矩阵分析第四章

p 1 p n q 1 q
∑x
k =1
n
k
y k ≤ ( ∑ xk ) ( ∑ y k )
k =1 k =1
n
(4.6)
其中 p , q 为 共轭指数 .
证 ①当xk 或 yk (k = 1,...,n)全为0 时,结论显然成立.
②设xk 不全为 0, yk 也不全为 0,.以下证明式(4.6)的 等价式.由引理 Young不等式得
k =1 k =1 1 p p n n
n
1 p p
n
1 ( p−1)q q
)
= (∑ xk ) (∑ xk + yk ) + (∑ yk ) (∑ xk + yk )
k =1 k =1 k =1 k =1
(∑ yk ) ](∑ xk + yk )
k =1 k =1 k =1
1 p
n
1 p
这正是 x+ y
p
≤ x
p
+ y p.
即三角不等式成立. 范数). ■ 故 x p 是C n上的一种向量范数 (向量 p
数 ; 对于 x p , p = 1, 即为向量的 1范 数. p = 2 即为向量的 2范
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定理 4.3 设 x ∈ C , 则
p →∞
n
lim x
n
范数的酉不变性. 上述的结果称为向量 2
8
向量∞ 向量∞范数
例 4.3 设 x = ( x1 ,..., xk ,..., xn )T ∈ C n , 定义 x 则 x
∞ ∞
max xk
k
(4.4)
是向量 x 的一种范数, 称为向量 ∞ 范数.
证 (1). 正定性 显然; (2).齐次性 显然;
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∑ =
(∑ xk
k =1 n p
n
n
xk y k ) (∑ yk )
q k =1 1 p n 1 q
k 1
= ∑[
k =1
xk (∑ xk )
k =1 n 1 p p
][
yk ( ∑ yk )
k =1 n 1 q q
]
( a b )
1 1 ] = + =1 p q
≤ ∑[
k =1
n
xk
n k =1
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(3). 三角不等式:∀y = ( y1 ,..., yk ,..., yn ) ∈ C , 有
T
n
x+ y
∞
= max xk + yk ≤ max xk + max yk
k k k
= x
即三角不等式成立.
∞
+ y ∞.
范数). 故 x ∞ 是C 上的一种向量范数(向量 ∞
n
■
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三个重要的不等式 三个重要的不等式
p
= x ∞.
可以从已知的向量范数出发,构造无数新的向量范数.
定理 4.4 设 A∈ Cnm×n (列满秩), ⋅ a 是C m上的一种向量范数, 对∀x ∈ C n , 定义 xb Ax a (4.9) 则 x b 是C n中的向量范数.
例 4.5 设A是n 阶正定矩阵, 对∀x ∈ C n , 定义 x
矩阵范数的性质 性质1 性质1 性质2 性质2 −A = A ; A − B ≤ A− B .
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例 4.9 设 A = (aij )n×n ∈ C
n n
n×n
, 定义 (4.22)
A 则 A
m1
m1
∑∑ a
i =1 j =1
ij
是C n×n上的一种矩阵范数 ,称为矩阵的 m1 范数 .
证
(1). 正定性 显然 ; (2). 齐次性 显然 ;
极限为 向量x = (x1,..., xi ,..., xn ) ,记 {x }的 为 lim x = x.
k→∞ (k)
T
(4.17)
向量 序列 不 收敛 时称为 发散 的 .
定理 4.7 C 中的向量序列{x }收敛于 x 的充分必要条件 是对于C 上的任一向量范数 ⋅ , 都有 lim x( k ) − x = 0.
故 x
2
n
2
≤ x 2+ y 2,
是 C n上 的 一 种 向 量 范 数 , 称 为
2
向量 2 范数, x
也 叫 Euclid 范 数 , 即
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通 常 意 义 下 向 量 的 长 度.
向量 2 范 数 的 酉不变性 酉 不变性
范数的性质 向量 2 对∀x ∈ C 和任意的酉矩阵U , 有 Ux 2 = (Ux)H (Ux) = xHU HUx = xH x = x 2 . (4.3)
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(3).三角不等式,设B = (bij ) n×n ∈ C A + B = ( aij + bij )n×n , 于是
n n
n×n
,则
A+ B
m1
= ∑∑ aij + bij
i=1 j =1 n n
T n n k =1 n
又设 ⋅ 是 C 上的 向量范数 , 定义
α
v
x
则如此定义 α v 的就是 Vn (C )上的 向量范数.
