正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。
（2）正切函数图像：-（3）与切函数的图像：归纳填表格：例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π=-+；（2）221tgxy tg x=+；（3）cot tan y x x =-；（4）22tan21tan 2xy x=-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24y x π=++；（2）tan()123x y π=-+-；（3）12log cot y x ⎛= ⎝⎭ 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2x x x x π∈≠。
求证：1212()()()22f x f x x xf ++>。
三角函数图像及性质的总结
第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
初中数学知识归纳三角函数的基本变换与性质
初中数学知识归纳三角函数的基本变换与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在初中数学学科中也占有重要地位。
了解三角函数的基本变换与性质对于学生打下坚实的数学基础非常重要。
本文将对初中数学中三角函数的基本变换与性质进行归纳总结。
一、正弦函数与余弦函数的基本变换与性质1. 基本变换正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像在平面直角坐标系中表现出一定的规律。
- 平移变换：对于正弦函数和余弦函数的图像，当自变量增加或减少一个周期时，图像会向左或向右平移。
这是因为正弦函数和余弦函数的周期是固定的。
- 垂直方向的伸缩：正弦函数和余弦函数的图像在垂直方向上也会有伸缩变换。
通过改变函数的振幅值（即函数的最大值和最小值的差异），可以实现对图像的垂直伸缩变换。
2. 基本性质- 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2π。
换句话说，当自变量增加或减少360度或2π时，函数的值会重复。
- 范围：正弦函数和余弦函数的值在闭区间[-1, 1]内变动。
也就是说，对于任何一个角度，正弦函数的值和余弦函数的值都不会超过-1和1。
二、正切函数与余切函数的基本变换与性质1. 基本变换正切函数和余切函数也是周期函数，它们的图像在平面直角坐标系中表现出一定的规律。
- 平移变换：正切函数和余切函数的图像在自变量增加或减少π时，会向左或向右平移。
这是因为正切函数和余切函数的周期是π。
- 垂直方向的伸缩：正切函数和余切函数的图像在垂直方向上也会有伸缩变换。
通过改变函数的振幅值，可以实现对图像的垂直伸缩变换。
2. 基本性质- 周期性：正切函数和余切函数的周期都是π。
也就是说，当自变量增加或减少π时，函数的值会重复。
- 水平渐近线：正切函数和余切函数都有水平渐近线，即当自变量趋于某些特定值时，函数值趋于无穷大或无穷小。
三、基本变换与性质的应用举例1. 应用举例：在三角函数的学习中，我们经常需要根据给定的变换规律绘制函数图像，或者根据函数图像求解相关问题。
三角函数图像与性质知识点
三角函数图像与性质知识点三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。
三、正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。
它的定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。
四、割函数与余割函数的图像与性质割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。
割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(学生版)
（2）
例2、求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
变式练习1：讨论函数 的性质
变式练习2： 的单调区间怎么求？
例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：
变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围
（1）
（2）
例4、求下列函数的定义域
（1）y＝tan2x
例5、求学下列函数的最小正周期和单调区间
（1） ；
（2）
【课堂小练】
1、函数y＝tan（ax＋ ）（a≠0）的最小正周期为( )
2、以下函数中，不是奇函数的是( )
A y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3、下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4、函数y＝ ＋ 的定义域是( )
A (2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋ ，k∈Z
B (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
C (2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
D (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 或x＝kπ，k∈Z
5、已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值
6、求适合下列条件的 的集合：
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将 的图象，向左平移 个单位，
再以x轴为对称轴上下翻折，即得 的图象
定义域：
值域：R，
当 时 ，当 时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间 上函数单调递减
三角函数及反三角函数的图像及性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1.正弦与余函数的图像与性质ycosx函数ysinx图像定域义RR值域1,11,1最值x2k时,y1，kZ最大2 x2k,y1kZ时，最大x2k时,y1，kZ最小x2k时,y1，kZ最小2单调性在每个[2k,2k]上递增22 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k]上递减3在每个[2k,2k]上递减22kZkZ奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期对称性对称中心(k,0)，对称中心(,0)k，2对称轴:xk,(kZ)对称轴2:x k,(kZ)2.正切与余切函数的图像与性质函数ytanxycotx图像定域义{x|xR且xk,kZ}{x|xR且xk,k Z}2值域RR单调性在每个(k,k)上递增在每个(,)上递减kk22kZkZ奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称性k对称中心(,0)2k 对称中心(,0)2二、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反余弦函数yarccosx函数反正弦函数yarcsinx是ycosx，x0,的反函数是sin,yx，x的反函数22图像定域义1,11,1值域0,,22单调性在[1,1]上递增在[1,1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)22.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数yarctanx反余切函数yarccotx是ycotx，x0,的反函数是tan(,)yx，x的反函数22图像定域义(,,)(,,)值域,0,22单调性在(,,)上递增在(,,)上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2。
余切函数的定义和性质
余切函数的定义和性质余切函数，又称作切割函数，是一种用于描述角度的数学函数。
它的定义域为全体实数，值域为全体实数。
在三角函数和解析几何中，余切函数的作用至关重要。
在这篇文章中，我们将讨论余切函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用此函数。
一、余切函数的定义余切函数定义为正切函数的倒数，即：$$cotx=\frac{1}{tanx}$$其中，$x$ 为弧度制下的角度。
例如，当$x=\frac{\pi}{4}$ 时，$cotx$ 的值为 $1$。
二、余切函数的图像余切函数的图像可以通过正切函数的图像推导得到。
正切函数的周期为 $\pi$，在 $[0,\pi]$ 区间内是单调上升的。
正切函数在$x=0$ 处不存在定义，且在 $x=\frac{\pi}{2}$ 时不存在极限。
因此，在 $[0,\pi]$ 区间内，$cotx$ 的图像将存在一个垂直于 $x$ 轴的渐近线，且图像在 $0$ 和 $\pi$ 处存在一个奇点。
余切函数的图像如下所示：图像中黄色部分是余切函数的图像，蓝色的 $y=-\frac{\pi}{2}$ 和 $y=\frac{\pi}{2}$ 分别是余切函数的渐近线，绿点和紫点分别是余切函数的奇点。
三、余切函数的性质(1) 周期性余切函数的周期为 $\pi$，即 $cot(x+n\pi)=cotx$，其中 $n$ 为任意整数。
