跟踪误差多因素投资组合决策模型

参考文献： ［１］ Ｒｏｌｌ，Ｒｉｃｈａｒｄ，Ａ ｍｅａｎ－ ｖａｒｉａｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｒａｃｋｉｎｇｅｒｒｏｒ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，１９９２，１８： １３－ ２２ ［２］ Ｒｕｄｏｌｆ，ｍａｒｋｕｓ，Ｈａｎｓ－ Ｊｕｒｇｅｎ Ｗｏｌｔｅｒ ａｎｄ Ｈｅｉｎｚ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ，Ａ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｅｒｒｏｒ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂａｎｋｉｎｇ
例子
假设投资对象为五种证券，预期收益率向量 ’＝ （０．３６，０．２１９，０．２８１，０．３８２，０．３６８）Ｔ，影响证券收益率
的 因 素 有 两 个 ｆ１，ｆ２， 其 协 方 差 矩 阵 为 ：Ｆ ＝
" # ０．３２５ ０．１２３ ，残差收益的协方差矩阵 (＝ｄｉａｇ ０．１２３ ０．３７０
（０．０３，０．０２５，０．０１５，０．０２，０．０５）， 载 荷 矩 阵 Ｖ ＝
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合模型和经典均值－ 方差模型更一般的统一形式， 并给出了模型最优解的显示表达式。为减少待估参 数，引入证券收益的多因素模型。
模型的建立与求解
假定证券的收益满足如下的多因素模型：
ｒ＝!＋ＶＴｆ＋"
（１）
其中 !∈Ｒｎ 为证券的期望收益率向量，ｆ￣Ｎ（０，Ｆ）∈
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跟踪误差多因素投资组合决策模型
王秀国 １ 邱菀华 ２
（１．中央财经大学应用数学学院，北京 １０００８１； ２．北京航空航天大学经济管理学院， 北京 １０００８３ ）
摘要：本文研究了积极投资组合更一般的风险收益关系，提出了传统跟踪误差模型和均值方差 模型的统一形式。该模型不仅考虑了超额收益带来的相对风险，同时还考虑了总体风险，有效 地改进了传统跟踪误差优化模型所固有的缺陷，并给出了模型最优解的显示表达式。另外，为 减少模型中的待估参数，引入了多因素模型。最后给出一个例子。 关键词：跟踪误差；超额收益；均值方差模型；多因素模型；投资组合
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风险。根据模型（Ｐ２），适当的选取参数可有效的改 进投资组合，即使得点向左平移（甚至移向 Ｂ 点左上 方，而这正是我们所希望的）。从另一方面也表明，如 果只考虑相对风险作为业绩评价的因素是不科学的 （如信息率 ｒ" ［１２］［１３］）。如何兼顾总体风险，对投资
!" 管理者进行科学的业绩评价，也是一个需要进一步 研究的有意义的课题。
０．４ ０．０３１４ ０．４１９７ ０．０３７０ ０．４４２６
０．６ ０．０６９４ ０．３８１７ ０．０８２０ ０．３９７７
０．８ ０．１２２５ ０．３５８９ ０．１４５０ ０．３７０７
１ ０．１９０８ ０．３５１３ ０．２２５９ ０．３６１７
