数理统计试题2015
2015年10月全国自考概率论与数理统计(经管类)真题试卷(题后含答
2015年10月全国自考概率论与数理统计（经管类）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题 5. 应用题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设事件A与B互不相容，且P(A)=0．4，P(B)=0．2，则P(A∪B)= ( ) A．0B．0．2C．0．4D．0．6正确答案：D解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0．6．2．设随机变量X～B(3，0．3)，且P{X=2}= ( )A．0．189B．0．21C．0．441D．0．7正确答案：A解析：P{X=2}=C32(0．3)2×0．7=0．189．3．设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数a= ( ) A．0B．C．D．3正确答案：D解析：∫01f(x)dx=1，∫01ax2dx=1积分得=1，a=3．4．设随机变量X的分布律为，则P{X2=1}= ( ) A．0．2B．0．4C．0．6D．0．8正确答案：B解析：P{X2=1}=P{X=－1}+P{X=1}=0．4．5．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=1}= ( )A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：D解析：P{X=1)=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=2}=0．1+0．2+0．1=0．4．6．设随机变量X～N(3，22)，则E(2X+3)= ( )A．3B．6C．9D．15正确答案：C解析：E(2X+3)=2E(X)+3=2×3+3=9．7．设随机变量x服从参数为3的泊松分布，Y服从参数为的指数分布，且X，Y相互独立，则D(X－2Y+1)= ( )A．23B．28C．103D．104正确答案：C解析：D(X－2Y+1)=D(X)+(－2)2D(Y)=3+4×=103．8．已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=，则Cov(－2X，Y)= ( ) A．B．0C．D．1正确答案：D解析：Cov(－2X，Y)=－2.Cov(X，Y)=－2×=1．9．设x1，x2，…，xn(n＞2)为总体X的一个样本，且E(X)=μ(μ未知)，为样本均值，则μ的无偏估计为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：样本无偏估计概念，即样本均值为μ的无偏估计．10．设α是假设检验中犯第一类错误的概率，H0为原假设，以下概率为α的是( )A．P{接受H0｜H0不真}B．P{拒绝H0｜H0真}C．P(拒绝H0｜H0不真)D．P{接受H0｜H0真}正确答案：B解析：P{｜u｜＞｜H0真)=α，u满足｜u｜＞，即样本值落入拒绝域W，从而拒绝H0．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
2015年数理统计期末试题
2015年数理统计期末试题一、填空题（每空2分，共30分）1.设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，已知12X X +、{}max ,15i X i ≤≤、52X p +、()251X X -，其中是统计量的为，不是统计量2.设总体,1210, , , X X X 为来自该总体的样本，101110i i X X ==∑,则()D X =____ 3.设621,,,X X X 为来自正态总体的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C4. 设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从分布，自由度5. 设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则λ极大似然估计为7. 设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。
n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则对假设2020σσ=：H ；221σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________8. 设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
则2σ的最大似然估计量为9. 设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是，置信下限10.单因子方差分析统计模型为二、（12分）某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 2221==，。
假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N （μ2，σ2）其中σ2未知。
04183概率论与数理统计(经管类)2015年真题2套及标准答案
全国高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）2015年10月真题(课程代码：04183)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A∪B)=（ ）A.0B.0.2C.0.4D.0.62.设随机变量X ～B(3,0.3)，则p={X-2}=（ ） A.0.189 B.0.21 C.0.441 D.0.73.设随机变量X 的概率密度为( )=⎩⎨⎧≤≤=a x ax x f ，则常数其他,,0,10,)(2 A.0 B.31 C. D.3214.设随机变量X 的分布律为( ){}==-12.06.02.01012X P P X ，则 A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.85.设二维随机变量(x,y)的分布律为( ){}==11.02.01.013.02.01.00210\X P YX 则 A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X ～N(3，)，则E(2X+2)=( )22 A.3 B.6 C.9 D.157.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y 服从参数为的指数分布，且X,Y51互相独立，则D(X-2Y+1)=( ) A.23 B.28C.103D.1048.已知X 与Y 的协方差Cov （X,Y ）=，则Cov （-2X,Y ）=( )21- A. B.021- C. D.1219.设为总体X 的一个样本，且为样本均值，)2(,...,,21＞n x x x n ，未知)()(μμ=X E x 则的无偏估计为( )μ A. B.x n xC. D.x n )1(-x n )1(1-10.设a 是假设检验中犯第一类错误的概率，为原假设，以下概率为a 的是( )0H A. B.{}不真接受00|H H P {}真拒绝00|H H P C. D.{}不真拒绝00|H H P {}真接受00|H H P 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.袋中有编号为0，1，2，3，4的5个球，从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_____.12.设A,B 为随机事件，则事件“A,B 至少有一个发生”可由A,B 表示为_____.13.设事件A,B 相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则=_____.)(B A P 14.设X 表示某射手在一次射击命中目标的次数，该射手的命中率为0.9，则P{x=0}=_____.15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ＞2}=_____.16.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则c=_____.cYX 2561256259010\17.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则P{X≤0，Y≤0}用F(x,y)表示为_____.18.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:-1≤x≤2,0≤y≤2的均匀分布，则(X,Y)概率密度f(x,y)在D 上的表达式为_____.19.设X 在区间[1,4]上服从均匀分布，则E(X)_____.20.设,则D(X)=_____.⎪⎭⎫⎝⎛515～B ，X 21.设随机变量X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=,E(X)=E(Y)=1,则E(XY)=_____.21-22.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0≤x≤4,0≤y≤4上的分布，则____.=+)(22Y X E 23.设总体X ～N(0，1)，为来自总体X 的一个样本，且123x x x ，，，则n=______.2222123~()x x x n χ++24.设X ～N(0,1)，Y ～(10)，且X 与Y 互相独立，则_____.2X =10/Y X25.设某总体X 的样本为_____.=⎪⎭⎫⎝⎛=∑-n i l n x n D X D x x x 12211,)(,,...,,则σ三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.已知甲袋中有3个白球、2个红球；乙袋中有1个白球、2个白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
2015级数理统计试卷
t n，则统计量
()
X X
,,,
求常数C= .