(2) 偶函数余切函数是偶函数，即 $cot(-x)=cotx$。
(3) 奇点余切函数在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处存在奇点。
当 $x$ 趋近于$0$ 或 $\pi$ 时，$cotx$ 的绝对值将趋近于无穷大。
(4) 符号变化余切函数的符号随角度的变化而变化。
当 $x$ 在$(0,\frac{\pi}{2})$ 范围内时，$cotx$ 为正数；当 $x$ 在$(\frac{\pi}{2},\pi)$ 范围内时，$cotx$ 为负数；当 $x$ 等于 $0$ 或$\pi$ 时，$cotx$ 不存在符号。
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=， 令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=． （1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭， 与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ； （3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质
R R
-1,1-1,1
x = + 2 k 时, y= 1，k Z x = -+ 2k时, y最小= -1，k Z x = 2k 时, y= 1，k Z x = + 2 k 时, y = - 1，k Z
在每个［-+2k,+2k］上递增在每个［+ 2k, 3+ 2k］上递减k Z 在每个［-+ 2k, 2k］上递增在每个［2k, + 2k］上递减
k Z
是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期
对称中心(k, 0) ，对称轴:x = +k,(k Z)对称中心(+ k, 0) ，对称轴: x = k,(k Z)
{x| x R且x +k,k Z}{x| x R且x+k,k Z} R R
在每个(-+k,+k)上递增
k Z 在每个(k,+ k)上递减
k Z
是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称中心(k2,0)对称中心(k2,0)
二、反三角函数的图像与性质
反正弦函数y= arcsin x
是y=sin x，x-2,2的反函数反余弦函数y= arccos x 是y = cos x，x0,的反函数
-1,1-1,1
0,
对称中心(0,)
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
反正切函数y= arctan x
是y = tan x，x(-,) 的反函数
22反余切函数y= arccot x
是y = cot x，x(0,)的反函数
(-,+,)(-,+,)
(0,)
在(-,+,)上递增在(-,+,)上递减
对称中心(0,)。
三角函数和三角变换的初步了解
三角函数和三角变换的初步了解一、三角函数1.1 定义：三角函数是用来描述直角三角形各个边与角度之间关系的函数。
1.2 基本三角函数：（1）正弦函数（sin）：正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
（2）余弦函数（cos）：余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
（3）正切函数（tan）：正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
（4）余切函数（cot）：余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值，即cotθ = 邻边/对边。
（5）正割函数（sec）：正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值，即secθ = 斜边/邻边。
（6）余割函数（csc）：余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值，即cscθ = 斜边/对边。
1.3 三角函数的性质：（1）周期性：三角函数具有周期性，周期为360°或2π。
（2）奇偶性：正弦函数、余弦函数和正切函数为奇函数，余切函数、余割函数为偶函数。
（3）对称性：正弦函数、余弦函数、正切函数关于y轴对称，余切函数、余割函数关于x轴对称。
二、三角变换2.1 三角函数的基本变换：（1）和差变换：两个角的和（差）的三角函数可以通过两个角的三角函数的和（差）来表示。
（2）倍角公式：一个角的倍数的三角函数可以通过该角的三角函数的加减来表示。
（3）半角公式：一个角的半倍的三角函数可以通过该角的三角函数的平方根来表示。
2.2 三角函数的图像和性质：（1）正弦函数：图像为波浪线，性质有：周期性、奇偶性、对称性等。
（2）余弦函数：图像为水平线，性质有：周期性、奇偶性、对称性等。
（3）正切函数：图像为斜线，性质有：周期性、奇偶性、对称性等。
3.1 三角函数在实际生活中的应用：（1）测量学：利用三角函数测量物体的高度、距离等。
（2）工程学：利用三角函数计算结构的稳定性、角度等。
（3）物理学：利用三角函数描述波动、振动等现象。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质2(教师版)
学科教师辅导讲义年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：课 题 正切函数和余切函数的图像与性质教学目的1、让学生掌握正切函数的图像，性质2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容 【知识梳理】正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质：1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期：π=T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、用图象解不等式3tan ≥x 。
解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ亦可利用单位圆求解变式练习：tan 1x ≤-。
答案：,24k x k k Z ππππ-<≤-∈。
例2、作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x xy 且23,2ππ≠x 的简图 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin cos 1tan tan 1tan 2πππππx x x x x x x x y例3、求下列函数的定义域。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(教师版)
学科教师辅导讲义定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan 即 变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°例2、求函数tan(3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
解析：令33t x π=-，则由,2t k ππ≠+得5()318k x k Z ππ≠+∈，4、函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5、函数y ＝cot x －tan x 的周期为6、函数y ＝xx 22tan 1tan 1+-的周期为 7、作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8、试证cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9、作出函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期参考答案： 1C 2B 3C 4［－122,122+-］ 5 2π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象如下图： 周期为π【课堂总结】本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用【课后练习】1、正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )．2、在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos xC y ＝tan 21x D y ＝－tan x 答案：C3、函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5、已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2,当tan x ＝1时，y min ＝2。
正割余割函数图像
正割余割函数图像正割（secant）和余割（cosecant）函数是三角函数的两种常见形式，与正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余切（cotangent）函数密切相关。
本文将介绍正割和余割函数的定义、性质和图像。
