有限元讲稿

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第一讲有限元绪论

考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx

EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才能进行，成本高、周期长，并且只适合批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲刚度实验则需要专门的实验台等等。

有限元法讲稿1

机械结构分析的有限元法
• 主讲： • • •
长江大学机械学院周思柱教授博士生导师 2006年10月
第一章
有限元法概述
• 第一节绪论
• 第二节有限元法的特点
• 第三节有限元法分析过程
第一节绪论
需解决的问题：
1.什么是有限元法。（与材料力学、弹性力学的比较等） 2.方法、步骤。
材料力学、弹性力学解决问题中的困难：
节点数:3
轴对承单元
v1 u1 1
节点自由度:2 自由度总数:3×2 节点数:4
处理问题对象: 轴对承问题
板单元(Biblioteka 弯曲) 142 3 4 1
3
节点由度:3
三维
三棱柱 (四面体单元)
W 自由度总数:4×3 Θy Θx
节点数:4
处理问题对象: 板问题
w2 v2 节点由度: 3 2 u2
自由度总数:4×3
节点数:6（12）
处理问题对象: 平面问题
处理问题对象: 平面问题
处理问题对象: 规则方形结构问题
等参元
4 8 节点等参元
7
3
节点数:8 节点自由度:2 6 w2 v2自由度总数:8 × 2 2 u2
处理问题对象:
8
1 5 13
曲面边界问题
8 8 21节点可变 5 等参元
17 1 6 21 4 w2 9
模型载荷
机械设计过程中的一般方法：经验法（类比法）——校核——安全系数造成的结果：有些地方的安全系数过大，而有些还不安全。
发展: • 采用数值法——有限元法——40年代提出有限元法的观点—— 早期用于飞机上的计算—— 60 年代弹性平面问题 —— The Finite Element Method (Analysis) • 弹性——弹塑性，粘弹性静力——动力，稳定性固体——流体，传热学，电磁学（凡是有场的存在，就可采用有限元法） • 与优化、辅助设计（CAD、CAM）结合，IDEAS （大型软件）

有限元法基础讲稿-第1讲新

u l
i
E
Eu l
i
材料力学中以拉应力为正，而有限单元法中，以向右的节点力为正，所以下式中加一负号。单元左端节点力：单元右端节点力：
AE u l AE U A u l U A
i j
i
i
有限元法及ansys概述
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
有限元法及ansys概述
… 发展与现状
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 20世纪70年代以来，有限单元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支。由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。它使许多复杂的工程分析问题迎刃而解。
有限元法及ANSYS概述
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 在本章中,我们将简要介绍有限单元法和ansys软件的发展与现状，以及矩阵分析法和有限元法分析的一般步骤。
• 主题:
A. CAE与数值模拟方法 B. 发展与现状 C. 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
有限元法及ansys概述
有限元法及ansys概述
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
实际，在节点i和j，除了水平位移外，还可产生垂直位移（但在小变形条件下，垂直节点位移对铰接杆的内力无影响）。引入垂直节点位移vi、vj和垂直节点力Vi、Vj ，把单元刚度矩阵扩展为四阶形式，单元节点力为

有限元法讲稿

平面问题的有限单元法有限单元法是随着计算机的出现而发展起来的一种有效数值计算方法，有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年首先使用的。

目前已广泛地用于工程结构的力学分析中。

第一节基本概念一、实质理想化连续体―――――――单元集合体（解析模拟、逼近求解区域）无限自由度有限个自由度有限单元法首先把结构划分成许多单元,在一定的简化假设前提下,研究单元的力学特性，即单元分析；然后把各单元综合起來, 把局部的力学特性扩展到整体, 即整体分析；12最后导出一组以结构结点位移为未知量的代数方程组。

通过求解方程组而得到单元的结点位移值，就可近似计算出结构任意一点的受力状态。

这种以结点位移为基本未知量的计算方法称为有限单元位移法。

二、理论基础弹性力学：变分原理能量原理基本方程：几何方程、物理方程1. 平面问题的几何方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=v u x y y x x v y u y v x u xy y x 00γεεε3这就是弹性力学平面问题的几何方程，它给出了某一点的位移与该点应变之间的关系。

反映了变形协调关系。

2. 平面问题的物理方程⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 即： D εζ= 给出了力与变形之间的关系，称为平面问题物理方程，是针对平面应力问题推导出的。