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例 4.8 设 x = ( x1 ,..., xk ,..., xn ) ∈ C , 定义 x
p
T
n
(∑ xk )
k =1
n
1 p p
0 < p <1
由于它不满足式(4.1)中的(3), 故如此定义的 x p 不是C n上的向量范数.
矩阵分析教程
(电子版)
董增福
哈尔滨工业大学数学系
1
第四章 范数理论 核心内容
1．向量范数 2．矩阵范数 3．算子范数 4．范数的应用
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§4.1
向量范数
定义 4.1 若对于∀x ∈ C n , 都有一个实数 x 与之对应, 且满足 : (1). 正定性:当x ≠ θ, x > 0; 当x = θ, x = 0; (2). 齐次性:∀k ∈ C, kx = k x ; (3). 三角不等式:∀x, y ∈ C n , 都有 x + y ≤ x + y .
n 和 ⋅ 是 C 上的两种向量范数, a b
若存在正数 c1 , c2 , 使∀x ∈ C n 都有
b
≤ ⋅
a
≤ c2 ⋅
b
则称向量范数 ⋅ a 与 ⋅ b 等价 .
易证向量范数的等价具有自反性, 对称性, 传递性 传递性 . 自反性, 称性,
定理 4.6 n 维线性空间Vn ( F )上的任意两个 向量范数都是等价的 .
例如若在R n中, 取 x = (1, 0,..., 0) T , y = (0,1,..., 0) T , 1 设 p = , x + y 1 = 4; x 1 = 1, y 1 = 1, 2 2 2 2 n 故 x 1 不是R 上的向量范数.
2
22
向量范数的等价性
定义 4.2 设 ⋅ c1 ⋅
A
x H Ax
(4.10)
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则 x A 是C n中的向量范数.
注意到n 维线性空间Vn (C)与C 同构, 有如下结果:
例 4.6 设Vn (C )是复数域C上的 n 维线性空间,
n
ε1 , ε 2 ,..., ε n是Vn (C )的一组基.∀α ∈Vn (C )可惟一地
表示为α = ∑ xk ε k , 其中 x = ( x1 ,..., xk ,..., xn ) ∈ C ,
n
1 p p
n
1 p p
n
1 p q
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若 xk + yk = 0 , k = 1, 2,..., n, 式(4.7)显然成立.
1 p q
否则 (∑ xk + yk ) > 0,
k =1
n
不等式两端同除(∑ xk + yk
k =1
1 p p n n
n
1 p q
1 1 ) , 注意到1 − = , 故 q p
则称 x 为 x 的向量范数.定义了范数的线性空间称为 赋范线性空间.上述三条称为向量范数三公理.
向量范数的性质 性质1 性质1 性 质2 −x = x ; x − y ≤ x− y .
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三种基本的向量范数
例 4.1 设 x = ( x1,..., xk ,..., xn )T ∈C n , 定义 x1
求得惟一 驻点 b0 = a
p q
1 q −1
= a p −1 = a ,
p q
易知它为最小值点, 故0 = f (b0 ) ≤ f (b ), a b 此即 ab ≤ + . p q
■
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定 理 4.1( Holder不 等 式 )
∀ xk , y k ∈ C , k = 1,..., n , 有
∑x
k =1
n
k
(4.1)
范数. 则 x 1 是向量 x 的一种范数, 称为向量1
证 (1). 正 定 性 显 然 ; (2).齐 次 性 显 然 ;
4
(3). 三角不等式 :
∀y = ( y1 ,..., yk ,..., yn ) ∈ C , 有 x + y 1 = ∑ xk + yk ≤ ∑ ( xk + yk )
k →∞ n n (k )
(4.18)
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§4.2
矩阵范数
定义 4.4 若对于∀A∈ C n×n , 都有一个实数 A 与之对应, 且满足: (1). 正定性:当A ≠ O, A > 0; 当A = O, A = 0; (2). 齐次性:∀k ∈ C, kA = k A ; (3). 三角不等式:∀A, B ∈ C n×n , 都有 A + B ≤ A + B ; (4).相容性: ∀A, B ∈ C n×n , 都有 AB ≤ A B . 则称 A 为C n×n上矩阵 A的矩阵范数.(先讨论方阵)