集合中参数问题的解答方法(部分答案)
第01讲 集合(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误 二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ， 又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-， 当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意； 当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥． 故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ， 故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈， 则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错 故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件． 故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤； 当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆， 若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<， 故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=； 故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =， 故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ； 当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， 满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)， 因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤， 解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，， 又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=， 则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5； 若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5； 若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈， 则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈； 反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =， 故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意； 当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃， 故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤， 所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--， 所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >， 因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ， 所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ， 解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩， 若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--， 所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意； 当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-， 依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。
利用集合间包含关系求参数取值范围-高考数学解题方法含详解
利用集合间包含关系求参数取值范围-高考数学解题方法一、单选题1．设集合{}220M x x x =-≥，{}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．2a ≥D ．2a ≤2．已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()A B =∅R，则m 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞3．已知集合{1}A =,{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞4．已知集合{}2|20,{|1},A x x x B x x m AB A =--<=-<<=，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)- C ．[2,)+∞D ．(1,2]-5．已知集合{}220A x x x =+-=，若{}B x x a =≤，且AB ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a ≥-D ．2a ≤-6．若{}1,4,A x =，{}21,B x =且B A ⊆，则x =（ ）.A ．2±B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或07．已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，8．已知集合{}M x y x R ==∈，{},N y y x a x R ==-+∈，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),3-∞-D ．(],3-∞- 9．设U =R ，N ={x |-2<x <2}，M ={x |a -1<x <a +1}，若U N 是U M的真子集，则实数a的取值范围是（ ）A ．-1<a <1B ．-1≤a <1C ．-1<a ≤1D ．-1≤a ≤110．已知集合{}220A x x x =-≤，{}0lg 1B x x =<≤，2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，若{}()03A B C x x =≤<∣，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．811．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若RA B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥12．已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若AB B =，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--13．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<14．已知集合1ln 1x a e a x A x x x --⎧⎫+=-≤⎨⎬⎩⎭，集合{}2021ln 2021B x x x =+≥，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[],e e -B ．[],1e -C ．[]1,1-D ．[]1,e -15．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，x ∈R ．记函数()f x 的值域为M ，函数()()f f x 的值域为N ，若M N ⊆，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，若对任意1[0,)x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ）A ．94B ．2C ．92D ．417．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数。
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
1.3.2 补集及集合运算的综合(解析版).pdf
2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章 集合与常用的逻辑用语1.3.2 补集及集合运算的综合【课程标准】1.在具体情境中,了解全集的含义,理解补集的含义,能求给定(全集的)子集的补集.2.能用Venn 图表达集合的补集．【本节知识点】1.全集:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作.U 2.补集【题型分类】题型一 补集的运算题型要点点拨：(1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割．一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法；另一方面,补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的．文字语言对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U ,且x ∉A }图形语言运算性质∁U A ⊆U ,∁U U ＝∅,∁U ∅＝,∁U (∁U A )＝,A ∪(∁U A )＝,A ∩(∁U A )＝U A U ∅(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集,即A⊆U；②∁U A表示一个集合,且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁U A＝{x|x∈U,且x∉A}．(4)若x∈U,则x∈A或x∈∁U A,二者必居其一．【例1】已知全集为U,集合A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∁U B＝{1,4,6},则集合B＝________.【参考答案】B＝{2,3,5,7}【解析】 (1)法一：∵A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6},∴B＝{2,3,5,7}．法二：借助Venn图,如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．【例2】已知全集U＝{x|x≤5},集合A＝{x|－3≤x＜5},则∁U A＝________.【参考答案】{x|x＜－3或x＝5}【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x＜－3或x＝5}．【方法技巧】求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解．另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解,这样处理相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解． 【同类练习】1．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},则∁U A等于( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}【参考答案】C【解析】：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},∴∁U A＝{x|0＜x≤2},故选C.2．