二、 设母体X 的概率密度为1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，其中0θ>为未知参数，今取
得子样观测值12,,
,,n x x x 求未知参数θ的最大似然估计值。
（10分）
三、 设母体X 的分布密度为()1,01;0,
x x f x θθθ-⎧⋅<<=⎨⎩其他，其中0θ>为未知参数。
今取得子样12,,
,n X X X ，求未知参数θ的矩估计量。
（10分）
六、 某电子零件的平均电阻为2.64Ω，改变工艺后，测得100个零件的平均电阻 2.62x =，电阻标准差 0.04s =，问新工艺对此零件的电阻值有无显著影响()0.05α= ? (10分)
七、 甲、乙两台机床加工零件，依次分别取6个和9个，（假定零件长度是正态
母体），测得 222,s 12s **==甲乙，问是否可以认为乙机床加工的零件长度方差超过
甲机床(0.05)α=？（10分）
九、 为了研究老鼠体内血糖的减少量y 和注射胰岛素的剂量x 的关系，将同样条件下繁殖的7只老鼠注射不同剂量的胰岛素，观测值的散点图呈线性变化规律，依据观测数据经计算得0.35x =，44.14y =，0.07xx L =，9.2xy L =，1372.86yy L =.
（1）求经验回归直线方程ˆˆˆy x αβ=+；（结果精确到小数点后两位）
（2）对线性回归方程进行显著性检验（取显著性水平α=0.05 ）.（10分）。
2014-2015-1-2数理统计
2014 —2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）
2
20,X 是来自__________.
则θ的费______________.
n X ,, 为来自该总体的样本，
,,
X是来自
n
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,,n x 是来
2014—2015学年第 1学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）答案及评分标准
,
,n X 是来自答案、评分标准：11
)n x θ-
ln )n x +
+ln )(n x θ++解得最大似然估计为
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准
x是来
,,
n
答案、评分标准：
,,;)
xθ=
n
θ
,)()
h X。
2015-2016学年第二学期数理统计期末考试原卷及标准答案
XX师范大学2015–2016学年第二学期
期末考试试卷（B卷）参考答案
课程名称数理统计课程编号 XXXXXXX 任课教师
题型选择题填空题计算题证明题总分
分值15 15 50 20 100
得分
得分评阅人
一、：选择题（共5题，每题3分，共15 分）
1、样本取自正态分布总体，已知，但= 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ C ）
A. ；
B. ；
C. ；
D.
2、设总体，为其子样，，
，则有（ B ）
A．是2的矩估计量B．是2的极大似然估计
量 C．是2的最优无偏估计量D．是的优效估计量
3、在假设检验中，犯第二类错误概率的意义是( C )
A. 原假设H成立，经检验否定H的概率
00
B. 原假设H成立，经检验不否定H的概率
00
C. 备择假设成立，经检验否定的概率
D. 备择假设
H成立，经检验不否定的概率
1
4、设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的
置信区间为( C )