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本文不仅考虑超额收益所带来的相对风险，同 时还考虑投资组合的总体风险，提出了一种新型投 资组合决策模型。该模型可以看成跟踪误差投资组
收稿日期：２００５－ ０４－ ２０ 基金项目：国家自然科学基金项目资助（７０３７２０１１）。 作者简介：王秀国，中央财经大学应用数学学院讲师，博士；邱菀华，北京航空航天大学经济管理学院教授，博士生导师。
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总体风险。本文主要分析了积极投资组合更一般 的风险收益关系，兼顾组合的相对风险和总体风 险，提出了一个跟踪误差投资组合模型和均值方 差模型的统一形式，并研究了其最优投资策略。该 模型可有效地改进跟踪误差优化投资组合。而且
通过引入证券收益的多因素模型来减少模型中的 待估参数。本文是对基于跟踪误差的投资组合管 理理论的一种拓展，对于增加投资决策空间和提 高投资决策的科学性有着重要的理论和实践意 义。
一旦通过问题（Ｐ２）求出 ｘ$，则管理者的投资组 合为 ｘｐ＝ｘｂ＋ｘ$，其期望收益率 ｒｐ＝ｒｂ＋ｒ$，相对风险为
６０ 管理评论 Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．１１（２００６）
!!２＝ｘ"Ｔ#ｘ"
（７）
＝ｒ２!ｈＴ#ｈ＋$（２ ｇ＋ｈｒｂ－ ｘｂ）Ｔ#（ｇ＋ｈｒｂ－ ｘｂ）＋２$ｒ"ｈＴ#（ｇ＋
ｈｒｂ－ ｘｂ）。
为了帮助管理者进行科学的投资决策，许多学 者从不同的角度研究了跟踪误差投资组合决策问 题［１－５］，他们都是以均值－ 方差模型为建模基础的。然 而在模型中需要估计两两证券收益之间的协方差， 当证券数量很大时，必将给模型的计算和使用带来 困难。解决该问题的有效方法之一是引入多因素模
型，它既具有单指数模型的简单性，又具有均值－ 方 差模型的潜在的全部分析能力，因而成为投资实践 和证券分析的重要模型。Ｒｏｓｓ［６］提出的套利定价模 型为多因素模型的应用提供了理论依据。［７－ ９］将多因 素模型引入到投资组合决策模型。［１０］将多因素模型 用于到跟踪误差投资组合决策问题，但额外引入了 控制参数，不仅没有给出模型最优解的显示表达 式，而且参数的选取也给投资管理者增加了决策难 度。另外，传统的跟踪误差投资组合决策模型另一 个缺陷是只以跟踪误差的方差为决策目标，即只考 虑相对风险，忽略了投资组合的总体风险（或绝对 风险），［１１］通过实践也表明，这样会导致积极的投资 组合比基准投资组合具有更高的总体风险，甚至是 严重无效的。
Ｒｍ 表示市场驱动因素，既可以包括利率、通货膨胀
率、市场指数等宏观经济因素，又可包括企业规模、
证券交易量、历史收益率等微观因素。Ｖ∈Ｒｍ×ｎ 是载
荷矩阵，Ｖｊｉ 表示第 ｉ 种证券对第 ｊ 个因素的灵敏度 因子。"￣Ｎ（０，!）是残差收益（! 为对角阵）。另外，假
定 Ｃｏｖ（ｆｉ，"ｊ）＝０，Ｃｏｖ（"ｉ，"ｊ）＝０，（ｉ≠ｊ），ＶＴＦＶ＋# 为正 定矩阵。在实践中，ｍ 一般远远小于 ｎ，从而大大减
投
资
组
合
的（
绝
对
）风
险
：!
２ １
＝０．５２１６，!
２ ２
＝０．５６６０，表
中结果表明，只要选取参数，$＝０．２ 就可以使得总体