设全集S＝{1,2,3,4},且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0},若∁S A＝{2,3},则m＝________.【参考答案】：4【解析】：因为S＝{1,2,3,4},∁S A＝{2,3},所以A＝{1,4},即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.题型二、集合的交、并、补集的综合运算【例3】已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2}．(1)求A∩B,(∁U A)∪B,A∩(∁U B)；(2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)．【参考答案】【解析】(1)因为A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2},所以∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4},∁U B＝{x|x ＜－3或2＜x≤4},所以A∩B＝{x|－2＜x≤2},(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁U B)＝{x|2＜x＜3}．(2)由条件知A∪B＝{x|－3≤x＜3},所以∁U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．又A∩B＝{x|－2＜x≤2},所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．【方法技巧】解决集合运算问题的方法(1)要进行集合运算时,首先必须熟练掌握基本运算法则,可按照如下口诀进行：交集元素仔细找,属于A且属于B；并集元素勿遗漏,切忌重复仅取一；全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求(∁U A)∩B时,先求出∁U A,再求交集；求∁U(A∪B)时,先求出A∪B,再求补集．(3)当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解． 【同类练习】1.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5},M∩(∁U N)＝{2,4},则N＝( )A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}【参考答案】B【解析】：画出Venn图,阴影部分为M∩(∁U N)＝{2,4},所以N＝{1,3,5}．2．已知全集U＝R,集合A＝{x|x＋1＜0},B＝{x|x－3＜0},那么集合(∁U A)∩B＝( )A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1＜x＜3}C．{x|x＜－1}D．{x|x＞3}【参考答案】A【解析】：∵A＝{x|x＋1＜0}＝{x|x＜－1},B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3},∴∁U A＝{x|x≥－1},∴(∁U A)∩B＝{x|－1≤x＜3}．题型三、与补集有关的求参数问题【例5】已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0,x∈R},B＝{x|x<0,x∈R},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围．【参考答案】m<－3【解析】∵A∩B≠∅,∴A≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}．若A∩B＝∅,则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1,x2均非负,则Error!⇒－3≤m≤－1,∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m<－3},∴实数m的取值范围为m<－3【方法技巧】由集合的补集求解参数的问题(1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可利用补集定义并结合知识求解．(2)如果所给集合是无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题时,一般利用数轴分析法求解． 【同类练习】1.设集合A＝{x|x＋m≥0},B＝{x|－2<x<4},全集U＝R,且(∁U A)∩B＝∅,求实数m的取值范围．【参考答案】{m|m≥2}【解析】 由已知A＝{x|x≥－m},得∁U A＝{x|x<－m},因为B＝{x|－2<x<4},(∁U A)∩B＝∅,所以－m≤－2,即m≥2,所以m的取值范围是{m|m≥2}．2.已知集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|m＜x＜m＋9},若(∁R A)∩B＝B,则实数m的取值范围为_________．【参考答案】{m|m≤－11或m≥3}【解析】：∁R A＝{x|x≤－2或x≥3},由(∁R A)∩B＝B,得B⊆∁R A,∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}．【本节同步分层练习】一、夯实基础1．已知U＝R,集合A＝{x|x＜－2或x＞2},则∁U A＝( )A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|x≤－2或x≥2}【参考答案】C【解析】：根据补集的定义可得∁U A＝{x|－2≤x≤2}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{1,2,5},∁U B＝{4,5,6},则A∩B＝( )A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}【参考答案】A【解析】：因为∁U B＝{4,5,6},所以B＝{1,2,3},所以A∩B＝{1,2,5}∩{1,2,3}＝{1,2},故选A.∁U3.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},则(A∩B)等于( )A．{2,3} B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}【参考答案】B【解析】集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},所以A∩B＝{2,3},∁U(A∩B)＝{1,4,5},故选B.∁R4．集合A＝{x|－1≤x≤2},B＝{x|x<1},则A∩(B)＝( )A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}【参考答案】D【解析】由补集的概念和已知条件可得：∁R B＝{x|x≥1},又根据交集的定义可知A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2},故选D.∁U5．已知全集U＝{1,2,a2－2a＋3},A＝{1,a},A＝{3},则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2【参考答案】 D【解析】 根据题意,得a2－2a＋3＝3,且a＝2,解得a＝2,故选D.6.已知全集S＝{(x,y)|x∈R,y∈R},A＝{(x,y)|x2＋y2≠0},用列举法表示集合∁S A＝________.【参考答案】：{(0,0)}【解析】：∁S A＝{(x,y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．7．已知全集U＝R,M＝{x|－1<x<1},∁U N＝{x|0<x<2},那么集合M∪N＝________.【参考答案】：{x|x<1或x≥2}【解析】：∵U＝R,∁U N＝{x|0<x<2},∴N＝{x|x≤0或x≥2},∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．∁U8.设全集U＝{2,4,－(a－3)2},集合A＝{2,a2－a＋2},若A＝{－1},则实数a的值为________．【参考答案】2【解析】由已知可得Error!解得a＝2.9．已知M＝{x|x<－2或x≥3},N＝{x|x－a≤0},若N∩∁R M≠∅(R为实数集),则a的取值范围是________．【参考答案】a≥－2∁R【解析】 ∵M＝{x|－2≤x<3},借助数轴可得a≥－2.10.设U＝R,已知集合A＝{x|－5<x<5},B＝{x|0≤x<7},求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)．【参考答案】见解析【解析】：(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)如图①.A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图②.∁U B＝{x|x<0或x≥7},∴A∪(∁U B)＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图③.∁U A＝{x|x≤－5或x≥5},∴B∩(∁U A)＝{x|5≤x<7}．二、能力提升1.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},B＝{2,3,6,7},则B∩∁U A＝( ) A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}【参考答案】C【解析】： ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},∴∁U A＝{1,6,7},∴B∩∁U A＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}．2．已知U＝{1,2,3,4,5},A＝{2,m},且∁U A＝{1,3,5},则m等于( )A．1B．3C．4D．5【参考答案】C【解析】：由已知m∈U,且m∉∁U A,故m＝2或4.又A＝{2,m},由元素的互异性知m≠2,故m＝4.所以选C.3．设全集U＝{x|x≥0},集合P＝{1},则∁U P等于( )A．{x|0≤x＜1或x＞1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜1或x＞1}D．{x|x＞1}【参考答案】A【解析】：因为U＝{x|x≥0},P＝{1},所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}．4．设全集U＝R,集合M＝{x|x＞1,或x＜－1},N＝{x|0＜x＜2},则∁U(M∪N)＝( )A．{x|－1≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤0}D．{x|x＜1}【参考答案】C【解析】：因为M∪N＝{x|x＞0或x＜－1},所以∁U(M∪N)＝{x|－1≤x≤0}．5．设全集U＝R,M＝{x|x<－2或x>2},N＝{x|1≤x≤3}．如图所示,则阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2或x>3}D．{x|－2≤x≤2}【参考答案】A【解析】：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A.6．设全集U＝R,集合A＝{x|0<x<9},B＝{x∈Z|－4<x<4},则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．【参考答案】：4【解析】：∵U＝R,A＝{x|0<x<9},∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9},又∵B＝{x∈Z|－4<x<4},∴(∁U A )∩B ＝{x ∈Z|－4<x ≤0}＝{－3,－2,－1,0}共4个元素．7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为________．【参考答案】：m －n【解析】：因为(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ),所以A ∩B 中的元素个数是(m －n )个．