A. B.
C. D.
5、关于最小二乘法估计量的性质，下面说法不正确的是（ B ）
A. 是的线性无偏估计量
B. 不是一个统计量
C. 是的极大似然估计量
D. 在的线性估计量中最优。
2015年10全国自考概率论与数理统计(经管类)必考试题和答案
2015年10全国自考概率论与数理统计（经管类）必考试题和答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
第1题从1到100这100个自然数中任取一个，则取到的数能被3整除的概率是（）A. 0.5B. 0.33C. 0.66D. 0.8【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第2题随机变量X与Y都服从［-1,1］上的均匀分布，则E（X+Y）=（）A. 1B. 0C. -1D. 2【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第3题任意写一个两位数，则它能被3整除的概率为（）【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题 X~B(6,0.4)则有（）A. E(X)=2.4D(X)=1.44B. E(X)=2.4D(X)=0.96C. E(X)=3.6D(X)=1.44D. E(X)=3.6D(X)=2.16【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第5题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第6题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第7题A. 独立且有相同分布B. 不独立但有相同分布C. 独立而分布不同D. 不独立也不同分布【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第8题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第9题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第10题【正确答案】 A二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
第1题一台机床有1/3时间加工零件A，2/3时间加工零件B，加工零件A时停机的概率为0.3，加工零件B时停机的概率为0.4,则机床停机的概率为___.【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第2题图中空白处答案因为：___【正确答案】 0.189【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分第3题若X与Y独立，D（X）=4，D（Y）=2，则D（3X-2Y+4）=___.【正确答案】 44【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第4题袋中有10个球，其中有3个红球，不放回的从中连取2次，每次一球，则第二次取到红球的概率为___.【正确答案】 0.3【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第5题 A、B为两事件，P（AB）＞0,则P（A|AB）=___.【正确答案】 1【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第6题 X的概率密度为（如图所示）则D（X）=___.【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分第7题 X服从二次分布B（n,p）,若已知E（X）=7，D（X）=2.1,则p=___.【正确答案】 0.7【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分___第8题图中空白处答案为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第9题 X与Y独立,D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+5)=___.【正确答案】 6【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第10题图中空白处答案应为：___【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分第11题【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第12题【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分第13题【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分___第14题【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第15题___三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）第1题【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数8分你的得分第2题【正确答案】【你的答案】四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）第1题【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数12分你的得分第2题【正确答案】【你的答案】五、应用题（10分）第1题某种电器元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为100小时，各元件之间的使用情况是独立的，利用中心极限定理，求16只这样的元件的寿命总和大于1920 小时的概率.（附：Φ(0.8)=0.7881,Φ(0.9)=0.8159）【正确答案】【你的答案】。
自学考试概率论及数理统计201504月真题和答案解析
技术资料分享绝密★考试结束前全国2014年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸"的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.掷一颗骰子，观察出现的点数。
A 表示“出现3点”，B 表示“出现偶数点”，则 A.A B ⊂ B.A B ⊂ C.A B ⊂D.A B ⊂2.设随机变量x 的分布律为 ，F(x)为X 的分布函数，则F(0)= A.0.1 B.0.3 C.0.4D.0.63.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为,11,02,(,)0,≤≤≤≤其它,c x y f x y -⎧=⎨⎩则常数c=A.14B.12C.2D.44.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则D(9—2X )= A.1 B.4 C.5D.8技术资料分享5.设(X ，Y )为二维随机变量，则与Cov(X ，Y )=0不等价．．．的是 A.X 与Y 相互独立 B.()()()D X Y D X D Y -=+ C.E(XY)=E(X)E(Y)D.()()()D X Y D X D Y +=+6.设X 为随机变量，E(x)=0.1，D(X )=0.01，则由切比雪夫不等式可得 A.{}0.110.01≥≤P X - B.{}0.110.99≥≥P X - C.{}0.110.99≤P X -<D.{}0.110.01≤P X -<7.设x 1，x 2，…，x n 为来自某总体的样本，x 为样本均值，则1()ni i x x =-∑=A.(1)n x -B.0C.xD.nx8.设总体X 的方差为2σ，x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值， 则参数2σ的无偏估计为 A.2111n i i x n =-∑ B.211n i i x n =∑ C.211()1ni i x x n =--∑ D.11()2ni i x x n =-∑ 9.设x 1，x 2，…，x n 为来自正态总体N (μ,1)的样本，x 为样本均值，s 2为样本方差.检验假设H 0∶μ=μ0,H 1∶μ≠μ0，则采用的检验统计量应为x()x μ-0()x μ- 10.设一元线性回归模型为201,(0,),1,2,,,i i i i y x N i n ββεεσ=++=则E (y i )=A.0βB.1i x βC.01i x ββ+D.01i i x ββε++技术资料分享非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
