第五章 代数系统
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第五章 代数系统
Algebra System
5.1 代数运算及性质 5.2 半群 5.3 群 5.4 同态与同构 5.5 陪集与拉格朗日定理 5.6 环和域
本章学习目标
algebra system 代数系统
在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关 系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因 此，学好该部分内容，为学习其他课程打下了基础。
R集上的乘法的单位元是1。
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algebra system 代数系统
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质
【例3】N集上的加法的零元素无。 R集上的乘法的零元素是0。
【例4】 A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩， ∪的零元素为A，∩的零元素为。 ∪的单位元为，∩的零元素为A 。 5、等幂元 若a ∈A，a⊙a＝a ，则称a为等幂元。 若a∈ A，a⊙a＝a ，则称运算⊙是等幂的。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.1 二元运算
判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算 关于集合是封闭的。
推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的 一个n元运算。
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5.1 代数运算及其性质
通过本章学习，同学们应该掌握以下内容： 二元运算的相关概念和性质、半群和独异点的概念及 其判定、群和子群的概念及其性质、阿贝尔群和循环群的 概念和性质、置换群和陪集的概念相关定理、同态与同构 的概念及其判定、环和域相关概念及性质。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，
1、结合律 a,b,c∈ A，(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c) 2、交换律 a,b∈ A，a⊙b＝b⊙a 3、单位元（幺元）
若el∈A，对a∈A，有el⊙a＝a，则称el为左单位元。 若er∈A，对a∈A，有a⊙er＝a，则称er为右单位元。
任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。
证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c
而 a★(b★c)=a★c=c
所以（a★b）★c=a★(b★c)
【例8】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意
的a,b∈Q,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。
解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.3 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，如果 a∈A是左右可逆的，则al=ar 。 这时，令a-1=al ＝ar,则a-1为a的逆元素，也称a为可逆的。 证明：ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al 【例5】 N集上的加法的单位元是0，只有0有逆元素，0-1 =0。
R集上的乘法的单位元是1，0无逆元。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.4 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若
a∈A有逆元素，则必唯一。
证明：设a1，a2都是a的逆元素 则a2=e⊙a2=(al⊙a)⊙a2=a1⊙(a⊙a2)=al⊙e=al 【例6】设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？对加
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.1 若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er。 证明：er=el⊙er＝el 这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。 【例2】N集上的加法的单位元是0。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 6、逆元素
设e为运算的单位元，e∈A，
若对a∈ A，al∈ A，使al⊙a ＝e， (ar∈ A，使a⊙ar ＝e，)
则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。 (则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。)
法运算呢？
解:对于任意的2r,2s∈A，r,s∈N,因为2r·2s=2r+s∈A所
以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因
为至少有2+22=6A。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于
5.1.1 二元运算 二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、
减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。 定义5-1.1 设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为 集合A上的一个二元运算。 【例1】f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y 是N集上的二元运算
f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y 是R集上的二元运算 f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y 不是N集上的二元运算 f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y 不是R集上的二元运算
所以运算Δ是可交换的。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 【例9】设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运
算*如表所示
*
浅色 深色
浅色
浅色 深色
深色
深色 深色
试指出零元和幺元。 解：深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算* 的幺元。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质
【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2
试问：集合I和运算★是否构成代数系统? 运算★在I上可交
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5.1 代数运算及性质 5.2 半群 5.3 群 5.4 同态与同构 5.5 陪集与拉格朗日定理 5.6 环和域
本章学习目标
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在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关 系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因 此，学好该部分内容，为学习其他课程打下了基础。
R集上的乘法的单位元是1。
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5.1.2 二元运算的性质
【例3】N集上的加法的零元素无。 R集上的乘法的零元素是0。
【例4】 A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩， ∪的零元素为A，∩的零元素为。 ∪的单位元为，∩的零元素为A 。 5、等幂元 若a ∈A，a⊙a＝a ，则称a为等幂元。 若a∈ A，a⊙a＝a ，则称运算⊙是等幂的。
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5.1.1 二元运算
判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算 关于集合是封闭的。
推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的 一个n元运算。
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通过本章学习，同学们应该掌握以下内容： 二元运算的相关概念和性质、半群和独异点的概念及 其判定、群和子群的概念及其性质、阿贝尔群和循环群的 概念和性质、置换群和陪集的概念相关定理、同态与同构 的概念及其判定、环和域相关概念及性质。
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5.1.2 二元运算的性质 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，
1、结合律 a,b,c∈ A，(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c) 2、交换律 a,b∈ A，a⊙b＝b⊙a 3、单位元（幺元）
若el∈A，对a∈A，有el⊙a＝a，则称el为左单位元。 若er∈A，对a∈A，有a⊙er＝a，则称er为右单位元。
任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。
证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c
而 a★(b★c)=a★c=c
所以（a★b）★c=a★(b★c)
【例8】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意
的a,b∈Q,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。
解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.3 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，如果 a∈A是左右可逆的，则al=ar 。 这时，令a-1=al ＝ar,则a-1为a的逆元素，也称a为可逆的。 证明：ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al 【例5】 N集上的加法的单位元是0，只有0有逆元素，0-1 =0。
R集上的乘法的单位元是1，0无逆元。
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.4 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若
a∈A有逆元素，则必唯一。
证明：设a1，a2都是a的逆元素 则a2=e⊙a2=(al⊙a)⊙a2=a1⊙(a⊙a2)=al⊙e=al 【例6】设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？对加
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.1 若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er。 证明：er=el⊙er＝el 这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。 【例2】N集上的加法的单位元是0。
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5.1.2 二元运算的性质 6、逆元素
设e为运算的单位元，e∈A，
若对a∈ A，al∈ A，使al⊙a ＝e， (ar∈ A，使a⊙ar ＝e，)
则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。 (则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。)
法运算呢？
解:对于任意的2r,2s∈A，r,s∈N,因为2r·2s=2r+s∈A所
以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因
为至少有2+22=6A。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于
5.1.1 二元运算 二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、
减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。 定义5-1.1 设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为 集合A上的一个二元运算。 【例1】f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y 是N集上的二元运算
f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y 是R集上的二元运算 f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y 不是N集上的二元运算 f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y 不是R集上的二元运算
所以运算Δ是可交换的。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质 【例9】设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运
算*如表所示
*
浅色 深色
浅色
浅色 深色
深色
深色 深色
试指出零元和幺元。 解：深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算* 的幺元。
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5.1 代数运算及其性质
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5.1.2 二元运算的性质
【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2
试问：集合I和运算★是否构成代数系统? 运算★在I上可交