8．设全集U ＝R,集合A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },且(∁U A )∪B ＝R,则实数a 的取值范围是________．【参考答案】：{a |a ≤1}【解析】：因为A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },所以∁U A ＝{x |x ≤1},由(∁U A )∪B ＝R,可知a ≤1.9．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0},满足(∁R A )∩B ＝{2},A ∩(∁R B )＝{4},求实数a ,b 的值．【参考答案】a ＝,b ＝－87127【解析】：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4},知2∈B ,但2∉A ；4∈A ,但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ,A 两集合中的方程得Error!即Error!解得a ＝,b ＝－即为所求．8712710．已知全集U ＝{小于10的正整数},A ⊆U ,B ⊆U ,且(∁U A )∩B ＝{1,8},A ∩B ＝{2,3},(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9}．(1)求集合A 与B ；(2)求(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )](其中R 为实数集,Z 为整数集)．【参考答案】【解析】：由(∁U A )∩B ＝{1,8},知1∈B,8∈B ；由(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9},知4,6,9∉A ,且4,6,9∉B ；由A ∩B ＝{2,3},知2,3是集合A 与B 的大众元素．因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以5,7∈A .画出Venn 图,如图所示．(1)由图可知A ＝{2,3,5,7},B ＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )]＝{x |x ∈R,且x ≠2,x ≠3}．三、挑战高考1.设U＝R,集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0},B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅,求m的值．【参考答案】m＝1或m＝2.【解析】A＝{－2,－1},由(∁U A)∩B＝∅,得B⊆A,∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0,∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1,－2}．①若B＝{－1},则m＝1；②若B＝{－2},则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4,且m＝(－2)×(－2)＝4,这两式不能同时成立,∴B≠{－2}；③若B＝{－1,－2},则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3,且m＝(－1)×(－2)＝2,由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．综上可得m＝1或m＝2.2.设全集U＝R,集合A＝{x|－5＜x＜4},集合B＝{x|x＜－6或x＞1},集合C＝{x|x－m＜0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件．①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．【参考答案】【解析】：因为A＝{x|－5＜x＜4},B＝{x|x＜－6或x＞1},所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4},∁U B＝{x|－6≤x≤1},所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x＜m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时,m＞－5,所以m≥4.即实数m的取值范围为{m|m≥4}．11。
集合与函数复习——解答题
集合与函数复习——解答题一、集合部分1、设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1∉A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒－1∈A ⇒∈A ⇒2∈A∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ⇒∈A ⇒∈A⇒A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－,三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.2、（全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
解：由f（x）为二次函数知，令f（x）＝0解得其两根为由此可知（i）当时，的充要条件是，即解得（ii）当时，的充要条件是，即解得综上，使成立的a的取值范围为二、函数部分1、(江苏省启东中学高三综合测试二)解：设,则f(t)的顶点横坐标为,属于,故f(t)在上是减函数,在为增函数,所以最小值在达到,为,当时达到最小值,该函数没有最大值2、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积.（其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.）解：设CG=X，矩形CGPH面积为Y，如图∴HC=160∴当（m）即CG长为190m时，最大面积为（m2）3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
【高中数学考点精讲】考点01集合：集合的含义
考点01 集合1、与集合中元素有关的问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键两种方法：(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系3、根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．4、集合基本运算的方法技巧5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．6、集合运算中参数问题的求解策略(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．7、集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．考点一集合的含义（一）判断元素与集合的关系1．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．4【解析】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．2．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（）A．B．C． D．【解析】对于A： ，故A错误；对于B：，故B错误；对于C： ，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D3．（2022·四川乐山·高一期末）已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）．A．①③ B．②③C．①② D．①②③【解析】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C．（二）根据集合中元素的个数求参数4．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，所以，即实数a的取值范围是.（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，则，得，此时，符合题意.综上，当时；当时.（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.5．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是_____．【解析】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．故答案为：{0}∪[，+∞）．6．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意可知，可得.故选：D7．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（）．A．B．C．D．【解析】因为中有三个元素，且，，所以或．①当时，解得或，均符合题意；②当时，解得，符合题意．故选：C（三）集合元素特性及其应用8．（2022·全国·高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.【解析】由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以，则，所以，则，故.故答案为：.9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______.【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.10．（2022·全国·高一课时练习）以实数为元素所组成的集合最多含有（）个元素．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】当时，，此时集合中共有2个元素；当时，，此时集合中共有1个元素；当时，，，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数为元素所组成的集合最多含有2个元素.故选：C.11．（2022·全国·高一）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.12．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知，则，，，，所以A中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取，则，，，，所以当时，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，，若，则，与矛盾，则有，即，0，1都不在集合A中．若实数，则，，，．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．显然，否则，即，无实数解．同理，，即A中有4个元素．所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．（四）集合的表示13．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（）A．B．C．D．【解析】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C14．（2022·北京西城·高一期末）方程组的解集是（）A．B．C．D．【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A15．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：。
高一数学集合试题答案及解析