(完整word版)2015级硕士研究生数理统计参考答案(A层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（A 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11n k k x x n ==∑。
（1nn -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．在双因素试验不考虑交互作用的方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为T A B e S S S S =++其中211()p q T ij i j S x x ===-∑∑，21()pA i i S q x x ⋅==-∑，211()p qe ij i j i j S x x x x ⋅⋅===--+∑∑21()qB j j S p x x ⋅==-∑，则e S 的自由度是 。
（(1)(1)p q --或1pq p q --+或1n p q --+其中n pq =）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24nii n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24nii L n x σσσσ=∂=-+-∂∑令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
2015年10全国自考概率论与数理统计(二)模拟试题和答案
2015年10月全国自考概率论与数理统计（二）模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
第1题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第2题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第3题A. =0B. =1C. >0D. 不存在【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第5题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第6题设电灯泡使用寿命在2000小时以上的概率为0.15，如果要求12个灯泡在使用2000小时以后只有一个不坏的概率，则只需用()即可算出.A. 全概率公式B. 古典概型计算公式C. 贝叶斯公式D. 贝努利概型计算公式【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第7题甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出的概率都是0.25，则密码被译出的概率为()A. 14B. 164C. 3764D. 6364【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第8题下面命题中错误的是()A. X与Y独立，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件B. E(XY)=E(X)E(Y)，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件C. Cov(X,Y)=0，是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件D. D(X+Y)=D(X)+D(Y),是X与Y的相关系数ρXY=0的充要条件【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题某人打靶的命中率为0.8，现独立地射击5次，那么5次中有2次命中的概率为()A. (0.8)2×0.2B. (0.8)2C. C25(0.2)2(0.8)3D. C25(0.8)2×(0.2)3【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第10题【正确答案】 D二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
数理统计2015年期末试题
2014-2015学年 第一学期数理统计试题(A 卷)专业------------ 姓名------------ 学号------------一．（共14分）设随机变量X 与Y 的联合密度函数为2211(,)exp{(22)}22f x y x xy y π=--+ 1). 求X 与Y 的边际分布，并判断它们是否相互独立。
2). 确定常数,a b ，使得222()(2)Z X a X bY χ=+- 。
二．（共12分）设1(,,)n X X 是取自总体X 的样本，X 的密度函数为1(1),01(;)0,x x f x ααα-⎧-<<=⎨⎩其他其中0α>为未知参数，求α的矩估计与最大似然估计。
三．（共12分）某矿区针对矿工的矽肺发病情况进行了调查，在随机抽检的400名矿工中，发现有48名患有矽肺。
1). 求矿工矽肺发病率的置信度近似95%的置信区间。
2). 在显著性水平0.05α=下，能否认为矿工的矽肺发病率低于15%？（00(1.64)0.95,(1.96)0.975Φ=Φ=0.812≈）四．（共12分）一个以减肥为主要目标的健身俱乐部宣称，肥胖者如果参加他们为期三个月的训练班，可以使体重至少减轻18斤。
调查人员随机抽查了9名参加者，得到体重记录如下：假定训练前后的体重差服从正态分布，试问该俱乐部的宣称是否可信（显著性水平0.05α=）？ （()0.0258 2.306t =，()0.058 1.860t =2.958） 五．（共20分）设1(,,)n X X 是取自总体X 的样本，X 的密度函数为22,0(;)0,0x xe x f x x λλλ-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩其中0λ>为未知参数。
1). 证明：2212(2)ni i X n λχ=∑ 。
2). 推导检验问题0010::H H λλλλ=←→≠的广义似然比检验法。
六．（共14分）设单因素方差分析模型为21,1,,,1,,(0,)0ij i ij i ij ri ii X i r j n N n μαεεσα=⎧⎪=++==⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 且相互独立求未知参数μ与,1,,i i r α= 的最大似然估计，并证明它们均具有无偏性。
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(一)试卷及答案
因此，有
P(C ) = P(A1 ∪ A1B2 A3 ∪ A1B2 A3 B4 A5 ∪ A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) = P( A1 ) + P (A1B2 A3 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) 3 7 6 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 3 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 7 = = 0.58333333 ． 12 =
1 1 + +0−0−0−0+0 12 16 7 = = 0.145833333333 ． 48 =
⑵ 由于 {随机事件 A，B，C 都不发生 } = A B C = A ∪ B ∪ C ，
所以，
P{随机事件 A，B，C 都不发生 } = P A ∪ B ∪ C
= 1 − P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A) − P(B ) − P (C ) + P ( AB ) + P (BC ) + P( AC ) − P( ABC )
⑵ 将 5 颗骰子分成两组，一组 2 颗，一组 3 颗，有分法 C52 种．再将 6 个点数取 2 个， 分别分给两个组，有 P62 不同的分法．因此随机事件 B 含有 C52 ⋅ P62 个样本点．故
P (B ) =
C52 ⋅ P62 25 = = 0.03858024691 ． 65 648
二． （本题满分 8 分） 设随机事件 A 、 B 、 C 满足： P ( A) = P (B ) = P (C ) =
2015年上海财经大学数理统计考试题库(亲测期中考试从中选取了原题)
一、填空题（总共 5 题，每题 2 分）
ˆ为参数 的 1. 称统计量
2
估计量，如果 E ( ) = 。
2. 设总体 X ~ N ( , ) ，假设要以 95%的概率保证偏差 X 0.1 ，且 2 1 ，则样本 容量 n 至少应取
