五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
五年级奥数计算综合整数裂项与分数裂和A级学生版
考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一知识结构一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法 是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N°N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加 正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
QOo JL JLS 整数裂项与分数裂和 :口 （1） a + b a b 11 -- = --- 1 -- = —I- a x b a x b a x b b a （2） a 2 + b 2 a 2 b 2 a b --- = ---- 1 - = + --a xb a x b a x b b a重难点（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。
【例1】计算：1x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 义6 + L + 99 x101【巩固】计算：3x5 + 5x7 + 7x9+L + 97x99 + 99x101【例2】计算10 x16x 22 +16x 22x 28 + L + 70 x 76x 82 + 76 x 82x 88MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 2 of 8【巩固】3x3x3 + 4x4x4+L + 79x79x79【例4】计算：1x1x1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + L + 99 x 99x 99 +100x100x 100(1 + 2 )+(1 + 2 + 3)+(1 + 2 + 3 + 4 )+L +(1 + 2 + 3+L【例5】1 ++100)【巩固】3 + (3 + 6)+(3 + 6 + 9)+L +(3 + 6+L + 300)MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 3 of 8分数裂和5+6 6+7 7+8 8+9 9+10_ + 一 +5x6 6x7 7x8 8x9 9x10【巩固】计算: 【例6】填空: 9 20 15 561- 5 7 —+ — 6 12 9 11 -- + ---- - 20 30 13 15 17 19. +-- — --- + ..... 42 56 72 903- 21 - 4 + 1 - O 1 【例7】1 2 3 7 9 11 17 25—+ — + — + — + — + --- + — + 3 5 7 12 20 28 30 42(35 49 63 77 91 105 1 —+ —+ ― I 6 12 20 30 42 56 )12 + 22 22 + 32 182 + 192 192 + 202+ + .. + + 1X 2 2 X 3 18 X 19 19 x 20 【例8】计算: 1 3 2 5 7 9 10 11 + - + - + - + - + — + — + — 3 4 5 7 8 20 21 24 19 + 一 35 【巩固】 【例9】 1 1 1 1 1 20 —+ - + — + — + — + — + 2 3 30 31 41 51 10-- + 26 ----- + 120 38 27 ----- 1 ---- 123 124 【巩固】 【例10】1、 1 x 4 + 4 x 7 + 7 x 10+L + 49 x 52= 12 12 + 22 12 + 22 + 32 【巩固】13 — 17万+ 13 + 23 + 12 + 22 + 32 + 42 ----------- + _ 1 2 + 22 +_ + 26213 + 23 +... + 263 2、 计算: 5 7 911 13 15 -+ + 十 一 6 12 20 30 42 56 17 19 H -- 72 903、 1 1 7 9 8 17 5 一+ 一 + 一 + 一 + 一 + 一 + 一 4 5 12 20 15 30 1232 -1)家庭作业1、1x 1 + 2 x 2 + 3 x 3+L + 50 x 502、 2 x 4 x 6 + 4 x 6 x 8 + L + 96 x 98 x 1004、 12 + 22 22 + 32 T 20042 + 20052 20052 + 20062 ------- + --------+ L + ---------------- + ---------------- 1x 2 2x 3 2004 x 2005 2005 x 20065、1 2 3 8 94、(1-3x (2-3)x (3 — /X L x (8 — -)x (9 —m) 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 T 1 + 2 + 3+L + 50 ---- x -------- x ------------- x L x -------------------- 22 +3 2 + 3 +4 2 + 3+L + 503、 1 2 3 7 9 11 21 31 - + - + — + ― + — + 一 + 一+一3 5 7 12 20 28 40 56 教学反馈 5、。
五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h ⎛⎫=- ⎪ 知识结构考试要求裂项()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
五年级下册数学扩展专题练习-计算综合.公式应用（B级）.学生版-全国通用（无答案）
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（2） 了解等比数列；了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】1、 2222(1)(21)1236n n n n ´+´+++++=； 2、()2223333(1)1231234n n n n ´+++++=++++=； 3、 ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=； 4、 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++×××+=-()1ñq ；（2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1áq 。
5、 平方差公式：()()22ab a b a b -=+-； 6、 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+； 用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平考试要求 知识结构公式应用方，2倍乘积在中央”．（1） 平方和、立方和公式的灵活运用；平方和、立方和公式的灵活运用；（2） 等比数列公式的灵活运用。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学五年级数学思维专题训练—裂项(含答案解析)
时求出n=2009
参考答案
1.