对于平面应变问题，只需将公式中的E 换成21μ-E，把μ换成μμ-1即可。

这样，弹性矩阵D 就变为：4⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(μμμμμμμμE D （2.8）这就是适用于平面应变问题的弹性矩阵。

3. 弹性体的能量原理（1）应变能在弹性范围内，对于平面问题，某个面积A 的应变能可以用下式表示tdxdy V xy xy y y Ax x )(21γτεσεσ++=⎰⎰ 写成矩阵的形式为5t d x d y V AT ζε⎰⎰=21 （2）外力势能外力势能用矩阵的形式可表示为∑-=i T i P V P d 式中 {}iy ixi P P =P −−作用在弹性体i 点的外力分量； {}i i i v u =d −−i 点的位移分量（3）弹性体的总势能弹性体在外力作用的总势能定义为应变能和荷载势能之和，即∑⎰⎰-=+=i T i AT PP tdxdy V V E P ζεd 21 （4）最小势能原理6单元的众多的结点位移)(e δ中, 须满足条件：0)(=e P E δ即 0)()(=∂∂e e P E δ的一组位移才是真正的位移。

有限元方法课件演示文稿

其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和为 K(i)
F(i)
类似地，可写出和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的K计算，
实际上是把中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算b也是如此．我们引入，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。

张年梅有限元方法讲义

张年梅有限元方法讲义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张年梅有限元方法讲义有限元方法是一种非常重要的数值计算方法，广泛应用于力学、电磁学、声学、地球物理学等领域。

张年梅是中国工程院院士、有限元方法的权威专家，他在有限元方法的研究和应用方面取得了很多成果。

他的有限元方法讲义成为了很多工程学子和研究人员学习的重要参考资料。

有限元方法是一种用数值方法解决复杂工程问题的工具。

它将实际工程问题抽象为有限个简单形状的单元，并通过适当的数学方法和计算机程序求解得到问题的近似解。

有限元方法的基本思想是将一个复杂的结构或领域分割成有限个简单的子结构或子域，然后在每一个子结构或子域上建立合适的数学模型，最后通过组合所有子结构或子域的模型获得整体结果。

张年梅有限元方法讲义详细介绍了有限元方法的基本原理、数学模型的建立和求解方法。

讲义先介绍了有限元方法的起源和发展历程，然后对基本概念和术语进行了解释，包括有限元模型、单元、节点、网格等。

接着讲义详细介绍了有限元方法的基本原理，包括离散化、变分原理、加权残差法、Galerkin法等。

有限元方法的数学模型的建立是有限元分析的关键步骤。

张年梅有限元方法讲义介绍了常见的结构、固体、流体、电磁等问题的有限元建模方法，包括线性弹性分析、非线性分析、热传导分析、流体动力学分析等。

在建立数学模型之后，有限元方法的求解方法也是十分重要的。

张年梅有限元方法讲义介绍了有限元方法的常用数值解法，包括直接法、迭代法、有限元展开法等。

有限元方法在实际工程问题中有着广泛的应用。

张年梅有限元方法讲义通过大量的案例和实例展示了有限元方法在结构分析、热力分析、电磁分析等领域的应用。

讲义还介绍了有限元方法在工程设计和优化中的应用，包括拓扑优化、材料优化、结构优化等。

张年梅有限元方法讲义是一部权威的、全面的有限元方法教材，受到了广大工程学子和研究者的欢迎和好评。

通过学习这本讲义，读者可以系统地了解有限元方法的基本原理和求解方法，掌握有限元方法在工程问题中的应用技能，为解决工程问题提供强有力的工具支持。

理学有限元讲稿等效载荷

（8）精度较高的平面单元简介
如前所述，线性位移模式的单元为常应变单元，当单元尺寸较大时会产生明显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。
（8）精度较高的平面单元简介
（3）等效节点载荷的计算
如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X, Y]T，相当于在点(x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：
如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx, qy]T，若将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力为P={q}tds，则等效节点载荷为：
（5）代入边界条件
在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程： [K]{}={R} 式中，{}为全部节点位移列阵，{R}为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边界条件，这个方程组的解是不确定的。从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数矩阵的行列式的值为零det[K]=0，因此线性代数方程组无法求解。这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是不确定的。这一点反映在数学上，总刚度矩阵[K]是奇异的，即它的行列式的值为零，因而其逆阵不存在。因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。
（9）热应力的计算
对于平面热应力问题，温度T仅是坐标x,y的函数T=T(x,y)，温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为:

有限元讲稿2004_11_ANSYS_7rev1

Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128)
M3-20
2-D 基本体素
3-8.
Objective
定义术语体素“primitive”.
体素是指预先定义好的、具有共同形状的面或体.
Definition
注: 体素类似于 Microsoft Power Point 中的 Auto Shapes.
选取二者其中任意一个，显示工作平面辅助网格，然后选择OK 或 Apply.
September 30, 1998
Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128)
M3-11
辅助网格间距
1. ..... 2. .....
3. ..... Procedure
改变辅助网格的间距: Utility Menu: WorkPlane > WP Settings ...
M3-22
2-D 基体素(续)
1. ..... 2. ..... 3. ..... Proced> -Modeling- Create >
选择以“＋”结尾的菜单，将弹出拾取菜单 (见下页），提示通过拾取方式创建体素.
选择By Dimensions ... 将弹出对话框，提示输入体素的坐标.
September 30, 1998 Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128) M3-15
移动工作平面
3-7.
Objective
移动工作平面.
工作平面原点的缺省位置与总体坐标原点重合，但可以平移工作平面，便于创建2D几何模型.
缺省：工作平面原点与总体坐标原点重合.

-11-15有限元讲稿第三章rev2

对梁旳弯曲问题，当梁旳长度明显不小于其截面尺寸时，能够选择“一维梁单元 ”，但对短梁（长度与截面尺寸相当）进行分析时，应采用“三维实体单元”；平板构造问题，能够采用“板壳单元”，也能够用“三维实体单元”。
单元旳物理类型决定了节点自由度（独立未知变量）旳数目。如对铰接三维杆单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)；对平面二维（或轴对称）实体单元，节点独立变量为(UX, UY)；对三维实体单元，节点独立变量为(UX,UY,UZ)；三维梁单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)；三维四边形板壳单元，独立变量为(UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)；三维实体热单元，独立变量为(TEMP)等。
10
第三章有限元法的一般理论
求解区域离散化
对于曲线几何形状旳物体进行离散时，应采用曲线边界旳单元。具有直线边界旳单元称为线性（一次）单元；而具有曲线边界旳单元称为高次（如二次、三次、p次等）单元。
11
第三章有限元法的一般理论
求解区域离散化
单元类型：怎样选择单元类型？显然应根据所研究问题本身旳物理特征来选择。如所研究旳问题属于外载作用下桁架构造旳受力问题，则单元类型是“杆单元或线单元” 。
数必须等于单元旳自由度数； 2. 协调性要求插值函数在单元内是坐标x,y,z旳连续函数，在相邻单元边界上也是连
续函数； 3. 对称性是指多项式插值函数形式不依赖于局部坐标系旳变化，这种性质称为几何
等向性、几何不变性或空间等向性。
21
第三章有限元法的一般理论
单元插值(形)函数(续)
DOF值二次分布
一维线性单元：考虑长度为l旳两个节点一维单元（线段），节点i和j表达，ui和uj 表达节点i, j旳变量值（位移）。在单元内部，假设u(x)为线性变化函数：

有限元法讲稿6

k110 10 k 210 u1 c1 k11 10 v y1 k310 1 x2 k 410 u2 v2 c4 k 44 1010 k510 u x3 k610 3 v3 y3 v y5 5 k1010
u1 u2 u4 v4 v5 v6 0
采用第一种办法:剩下的约束只有6个.方程如下:
[ K11]1 [ K12 ]1 [ K13 ]1 [ K 21]1 [ K 22 ]1[ K 22 ]2 [ K 22 ]3 ...... ...... ...... ...... [ R] ...... ...... ...... ...... ...... ...... 0 [ K 63 ]4 0
⑵主元素充大法在矩阵中，将对应已知位移的主元素乘于一个大数。令
k11u1 1010 k22v1 k23u2 k410v5 c1 k11 1010 k41u1 k42v1 k43u2 k44v2 1010 k410v5 c4 k44 1010
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 4 4 o [ K 65 ] [ K 66 ]
第五步：边界处理
令 k11=1 k44=1
k12=0 …… k110=0 k41=0 …… k410=0