1. 正割函数的定义和性质正割函数是三角函数中的一种，它表示一个角的余弦值的倒数。
正割函数的定义域为实数集R中除开余弦函数的零点。
正割函数的定义可以表示为：sec(x) = 1/cos(x)其中，x表示角度或弧度。
从这个定义可以看出，当cos(x)等于0时，正割函数的值为无穷大。
正割函数的性质如下：- 正割函数是偶函数，即sec(x) = sec(-x)。
- 正割函数的值为正当角度对应的余弦值大于0，为负当余弦值小于0。
- 正割函数的值无限趋近于正无穷大或负无穷大，当角度趋近于余弦值的零点。
2. 余割函数的定义和性质余割函数是三角函数中的一种，它表示一个角的正弦值的倒数。
余割函数的定义域为实数集R中除开正弦函数的零点。
余割函数的定义可以表示为：csc(x) = 1/sin(x)其中，x表示角度或弧度。
与正割函数类似，当sin(x)等于0时，余割函数的值为无穷大。
余割函数的性质如下：- 余割函数是奇函数，即csc(x) = -csc(-x)。
- 余割函数的值为正当角度对应的正弦值大于0，为负当正弦值小于0。
- 余割函数的值无限趋近于正无穷大或负无穷大，当角度趋近于正弦值的零点。
3. 正割函数和余割函数的图像为了更好地理解正割和余割函数的特性，我们可以通过绘制它们的图像来进行观察和分析。
首先，我们来绘制正割函数的图像。
在一个坐标系中，x轴表示角度或弧度，y轴表示正割函数的值。
由于正割函数的定义域是除开余弦函数的零点，我们需要在这些点上打上虚线。
正割函数的图像呈现出周期性的特点，重复出现一条曲线。
它的最小正周期是2π，即在每个2π的整数倍区间上重复。
正割函数的图像在余弦函数的零点处有发散点，也就是正割函数在这些点附近趋近于正无穷大或负无穷大。
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
正切函数图象
正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x xcos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=x xcos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如下图.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx余切函数y=cotx注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)是增函数，但不能说成在整个定义域是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π(k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是连续的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法那么先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保存，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如下图，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,k π］(k ∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期一样，均为ωπ.例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须tanx ＞3, 2cosx+3≥0,x ≠k π+2π(k ∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法那么是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间.解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)是增函数.∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z.即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ，k ∈Z函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期.解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π)即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π)∴tan(2x+3π)的周期是2π.例5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.解：由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比拟研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π)=-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-4)+tan(x+4)=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x∵sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sina∴tan(2π-a)=cotacot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π)即-tan(x-4π)=cot(x+4π)周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ.例2)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从条件的不等式中解出cotx 的围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1.得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z.∴k π+6≤x ≤k π+2,k ∈Z.∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时，y 取最小值4.当x=k π+2π,k ∈Z 时，y 取最大值5.从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )A.(0，4π)B.［0，4π］C.［4π，2π］D.(4π，2π)分析：本考察正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π)的性况.∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.应选C.例2 函数y=x x2tan 12tan 122+-的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC.πD.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.解法2：y=x x2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π∴应选B.例3 函数y=x21log 2++x tan 的定义域是.解：x 应满足2+log 21x ≥0 ①x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得 0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4.∴应填(0，2π)∪[π，4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23πD.α+β＞23π解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π.∴应选C.说明：此题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比方取α=β=32π,可排除A 、B 、D.【同步达纲练习】 一、选择题1.以下不等关系中，正确的选项是( )A.cot3＞cot4＞cot5B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot32.以下不等式中，正确的选项是( )A.tan 74π＞tan 73πB.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值围是(其中k ∈Z) ( )A.(2k π-4π,2k π+4π)B.(k π,k π+4π)C.(k π-4π,k π+4π)D.(k π+4π,k π+43π)4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4π＜θ＜2π，那么sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A.sin θ＜cos θ＜tan θB.cos θ＜sin θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜tan θ＜sin θ6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.πB. 2πC. 4πD.