可以得到的解的结构定理：定理设A是矩阵，且，则方程组的通解为其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2当参数a，b为何值时，线性方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：_当时，，有唯一解；当时，，，无解；当时，，有无穷多解.此时，方程组的一般解为令为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为第五章特征值与特征向量（一）特征值与特征向量1．实方阵的特征值与特征向量的定义与求法设A为一个n阶实方阵，若存在一个数及一个非零n维列向量，使得，则称为A的一个特征值，称是A的属于这个特征值的一个特征向量.特征值必是特征多项式的根，而相应特征向量必是齐次线性方程组的非零解，反之也对.例1 设，求A的特征值和特征向量.解：A的特征方程为则为A的两个特征值.对，求解，即得方程组的一个基础解系为，则为A的属于的一个特征向量.对，同理可求出的一个基础解系为则为A的属于的一个特征向量2．特征值和特征向量的性质性质1设是n阶方阵的全体特征值，则必有这里为矩阵A的n个对角元之和，称为A的迹.性质2 设已知为A的特征值，为相应特征向量，即，那么对任意多项式必有，特别性质3 n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量必线性无关.（二）方阵的相似变换1．矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得，则称A和B是相似的，记为A～B.相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式，但反之不一定.2．方阵相似对角化若n阶方阵A能相似于一个n阶对角矩阵，则说方阵A是可以相似对角化的，有以下基本定理：定理n阶方阵A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量.推论当n阶方阵A有n个互不相同的特征值时，A必能相似对角化.3．方阵相似对角化的方法设A为n阶实方阵，若它能相似对角化，即A有n个线性无关的特征向量，不妨设它们属于的特征值依次为（这里可以有重复的）则令为一个n阶可逆矩阵，必有称这个对角矩阵为A的相似标准形.例2 设，求A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形（三）向量内积和正交矩阵1．向量内积的定义和基本性质下面我们在n维向量空间中讨论设为两个n维列向量，把实数，称为向量与的内积向量的内积具有对称性、线性性与正定性.2．向量的长度n维列向量的长度为实数。
线性代数学习笔记——第三章
线性代数学习笔记——第三章线性代数学习笔记——第三章肝了两个多⼩时，还是肝完了⼀篇笔记，借鉴了很多其他⼤佬的整理。
（不过基本上还是宋浩⽼师的原话），今天的任务算是完成⼀半了，我东某⼈真是可悲！向量的定义n维向量：n个数组成的有序数组。
⾏向量（α1,α2,α3)。
列向量将上述的竖着写。
零向量：分量全部为零。
负向量：取相反数。
向量相等：同维数，元素对应相等。
只有同维向量才能⽐较⼤⼩，以及相加。
kα = 0 ⇔ k = 0 or α = 0 。
矩阵：AB = 0 ⇏ A=0 or B=0。
向量间的线性关系线性关系：零向量可由任意向量组表⽰。
向量组中任⼀向量可由向量组表⽰eg：\alpha1=\alpha1 + 0\alpha2 + 0\alpha3。
任意向量都可由n维单位向量组表⽰。
向量组的等价：①：同维。
②：两个向量组可以相互线性表⽰。
线性组合：β、α1……αn。
若β可以⽤α向量组表⽰出来，那么就叫β是α向量组的线性组合（或者称β可以由α向量组线性表⽰）。
同时在表⽰的过程中系数可以全取零。
反⾝性、对称性、传递性均适⽤。
线性相关：α1、α2……αn是n个m维向量组，若存在⼀组不全为0的k1,k2……k n,使得k1α1 + ……+ k nαn= 0，那么则叫α1……αn是线性相关。
线性⽆关：①：不是线性相关。
②：找不到⼀组不全为0的k1……k n满⾜线性相关的条件。
③：使得k1+k2+……+k n=0的k1，k2……必定全为零。
向量组中两向量成⽐例，向量组必线性相关。
含零向量的向量组必线性相关。
⼀个⾮零向量必⽆关。
⼀个向量α相关\Leftrightarrowα=0 。
部分组线性相关\longrightarrow整体组线性相关。
整体组线性⽆关\longrightarrow部分组线性⽆关。
线性⽆关的向量组，它的接长向量组也线性⽆关。
线性相关的向量组，它的截短向量组也线性相关。
n个n维向量（维数 = 个数）构成的⾏列式D \neq 0,那么线性⽆关，否则相关。
线性代数笔记
线性代数笔记Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】线性代数笔记第一章行列式1.3.1行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。
即(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…….=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:定理如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
第二章矩阵一、矩阵的运算1、矩阵的加法设A=（a ij）m×n ，B=（b ij）m×n，则A+B=（a ij+b ij）m×n矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+0=0+A=A此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（a ij）m×n，0=0m×n（4）矩阵A=（a ij）m×n，规定-A=（-a ij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=02、矩阵的数乘设A=（a ij）m×n，K为数，则KA=（Ka ij）m×n矩阵的数乘适合下列运算规则：（1）K（A+B）=KA+KB（2）（K+L）A=KA+LA（3）（KL）A=K（LA）（4）1*A=A（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。
超详细MIT线性代数公开课笔记 完整版
第三行： 0 0
1 2 关键第二行： -3 1 0 3 8 0 4
1 0 3 0 1 1 3 0 1 1 1
2 1 8 1 1 2 1 4 1 2 1 8 1 0 4 1 4 1 -3 [1 2 1] 1 [3 8 1] 0 2 2 0 [0 4 1] 1 2 1 1 0 2 0 4 1 E21A 1 2 1
* * * 例如消成这样 0 * * 0 0 0
回代 Back-Substitution
8
做方程的高斯消元时，需要对等式右侧的 b 做同样的乘法和加减法。手工计算 时比较有效率的方法是应用“增广矩阵” （augmented matrix） ，将 b 插入矩阵 A 之后形成最后一列，在消元过程中带着 b 一起操作。 （Matlab 是算完系数矩阵再处 理 b 的。 ）
