画法几何——点线面应用

H
b
三棱锥表面取点
第 八 讲 点 线 面 应 用
V a' b' b' A
s' s' S c' C c a s B a b d m b n s a" c" b" c s" W a' d' b' m' (n') c' a"(c") n"
s"
m" b"
H
四棱锥前后、左右对称 底面与水平面平行，反映实形。
六棱柱三视图
第 八 讲 点 线 面 应 用
六棱柱三视图画图步骤：
画出基准线：对称中心线 画出反映实形的俯视图 画出其余两视图 检查、清理、加深
视图中，当粗实线与细虚线或细 点画线重合时，应画成粗实线，如六 棱柱主视图和左视图；当细虚线与细 点画线重合时，则应画成细虚线。
六棱柱前后、左右对称 六棱柱三视图符合投影规律
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅵ Ⅱ 主视 方向
I
作图步骤： （1）作出完整六棱柱的左视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅵ Ⅱ 主视 方向
I
作图步骤： （2）在主视图和俯视图上标出斜面六边形的对应点。
第 八 讲 点 线 面 应 用
4' 3'(5') 2'(6') 1' 6 1 4 2 3 5
Ⅵ Ⅱ 主视 方向 Ⅴ
第 八 讲 点 线 面 应 用
第八讲 点线面应用 P117-120，128-135
四、平面立体的投影
第 八 讲 点 线 面 应 用
平面立体
表面由平面组成的立体，称为平面立体 平面立体。如棱柱、棱锥等。
基本平面立体只有棱柱、棱锥两种。
棱柱和棱锥是由棱面和底面围成的立体
棱柱的棱线互相平行，棱锥的所有棱线交于锥顶 相邻两棱面的交线称为棱线 以基本平面立体棱柱、棱锥为基础，通过挖切和叠加两种方式， 可以构成形状多种多样的立体。
Ⅲ
Ⅱ
主视 方向
例4：四棱锥截切
第 八 讲 点 线 面 应 用
2' (3') 1' (4') 4″
3″
作图步骤： 1.做出立体投影。 2″ 2.求截交线（判断可见 性）。 3.补全截切立体投影。 1″
III IV I II
4 3 1 2
§4-3 垂直问题 一、直线与平面垂直
第 八 讲 点 线 面 应 用
求截交线的实质是求两平面的交线
例1：求作截头六棱柱的左视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ Ⅵ Ⅱ 主视 方向
Ⅰ
分析：
第 八 讲 点 线 面 应 用
此六棱柱为上部被斜切去一块后形成 ，斜面是垂直于正面的六边 形，六个顶点分别在六条棱线上，正面投影积聚为一条线段，水平投 影为已画出的正六边形。
第 八 讲 点 线 面 应 用
4' 3'(5') 2'(6') 1' 6 1 4 2 3 5 5" 6"
4" 3" 2" 1"
Ⅲ Ⅵ Ⅱ 主视 方向 Ⅴ
Ⅳ
I
作图步骤： （5）补全六棱柱被斜切后各棱线的侧面投影，完成左视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
4' 3'(5') 2'(6') 1' 6 1 4 2 3 5 5" 6"
高平齐 长对正
V
W
宽相等
H
六棱柱表面取点
第 八 讲 点 线 面 应 用
V
m′ m′ M m″ W n′
m″ (n″)
m H
m n
第 八 讲 点 线 面 应 用
V a'
三棱锥三面投影
s' s' S c' b' b' A c a s B a b s c C a" c" b" s" W a' c' b' a"(c") b" s"
主视 方向
s" 3' 3" 2" S Ⅲ
作图步骤： （3）分别在水平投影和侧面投影中用直线连接三个点成三角形。
第 八 讲 点 线 面 应 用
1'
s' 2' 3' 3"
s" 2" S b" I Ⅱ A B C
主视 方向
1" a' b' 3 y a 1 s 2 b c' c" c a" y
Ⅲ
作图步骤： （4）补全三棱锥的俯视图和左视图。
平面立体的截切——点、线、面应用 平面立体的截切——点 ——
截切： 截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
平面截切的基本形式
第 八 讲 点 线 面 应 用
截交线的性质： 截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状 取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。 • 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
1 几何条件 立体几何定理： (1) 若直线垂直平面内任意二相交直线，则直线垂直该平面。 (2) 若直线垂直一平面，则必垂直于该平面上的一切直线。
m'
M C A K E D B
c' k' d' b' c k b d
a' k e m b e' a c
H
a
d
e m
线面垂直定理
第 八 讲 点 线 面 应 用
Ⅳ
Ⅲ
I
作图步骤：
第 八 讲 点 线 面 应 用
（3）求出各点的侧面投影。弄清每条棱线的投影位置以及直线上点 的投影特性。 4' 4" 5" 3'(5') 3" 2'(6') 1' 6 1 4 2 3 5 6" 1"
Ⅲ Ⅵ Ⅱ 主视 方向
2"
Ⅴ
Ⅳ
I
作图步骤： （4）在侧面投影中，用直线连接六个点成六边形。
a'
1' d' k' e' 2' d 1 k
b'
实长
a
Biblioteka Baidu
e
2
b
第 八 讲 点 线 面 应 用
作业：3-44(5)(6),3-45, 3-46,4-20，4-23 复习： P117-120，128-135 预习： P137-146