风险小于基准投资组合的风险，这意味着在（!ｐ，ｒｐ） 空间，使得跟踪误差优化投资组合移向基准投资组
合的左上方。
结论
由于投资管理界往往强调跟踪误差优化和使 用信息率作为业绩测度，使得在实践中，积极的投 资管理者经常只注重超额收益的相对风险，而忽 略了组合的总体风险，即传统跟踪误差投资组合 模型会使得投资组合比基准投资组合具有更高的
给定的超额收益下，极小化积极管理带来的风险。
当然投资管理者也可以在给定的风险下，极大化超
额收益，这两种情况是等效的，因此本文只考虑模
型（Ｐ１），并记 %＝ＶＴＦＶ＋#，Ｘ＝｛ｘ∈Ｒｎ｜ｘＴｅ＝０｝，。
既然 ｘｂ 是事先给定的，则（Ｐ１）等价于 （Ｐ２）ｍｉｎｘ&%ｘ＋２’ｘＴ%ｘｂ
ｓ．ｔ． ｘＴｅ＝０
（３）
ｘＴ!＝Ｅ（ｒｘ）＝ｒ$ 其中，参数 ’＝ ｔ２ ∈［０，１］。
ｔ１＋ｔ２ 若 ’＝０，（Ｐ２）就是传统的跟踪误差投资组合模
型形式。若 ’＝１，即 ｔ１＝０，问题（Ｐ２）等价于 （Ｐ３）ｍｉ（ｎ ｘ＋ｘｂ）Ｔ%（ｘ＋ｘｂ） ｓ．ｔ． ｘＴｅ＝０
ｘＴ!＝Ｅ（ｒｘ）＝ｒ$
利用 ｘＴｂｅ＝１，ｒｂ＝Ｅ（ｒＴｘｂ）＝ｘＴｂ! 转化约束条件，并根
总的风险为
!２ｐ＝ｘＴｐ#ｘｐ
＝ｒ
２ ｐ
ｈＴ#ｈ
＋%&#%
＋２$ｒｐｈＴ#%
，
（８）
其中，%＝（１－ $）（ｘｂ－ ｈｒｂ）＋$ｇ。当 $＞０ 时，在（!"，ｒ"）
或（!"，ｒｐ）空间，式（７）表示的是双曲线，而当 $ ＝０
时，则表示的是直线。对任意的 $∈［０，１］，在（!ｐ，ｒｐ）
空间，式（８）表示的都是双曲线。下面在（!ｐ，ｒｐ）空
＋’Ａｒｂ
－
’Ｂ）% － １ｅ －
Ｄ１（’Ａ－ Ｃｒ$－ ’Ｃｒｂ）
%－ １!－ ’ｘｂ
＝
１（Ｂ% － １ｅ － Ｄ
Ａ% － １!）’ ＋
１（Ｃ% － １! － Ｄ
Ａ% － １ｅ）’ｒｂ ＋
Ｄ１（Ｃ%－ １!－ Ａ%－ １ｅ）ｒ$－ ’ｒｂ 即得（Ｐ２）的最优解为 ｘ$＝ｈｒ$＋’（ｇ＋ｈｒｂ－ ｘｂ）。
ｘ＝－
１ ２
%－（１ ’１ｅ＋’２ !）－ ’ｘｂ，
代入约束条件并利用 ｘＴｂｅ＝１，得
Ｃ’１＋Ａ’２＝－ ２’，Ａ’１＋Ｂ’２＝－ ２（ｒ$＋’ｒｂ），
从而解得
（６）
’１＝ Ｄ２（Ａｒ$＋’Ａｒｂ－ ’Ｂ），’２＝ Ｄ２（’Ａ－ Ｃｒ$－ ’Ｃｒｂ）。
将 ’１，’２ 代入式（６），得
ｘ＝
１（ Ｄ
Ａｒ$
据 ｘｐ＝ｘ＋ｘｂ， （Ｐ３）等价于
（Ｐ４）ｍｉｎ ｘＴｐ%ｘｐ
ｓ．ｔ． ｘＴｐｅ＝１
ｘＴ ｐ
!＝ｒｐ
即当 ’＝１，问题（Ｐ２）等价于经典的均值－ 方差
形式。从而传统的跟踪误差投资组合模型和经典的
均值－ 方差模型都可以看成问题（Ｐ２）的特例。
下面讨论问题（Ｐ２）的最优解，为讨论方便，记 Ａ＝ｅＴ%－１!，Ｂ＝!Ｔ%－１!，Ｃ＝ｅＴ%－１ｅ，Ｄ＝ＢＣ－ Ａ２。 （４）
ｒｘ＝ｒＴｘ＝!Ｔｘ＋ｆＴＶｘ＋"Ｔｘ￣Ｎ（!Ｔｘ，ｘ（Ｔ ＶＴＦＶ＋!）ｘ）。 对任何投资组合 ｙ，相应的风险为 ｙ（Ｔ ＶＴＦＶ＋!）ｙ＝
ｙＴＶＴＦＶｙ＋ｙＴ!ｙ，第一部分表明对系统风险因素的风
险暴露，第二部分表明对非系统风险因素的风险暴
露。
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对于积极的投资管理者，为了获得尽可能好的
业绩评价，总是对基准投资组合进行调整，以获取
" $Ｔ
０．３ ０．７ ０．９ １．２ ０．６ １．３ ０．８ ０．４ ０．５ １ 。设预期超额收益率 ｒ" ＝