2 3. 已知总体 X ~ N ( , 2 ), X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，要检验 H o： 2 0 ，
2
ˆ1 ) 3D( ˆ2 ) 2 2D(
ˆ =2c1 ˆ1 3c2 ˆ2 也是 的无偏估计时， c1 , c2 应满足什么条件？ （1）当
ˆ 具有最小方差？ （2） c1 和 c2 取何值时，
3. 已知某批铜丝的抗拉强度 X 服从正态分布 N ( , ) 。从中随机抽取 9 根，经计算得其
(X ) n ~ S
。
二、判断题（总共 5 题，每题 2 分）
ˆ 是参数 的无偏估计，且 D( ˆ 必是 的有偏估计。 ˆ) 0 ，则 1. 设
2 2
2. 设总体 X ~N (2,4
2
) ， X1, X 2 ,
X n 为取自 X
的样本，则
X 2 ~N (0,1) 。 4
3. 检验假设 H 0 时，显著性水平 越大，接受 H 0 的可能性就越大。 4. 在假设检验中，把符合 H0 的总体判为不合格 H0 加以拒绝，这类错误称为第一类错误。
(已知：t0.975 (4)=2.776, t0.975 (3)=3.182, U 0.975 1.960 )
6. 测定家庭中的空气污染。令 X 和 Y 分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在 24 小时内 的悬浮颗粒量（以 g / m 计） 。设 X ~ N (X , X 2 ) ，Y ~ N (Y , Y 2 ) ，X , Y , X 2 , Y 2
2014-2015 概率论与数理统计试卷 A参考答案
东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）2014 --2015 学年第一学期《概率论与数理统计》评分标准开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人一、选择题（每小题2分，共30分）1．设,A B 为两个相互独立的随机事件，且()0.6,()0.5P A P B ==，则必有()P AB =【 B 】;(A) 0.6 (B) 0.3 (C)0.2 (D) 0.12．袋中共有6只球,其中4只白球,2只红球.从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为【 B 】;(A) 7/15 (B) 8/15 (C) 5/9 (D) 4/93．在区间[0,1]上任取三个数,则这三个数之和小于1的概率为【 C 】;(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/6 (D) 1/244.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人3次射击恰好1次命中目标的概率为【 A 】(A) 2)1(3p p -． (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -． 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E X 2()=【 C 】；(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 86．抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为【 B 】； (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36 7．随机变量X 的期望和方差分别表示X 取值的【 A 】;A ．平均值，离散程度B ．平均值，平均程度C ．绝对值，离散程度D ．相对值，平均程度姓名: 学号: 系别: 年级专业:( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………8. 设随机变量X 的概率密度为()2(),010, 其它⎧-<<=⎨⎩k x x x f x ，则常数k = 【 D 】(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6. 9. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，对于任意实数x 有【 C 】()0()1<<A F x ； （B ）0()1<<f x ； ()0()1≤≤C F x ； ()0()1≤≤D f x10. 设X Y 与为任意二个随机变量，若已知0,=XY ρ则必有【 D 】 () A X Y 与相互独立； () B X Y 与不独立； () C X Y 与相关； (D) X Y 与不相关.11.设相互独立的随机变量X 和Y 的方差都是1，则随机变量52X Y -的方差是【 D 】A ．3B ．7C ．21D ．2912．已知随机变量X 与Y 相互独立，且2~(10)X χ，2~(20)Y χ,则Y X /2服从分布【 D 】; (A)(9,29)F (B) (19,9)F (C) (20,10)F(D)(10,20)F13.设总体2(,),XN μσ参数2σ已知, μ未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则μ的极大似然估计量为【 B 】; (A)1ˆ2X μ= (B) ˆX μ= (C)3ˆ2X μ= (D)ˆ2X μ= 14. 设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，则下列估计量中最有效的θ的无偏估计的为【 D 】；A. 11T X =B. 2121()4T X X =+ C. 31231()3T X X X =++ D. 412341()4T X X X X =+++15．单个正态总体的方差未知时,均值的假设检验中选择的检验统计量为【 B 】. (A)/X Z nμσ-=(B) 0/X t S nμ-=(C)222(1)n S χσ-=(D)2122S F S =二、填空题（每空2分，共30分）1. 设,A B 为两个随机事件，且()0,()()P A P A B P B >=，则必有(|)P B A = 1 .2. 掷两颗骰子,则两颗骰子点数不同的概率为_5/6__．3. 在一次试验中，事件A 发生的概率为0.5，现进行3次独立重复试验，则A 不发生的概率为 0.125 .4. 已知随机变量(100,0XB ，且随机变量21Y X =+，则()E Y = ______21____,()D Y = ______72__．5. 设随机变量X 的密度函数为()23,010,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它，则12P X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭ 1/8 ;又设用Y 表示对X 的2次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{}1P Y == 732.6. 设二维随机变量()Y X ,的分布列为Y X 0 1 0 0.3 0.21a 0.1则a = 0.4 ,()E Y = 0.3 .7. 设1210,,,X X X 是取自总体)1,0(N 的样本，则统计量222125Y X X X =+++服从_____2(5)χ__分布, 2221252226710X X X T X X X +++=+++服从_____(5,5)F __分布. 8. 设110,...,X X 及120,...,Y Y 分别是总体(10,10)N 的容量为10，20的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差.则：~X N(10,1) ，~Y X - N(0,3/2) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，2219~10S 2(19)χ. 此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ姓名: 学号: 系别: 年级专业:( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………三、计算题（共18分）1．（10分）设随机向量(,)X Y 的密度函数为：2,01,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.（1）求分量X 和Y 的密度函数()X f x 及()Y f y ;（4分）（2）求概率{}1P X Y +≤；（2分） （3）求(),().E X D X （4分）解 令{(,)|01,01},D x y x y =≤≤≤≤{(,)|01,01}.G x y x y x =≤≤≤≤-（1）当01x x <>或时,()(,)0,X f x f x y dy +∞-∞==⎰当01x ≤≤时,1()(,)22.X f x f x y dy xdy x +∞-∞===⎰⎰因此, 2,01,()0,X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它. (2分)当01y y <>或时,()(,)0,Y f y f x y dx +∞-∞==⎰当01y ≤≤时,10()(,)2 1.Y f y f x y dx xdx +∞-∞===⎰⎰因此, 1,01,()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它.