以上均不正确7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+4π)B.y=tan(2x-4π)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.假设tan(2x-3π)≤1,那么x 的取值围是( )A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z)B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z)C.k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z)D.k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9.函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π),k ∈Z B.(k π-2π,k π),k ∈ZC.(k π,k π+π),k ∈ZD.以上均不正确10.以下命题中正确的选项是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3π)在一个周期的图像是( )12.函数f(x)=x x xx 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD. 2π二、填空题1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是.2.满足tan α＜cot α的角α的围是.3.函数y=3tan(21x-4π)的定义域是，值域是.4.函数y=sinx+cotx 的图像关于对称.三、解答题：1.求以下函数的定义域：(1)y=x x sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x-2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，假设｜b ｜＜31，求b 的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.2.函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比拟tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值.4.关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z)3.{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z}4.(k π,0)(k ∈Z)三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z)(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }2. 31≤y ≤33.定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z}值域R ，周期3π，非奇非偶函数在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上是单调减函数..11 / 11 4.b=-31【素质优化训练】1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z}2.相等3.a=-3-1,b=3+1,k=24.(1)k=89 (2)x 2-932x+1=05.略。
专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)
专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数的性质的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为（）A．{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B．{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C．{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D．{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选：A.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈[π4,2π3]，则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为（ ） A ．[0,3√32]B ．[0,√32] C ．[0,√3]D ．[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可. 【解答过程】由题意，f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时，有2x -π6∈[π3,7π6]，当2x -π6=π2，即x =π3时，f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32； 当2x -π6=7π6，即x =2π3时，f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选：A.【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为（ ） A ．[−2,2]B ．[−√3,√3]C ．[−1,1]D ．[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案 【解答过程】解：函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6)，∵x ∈R ，∴cos (x −π6)∈[−1,1]，∴函数的值域为[−1,1]， 故选：C ．【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x ∈[−π3,2π3]，则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为（ ）A ．12B ．1C ．74D ．√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14，根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1]，结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值，加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14，当x∈[−π3,2π3]时，x+π6∈[−π6,5π6]，∴cos(x+π6)∈[−√32,1]，∴当cos(x+π6)=1时，y max=94−14=2；当cos(x+π6)=−12时，y min=−14；∴y max+y min=2−14=74.故选：C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解．【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．故选：D．【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π12=4π．故A，B，C错误.故选：D.【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π2)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f(x)，进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω=2ππ=2，得f(x)=cos(2x+π6)，所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32．故选：A.【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是（）A．f(x)=sin|2x|B．f(x)=cos(2x+π6)C．f(x)=|cosx|D．f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在(0,π2)为增函数，不符题意，故A错；对于B，f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π，x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6)，不是减函数，不符题意，故B错；对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在(0,π2)为减函数，符合题意，故C对；对于D，f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，不符题意，故D错；故选：C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（）A．−πB．−π2C．π4D．