高一数学集合试题答案及解析1.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(B)∩A＝{1,2,3}，(A)∩(B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【答案】A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中.因为(B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(B)∩(A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(B)∩A与(B)∩(A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【考点】本题主要考查集合的交集，集合的补集。
点评：涉及实数构成集合问题，常常借助于韦恩图。
2.已知集合A＝{ |－≤x≤}，则必有 ()A．－1∈A B．0∈A C．∈A D．1∈A【答案】D【解析】∵，－≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【考点】元素与集合的关系点评：本题先根据x是正整数和－≤x≤确定集合A，再判断各元素是否属于集合。
3.已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域是(0，1)，所以，即，，故选C。
【考点】本题主要考查函数的概念，指数函数的图象和性质。
点评：简单题，解答指数不等式，通常要化为同底数指数，利用指数函数的单调性，转化为代数不等式。
4.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝ ()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}【答案】A【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}.故选A.【考点】本题主要考查集合的并集。
点评：简单题，借助于数轴求集合的并集。
5.满足{0}∪B＝{0,2}的集合B的个数是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意知，B中至少含有元素2，故B可能为{2}，{0,2}，共两个.【考点】本题主要考查集合的子集，集合的并集。
《子集、全集、补集》典型例题剖析
《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。
高三数学集合的运算试题答案及解析
高三数学集合的运算试题答案及解析1. [2014·苏北五市模拟]已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】(2,3)【解析】∵集合B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵集合A中，|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1＜4且a－1＞1.∴2＜a＜3.2.已知集合，，则 ( )A．{x｜0＜x＜}B．{x｜＜x＜1}C．{x｜0＜x＜1}D．{x｜1＜x＜2}【答案】B【解析】=，=，所以{x｜＜x＜1}，故选B.【考点】1.集合的运算.2.指数函数的性质.3. (2014·天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q且x∉P∩Q}.若P={x|x2-(x2-2x-15)},那么P+Q等于()3x-4≤0},Q={x|y=log2A．[-1,4]B．(-∞,-1]∪[4,+∞)C．(-3,5)D．(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)【答案】D【解析】由题意可知P={x|-1≤x≤4},Q={x|x<-3或x>5}.所以P+Q={x|x<-3或-1≤x≤4或x>5}.4.已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，则集合＝（）A．{x| 0＜x＜4}B．{x| 0＜x＜5}C．{x| 1＜x ≤ 4}D．{x| 4≤x＜5}【答案】C【解析】，.选C.【考点】集合的基本运算.5.已知集合，，则．【答案】【解析】求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合B中元素逐一代入集合A验证，得.【考点】集合基本运算．6.已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．【答案】－1<a≤0【解析】因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.7.已知非空集合和，规定，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：设集合，，根据定义，则，因此，故选B.解法二：根据定义，则对任意，且，则，因此，所以，故选B.【考点】1.新定义；2.集合的运算8.设集合则( )A．{x|x<－2或x>2}B．{x|x>2}C．{x|x>1}D．{x|x<1}【答案】B【解析】由，即可得或.又因为.所以.【考点】1.绝对值不等式的解法.2.集合的交集的运算.9.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.【答案】a=1或a≤-1【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.10.设集合若，则的范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据题意，，而，在数轴上表示可得，必有，故选B．【考点】集合与集合之间关系．11.已知全集U＝{y|y＝log2x，x>1}，集合P＝，则∁UP＝()．A．B．C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪【答案】AP＝.【解析】集合U＝{y|y>0}，P＝{y|0<y<}，∴∁U12.己知全集，集合，，则 .【答案】【解析】本题首先求出集合A，B，再求它们的运算，这两个集合都是不等式的解集，故解得，，因此.【考点】集合的运算.13.已知全集U，A，B，那么 __．【答案】【解析】这是基本题型，考查集合的运算，，即B的补集由全集U中不属于B的元素所组成.两个集合的并集简单地讲就是把两个集合的元素合在一起，相同的只写一个即可．【考点】集合的运算．14.已知全集=N，集合Q=则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于P中含1、2、3、4、6，Q中含有1、2、3，而没有4、6，所以求就应将P中的1、2、3排除，而只留4和6，即.【考点】集合的基本运算.A)∩B=（）15.已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(CUA. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.【答案】B【解析】∵，，∴.【考点】1.对数不等式的解法；2.集合的交、补运算.16.设全集是实数集，，N＝{x|}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|－2≤x＜1B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2D．{x|x＜2}【答案】C.【解析】从韦恩图可知阴影部分是扣除了集合M与N的公共部分的那部分.由，所以，所阴影部分的集合为{x|1＜x≤2故填C.【考点】1.二次不等式的解法.2.补集的概念.3.韦恩图的应用.17.设函数．（1）在区间上画出函数的图象；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.【答案】（1）详见解析; （2）.【解析】（1）根据函数的具体特点采用列表描点的基本方法，区间的端点要单独考虑，另外还要考虑到函数的零点，含有绝对值函数的图象的规律：轴上方的不变，轴下方的翻到轴上方，这样就可画出函数在区间上的图象; （2）由不等式可转化为求出方程的根，再结合（1）中所作函数的图象，利用函数图象的单调性，即可确定出不等式的解集，借助于数轴可分析出的关系．试题解析：（1）函数在区间上画出的图象如下图所示：5分（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 8分由于. 10分【考点】1.函数的图象和性质;2.集合的运算18.已知全集，集合,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，则.【考点】集合的运算19.已知全集，集合，，那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，故选D.【考点】1.集合的基本运算；2.一元二次不等式的解法20.已知集合，集合，则 ( )A．(-)B．(-]C．[-)D．[-]【答案】B．【解析】解：，故选B．【考点】1．简单不等式的解；2．集合的运算（交集、补集）．21.设,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以.【考点】集合的运算.22.设集合，，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由图知：．【考点】1.集合的运算；2.一元二次不等式的解法.23.已知集合，，则．【答案】【解析】分别在数轴上表示集合A和B，取并集.【考点】集合的运算24.已知集合则集合=________.【答案】[4,6]【解析】根据题意，由于集合可知，B={x| },A=[-5,6]，那么根据交集的定义可知=[4,6]，故答案为[4,6]。
高一数学集合的运算试题答案及解析
高一数学集合的运算试题答案及解析1.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.2.已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以；又因为，所以.【考点】集合的运算.3.已知全集U=R，A={x|﹣3＜x≤6，}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0，}．求：（1）A∪B；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：由题意，先解出一元二次不等式，化简集合B，再求出集合B的补集，再由交、并的运算法则解出即可.规律总结：在处理集合间的运算问题时，往往先化简集合，再结合数轴求集合间的交、并、补集. 试题解析：（1），则；（2），则 .【考点】交、并、补集的运算.4.已知集合，，且，则实数的值是．【答案】.【解析】∵，，∴.【考点】集合间的关系.5.已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是( )A．{0，}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}【答案】C【解析】利用复合函数的值域知识可得A={y|0<y},因为A∩B=B，所以B A，所以答案是C.【考点】(1)复合函数；（2）集合的运算.6.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为2分当时满足，此时 4分当时若，则 6分当时，满足，此时 8分综合以上得：实数的取值范围,所以 10分.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.以知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，，，【考点】指数不等式的运算和集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算11.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。
高三复习数学11_集合与命题(有答案)
1.1 集合与命题一、解答题。
1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。
浅谈集合中参数取值范围问题
185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。
高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。
可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。
纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。
可谓参数问题在高中数学中无处不在。
含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。
作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。
按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。
其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。
学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。
代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。
在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。
在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。
教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。
关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。
集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。
在高考中，它也是年年必考内容之一。
高一上册数学集合知识点总结及例题讲解
高一上册数学集合知识点总结及例题讲解学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学集合知识点，希望对大家有所帮助! 高一数学集合知识点总结一.知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。
4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
高一数学集合的运算试题答案及解析
高一数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】由集合知，，即集合A包含两个元素1，-1.所以①，正确；由集合与集合之间的关系应为含于，即，所以②，不正确；由空集是任何非空集合的子集知，③正确；由任何非空集合是自身的子集，即④正确.所以其正确的个数为3个.故应选C.【考点】集合与集合的基本关系；元素与集合的关系.2.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。
【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。
3.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．【答案】6【解析】由“孤立元”的定义可知，集合中不能存在一个与其他元素相差大于的元素。
故由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有。
【考点】这是新定义问题，注意对“孤立元”定义的理解。
4.已知集合集合.（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解不等式、可得集合A、B中的元素，然后求交集；（2）即集合A是集合B的子集，所以集合A中元素的范围比集合B中元素的范围小，依此来建立关于的不等式。
（1）当时，，解得，则.由，得，则.所以.6′（2）由，得.即.若，则解得.所以实数的取值范围是. .12′【考点】（1）解绝对值、分式不等式；（2）集合的运算；5.设关于的二次方程和的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.【答案】或.【解析】先解出集合，根据为单元素集，得到或，相当于二次方程只有一个根2或二次方程只有一个根3，从而将2或3代入方程中得到参数的取值，求出的取值之后，返代，得出，检验此时的是否为或，满足要求的就取，不满足要求的的值应该舍去.试题解析：解方程，得 2分由为单元素集得或 3分当时有或时不合题意6分当时有或时不合题意10分综上得或 12分.【考点】1.集合的运算；2.二次方程的解.6.已知集合A=，B=，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,故选B.【考点】集合的运算7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.已知集合，集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合为非负偶数集，所以【考点】本题考查集合的元素和运算.9.已知函数的定义域为集合，集合，集合．（1）求；（2）若 ()，求的值．【答案】（1）,（2）1．【解析】（1）求函数定义域，主要列出所有限制条件，本题一是要求分母不为零，二是要求偶次被开方数非负，结合两者得到函数定义域为；解对数不等式，注意真数要大于零及不等号的方向=，根据数轴求出集合的交集；（2）集合是解参数不等式，由于参数大于零，所以先求出集合为，再求出交集，由并结合数轴得，解此类问题需注意区间之间相互关系，并重视区间端点是否能取到.试题解析：（1）由题意得=.，=， 2分∴． 4分（2）由题意得=，∴， 6分∵，∴， 8分∴，又∵，∴=1． 10分【考点】函数定义域，解对数不等式，集合运算.A，则实数a的取值范围10.设全集U=R，A="{x|" x<－2,或x≥1}，B="{x|" a－1<x<a＋1}，B∁R是______.【答案】【解析】由题意得,由,又因为,即集合为非空集合,所以有,解得.故正确答案为.【考点】集合的运算11.设集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则______________【答案】【解析】集合的并集是由两集合的所有元素组成.【考点】1、集合的并集运算；2、集合元素的互异性.12.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算13.某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A,B两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加B项的有人.【答案】9【解析】假设A,B都参加的设为x,所以仅参加A项的共(30-x)人,仅参加B项的共（33-x）人，都不参加的()人，有这些相加即：，解得：x=21,所以只参加A项不参加B共有30-21=9，所以填9.【考点】本题考查的内容是容斥原理，通过韦恩建立数学模型巧妙的解决.14.已知集合，.（Ⅰ）若，求()；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）解出集合，再根据确定集合，然后由数轴找出交集是；（Ⅱ）由可知,由子集概念求出的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）因为当时，.所以.又因为集合，所以().（Ⅱ）因为，所以.当时，有：，此时；当时，有：，解得.综上所述，实数的取值范围是.【考点】集合的基本运算.15.已知集合，，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】（1）根据全集，先求出集合的补集,再求；（2）由知，集合与有公共元素，所以.试题解析：（1）因为，集合，所以，又因为，结合数轴可知（2）结合数轴可知:当时，.【考点】集合的基本运算16.设集合，，若，则的范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】在数轴上画出集合A，B，如图，可知.这种与实数集有关问题借助于数轴可以很快得出结论.【考点】子集的概念．17.给出以下五个命题①集合与都表示空集.②是从到的一个映射.③函数是偶函数.④是定义在上的奇函数,则⑤是减函数.以上命题正确的序号为:【答案】②④【解析】①集合与都表示空集，不对，因为，中有元素，不是空集；②是从到的一个映射，正确，因为，对中任意一个元素，按，在中都有唯一一个元素与之对应；③函数是偶函数，不正确，定义域不关于原点对称；④是定义在上的奇函数,则，正确，因为，，；⑤是减函数，不对，只能说其在区间是减函数。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)
数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。
集合关系中的参数取值问题-高中数学知识点讲解(含答案)
集合关系中的参数取值问题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2012•房山区一模）已知集合{M a =，0}，2{|250N x x x =-<，}x Z ∈，若M N ≠Φ，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2.5D ．1或22．（2011•北京）已知集合2{|1}P x x =，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[1-，1]D ．(-∞，1][1-，)+∞3．（2009•朝阳区二模）已知集合{(,)||1|A x y y x ==-，x ，}y R ∈，{(,)|2B x y y ax ==+，x ，}y R ∈，若集合A B有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(0-⋃，1] B ．(1,0)[1-，)+∞C ．(-∞，1][1-，)+∞D ．(-∞，1](1,)-+∞二．填空题（共4小题）4．（2014•北京模拟）若2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}AB =-，则a = ．5．（2011•顺义区二模）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{4A =-，2-，0，2，4}为闭集合； ②集合{|3A n n k ==，}k Z ∈为闭集合； ③若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A 为闭集合；其中正确结论的序号是 ．6．（2010春•朝阳区期中）已知集合{|1}A x x =，{|}B x x a =，若AB R =，则实数a 的取值范围是 ；若AB =∅，则实数a 的取值范围是 ．7．（2007•北京）已知集合{|||1}A x x a =-，2{|540}B x x x =-+．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题（共1小题）8．（2014春•西城区校级期末）已知全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-，{|26}Q x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合UP ；（Ⅱ）若UP Q ⊆，求实数a 的取值范围．集合关系中的参数取值问题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2012•房山区一模）已知集合{M a =，0}，2{|250N x x x =-<，}x Z ∈，若M N ≠Φ，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2.5D ．1或2【分析】解二次不等式2250x x -<结合x Z ∈，我们可以用列举法表示出集合N ，进而根据M N ≠Φ，可得a N ∈，进而得到答案． 【解答】解：2{|250N x x x =-<，}{1x Z ∈=，2}，又{M a =，0}， 又MN ≠Φ，1a ∴=，或2a =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，一元二次不等式的解法，其中解二次不等式，求出集合N 是解答本题的关键．2．（2011•北京）已知集合2{|1}P x x =，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[1-，1]D ．(-∞，1][1-，)+∞【分析】通过解不等式化简集合P ；利用P M P M P =⇔⊆；求出a 的范围．