(2分)（2）{}11120011(,)22();3xGP X Y f x y dxdy xdx dx x x dy -+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰ (2分)（3）2()(,)3DE X xf x y dxdy ==⎰⎰ 或 1202()()2;3X E X xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰ (2分)11223001()(,)2.2R E X x f x y dxdy x dx dy ===⎰⎰⎰⎰或 12231()()2;2X E X x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰ ( 1分) 22141()()[()]2918D XE X E X =-=-=. (1分)2．(8分)设总体X 的密度函数为()1, 01;;0, .x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它其中()0θθ>为待估参数，设12,,,n X X X 是取自X 的一个样本，求θ的矩估计量与最大似然估计量．解 总体X 的一阶原点矩为()11101E X x x dx θθμθθ-===+⎰，(2分)令11A μ=，可求得参数θ的矩估计量为1111A XA Xθ==--．(2分) 设12,,,n x x x 是一个样本值，则似然函数为()1111nnnii i i L xx θθθθθ--====∏∏ ，对数似然函数为()1ln ln (1)ln nii L n xθθθ==+-∑，(2分)对参数θ求导()ln L θ'⎡⎤⎣⎦，并令()ln 0L θ'=⎡⎤⎣⎦得1ln 0ni i nx θ=+=∑，解此方程得1ln nii nx θ==-∑．所以，参数θ的最大似然估计量为1ln nii nXθ==-∑. (2分)四、应用题（共22分）1.（8分）已知一批产品中有95％是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.01，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 解：(1)设A 表示抽得的产品的合格品, B 表示抽得的产品被判为合格品,则()0.95P A =,(|)0.02P B A =,(|)0.01P B A =.(1分)由全概率公式，得()()(|)()(|)(1)0.95(10.02)(10.95)0.010.9315;(2)P B P A P B A P A P B A =+=⨯-+-⨯=分分(2)()()(|)0.931(|)0.9995.()()0.9315P AB P A P B A P A B P B P B ==== (4分)2．(14分)由经验知道某零件重量2(,)XN μσ，其中2,μσ均未知，抽查25个样品，测量其重量,得样本均值的观察值18x =(单位:g),样本标准差的观察值0.8s =. 1）求零件重量的置信度为0.95的置信区间；（6分）2）在显著性水平为0.05α=时，试问重量的方差2σ是否为0.3．(8分）( ()()0.050.0250.050.0251.645, 1.96, 24 1.7109, 24 2.0639 z z t t ====220.9750.95(24)12.401,(24)13.848χχ==，220.0250.05(24)39.364,(24)36.415χχ==)解 1)查表0.025 (24) 2.0639 t =,得μ的置信度为0.95的置信区间为22(24),(24)2525s sx t x t αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(3分) 0.80.818 2.0639,18 2.0639(17.67,18.33).55⎛⎫=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭即元件寿命的置信度为0.95的置信区间为（17.67，18.33）.(3分)2) 这是双边检验，检验假设为：2201:0.3, :0.3H H σσ=≠，(2分)因μ未知，故采用2χ检验，检验统计量为22(1)0.3n S χ-=，(2分)已知25, 0.05n α==，查2χ分布表确定临界值，22120.975(1)(24)12.401n αχχ--==，2220.025(1)(24)39.364n αχχ-==，故拒绝域为：{}{}2212.40139.364χχ<⋃>．(2分)计算可得20.07s =，计算可得统计量2χ的观测值为：222(1)240.851.20.30.3n S χ-⨯===，观测值落入拒绝域，故拒绝0H ，认为重量的方差2σ不为0.3．(2分)。
2015-2016 概率论与数理统计试卷 A 参考答案
东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）参考答案2015 --2016 学年第一学期《概率论与数理统计》开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人一、填空题（每空2分，共30分）1. 已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 0.6 .2. 抛掷两颗骰子, 则两颗骰子点数相同且为偶数的概率为 1/12 ．3. 三个人独立的破译一个密码，他们能破译的概率分别是0.2，0.5和0.6，求他们将此密码破译的概率 0.84 .4. 已知随机变量(2,5)X N ，且随机变量42Y X =-，则()E Y = 6 ,()D Y =80 ．5. 设随机变量X 的密度函数为(),010,cx x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，则密度函数中的常数c = 2 ;12P X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭ 1/4 ; 又设用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{}1P Y == 27/64 . 6. 设二维随机变量()Y X ,的联合分布律为YX 1 2 0 0.3 a 10.1 0.4则a = 0.2 ; ()E XY = 0.9 . 7. 设1215,,,X X X 是取自总体)1,0(N 的样本，则统计量2223411Y X X X =+++ 服从2(9)χ分布, 姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 年级专业: …线102222111213142X T X X X X=+++服从(4)t 分布.8. 设110,...,X X 及120,...,Y Y 分别是总体(1,10)N 和(2,20)N 的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值.则~Y X -(1,2)N -，{}132P X Y -+>= 0.0026 ;此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.9. 设总体X 的密度函数为()22,0,0,x x f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 其中θ(0θ>)是未知参数, 而n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为=θˆ32X .二、选择题（每小题2分，共30分）1．设,A B 为两个相互独立的随机事件，且()5/6P A B = ,()1/2,P A =，则必有()P B = 【 B 】;(A) 1/2 (B) 2/3 (C)2/5 (D) 1/32．一批产品有10件，其中3件为次品，从中随机地取3件，恰有2件为次品的概率为 【 A 】;(A) 1273310C C C (B) 2173310C C C (C) 33310C C (D) 127337C C C 3．某产品合格率为()01p p <<，无放回的随机抽检了10件，恰有6件合格的概率为【 C 】;(A) 6p (B) ()461p p - (C) ()466101C p p - (D) ()664101C p p -4. 随机变量X 服从泊松分布，且{2}{3}P X P X ===,则{4}P X ==【 B 】;(A)223e (B) 3278e - (C) 3278e (D) 223e - 5. 