【答案】
【分析】 原式 =
=
=
2.
【答案】
【分析】 原式 = 2008+2009+2010+2011+2012+
= 2010
=
3.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）原式=
（2）方法一：原式
方法二：分母上都是连续等差数列求和
原式
4.
5.
6.
7.(1)
(2)
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）原式=
（2）方法一：原式
方法二：分母上都是连续等差数列求和
原式
8.
【答案】3072
【分析】
原式
9.
【答案】
【分析】原式
10.
【答案】
【分析】原式
11.已知 ，
试求出 的值。
【答案】2010
【分析】
原式
12.如下图所示，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边 数记为 ，……依次类推，由正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 ，当 时， 的 值是多少？
小学五年级数学思维专题训练—裂项
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. ( 1)
(2)
8.
9.
10.
11.已知 ，
试求出 的值。
12.如下图所示 ，第（ 1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边 数记为 ，……依次类推，由 正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 ，当 时， 的值是 多少？
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学五年级奥数--估算和裂项解题技巧
小学五年级奥数——估算和裂项技巧一、估算问题估算中常用到缩放法、取整法等技巧。
求近似值或整数部分等，常常需要进行估算，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值，一般偏差范围在上下5%以内。
【应用见例1】二、分数通分化简法1．求出原来几个分数的分母的最简公分母；2．根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最简公分母为分母。
三、裂项运算法1．“裂差”型运算（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里可以把较小的数写在前面，即设a <b ，那么有⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯b a a b b a 1111；（2）对于分母中有3个或4个连续自然数乘积形式的分数，如：()()211+⨯+⨯n n n ，()()()3211+⨯+⨯+⨯n n n n ，可以进行如下裂项运算：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⨯=+⨯+⨯2111121211n n n n n n n ；()()()()()()()()⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯3211211313211n n n n n n n n n n 注：将算式中的项进行拆分，使拆分后的项前后可抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差的形式。
遇到裂项的计算题时，要仔细观察每项的分子和分母，发现各项分子与分母之间具有的相同关系，找出其共有部分。
裂项的题目无须复杂的计算，一般都是将中间部分消去。
因此，找到相邻两项的相似部分将它们消去，才是最根本的方法。
“裂差”型裂项有一下三大关键特征（1）分子全部相同，最简单的形式为分子都是1，一般复杂的形式可为都是x （x 为任意自然数）的式子，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”。
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2．“裂和”型运算常见的“裂和”型运算主要有以下两种形式：（1）ab b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+；（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222注：（1）裂差型运算的核心环节是“两两抵消”达到简化的目的；（2）裂和型运算的核心环节是“两两抵消”或转化为“分数凑整”来达到简化的目的。
小五班计算综合.裂项(B级)
（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h ⎛⎫=- ⎪考试要求知识结构裂项()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
五年级奥数.计算综合.分数裂差(A级).学生版
1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭考试要求知识结构分数裂差()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
高斯小学奥数五年级上册含答案_分数裂项
第十九讲分数裂项-------------------------------------------------------------------------------------------= + ， = + ， = + + ． 个是单位分数分母的乘积．那反过来，如果一个分数可以写成 a + b 或者的形式，我们裂和： a + b = + ；裂差： = - ．+ + + + + L + ； + + + + L + + + + + + L + ； + + + + L +1 1 1漫画中的分数有 、 和 ，它们的分子都是 1．这样分数我们称之为单位分数．每个2 3 6分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：1 1 1 1 1 1 7 1 1 123 6 5 6 30 8 24 8我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质．看下面的例子．1 1 5 + 7 1 1 7 - 5 + =- =5 7 5 ⨯ 75 7 5 ⨯ 7我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一a -b a ⨯ b a ⨯ b就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差．这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”．1 1 b - a 1 1 a ⨯ b a b a ⨯ b a b在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧．这些技巧虽然强大，但能够用来处理分数数列的并不太多．这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可以将这类看似很复杂的题目轻松的解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 2012⨯ 20133 3 3 3 3（2）计算：． 2 ⨯ 5 5 ⨯ 8 8 ⨯11 11⨯14 98⨯101「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐．观察各项分母，每 一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分 的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？练习 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 100⨯1012 2 2 2 2（2）计算：． 1⨯ 3 3⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 99⨯101- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化 计算的效果．但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项．因此，大家在学习裂项时，必须注意以下几点：+++++L+；++++L+++++L+；++++L+练习3．计算：3（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚．只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧．希望大家在下面的学习中细心体会．-------------------------------------------------------------------------------------------例题2．（1）计算：222222 1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯619⨯20 11111（2）计算：．1⨯44⨯77⨯1010⨯1328⨯31「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数的差．这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？练习2．（1）计算：（2）计算：111111⨯33⨯55⨯77⨯997⨯99 888881⨯55⨯99⨯1313⨯1745⨯49．例题3．计算：4812162024 -+-+-．1⨯33⨯55⨯77⨯99⨯1111⨯13「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式．但与前面两题不同的是，本题各项分子并不相同，仔细观察会发现，4=1+3，8=3+5，…，24=11+13，现在分子等于分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？579111315-+-+-+．1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯8-------------------------------------------------------------------------------------------通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化计算的．