【解答】解：2{|1}P x x =，{|11}P x x ∴=- PM P =M P ∴⊆a P ∴∈11a -故选：C ．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件PM P M P =⇔⊆是解题关键．3．（2009•朝阳区二模）已知集合{(,)||1|A x y y x ==-，x ，}y R ∈，{(,)|2B x y y ax ==+，x ，}y R ∈，若集合A B有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(0-⋃，1]B ．(1,0)[1-，)+∞C ．(-∞，1][1-，)+∞D ．(-∞，1](1,)-+∞【分析】先画出两集合表示的曲线，集合A 为定曲线，集合B 为动曲线，即绕点(0,2)旋转的直线，故本题转化为两曲线有且只有一个交点时，动直线的斜率的取值范围问题，数形结合即可【解答】解：集合A 中的点构成函数|1|y x =-的图象，集合B 中的点是一条过定点(0,2)，斜率为a 的直线，如图 集合AB 有且只有一个元素∴函数|1|y x =-的图象与直线2y ax =+有且只有一个交点，数形结合可得1a 或1a -故选：C ．【点评】本题考查了集合的表示方法及其几何意义，数形结合解决曲线交点个数问题，将集合问题转化为图形问题是解决本题的关键 二．填空题（共4小题）4．（2014•北京模拟）若2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-，则a = 1- ．【分析】根据题意，由{3}AB =-可得3B -∈，由于B 中有3个元素，则分三种情况讨论，①33a -=-，②213a -=-，③213a +=-，分别求出a 的值，求出A B 并验证是否满足{1AB =，3}-，即可得答案，【解答】解：{3}AB =-，则3B -∈，分3种情况讨论：①33a -=-，则0a =，则{3B =-，1-，1}，{0A =，1，3}-，此时{1A B =，3}-，不合题意，②213a -=-，则1a =-，此时{1A =，0，3}-，{4B =-，3-，2}，此时{3}A B =-，符合题意，③213a +=-，此时a 无解，不合题意； 则1a =-， 故答案为1-．【点评】本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性．5．（2011•顺义区二模）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{4A =-，2-，0，2，4}为闭集合； ②集合{|3A n n k ==，}k Z ∈为闭集合； ③若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A 为闭集合；其中正确结论的序号是 ② ．【分析】分析：本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确闭集合是什么，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．【解答】解：对于①：4(2)6A -+-=-∉，故不是闭集合，故错；对于②：由于任意两个三的倍数的和、差仍是3 的倍数，故是闭集合，故正确；对于③：假设1{|3A n n k ==，}k Z ∈，2{|5A n n k ==，}k Z ∈，13A ∈，25A ∈，但是，1235A A +∉，则12A A 不是闭集合，故错． 正确结论的序号是②， 故答案为：②【点评】本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳． 6．（2010春•朝阳区期中）已知集合{|1}A x x =，{|}B x x a =，若A B R =，则实数a 的取值范围是 (-∞，1] ；若AB =∅，则实数a 的取值范围是 ．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集． 【解答】解：{|1}A x x =，{|}B x x a =，且A B R =，如图，故当1a 时，命题成立． 若A B =∅，如图，1a >故答案为(-∞，1]；(1,)+∞．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．7．（2007•北京）已知集合{|||1}A x x a =-，2{|540}B x x x =-+．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 (2,3) ．【分析】化简A 与B 两个集合，A B =∅，本题不用分类，由形式可以看出，A 不是空集，由此，比较两个端点的大小就可以求出参数的范围了【解答】解：集合{|||1}{|11}A x x a x a x a =-=-+，2{|540}{|4B x x x x x =-+=或1}x ． 又AB =∅，∴1411a a +<⎧⎨->⎩，解得23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3)． 故应填(2,3)．【点评】考查集合之间的关系，通过数轴进行集合包含关系的运算，要注意端点的“开闭”． 三．解答题（共1小题）8．（2014春•西城区校级期末）已知全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-，{|26}Q x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合UP ；（Ⅱ）若UP Q ⊆，求实数a 的取值范围．【分析】()I 分析可得，P 是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得P ，进而可得UP 可得答案．()II 根据UP Q ⊆，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-， 所以{|(2)0}UP x x x =-<，⋯（4分） 即集合{|02}UP x x =<<⋯（6分）（Ⅱ）因为UP Q ⊆，所以0262a a ⎧⋯⎨+⎩（10分） 解得02.a a ⎧⎨-⎩所以[2a ∈-，0]．⋯（13分） 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣（2分）．【点评】本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．。
5.2必修一第一章集合—元素与集合—根据元素与集合的关系求参数+变式教学学案2(含详细解答)
5.2集合—元素与集合—根据元素与集合的关系求参数变式教学学案21.基本问题（本源性练习）单选1．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1} 12．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或22．若集合A={}2|10x ax ax +-=只有一个元素，则a =A ．-4B ．0C ．4D ．0或-4 3．已知集合A 满足条件:若a ∈A,则1a 1-a +∈A,那么集合A 中所有元素的乘积为( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．±1 4．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0B ．2019C ．1D ．0或2019 5．若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1- 6．已知元素a ∈{0，1，2，3}，且a ∉{1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7．若2∈{1，x 2＋x}，则x 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．－1或2填空8．已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 9．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是______．10．已知{}31,2,A x =，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．11．已知{1a ∈，则实数a 的值为______.12．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________．13．已知集合21,2,4m M m ，如果5M ∈，那么m 的取值集合为________.14．已知集合(){}2|(1)20,A x x x a a a =++--∈R 若0A ∈，则a 的取值范围是________. 15．若22{|30}x x mx ∈+-=，则m 的值为________．2.变式提升（进阶练习）16．已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值是____________17．设非空集合s ={x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有y =x 2∈S ．给出如下三个命题：①若m =1，则S ={1}；②若m =﹣，则≤l ≤1；③若l =，则﹣≤m ≤0．④若l =1，则﹣1≤m ≤0或m =1．其中正确命题的是 ．18．设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；19．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．20．已知集合{}2|320,A x ax x a R =-+=∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．21．已知不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 22．若－3∈{a －3,2a －1，a 2＋1}，求实数a 的值.23．已知关于x 的不等式270mx x m-<-的解集为S . （1）当9m =时，求集合S ；（2）若5S ∈且7S ∉，求实数m 的取值范围.24．已知集合2{|320}A x mx x =-+=.（1）若A 是单元素集，求m 的值及集合A ；（2）求集合P ={|m m 使得A 至少含有一个元素}.3.变式拓展（深化练习）25．已知集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋1＝0，x ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值．(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．26．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值.27．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．28．已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值.29．已知x ∈R,集合A 中含有三个元素3,x ,x 2-2x.(1)求元素x 满足的条件;(2)若-2∈A ,求实数x.30．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 31．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .32．已知集合{}2221,,M x x a a b a b Z ==+-=∈ （1）证明：若x M ∈，则1x x +是偶数； （2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值；（3）设n A ∈M 2(3n ≤<+的n 的详细解答及分析1．D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件； ②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．2．C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.3．