2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，故A错误;若φ=kπ+π2=−π2，解得k =−1∈Z ，故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4，解得k =−14∉Z ，故C 错误;若φ=kπ+π2=2π，解得k =32∉Z ，故D 错误;故选:B.【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．y =sinxB ．y =|sinx |C ．y =tanxD ．y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ，∵y =sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =sinx 为奇函数，A 错误；对于B ，∵y =|sinx |定义域为R ，|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |，∴y =|sinx |为偶函数，B 正确；对于C ，∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z )，即定义域关于原点对称，tan (−x )=−tanx ，∴y =tanx 为奇函数，C 错误；对于D ，∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =cos (x −π2)为奇函数，D 错误. 故选：B.【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x )=cos x +cos2x 是（ ） A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最小值为-98 C ．奇函数，且最小值为-98D ．偶函数，且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ，f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x )， 故函数f (x )为偶函数，因为-1≤cos x ≤1，则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98， 所以，f (x )min =-98，f (x )max =2+1-1=2.故选：B.【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3)，再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3)，因为其为奇函数，则−2m −π3=k π,k ∈Z ，解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3)，向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3)，由于是奇函数，因此，得−2m −π3=k π,k ∈Z ，m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0，则当k =−1时，m 的最小值是π3，故选：B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12,0)B ．(7π12,0)C ．(−5π12,0)D ．(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ，求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ，可得x =k π4+π6,k ∈Z ，当k =0时，x =π6，当k =1时，x =π4+π6=5π12，当k =2时，x =8π12=23π， 当k =−1时，x =−π4+π6=−π12， 当k =−2时，x =−4π12=−13π， 当k =−3时，x =−7π12，所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心， 故选：D.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．[43,116)B ．(43,116]C ．[1312,1912)D ．(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π，进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π， 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6， 所以2π≤2ωπ−π6<3π， 解得1312≤ω<1912．故选：C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6)，则结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B ．f (x )的图象关于直线x =−π3对称C ．f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D ．f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心；C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A ：f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0，故(5π3,0)不是对称中心，错误；B ：f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1，故x =−π3不是对称轴，错误；C ：在x ∈(−π,π)，则12x −π6∈(−2π3,π3)，故f(x)=0，可得12x −π6=0，所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点，错误；D ：在x ∈[−π2,0]，则12x −π6∈[−5π12,−π6]，故f(x)=sin (12x −π6)递增，正确. 故选：D.【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象（ ） A ．关于点(−5π3,0)对称B ．关于点(π2,0)对称 C ．关于直线x =−π3对称D ．关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x )为正弦函数，由此条件得出f (x )的解析式，再根据平移得出g (x )的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π，即T =4π，ω=2πT ，ω=12, 因为f (x )为奇函数，根据0<φ<π可知φ=π2，f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心：12x −π6=k π(k ∈Z )，x =2k π+π3(k ∈Z )，故A 正确，B 错误;对称轴：12x −π6=π2+k π(k ∈Z )，x =2k π+4π3(k ∈Z )，故C 、D 错误;故选：A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是（ ） A ．[0,π3]B ．[π12,7π12]C ．[π3,5π6]D ．[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6)，2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选：C.【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ，若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减，则实数m 的取值范围（ ）A ．[π6,π4]B ．[π3,π2]C ．[π6,π4)D ．[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1，由x ∈[m ,π4]，则2x +π6∈[2m +π6,2π3]，由题意，[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2]，则π2≤2m +π6<2π3，解得π6≤m <π4. 故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a =log 168，b =πln0.8，c =sin2.5，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ，又πln0.8，sin2.5分别可看做y =πx ，y =sinx 的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为ln0.8估值困难，故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值，最后求得答案.