请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢？-------------------------------------------------------------------------------------------．（1）1⨯4+++L++++L+例题4．111111111（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；261220304256729015791113151719（2）1-+-+-+-+．2612203042567290「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算．其中整数部分就是一个等差数列，那分数部分呢？虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而且运算符也是加减交错的．在这种情况下，裂项又该如何进行呢？练习4．11111（1）1+2+3+4+5；3153563994812162024（2）8-7+6-5+4-3．315356399143-------------------------------------------------------------------------------------------例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项．它们有着共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数之间有加号也有减号，那就用裂和．-------------------------------------------------------------------------------------------例题5．2⨯53⨯68⨯112⨯33⨯44⨯59⨯10；（2）12+2222+3232+42192+2021⨯22⨯33⨯419⨯20．「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各乘数相加减的形式表示出来．这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律．---------------------------------------------------------------------分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型．下面来看一些较复杂的题型．---------------------------------------------------------------------例题6．计算：1+++L+．----------------------1111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯548⨯49⨯50「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法．． ）南极为什么会有恐龙在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组．其实在自然界里，分裂和重组的现象也 无处不在．下面就是一个例子．南极洲位于地球的最南端．那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到 其它生物的踪影．然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石！ 实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识．几十年前，人们发现地壳是由 一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的．可以这样比喻，板块背上驮着许多大 陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动．每隔一段时期，板块会将所 有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆” 当板块继续运动 时，大陆又重新分裂．在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在 约 2.25 亿年前形成的．早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地 方．大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分．北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由 现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分．随着 时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离．（如果看一张地图，并假定 把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！ 印度向北移动，并且 大约在 5000 万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢 地褶皱变形．这时，南极和澳大利亚也已相互分离．当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自 己的恐龙而去．到 6500 万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开．所以，现在的每一个 大陆都有自己的恐龙化石．这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因．2.25 亿年前2 亿年前 1.35 亿年前6500 万年前 现在作业3.计算：1+1+L+作业1.计算：1+1+L+3⨯44⨯51199⨯200．作业2.计算：1+2+3+L+1⨯22⨯44⨯711⨯55⨯925⨯291046⨯56．．作业4.计算：7-13+19-252⨯55⨯88⨯1111⨯14+31374349-+-14⨯1717⨯2020⨯2323⨯26．作业5.计算：4+16+36+64+100+144+196+256．315356399143195255例题1.答案：（1） 2012 ；（2）；（2）原式 = - 例题2. 答案：（1） 19 ；（2）详解：（1）原式 = 1 - ⎪ ⨯ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪ ÷ 3 = ．1 ⎫ 19 10 = ．例题4. 答案：（1） 81 ；（2）1 详解：（1）原式 = (1 + 3 + L + 17 ) + ⎪ = 81 + = 81 ．+ + L + （2）原式 = 1 + 2 - + L + = 1 + = 1 ．例题5. 答案：（1） 7；（2） 38 1 - + 1 - + L + 1 - = 8 - + + L + ⎪ = 8 - = 7 ．2 + + 2 + + L + 2 + = 38 + + + L + ⎪ = 38 + 详解：原式 = - + - + L + - ⎪÷ 2⎪ ÷ 2 = =- 练习1. 答案：（1） 100 ；（2）第十九讲 分数裂项992013 202详解：（1）原式 = 1 - 1 2012 1 1 99 = =2013 2013 2 101 202．1010 31⎛ ⎛ 1 ⎫ 10 ⎝ 20 ⎭ ⎝ 31 ⎭31例题3. 答案： 1213详解：原式 = 1 - 1 1213 139 110 10⎛ 1 1 1 ⎫ 9 9 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 39 ⨯10 ⎭ 10 10 2 + 3 9 + 10 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 9 ⨯10 10 101 195 20详 解 ：（ 1 ） 注 意 到 每 个 分 数 的 分 母 都 比 分 子 大 2 ， 原 式 可 写 成2 2 2 ⎛ 2 2 2 ⎫ 4 1 2 ⨯3 3 ⨯4 9 ⨯10 ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 9 ⨯10 ⎭5 5 （ 2 ）注意到每个分数的分子都比分母的 2 倍多 1 ，原式可写成1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 19 19 1⨯2 2 ⨯3 19 ⨯ 20 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 19 ⨯ 20 ⎭ 2020例题6. 答案： 3061225⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 448 ⨯ 49 49 ⨯ 50 ⎭= 38 ．⎛ 11 ⎫ 306 ⎝ 1⨯2 49 ⨯ 50 ⎭1225．100101 101；（2）原式 = 1 - ；（2） 简答：（1）原式 = 1 - ⎪÷ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪⨯ 2 = ．1 ⎫ 49 99 练习4. 答案：（1）155；（2） 3+ + + + = 15 ． = 1 - + - + - = 3 ．简答：原式 = - + - + L + + - + - + L + - = 1 - = 简答：原式 = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ =+ - - + L - - = - = ．+ + L + = 8 + ⨯ 1 - ⎪ = 8 ．简答：（1）原式 = 1 - 1 100 1 100 = =101 101 101 101． 练习2. 答案：（1）49 9699 49⎛ ⎛ 1 ⎫ 96 ⎝ 99 ⎭ ⎝ 49 ⎭49练习3. 答案：1 18简答：原式 = 1 + 11．8 8121113简答：（1）原式 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +1 1 1 1 1 51⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11（2）原式 = 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 +作业1. 答案：1976004 8 12 16 20 24 121⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11⨯13 131 1 1 1 1 1 1 1 197 - = - = 3 4 4 5 199 200 3 200 600作业2. 答案：5556．简答：原式 = 1 -作业3. 答案： 7291 1 1 1 1 1 1 1 552 2 4 4 7 46 56 56 56．1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ 1 28 7 4 ⎝ 5 5 9 25 29 ⎭ 4 29 29．作业4. 答案：6 13简答：原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 62 5 5 8 23 26 2 26 13作业5. 答案： 8 817简答：原式 = 8 +1 1 1 1 ⎛ 1 ⎫ 8 1⨯ 3 3 ⨯ 5 15 ⨯172 ⎝ 17 ⎭ 17。