设连续型随机变量(a )X ~U ,b ，若数学期望() 2.4=E X ，方差()0.12D X =，则参数a,b 的值为【 C 】;(A) 1.2, 1.8a b == (B) 1.2,3a b == (C) 1.8,3a b == (D) 2,3a b ==6. 设随机变量,X Y 不相关，则下列表述不正确的是【 D 】;(A)cov(,)0X Y = (B)()()()E XY E X E Y = (C)()()()D X Y D X D Y +=+ (D)1XY ρ= 7. 设随机变量X 服从参数为1/3的指数分布，则E X 2()=【 D 】；(A) 3 (B) 6(C) 9(D) 188．抛掷两颗骰子, 用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字), 则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为5的概率为【 A 】； (A) 4/36 (B) 5/36(C) 6/36(D) 7/369. 设随机变量X 的概率密度为(),01,01;,0,其它.kxy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，则常数k = 【 B 】；(A) 1/4 (B) 4 (C) 2/3 (D) 3/210. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，对于任意实数x 有【 C 】；()0()1<<A F x （B ）0()1<<f x ()0()1≤≤C F x ()0()1≤≤D f x 11．设随机变量()~0,1X N ，()2~Y n χ，且X 和Y 相互独立，2nX Z Y=，则【 C 】;（A ）()2~Z n χ（B ）()2~1Z n χ-（C ）()~1,Z F n （D ）()~,1Z F n12. 设两个相互独立的随机变量~(0,1)X N ,~(2,5)Y N ,2Z X Y =-,则~Z 【 D 】; (A) ()01N , (B) ()27N ,- (C) ()28N ,- (D) ()29N ,-13. 设4321,,,X X X X 是来自均值为λ的泊松分布总体的样本，其中λ未知，则下列估计量中最有效的λ的无偏估计量为【 D 】；(A) ()11312T X X =+ (B) 2121()4T X X =+ (C) 31231()3T X X X =++ (D) 412341()4T X X X X =+++14. 下面哪个性质不是评价估计量的标准【 C 】；(A) 无偏性 (B) 相合性 (C) 相容性 (D) 有效性15．设样本12,,,n X X X 来自正态总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，2,X S 分别为样本均值和样本方差，则对00:H μμ=和10:H μμ=进行假设检验时应选择下列哪个作为检验统计量【 A 】；(A) 0X S nμ- (B) 20211()ni i X μσ=-∑ (C) 221n S σ- (D) 0X μσ-三、计算题（共18分）1．（10分）设二维随机变量),(Y X 概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.(1) 求分量X 和Y 的密度函数()X f x 及()Y f y ;（6分） （2）试判断X 和Y 是否相互独立？（4分）解：（1） 当0x ≤时，()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰=0；当0x >时，()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰()202x y e dy +∞-+=⎰202xy ee dy +∞--=⎰22x e -=.即22,0,()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其它.（3分）同理可得,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.（6分）（2）因对任意的实数,x y ，有()()(),X Y f x y f x f y =,故X 和Y 相互独立. （4分）2．(8分) 设总体X 的密度函数为||1(;)2x f x e θθθ-=，0θ>是未知参数；设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本, 试求参数θ的最大似然估计量θˆ.解：由题意得似然函数为11||||111()22ni i i nx nx i L e e θθθθθ=--=∑⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏ （3分）对数似然函数为11ln ()ln(2)||nii L n x θθθ==--∑ （4分）令 21l n ()1||0.ni i d L n x d θθθθ==-+=∑ （6分）解之得θ的最大似然估计值是 11||ni i x n θ==∑,故最大似然估计量为 11||ni i X n θ==∑. （8分）四、应用题（共22分）1.（10分）一商店出售的是某公司两个分厂A,B 生产的同型号电视，而A,B 两厂的电视比例为2:3，它们的不合格品率依次为0.035,0.06．某顾客从这批电视中任意选购一台. (1) 求这台电视机不合格的概率；（5分）(2) 如果发现这台电视机不合格，则该电视机属于工厂A 生产的概率是多少？（5分）解：设 C 表示产品不合格， A, B 分别表示由分厂A,B 生产的. （1分） (1) 由题意知：()0.035,(|)0.06P C A P C B ==，23(),()55P A P B ==. （3分） 依据全概率公式()()()(|)()230.0350.060.05.55P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯= （5分） (2) 由贝叶斯公式得()()()0.07/57()()()0.0525P C A P A P AC P A C P C P C ====. （5分）2．(12分) 设一台自动车床加工零件长度用X （单位：厘米）表示，且),(~2σμN X ，μ未知, 现从此车床加工的零件中随机抽取4个, 测得长度分别为12.6，13.4，12.8，13.2, 求(1) 样本均值x 和样本方差2s ；(4分)(2) 方差2σ的置信水平为0.95的置信区间. (8分)(()()0.050.0250.0250.051.645, 1.96, 3 3.1824, 3 2.3534,z z t t ====220.9750.025(3)0.216,(3)9.348χχ==，220.0250.975(4)11.143,(4)0.484χχ==)解：(1) 12.613.412.813.2134x +++==， (2分)()()()()2222212.61313.41312.81313.2130.423315s -+-+-+-===. (4分) (2) 方差2σ的置信水平为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. (4分) 由1α-=0.95得α=0.05. 由(1)得20.4/3s =. 此外，4n =，212(1)n αχ--=2220.9750.0252(3)0.216,(3)(3)9.348αχχχ=== (5分) 故方差2σ的置信水平为0.95的置信区间为0.40.43333,9.3480.216⨯⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，经计算得()0.0428,1.8519. (8分)。