０．０２５，部分计算结果如表 １，
从表 １ 中可以看出，随着参数 $ 的增加，相对
风险逐渐增加，总体风险却逐渐减少。如果只注重
超额收益率带来的相对风险，可能会面临很大的总
体风险，将造成很大的损失。不难计算出两个基准
定理 １：问题的最优解为
ｘ$＝ｈｒ$＋’（ｇ＋ｈｒｂ－ ｘｂ）
（５）
其中，ｇ＝ １（Ｂ%ｅ－ Ａ%－１!），ｈ＝ １（Ｃ%－１!－ Ａ%－１ｅ）。
Ｄ
Ｄ
证明： 考虑 Ｌａｇｒａｎｇｅ 函数
Ｌ＝ｘＴ%ｘ＋２’ｘＴ%ｘｂ＋’（１ ｘＴｅ－ ０）＋’（２ ｘＴ!－ ｒ$）， 对 ｘ 取一阶导数得 ２%ｘ＋２’%ｘｂ＋’１ｅ＋’２ !＝０ 即
少待估参数。
设基准投资组合为 ｘｂ，ｒｂ＝Ｅ（ｒＴｘｂ），为其期望收 益率，且 ｘＴｂｅ＝１，其中 ｅ＝（１，…，１）Ｔ。设 ｘｐ 为管理者需 要确定的投资组合，ｒｐ＝Ｅ（ｒＴｘｐ）为其期望收益率，且 ｘＴｂｅ＝１。则 ｘ＝ｘｐ－ ｘｂ 为跟踪误差投资组合，Ｅ（ｒｘ）＝ｒｐ－ ｒｂ＝ ｒ$ 为期望超额收益。由多因素模型得
引言
基于跟踪误差的相对业绩评价方法已被投资 管理界和商业银行界所广泛应用，即投资者预先给 定一个基准投资组合，通过跟踪误差来对投资管理 者的业绩进行评价。因此，积极的投资管理者往往 在满足投资者要求的前提下，尽可能地使自己的投 资组合获得更高的超额收益。然而较高的超额收益 一般会伴随着较大的风险，如何有效的度量和控制 积极管理带来的风险，成为投资管理者面临的重要 课题。
超额收益，当然他同时必须承担积极管理带来的风
险。在此我们不仅考虑跟踪误差的相对风险，同时
还考虑组合的总体风险。即考虑如下跟踪误差投资
组合模型：
（Ｐ１）ｍｉｎｔ１ｘ（Ｔ ＶＴＦＶ＋#）ｘ＋（ｔ２ ｘ＋ｘｂ）（Ｔ ＶＴＦＶ＋#（）ｘ＋ｘｂ）
ｓ．ｔ． ｘＴｅ＝０
（２）
ｘＴ!＝Ｅ（ｒｘ）＝ｒ$ 其中，ｒ$ 为给定的期望超额收益率，ｔ１，ｔ２ 是大于或等 于 ０（但不同时为 ０）的参数。（Ｐ１）是投资管理者在
间，讨论跟踪误差前沿投资组合和均值方差前沿投
资组合之间的关系，如图 １ 表示。
图１
Ｂ 点为基准投资组合，虚曲线为跟踪误差前沿 边界，即式（８）$＝０ 的情形，实曲线为均值方差前沿 边界，即式（８）$＝１ 的情形。Ａ 点为与 Ｂ 点有相同收 益率的均值－ 方差前沿投资组合（若 ｒＢ＞ｒＭＶ，则 Ａ 为 有效投资组合，其中 ｒＭＶ 为最小方差投资组合的期 望收益率）。对于某一个给定的超额收益率 ｒ"，Ｔ 点 为跟踪误差模型确定的最优投资组合（如果 Ｂ 为无 效投资组合，则 Ｔ 必为无效投资组合），Ｅ 点为与 Ｔ 点有相同收益率的均值－ 方差前沿投资组合。虚线 段 ＥＦ 为参数 $ 在［０，１］变化时模型（Ｐ２）确定的最 优投资组合的轨迹。如果只考虑相对风险，则应选 择 Ｔ 点对应的投资组合，不难发现，此投资组合没 有移向均值方差有效前沿（基准投资组合点的左上 方），而是移向右上方，从而增加了投资组合的总体
表 １ 投资组合的风险随参数 ! 变化的部分计算结果
基准投资组合 （０．１０，０．１８，０．３７，０．１１，０．２４）Ｔ （０．２，０．２，０．２，０．２，０．２）Ｔ
参数 "
相对风险
!２ "
总体风险
!２ )
相对风险
!２ "
总体风险
!２ *
０ ０．００１１ ０．５４１１ ０．００１１ ０．５８６５
０．２ ０．００８６ ０．４７２８ ０．０１０１ ０．５０５６