小学奥数专题-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的.【例 1】 111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56【巩固】 111 (101111125960)+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】112【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【例 2】 111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律.从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 例题精讲【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(1 13355799101233599101101 ++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【答案】50 101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++-⎪⎝⎭2515015012115165023232=⨯==【答案】21 1532【巩固】计算：3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111 255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】1 2【例 4】计算：11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）1111111128 224461618=⨯-+-++-⨯（）1164218=-⨯（）4289=【答案】4 289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290+++++++ 1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 【答案】25 【巩固】 11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111212312341234567=+++++++++++++++++ 2221233478=++++⨯⨯⨯ 111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74= 【答案】74【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334910=--+-++- 111()2210=-- 110=【答案】110【巩固】 11111104088154238++++= . 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】 原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-= ⎪⨯⨯⎝⎭ 【答案】100400312048045【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】 原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭- 4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】 计算：11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++- 12021012102121=+-= 【答案】2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054= 【答案】51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____. 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级【答案】11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯，2154135=-=⨯，……，21951411315=-=⨯， 所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中 【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100= 【答案】198100【例 8】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭= 【答案】35144【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111149494949()212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯ 【答案】494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】 4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 11111111()()......()()133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11139799=-⨯⨯32009603=【答案】3200 9603【巩固】9998971 12323434599100101 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...) 123234345991001012334100101 =++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()()2422101002101101=⨯⨯---=【答案】51 24 101【例 9】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯-⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】119 2160【巩固】333...... 1234234517181920 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)] 3123234234345171819181920 =⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1139 6840【例 10】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． 【答案】2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（） 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155= 所以原式31115565155=⨯=． （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11223413112220311422055=-+-=-=， 所以原式31115565155=⨯=． （法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--= 所以原式31115565155=⨯=． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =，3，……，9） 如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= .【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯112100!=-【答案】112100!-【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……，10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以原式1112100=-+++15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（） 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以，原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯2222222111111112233478=-+-+-++-2118=-6364=【答案】6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【答案】9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，34421515=， 可见原式222244442222213141991=++++---- 1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++⎪----⎝⎭1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【答案】6312101【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 56677889910111111113()...