4" 3" 2" 1"
Ⅲ Ⅵ Ⅱ 主视 方向 Ⅴ
Ⅳ
I
结束
作图步骤： （5）补全六棱柱被斜切后各棱线的侧面投影，完成左视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
4' 3'(5') 2'(6') 1' 6 1 4 2 3 5 5" 6"
4" 3" 2" 1"
Ⅲ Ⅵ Ⅱ 主视 方向 Ⅴ
Ⅳ
I
例2：求截头三棱锥的投影。
第 八 讲 点 线 面 应 用
四棱锥三视图画图步骤： 画出基准线：对称中心线 四棱锥主视图、左视图是 画出反映实形的俯视图 等腰三角形。 画出其余两视图 检查、清理、加深 四棱锥三视图符合投影规律
V
W
长对正
高平齐
宽相等
H
五、线面分析法应用 第 八 讲 点 线 面 应 用
线面分析法: 对立体表面的线和面进行分析，弄清它们的形状和相互关系， 分析它们在正投影中的投影特点和相对位置，从而解决画图和 看图问题。 下面举例说明，直线、平面及其之间相对位置的投影特 性在绘制平面立体视图中的应用
H
a
d
e m
线面垂直定理：
第 八 讲 点 线 面 应 用
（1）若一直线垂直一个平 面，则该直线的水平投影必定 垂直于面内水平线的水平投影， 直线的正面投影必定垂直于面 内正平线的正面投影。 （2）若一直线的正面投影 和水平投影分别垂直于平面上 的正平线的正面投影和水平线 的水平投影，则直线一定垂直 该平面。
若一直线垂直一个平面，则该直线的水平投影必定垂直于面 内水平线的水平投影，直线的正面投影必定垂直于面内正平线的 正面投影。 若一直线的正面投影和水平投影分别垂直于平面上的正平线 的正面投影和水平线的水平投影，则直线一定垂直该平面。
m'
M C A K E D B
c' k' d' b' c k b d
a' k e m b e' a c
k′
d'
k
d
例5 过点A作平面垂直于直线BC 作法： a' 1' d' k' e' 2' d 1 k a e 2 b b'
第 八 讲 点 线 面 应 用
1.过A作水平线AD垂直于直线BC。 2.再作正平线AE垂直于BC。 则ADE垂直于BC c' 引深：求点A到直线BC的距离。 1.过点作面垂直于线 2.求 线 ∩ 面 = 交点K 3.连接AK，并求出实长。 实长 c
第 八 讲 点 线 面 应 用
1'
s' 2' 3' 3"
s" 2" S b" I Ⅱ A B C
主视 方向
1" a' b' 3 y a 1 s 2 b c' c" c a" y
Ⅲ
例3：画出图所示立体的三视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
3' 4' 1' 2' 4"
3"
1"
2"
4(1) Ⅳ 3(2) Ⅰ
第 八 讲 点 线 面 应 用
S Ⅲ I Ⅱ A B C
主视 方向
分析： 此立体可以分析为三棱锥上部被斜切去一块后形成 ，斜面是垂直 于正面的三角形，三个顶点分别在三条棱线上，正面投影积聚为一条 线，水平投影和侧面投影分别在棱线的相应投影上。 s' 2' 1' a' c' c a I Ⅱ s b A B C
主视 方向
第 八 讲 点 线 面 应 用
3'
S b' Ⅲ
作图步骤： （1）作出完整三棱锥的左视图。
第 八 讲 点 线 面 应 用
1' a'
s' 2' 3'
s"
S b' c' c" c a" b" I Ⅱ A b B C
主视 方向
Ⅲ
a
s
第 八 讲 点 线 面 应 用
作图步骤： （2）求出斜面三角形三个顶点的水平投影和侧面投影。弄清每条棱 线的投影位置以及直线上点的投影特性。 点I 、 Ⅲ如图示作图； SB上的 点Ⅱ可作出侧面投影，再利用y坐标相等作出水平投影。 s' 2' 1' 1" a' b' 3 y a 1 s 2 b A B c' c" c a" y b" I Ⅱ C
2
基本作图
例4：过点S作直线垂直于平面ABC
第 八 讲 点 线 面 应 用
作法： （1）过B点作平面内水平 线，过S点的水平投影作它 的水平投影的垂线。 （2）过A点作平面内正平 线，过S点正面投影作它的 正面投影的垂线。 引深: 求S点到平面ABC的距离 三步： 1 过点作线垂直于面 2 求 线 ∩ 面 = 交点K 3 求 SK的实长。
例1：求S点到平面ABC的距离
三步：
第 八 讲 点 线 面 应 用
1 过点作线垂直于面 2 求 线 ∩ 面 = 交点K 3 求 SK的实长。
k′
d'
k
d
例2 求点A到直线bc的距离。
第 八 讲 点 线 面 应 用
步骤： 1.过点A作平面ADE垂直于直线BC 2.求直线BC与平面ADE的交点K 3.连接AK，并求出实长。 c' c
P
A B
A∋P AB⊥Q 1 AB∋P ∴P⊥Q
Q
P
A
2 AB∋P ∴P⊥ Q
Q
B
特殊位置平面的垂直
第 八 讲 点 线 面 应 用
p' P
B C Q A
C
q'
b p a q
X p
q
§4-4 综合问题 第 八 讲 点 线 面 应 用
综合问题是指两个以上基本概念或基本作图综合在一 起的复杂问题。如距离、角度的度量，点、线、面的定位 问题。 方法：解决此类问题一般要经过空间分析、确定解题方法 方法： 步骤和具体完成投影图三个过程。
第 八 讲 点 线 面 应 用
特殊位置平面的垂线
P B
K C A
p' k' X a'
k p a p
k
a
二、平面与平面垂直
1.几何条件
第 八 讲 点 线 面 应 用
若一直线 垂直一个平面，则包含该 直线的所有平面都垂直该平面 反之，如二平面垂直，则由第一个 平面内任意一点向第二个面作垂线，一 定在第一个平面内。（先有垂线，后有 垂面，即面面垂直是用线面垂直来保 证。)