有限元讲稿第四章等效载荷re

经验估算法
经验估算法是根据以往的经验和数据，对等效载荷进行估算的方法。
经验估算法的优点是快速、简便，适用于对精度要求不高的场合。
需要对相关领域有一定的了解和实践经验，通过对比类似结构的载荷情况来进行估算。
缺点是依赖于经验和数据，可能存在误差较大的情况。
04
等效载荷在工程中的应用
结构强度分析
等效载荷的计算方法
有限元分析中，等效载荷可以通过积分计算得到，将原载荷分布在一个或多个单元上，然后根据单元的形状函数和节点位移，计算出等效的集中载荷或均匀载荷。
计算等效载荷的方法包括力法和能量法，其中力法基于力的平衡条件，能量法基于能量的平衡条件。
等效载荷在有限元分析中的应用
等效载荷在有限元分析中具有重要的应用价值，它可以简化复杂的载荷分布，提高计算效率，同时保证计算精度。
注意等效载荷的适用范围
等效载荷的适用范围是有限制的，不同的等效载荷适用于不同的分析场景和工况。
在使用等效载荷时，需要明确其适用范围，避免出现误差和错误。
考虑等效载荷的精度要求
等效载荷的精度要求是影响有限元分析结果的重要因素之一。
在确定等效载荷时，需要考虑其精度要求，并采取相应的措施来提高精度，以确保分析结果的准确性和可靠性。
惯性载荷
外部载荷
等效于由于物体的惯性所产生的载荷，如重力、
离心力等。
等效于由外部因素施加在结构上的载荷，如风载、雪载、车辆载荷等。
按作用范围分类
局部载荷
只作用于结构的某一局部区域，对其他区域没有影响。
全局载荷
作用于整个结构，对结构的整体性能产生影响。
按计算方法分类
精确载荷
通过精确的力学分析和计算得到的载荷，可以反映结构的真实受力情况。

有限元方法讲义

第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1） ()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=∆-x u x x f u ,0,问题（1）的变分形式：求()Ω∈10H u 使满足（2） ()()()Ω∈∀=1,,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。

区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω⊂10H S h 。

h S 的逼近性质，逆性质：∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m uCh uI u pk m k pm h 1,1,0,,11,h h pm hqnp n l m ql hS v l m q p v Chv ∈∀≤∞≤≤≤---,,,1,),0(max ,这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足（3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈∀=,,,（3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1。

（3）的解()()∑==Ni i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：()()N j f u a jNi iji,2,1,,,1==∑=φφφ（4） f u K=刚度矩阵()()NN ji a K ⨯=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。

-1H 模误差分析：由（2）－（3）可得（5） h h h h S v v u u a ∈∀=-,0),(由（5）可首先得到()()1121,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h hh h h h h--≤--=--≤-则得到（6） 1,111≥≤-≤-+k uCh uI u C u u k k h h2L －模误差分析设210H H w ∈ 满足h h u u C w win u u w -≤=Ω-=∆-Ω∂2,0,,用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到()()w u u A u u w A u u h h h,,2-=-=-()hhhh h h h u u u u Ch w u u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=12111,再利用-1H 模误差估计结果，得到（7） 1,111≥≤-≤-++k uCh u u Ch u u k k hh最优阶误差估计和超收敛估计概念。

研究生有限元法授课大纲

3、分布横向力q(x)旳移置
Qe
l
q
0
(x)Nv T
dx
Nv 挠度的形函数矩阵
Qe
Q
yi
M zi
Q yj
M zj
1 0 0 0
0 1 0 0
3/l2 2/l 3/l2 1/ l
2 / l3
l
q( x)dx
0
1/
2
1/
l / l
2
l
2
3
l0lqq((xx))xx2ddxx
uk xk yk
1
a2
1 2
1
ui uj
yi yj
1 uk yk
1
a3
1 2
1
xi xj
ui uj
1 xk uk
u
1 2
ai
bi x ci yui
aj
bj x cj y
uj
ak
bk x ck yuk
v
1 2
ai
bi x ci yvi
aj
bj x cj y
vj
总势能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
位移列阵 d u v w T
体积力列阵 F X Y Z T
应力列阵应变列阵
x y z xy yz zx T x y z xy yz zx T