在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向 量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
4
x
2 1 0 y 1 2 3
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和 y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。 从几何上讲， 我们是寻找满足如下要求的 x 和 y， 使得两者分别数乘对应的列向
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 3 8 1 12 0 2 - 2 6 0 2 - 2 0 0 5 - 10 0 4 1 2 0 4 1 2 2 此时我们将原方程 Ax=b 转化为了新的方程 Ux=c，其中 c= 6 。 - 10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.31
31. 线性变换及对应矩阵
1.32
32. 基变换和图像压缩
1.33
33. 复习三
1.34
34. 左右逆和伪逆
1.35
35. 期末复习
1.36
2
MIT 线性代数中文笔记
中文 Linear Algebra （线性代数） 笔记
ApacheCN 机器学习交流群 629470233 ApacheCN 学习资源
Contents （目录）
01. 方程组的几何解释 01.01 方程组的几何解释
02. 矩阵消元 02.01 矩阵消元
03. 乘法和逆矩阵 03.01 矩阵乘法和逆矩阵
04. A的LU分解 04.01 A的LU分解
05. 转置-置换-向量空间R
3
MIT 线性代数中文笔记
05.01 矩阵转置 05.02 置换 05.03 向量空间 R 06. 列空间和零空间 06.01 列空间 06.02 零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 07.01 主变量 07.02 特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 08.01 可解性 08.02 解的结构 09. 线性相关性、基、维数 09.01 线性相关性 09.02 基 09.03 维数 10. 四个基本子空间 10.01 基本子空间 10.02 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 11.01 矩阵空间 11.02 秩1矩阵 11.03 小世界图 12. 图和网络 12.01 图 12.02 网络 13. 复习一 13.01 复习一 14. 正交向量与子空间 14.01 正交向量 14.02 子空间 15. 子空间投影 15.01 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 16.01 投影矩阵 16.02 最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 17.01 正交矩阵 17.02 Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质
MIT 线性代数中文笔记 8
目錄
MIT 线性代数中文笔记 01. 方程组的几何解释 02. 矩阵消元 03. 乘法和逆矩阵 04. A的LU分解 05. 转置-置换-向量空间R 06. 列空间和零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 09. 线性相关性、基、维数 10. 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 12. 图和网络 13. 复习一 14. 正交向量与子空间 15. 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质 19. 行列式公式和代数余子式 20. 克拉默法则、逆矩阵、体积 21. 特征值和特征向量 22. 对角化和A的幂 23. 微分方程和exp(At) 24. 马尔可夫矩阵;傅立叶级数 25. 复习二 26. 对称矩阵及正定性 27. 复数矩阵和快速傅里叶变换 28. 正定矩阵和最小值 29. 相似矩阵和若尔当形
在线阅读 PDF格式 EPUB格式 MOBI格式 代码仓库
Overview （概述）
Most of the content comes from the web. 大部分内容来自网络。 I know my knowledge of linear algebra is not very thorough, so I re-learn linear algebra, record the corresponding notes. 由于我们对线性代数的知识了解不深，特意重新学习一次线代，记录下相应笔记。 课程顺序是按照麻省理工公开课的 Linear Algebra 记录的学习笔记。
5
MIT 线性代数中文笔记 31.01 线性变换 31.02 对应矩阵
32. 基变换和图像压缩 32.01 基变换 32.02 图像压缩
33. 复习三 33.01 复习三
34. 左右逆和伪逆 34.01 左右逆 34.02 伪逆
35. 期末复习 35.01 期末复习
对应课程
6
MIT 线性代数中文笔记 7
4
MIT 线性代数中文笔记
18.01 行列式 18.02 行列式性质 19. 行列式公式和代数余子式 19.01 行列式公式 19.02 代数余子式 20. 克拉默法则、逆矩阵、体积 20.01 克拉默法则 20.02 逆矩阵 20.03 体积 21. 特征值和特征向量 21.01 特征值和特征向量 22. 对角化和A的幂 22.01 对角化 22.02 A的幂 23. 微分方程和exp(At)/23%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%92%8Cexp(At).md) 23.01 微分方程/23%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%92%8Cexp(At).md) 23.02 exp(At)/23%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%92%8Cexp(At).md) 24. 马尔可夫矩阵;傅立叶级数 24.01 马尔可夫矩阵 24.02 傅立叶级数 25. 复习二 25.01 复习二 26. 对称矩阵及正定性 26.01 对称矩阵 26.02 正定性 27. 复数矩阵和快速傅里叶变换 27.01 复数矩阵 27.02 快速傅里叶变换 28. 正定矩阵和最小值 28.01 正定矩阵 28.02 最小值 29. 相似矩阵和若尔当形 29.01 相似矩阵 29.02 若尔当形 30. 奇异值分解 30.01 奇异值分解 31. 线性变换及对应矩阵
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30
1
30. 奇异值分解