()56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】 123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】 1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127= 【答案】127【巩固】 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111111111()()()()()()()()23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】 11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020 =++++++++++=+⨯+=【答案】19 3620【巩固】11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111() 2008200720072015028⨯+=【答案】1 2015028【例 17】计算：111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-=【答案】49 50【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111 133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯135134135135=【答案】135134 135135【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】341199 222224422 1353571719211335355717191921 +++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯所以原式889 122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379 399。
小学数学奥数专题 分数裂项 PPT+课后作业 带答案
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总结：b a b a 1 1 ab ab ab a b
2.之前的题目分子都是统一的，而这道题目的分子互不相同，因此
要找到新的简算方式。
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21 3 2 43 5 4 65 1 2 23 3 4 45 5 6
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（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-⨯- 考试要求i
知识结构
裂项
2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：
1111
[]()(2)2()()(2)
n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
3、 对于分子不是1的情况我们有：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11
)(
()11h h n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
()()()()()
211
22k n n k n k n n k n k n k =-+++++
()()()()()()()()
311
23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
()()
()()()11
222h
h n n k n k k
n n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥+++++⎣⎦
()()()(
)()()()()11
233223h h
n n k n k n k k
n n k n k n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥++++++++⎣⎦
()()()
2
21111212122121n n n n n ⎛⎫
=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
三、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算
式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
四、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用 （2） 分子隐蔽的裂和型运算。
（3） 通项归纳及其
一、用裂项法求
1
()(2)
n n k n k ++型分数求和
例题精讲
重难点
【例 1】 11
1
123234
789
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】1111
(12323434599100101)
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 2】 计算：
111
1
135357579
200120032005
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：11
1
123234
9899100
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
二、用裂项法求2()(2)k
n n k n k ++型分数求和
分析：2()(2)k
n n k n k ++（n,k 均为自然数）
211
()(2)()()(2)
k n n k n k n n k n k n k =-
+++++
【例 3】 4444
(135357)
939597959799++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】444
(135357939597)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
三、用裂项法求1
()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和
分析：1
()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
1111
()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 4】 计算： 111
......1234234517181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
四、用裂项法求3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 5】 计算：
333
(1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】333
(1234234521222324)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
五、复杂裂项
【例 6】 111
1112123
12100
+++
+
+++++
+
【巩固】23
10
1112(12)(123)
(1239)(12310)
---
-
⨯++⨯+++++
+⨯+++
+（）
【例 7】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【巩固】计算：2222
22
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-
⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
⨯-=
【例 8】 计算：2222222222315171
1993119951315171
1993119951
++++++++
++=----- ．
【巩固】计算：222222
22
2222
13243598100213141
991
+++++++
+=---- ．
【例 9】 计算：
222222
22
357
1512233478++++
⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：22221235013355799101
++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【例 10】 23501(12)(12)(123)(12349)(12350)+++⨯++⨯++++++⨯++++
【巩固】
2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
1、 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
2、 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯
3、 100
211321121111++++++++++
课堂检测
4、 999897112323434599100101
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、 333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1、 计算：57191232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
家庭作业
2、 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）
3、 计算：
3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
4、 计算：
1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、 计算：11111
2232342345234200+++++++++++++++
学生对本次课的评价
○特别满意 ○满意 ○一般
家长意见及建议
家长签字：
教学反馈。