《有限元法基础讲义》课件

常见材料本构关系及其有限元表示
讨论了不同材料的本构关系和应力-应变关系，以及如何将它们表示为有限元模型中的材料属性。
有限元网格划分与质量控制
讲解了有效的有限元网格划分算法、质量控制策略和改善网格质量的技巧，以提高计算结果的精确性和稳定性。
有限元求解算法
探索了常用的有限元求解算法，包括直接法和迭代法，以及并行计算和加速技术。
《有限元法基础讲义》 PPT课件
通过《有限元法基础讲义》PPT课件，我们深入探讨了有限元法的各个方面，包括基础概述、一维到三维有限元法、材料本构关系、网格划分与质量控制、求解算法、静态与动态分析，以及在结构、流体力学、热传导和电磁场中的应用。
有限元法基础概述
介绍了有限元法的定义、原理和应用领域，以及有限元分析的基本步骤和注意事项。
一维有限元法
详细讲解了一维有限元法的原理、单元类型、边界条件的处理方法，并演示了一维结构的有限元分析过程。
二维有限元法
探讨了二维有限元法的理论基础、常见单元类型、网格生成算法，以及处理复杂边界条件和材料非线性性的技巧。
三维有限元法
介绍了三பைடு நூலகம்有限元法的基本原理、常用稳定性判据、网格生成策略，以及处理大规模问题和高性能计算的方法。
静态分析与动态分析
介绍了有限元法在静态和动态分析中的应用，如结构强度分析、模态分析和响应谱分析等。

有限元基础-讲稿-第2讲-之2

2010/12/29
3
二、平面问题
实例—板材单向拉伸
2 选择位移模式
如果用u和v表示单元内部任一点的位移，它们都应该是x、y的函数，可以用对结点位移插值的方法来确定。这里选择最简便的线性函数，即：
u = α 1 + α 2 x + α 3 y v = β1 + β 2 x + β 3 y
第二节
2.1 有限元基本方法
2.2 平面问题
2.3 轴对称问题 2.4 空间问题 2.5 等参元和板壳元
2010/12/29
1
二、平面问题
实例—板材单向拉伸
1 结构离散化
板材单向拉伸试验右图所示。试验的目的是确定载荷与位移量的关系曲线，从而得到材料的应力应变关系。利用对称性，取试件的四分之一为分析对象，坐标系可选在试件的对称中心处。可采用三角形单元，也可以采用矩形单元。如图所示，将试件有效部分划分成16个三角形单元，通过设置在其上的15个结点连线分割而成。最后将单元和结点分别依次编号，即完成结构离散过程。
1 (ai + bi x + ci y )u i + (a j + b j x + c j y )u j + (a m + bm x + cm y )u m 2∆
[
]
v=
ai =
1 (ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (a m + bm x + cm y )v m 2∆
u = α + α x + α y
u i = α 1 + α 2 xi + α 3 y i u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u = α + α x + α y 1 2 m 3 m m

有限元讲稿--制定分析方案(PPT 28页)

性的。
应变
应力
屈服点
..
材料极限
June 3, 1996
塑性应变
Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128)
应变
B-11
线性 / 非线性分析(续)
• 材料非线性(续)
– 实际当中，没有那种材料的应力－应变关系是完全遵循线性关系的，线性假设只不过是一种近似处理。对于大多数工程材料而言，在外载荷不足使结构破坏情况下，这种近似是非常好的，能较好地确定设计中的许可应力或应力限值。
• 奇异
• 单元类型 • 网格密度 • 单位制 • 材料特性 • 载荷 • 求解器
June 3, 1996
Introduction to ANSYS - Release 5.5 (001128)
B-2
通常考虑的分析因素（续）
制订得分析方案好坏直接影响分析的精度和成本（人耗工时，计算机资源等），但通常情况下精度和成本是相互冲突，特别是分析较大规模和具有切割边界的模型时更为明显。一个糟糕的分析方案可能导致分析资源紧张和分析方式受得限制。
B-21
高效率建模技术 - 对称性模型(续)
对称类型(续)
重复或平移对称即结构是由
沿一直线分布的重复部分组
定义
成，诸如带有均匀分布冷却
节的长管等结构。该对称要
求非零位移约束，集中力、
压力和体载荷应具有对称性
。
图示模型具有镜面对称 (2X) 和重复对称
一个结构可能由多个对称平面，这样就可以利用对称性建立一个很小的等效分析模型。
B-12
线性 / 非线性分析(续)
•材料非线性(续)
– 一些结构存在局部屈服，即在一些小的区域内应力超过了屈服极限（“弹性极限”）。与结构线性假设相反，充分考虑材料非线性特性并不会改变远离屈服区域的应力场，甚至不改变这些区域内的总应变（弹性和塑性应变之和）。低周疲劳破坏计算完全不受其影响。