【解答过程】由题意，a =log 168=log 2423=34=0.75， 设f (x )=lnx +1x −1，则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+54−1>0，所以ln0.8>−14，因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增，所以πln0.8>π−14，又(π−14)−4=π，(34)−4=25681≈3.16，所以(34)−4>(π−14)−4，因为y =x−4在(0,+∞)单调递减，所以34<π−14，所以πln0.8>34，故b >a ， 因为3π4<2.5<5π6，函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减，所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4，所以12<sin2.5<√22，所以sin2.5<34，即c <a ，所以c <a <b ， 故选：A.【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．37 B ．34C ．14D ．1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π，进而解不等式求解即可.【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以7π4≤12T =πω，解得0<ω≤47，因为x ∈(0,7π4)，所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减， 所以，函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π，解得ω≤37，所以ω的取值范围是ω∈(0,37]，即ω的最大值为37. 故选：A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路： (1)熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间； (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6)，从而利用T =2π|ω|求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3]，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为−1.【解答过程】（1）因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π；令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得：[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ， 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得：[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ，单调增区间为[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，单调减区间为[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ；（2）已知x ∈[−π6,π4]，所以2x +π6∈[−π6,2π3]，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值，最大值为2， 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f (x )取得最小值，最小值为-1， 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2，最小值为−1.【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）图象的一条对称轴为直线x =−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．(1)求f (x )；(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域．【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8， 所以T =π2，故ω=2πT=4，又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12， 则4×(−π12)+φ=π2+k π，k ∈Z ，即φ=5π6+k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π6， 故f(x)=4sin (4x −π6)；（2）因为x ∈[−π24,π4]，所以4x −π6∈[−π3,5π6]，所以sin (4x −π6)∈[−√32,1]，所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4]， 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值；(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π]，求sin2x 0的值．【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3)，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据正弦函数的性质即得；（3）由题可得sin (2x 0-2π3)=513，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】（1）因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3)． 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π，∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ，∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π，所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)；（2）由（1）知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)，∵x ∈[π4,π2]，∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3，故f (x )min =1,f (x )max =2； 另解：∵x ∈[π4,π2]， ∴t =2x -π3∈[π6,2π3]，∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增，在[π2,2π3]上单调递减， ∴当t =π2时，(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2， ∴当t =π6时，(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1； （3）∵f (x 0-π6)=1013，∴sin (2x 0-2π3)=513， 由x 0∈[3π4,π]，得2x 0-2π3∈[5π6,4π3]，∴cos (2x 0-2π3)=-1213， ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326． 【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足f (3A4)=-1，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4)，从而可求出最小正周期，再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间，（2）由f (3A4)=-1，求得A =π3，再由圆的性质可得C =2π3，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d ，分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4，0<cd ≤43，从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】（1）[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4)， ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )，得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z )，所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). （2）由于f (3A4)=-1，根据（1）得√2cos (2×3A 4+π4)=-1，∵0<A <π2，∴A =π3，C =2π3.分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4，c 2+d 2-2cd cos2π3=4，∴a 2+b 2=4+ab ，c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∴4+ab ≥2ab ，4-cd ≥2cd ，解得0<ab ≤4，0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd )， 所以S 的取值范围是(0,4√33].。