重庆大学2015概率论与数理统计试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.解：1．3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λλλλλ---==+==+==≤e X P e e X P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>41e -=-.5．似然函数为 111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）. 事实上由图 可见A 与C 不独立.2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -=== 即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z =01z≤≤时()222z zZf z dx x z===⎰故Z的概率密度为2,01,()0,Zz zf z⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z的分布函数为20,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z zZ Zz zf z f y dy ydy z z zzz-∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.ZDzF z P Z z P X Y z dxdy zz⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.zz zz<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Zz zf z F z≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y=≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y rDe dxdy e rdrdπθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r rre d e e e------=-=-⎰；（2）22818x yEZ E e dxdyπ+-+∞+∞-∞-∞==⎰⎰2222880001184r rre rdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α===== 所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-.221515 1.6240.1S χ==⨯=，20.05(15)24.996χ= 因为 220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+⨯=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+ 22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅=所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===⎰， 113341,44444EY DY =⨯==⨯⨯=， 2215()144EY DY EY =+=+=.（4）(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （ ）（2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （ ）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+（C）(x u x u αα-+ （D）/2/2(x u x u αα-+ （ ） 解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-应选C. （2）22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N -故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
数理统计2015试题
2015年 数理统计(研究生)试题一、(满分12分）12,,,n X X X 为来自均匀分布(0,)U θ的随机样本，证明以下三个点估计2,U X = ()1,n n V X n+=(1)(1)W n X =+ 都是θ的无偏估计，这三个估计哪一个最优？二、（满分10分） 设总体X 服从柯西分布(,)Ch λμ，其密度函数为221(),,0,.()f x x x λλμπμλ=-∞<<+∞>-∞<<+∞-+设12,,,n X X X 是总体的一个样本。
（1）求X 的特征函数；（2）利用求得的柯西分布的特征函数证明柯西分布的可加性。
（提示：||211itx t e dx e xπ+∞--∞=+⎰） 三、（满分12分）某电工器材厂生产一种保险丝，测量其融化时间，依通常情况方差为400。
今从某天产品中抽取容量为25的子样，测量其融化时间并计算得，样本均值62.24X =，样本修正方差*2404.77S =，问这天保险丝融化时间分散度与通常有无明显差异（0.01α=）？假定融化时间是正态总体。
四、(满分14分）设12,,,m X X X 和分12,,,n Y Y Y 别是从分布为 22(,)N μσ的两个母体中抽取的独立随机子样, X 和 Y 分别表示X 和Y 的样本均值, 2x S 和2y S 分别表示X 和Y 的样本方差。
（1）写出22212(1)(),/,x xm X X mS Q S μσ--=的分布； （2）对任意两个固定实数α和β,试求随机变量 的分布。
五、（满分16分）设12,,,n X X X 是总体X 的一组样本，总体的密度函数为1,01,(;)0,.x x f x else θθθ-⎧<<=⎨⎩0θ>为未知参数。
21(,)N μσ和122222()()2x y X Y H mS nS m n m n αμβμαβ-+-=+++-(1) 求1()g θθ=的极大似然估计量；(2) 求()g θ的有效估计量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题
1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
选择题答案表
2，样本
然估计
D.ˆθ的均方误差定义为2ˆˆ()()MSE E θθθ=-
3.设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值，
∑=-=n
i i n
X X n S 1
2
2(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。
A.σ
μ)
(-X n B.
n
S X n )
(μ- C.
σ
μ)
(1--X n D.
n
S X n )
(1μ-- 4.下面不正确的是（）。
A.αα
u u -=-1 B.)()(2
21n n α
αχχ-=-
p e 为误差E
2
σ
D.零假设成立时，才有
()r n r F r n S r S e A ----,1~)
()
1(
7.下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（???）。
A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量?
B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真
值μ
C.μ落入区间的概率为α-1
D.随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ 8.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,
μ=EX ，则下列正确的是（）。
A.1X 是μ的无偏估计量B.1X 是μ的极大似然估计量
9.设. A.3
1σ10.A.C.，则
3.设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本，
则θ的矩估计为。
4.单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体
()
s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j
n i ij
j n X
X j
∑==
1
服从分布。
5.设总体),(~2σμN X
，2
,σμ为未知参数，样本n X X X ,,,21 的均值和方差分别
为X 和2S ，则假设0:0:10≠↔=μμH H 的t 检验使用的统计量=t 。
6.假设1225,,
,X X X 是从均匀分布(0,5)U 抽取的样本，那么样本均值X
的渐近分布
是。
7.单因素方差分析中，假设因子有3个水平，每个水平下重复4次试验。
现已
8.9.设
样本均
，则μ的95%1（3）求得的估计量是否是无偏估计量.
2（12分）.设n X X X ,,,21 来自某总体X 的一个简单随机样本（50>n ），X 的均值θ为未知参数，方差2σ已知。
请用大样本方法给出θ的置信度α-1的置信区间。
3（16分）.设总体X 服从指数分布,其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧>=-,
,0,0,1)(/其它x e x f x θθ0>θ未
知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X 利用结论.
)2(~22n X
n χθ
（1）求θ的置信水平为α-1的置信区间。
（2）利用上题的置信区间，试给出假设检验问题010
0::θθθθ≠↔=H H 的显着性
435（2）请补充填写上面方差分析结果表中的所有空格部分。
（3）不同装修情况的房屋价格是否有显着差异？为什么？。