A【分析】根据方程只有一个根，结合函数图象确定a 的值【详解】210ax ax +-=由题意得只有一个实根，所以200{,{,4040a a a a a ≠≠=-∆=+=，选A. 【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力.4．B【分析】 根据题意，令11a a a +=-代入11a a +-进行求解，依次赋值代入11a a+-进行化简，把集合A 中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可.【详解】由题意，当a A ∈时，11a A a+∈-， 令11a a a +=-代入11a a +-，则1111111aa A a a a ++-=-∈+--， 则111111a a A a a --=∈++，则111111a a a A a a -++=∈--+， 即111,,,11a a A a a a a +-⎧⎫=-⎨⎬-+⎩⎭，所以111111a a a a a a +-⋅⋅-=-+，故选B. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．C【分析】根据集合的元素互异性判断即可.【详解】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019.故选：C.6．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍），当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．A【分析】由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，元素a ∈{0，1，2，3}，且a ∉{1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．【点睛】本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8．C【解析】由题意知x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0.解得x ＝－2或x ＝1.选C.9．-3【分析】根据题意求元素的关系．【详解】解：因为实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=，解得：3x =-．故答案为：-3．【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．10．2【解析】由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,m -=则2,m =符合题意；若33,m -=则0,m =不符合题意.故答案为211．{}1,0,2-【分析】令1x =，2x =，3x x =分别求得x 的取值，根据元素互异性可得结果．【详解】当1x =时，31x =，由集合元素互异性知，不合题意当2x =时，38x =，满足题意当3x x =时，0x =或1x =-或1x =（舍）综上所述：实数x 的取值集合是：{}1,0,2-【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了集合元素的互异性，是基础题．12．0【分析】分别讨论1a =、a .【详解】当1a =时，1=当a 0a =或1（舍），所以集合是{0,1}满足.故：0a =.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，注意使用集合中元素的互异性，难度较易. 13．1-或0【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.【详解】若()211,a +=则0a =或2,a =-当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：1-或0.【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合元素的互异性是关键点，属基础题.14．{}1,3【解析】因为{}251,2,4m m ∈++，所以25m 或245m ，即3m =或1m =±，当3m =时，{}1,5,13M =；当1m =时，{1,3,5}M =；当1m =-时，{}1,1,5M =不满足互异性，所以m 的取值集合为{}1,3.15．12a -≤≤【分析】首先可先求出二次方程的两根，由于0A ∈可判断两根与0 的大小，于是可得到答案.【详解】由于()2(1)20x x a a ++--=的两根为2121,2x x a a =-=+-，由于0A ∈，所以2220x a a =+-≥，即220a a --≤，解得12a -≤≤，故答案为12a -≤≤.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.16．12- 【分析】由题意可知；2是方程230x mx +-=的解，把2x =，代入方程中，求出m 的值.【详解】因为22{|30}x x mx ∈+-=，所以2122302m m +-=⇒=-. 【点睛】本题考查了已知集合中的元素，求一元二次方程一次项系数问题，考查了代入思想. 17．1或3-【分析】根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值.【详解】0A ∉，则只需考虑下列三种情况：①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++ 11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ 又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t tλλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩ 可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时 可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-综上所述：1t =或3-【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与aλ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.18．①②③④【详解】由定义设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有y =x 2∈S 可知：符合定义的参数m 的值一定大于等于﹣1，符合条件的l 的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l ∈S 时，有l 2∈S 即l 2≤l ，再对各个命题进行判断：对于①m =1，m 2=1∈S 故必有{l 2≤1l ≥1，可得l =1，S ={1}，故正确； ②m =﹣，则{l 2≤1l ≥14 ，解得≤l ≤1，故正确； ③若l =，则，可解得﹣≤m ≤0，故正确；④若l =1，则可解得﹣1≤m ≤0或m =1，故正确．故答案为①②③④考点：命题的真假判断与应用．19．10【分析】根据130a a +=可得2213a a =，结合已知条件可得20a ≥，然后分情况讨论，20a >和20a =时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解.【详解】由130a a +=可得13a a =-，所以2213a a =，因为{}23,A B a a ⋂=，所以20a ≥，若20a >，因为2a Z ∈，所以21a ≥，所以222a a ≤，233a a <，244a a <，故{}2423,a a a ∉所以{}{}221223,,a a a a =， 若212223a a a a ⎧=⎨=⎩则()424432133a a a a a ===-=，可得30a =或31a = 与321a a >≥矛盾，所以此时不成立，若20a =，则4320a a a >>=，所以244a a >，所以{}2423,a a a ∉，所以{}{}221223,,a a a a =即{}{}213,00,a a =显然23231a a a ==，可得30a =或31a =，因为30a =与32a a >矛盾，所以31a =，11a =-，此时{}41,0,1,A a =-，{}241,0,B a =，所以{}4241,0,,1,A B a a ⋃=-，由题意知：44290a a +=，即()()441090a a +-=，解得49a =或410a =-（舍）综上所述：31a =，49a =，所以3410a a +=，故答案为：10.20．{0,B =1，4，7}【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21．（1）98a >；（2）98a ≥或0a =. 【分析】（1）集合中是关于方程根的个数，所以要按0a =和0a ≠考虑，由于是空集，只能是0<且0a ≠，可解．（2）至多一个元素，分为有0个元素，1个元素，所以按0a =和0a ≠分类讨论．【详解】（1）若A =∅ ，方程2320ax x -+=无解，则0a ≠且()23420a ∆=--⋅⋅<，解得98a >． （2）若A 中至多只有一个元素，则方程2320ax x -+=满足，0a ≠且()23420a ∆=--⋅⋅≤，或0a =，解得98a ≥或0a =． 22．（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）∵2M ∈，∴225220a ⨯+⨯->，∴2a >-（2）∵1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得1522{1222a a+=-⋅=-解得2a =- ∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+> 其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 考点：一元二次不等式解法23．a ＝0或－1【详解】试题分析：已知集合{a-3，2a-1，a 2+1}，分析a 2+1≥1不可能等于-3，所以只分两种情况，从而求解试题解析：∵{}233,21a 1a a ∈+－－－，，又2a 1+≥1，∴－3＝a －3，或－3＝2a －1，解得a ＝0，或a ＝－1，当a ＝0时，{a －3,2a －1，2a 1+}＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性； 当a ＝－1时，{a －3,2a －1，2a 1+}＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性； ∴a ＝0或－1.点睛：解决集合问题时，注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.24．（1）7,3,39；（2）71,25,495.【分析】（1）本题首先可代入9m =，然后将不等式转化为()()()97330x x x --+<，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据题意得出不等式组5702577049m m m m-⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩，然后依次求解，即可得出结果.【详解】（1）因为9m =，所以29709x x -<-， 即()()()97330x x x --+<，解得3x <-或739x ， 故集合7,3,39S . （2）因为5S ∈且7S ∉，所以5702577049490m m m m m -⎧<⎪-⎪-⎨≥⎪-⎪-≠⎩或57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩， 5702577049490m m m m m -⎧<⎪-⎪-⎨≥⎪-⎪-≠⎩，即()()()()572507749049m m m m m ⎧--<⎪--≥⎨⎪≠⎩，解得715m 或2549m ，57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩，即()()57250490m m m ⎧--<⎨-=⎩，解得49m =， 综上所述，715m 或2549m ，实数m 的取值范围为71,25,495. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数的取值范围，考查分数不等式和高次不等式的解法，一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f xg x g x ⎧>⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零，解本题时还应注意容易遗漏490m 这个情况，是难题.25．（1）当0m =时2{}3A =当98m =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）9{|}8m m ≤ 【解析】试题分析：（1）当0m =时方程为一元一次方程，当0m ≠时，为一元二次方程，所以分类讨论只有一个解的条件（2）至少含有一个元素，除（1）外，再讨论一元二次方程条件下两个不同根的情况，即可得m 的取值范围试题解析：（1）A 是单元素集，0m =，A=23⎧⎫⎨⎬⎩⎭；90,08m m ≠∆=⇒=，A=43⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （2）0m = 990,088m m m ≠∆≥⇒≤∴≤或。
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集合中参数问题的解答方法集合中的参数问题主要包括：①集合与集合关系中的参数问题；②集合运算过程中的参数问题；每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。
那么在实际解答这类问题时，到底应该怎样展开思路，寻求解答方法呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、含有三个元素的集合可以表示为｛a,b a ,1｝,也可以表示为｛2a ,a+b,0｝. 求：20092010a b +的值。
2、设A=｛x|2x -3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a ｝,如果A ⊆ B,求实数a 的取值范围；3、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-12＜x ≤2｝. ①若A ⊆ B, 求实数a 的取值范围；②若B ⊆ A, 求实数a 的取值范围；③A 、B 能否相等？若能求出实数a 的值；若不能说明理由。
4、已知集合A=｛x|a 2x -3x+2=0,a ∈R ｝.①若A 是空集，求实数a 的取值范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素求出来；③若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值 【解析】1、【知识点】①集合相等的定义与性质；②集合元素的定义与特性；③参数值的求法；④代数式的值的意义与求法；【解答思路】根据集合相等的定义与性质，结合结合元素的特性求出参数a ，b 的值，再把求得的值代入代数式通过计算得出结果；【详细解答】Q ｛a,b a ,1｝=｛2a ,a+b,0｝，0∈｛a,b a ,1｝，a ≠0，∴b a=0，⇒b=0，2a =1， ⇒a=±1，Q a ≠1，∴a=-1，∴20092010a b +=2009(1)-+20100=-1+0=-1。
2、【知识点】①集合的表示方法；②一元二次方程的定义与解法；③一元一次不等式的定义与解法；④数轴的定义与运用；⑤子集的定义与性质；【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合A 用列举法表示出来，由一元一次不等式的定义与解法把集合B 用描述法表示出来，运用A B 结合数轴得到关于a 的不等式，求解不等式就可得出结果；【详细解答】如图，Q A ⊆B ，∴a-2≤1，⇒a ≤3 0 1 2∴当A ⊆B ，实数a 的取值范围是（-∞，3］。
3、【知识点】①集合的表示法；②一元一次不等式的定义与解法；③参数分类讨论的原则与方法；④子集的定义与性质；【解答思路】根据一元一次不等式的定义与解法把集合A 用描述法表示出来，由A ⊆B 得到关于参数a的不等式组，求解不等式组得出结果；【详细解答】（1）Q｛x|-1a＜x≤4a｝，a＞0,①当a＞0时,Q A=｛x|-1a＜x≤4a｝，A ⊆B，A= R，a=0，∴-1a≥-12，⇒a≥2；②当a=0时，Q A=R，｛x|4a≤x＜-1a｝， a＜0，4a≤2，显然A ⊆B不成立；③当a＜0时，Q A=｛x|4a≤x＜-1a｝, A⊆B,∴4a＞-12，⇒a＜-8；∴综上所述，当A⊆B时,实数-1a≤2，a的取值范围是（- ∞，-8）U［2，+∞）。
（2）①当a＞0时,Q A=｛x|-1a＜x≤4a｝，B⊆A，∴-1a≤-12，0＜a≤2；②当a=0时，-1a≥2，4a≥2，Q A=R，显然B⊆A成立；③当a＜0时，Q A=｛x|4a≤x＜-1a｝, B⊆A，4a＜-12，⇒-12≤a＜0，∴综上所述，当B⊆A时，实数a的取值范围是［-12，2］。
-1a=-12，（3）设A=B能成立，①当a＞0时,Q A=｛x|-1a＜x≤4a｝，A=B，∴4a=2，⇒a=2；②当a=0时，Q A=R，显然A=B不成立；③当a＜0时，Q A=｛x|4a≤x＜-1a｝, A=B，∴4 a =-12，⇒∅，∴综上所述，存在实数a=2，使A=B成立。
-1a=2，4、【知识点】①集合的表示方法；②一元二次方程根的判别式的定义与性质；③空集的定义与性质；【解答思路】根据空集的定义与性质，结合一元二次方程根的判别式，得到关于参数a的不等式，再求解不等式就可得出结果；【详细解答】（1）Q集合A是空集，∴方程a2x-3x+2=0,a∈R没有实数根，①当a=0时，a2x-3x+2=0,⇔-3x+2=0，⇒x=23与题意不符合；②当a≠0时，⇒∆=9-8a＜0，⇒a＞98，∴综上所述，当集合A是空集时，实数a的取值范围是（98，+∞）。
（2）若集合A中只有一个元素，①当a=0时，a2x-3x+2=0,⇔-3x+2=0，⇒x=23与题意符合；②当a≠0时，⇒∆=9-8a=0，⇒a=98，∴综上所述，当集合A中只有一个元素时，实数a=0或a=98。
（3）当集合A中至多有一个元素时，由（1），（2）可知，实数a的取值范围是［98，+∞）或{0}。
『思考问题1』（1）【典例1】是集合与集合关系问题中的参数问题，解答这类问题需要理解子集，真子集，集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质；（2）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其是问题中涉及到A⊆B时，一定要注意分A=∅和A≠∅两种情况来考虑；（3）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，同时还应注意分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
［类型1］解答下列问题：1、设a，b∈R，集合{1，a+b，a}，集合{0，ba，b}表示同一集合，则b-a= 。
2、有三个元素的集合可以表示为｛4a,2,2a｝,也可以表示为｛a,2,4｝。
求实数a的值；3、设A=｛7，0，2a-2a+2｝，B=｛a-3，2a-2a+4，5｝,如果A=B,求实数a的值；4、设A=｛x|2x-4x+3=0｝，B=｛x|x+2＞a｝,如果A ⊆ B,求实数a的取值范围；5、设A=｛x|-1＜x＜3｝，B=｛x||x|＞a｝,如果A ⊆ B,求实数a的取值范围.【典例2】解答下列问题：1、设A是自然数集的一个非空子集，如果k∈A，2k∉A，∉A，那么k是A的一个“酷元”。
给定S=｛x∈N|y=lg(36-2x)｝,设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）（（2013湖北重点中学联考）A 3个B 4个C 5个D 6个2、已知集合A=｛x|2x+(a+2)x+1=0｝,B=R+为正实数的集合，如果A∩B= ∅，求实数a 的取值范围；3、已知集合A=｛（x，y）|2x+mx-y+2=0｝, B=｛（x，y）|x-y+1=0,0≤x≤2｝,如果A∩B ≠∅，求实数m的取值范围.4、设集合A={x|2x-3x+2=0},B={x|2x+2(a+1)x+(2a-5)=0}.（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围；（3）若U=R，A∩（UC B）=A，求实数a的取值范围。
【解析】1、【知识点】①子集的定义与性质；②新定义的理解与应用；【解答思路】根据“酷元”的定义与性质，确定集合S中的“酷元”，再由集合M的结构特征求出满足条件的集合M 的个数；【详细解答】Q S=｛x ∈N|y=lg(36-2x )｝={0，1，2，3，4，5}，显然0，1不是“酷元”，3，5是“酷元”，2，4不能同时属于集合M ，∴满足条件的集合M 可能有{2，3}，{2，5}，{4，3}，{4，5}，{3，5}共5个，⇒C 正确，∴选C 。
2、【知识点】①集合的表示方法；②空集的定义与性质；③交集的定义与性质；④一元二次方程根的判别式的定义与性质；【解答思路】根据A ∩B=∅，可分A=∅ 和A ≠∅两种情况来考虑，①当A=∅时，⇒2x +(a+2)x+1=0，得到关于参数a 的不等式，求解不等式可得出a 的取值范围；②当A ≠∅时，⇒2x +(a+2)x+1=0没有正实数根，得到关于参数a 的不等式组，求解不等式组可得出a 的取值范围，两种情况的并集就是所求的结果；【详细解答】Q ①当A=∅时，显然A ∩B=∅成立，∴方程2x +(a+2)x+1=0没有实数根，⇒∆=2(2)a +-4=a(a+4)＜0，⇒-4＜a ＜0；②当A ≠∅时，Q A ∩B=∅，∴方程2x +(a+2)x+1=0没有正实数根，⇒∆=2(2)a +-4=a(a+4) ≥0，⇒a ≥0，∴综上实数，当 a+2＞0，A ∩B=∅时，实数a 的取值范围是（-4，+∞）。
3、【知识点】①集合的表示方法；②交集的定义与性质；③补集的定义与性质；④参数分类讨论的基本原则与基本方法；【解答思路】根据A ∩B=∅，可知曲线2x +mx-y+2=0与直线x-y+1=0没有公共点,结合图形得到2x +mx-y+2=0，没有实数解，⇒方程2x +（m-1）x+1=0没有实数根，⇒∆=2(1)m --4 x-y+1=0，=（m+1）(m-3)＜0，求解这个不等式就可得出结果【详细解答】Q A ∩B=∅，∴曲线2x +mx-y+2=0与直线x-y+1=0没有公共点, ⇒ 2x +mx-y+2=0，没有实数解，⇒方程2x +（m-1）x+1=0没有实数根，⇒∆=2(1)m --4x-y+1=0，=（m+1）(m-3)＜0，⇒-1＜m ＜3，∴当A ∩B=∅时，实数m 的取值范围是（-1,3）.4、【知识点】①集合的表示方法；②空集的定义与性质；③交集的定义与性质；④数形结合法的基本方法；【解答思路】；（1）根据A ∩B={2}，可知2∈B ，⇒4+4(a+1)+(2a -5)=0，解这个方程就可求出a 的值；（2）根据A ∪B=A ，可知B ⊆A ，①当B=∅时，显然B ⊆A 成立，得到关于参数a 的不等式，求解这个不等式，可得出实数a 的取值范围；②当B ≠∅时，由B ⊆A 可知，B={1}或B={2}或B={1，2}，若B={1}，⇒1+2(a+1)+(2a -5)=0，解这个方程可得出a 的值；若B={2}由（1）可得出a 的值；若B={1，2}，⇒2(a+1)=-3且2a -5=2，⇒∅，求出①，②的并集，就可得到实数a 的取值范围；（3）根据A ∩（U C B ）=A ，得到U C B ⊆A ，【详细解答】（1）Q A∩B={2}，∴2 ∈B，⇒4+4（a+1）+(2a-5)=0,∴a=-1或a=-3，（a+1)-4(2a-5)=8a+24<0，即a<-3时，显（2）Q A∪B=A，∴B⊆A，①当B=∅，⇒∆=42然A∪B=A成立；②当B={2}或B={1}，即a=-3或a=-1或a=-1±时，A∪B=A成立；③当A=B时，⇒B={1，2}，⇒a>-3，⇒∅，∴综上所述，当A∪B=A时，实数a-2（a+1）=1+2=3，的取值范围是a ≤-3或a=-1或2C B）a-5=1⨯2=2，a=-1±（3）Q U=R，A∩（U=A，⇒A⊆（U C B），⇒1∉B，2∉B，①当B=∅即a<-3时，显然成立，②当 B≠∅时，由B={2}或B={1}时，⇒a=-3或a=-1或a=-1±，∴综上所述，当U=R，A∩（U C B）=A时，实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，∪（,-1）∪（-1，）∪（，+∞）。