第五章 代数系统
合集下载
第5章+代数系统(x)
g (x1) =y1, g (x2)=y2, 且 g(x1∘x2) = g (x1) *g (x2)= y1 * y2.
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
第6页
第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
第19页
第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
第4页
§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
第6页
第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
第19页
第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
第4页
§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
离散数学 第五章代数系统
“＋”是普通加法，0∈A，并且对任意的自然 数x∈A，有x＋0＝0＋x＝x
2020/4/1
国际学院
90--16
单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
2020/4/1
国际学院
90--10
3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
2020/4/1
国际学院
90--22
零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
2020/4/1
国际学院
90--9
5.2 代数运算的性质
2．交换律
2020/4/1
国际学院
90--16
单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
2020/4/1
国际学院
90--10
3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
2020/4/1
国际学院
90--22
零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
2020/4/1
国际学院
90--9
5.2 代数运算的性质
2．交换律
第5章 代数系统hhs
*
一元
二元五
一元 桔子水
可口可乐
不封闭
二元五 可口可乐
冰淇淋
3/38
5.1 代数系统的引入
一个非空集合 A 连同若干个定义在该集合上的运算 f1, f2, …, fk 所组成的系统称为一个代数系统, 记作< A, f1, f2, …, fk >. 例
{命题},,
P( S ),,, ~ ( S为有限集）
13/38
5.2 运算及其性质
逆元的定义 设代数系统 <A, >, 是定义在 A 上的二元运算, 且 e 是 A 中关于运算 的幺元。如果对于 a A , b A, 使ba=e， 则称 b 为 a 左逆元； ab=e， 右逆元； 如果 b 既是 a 的左逆元又是 a 的右逆元，则称 b 是 a 的逆元， 记为 a-1 = b . 显然 a 和 b 互为逆元.
例
、为左幺元
α为幺元
10/38
5.2 运算及其性质
定理：设*是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关 于运算 * 的左幺元 el 和右幺元 er ，则 el = er = e，且 A 中的幺元是唯一的。
12/38
5.2 运算及其性质
定理：设 是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关于运 算 的左零元 l 和右零元 r ，则 l = r = ，且 A 中的零元 是唯一的。 证明： l = l r = r = 设另有一零元 1, 则 1=1= 定理：设代数系统 <A, >, 且 | A | > 1。如果该代数系统中 存在幺元 e 和零元 ，则 e 。 证明：用反证法。 设 e = , 则对于任意的 x A , 必有 x=ex=x==e 于是 A 中只有一个元素，与假设矛盾。
第五章 代数系统概述
显然代数系统 V 的子代数是与 V 同类型的代 数系统。因为子代数中的运算及特指元素都
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
离散数学—第五章代数系统的一般性质
① 自然数集合上加法的幺元是0,乘法的幺元是1; ② 矩阵的加法幺元是全0矩阵,矩阵的乘法幺元是主对角 线为1,其它为0的矩阵. ③ P(S)上,U运算的幺元是,的幺元是S.
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
第5章 代数系统的基本概念(1)
→、 。
第5章
代数系统的基本概念
（4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算 为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法"+"运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元；
对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；
对于全集E的子集的交“∩”运算， 是零元;
在命题集合中，对于吸取"∨"运算，重言式是零元；
在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称* 运算对 运算满足左分配律； 若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))， 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立，则称*运算对 运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对 加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。 乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律（对
“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算
第五章—代数系统的一般性质
。
例5.6 设R为实数集, 定义 R 上的二元运算, 如下: x y = x1+y1-x1 y1 则 满足交换律和结合律。 证: ∵ x y = x1+y1-x1 y1 = y1 + x1- y1 x1= y x ∴ 满足交换律 ∵( x y) z = (x1+y1-x1 y1 ) z = (x1+y1-x1 y1 ) + z1- (x1+y1-x1 y1 ) z1 = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z1 x (y z) = x (y1+z1-y1 z1 ) = x1 + (y1+z1-y1 z1 ) - x1 (y1+z1-y1 z1 ) = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z
表 2
=
表 3
解:
如表 1 所定义， 是 的幺元
（单位元）
Hale Waihona Puke 如表 2 所定义， 和 是 的右幺元
如表 3 所定义， 和
是 的左幺元
定理5.1 设 是S上的二元运算，el、er分别 为 运算的左、右幺元,(单位元)则有 el = er = e 且e为S上关于运算 的唯一幺元。 ∵ el是 证明： 左单位 el er = e r ∵ er是右单 元 位元 el er = e l ∴ el = er 把el = er 记作e，则e是S中的幺元。假设 e`也是S中的幺元，则 ∵ e是 e`=e e`=e 单位元 ∴ e是S中关于 运算的唯一的幺元。
离散数学第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
6、逆元 、 是集合A上具有单位元 的二元运算， 设 * 是集合 上具有单位元 e 的二元运算，对于元 ， 素 a ∈ A，若 ∃一个元素 a l -1∈A，使得 a l -1* a = e ， ， 则称元素a 是左可逆的， 则称元素 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的 左逆元； 左逆元；若 ∃一个元素 a r -1∈A，使得 a * a r -1 = e ， ， 则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称 r -1为a的 是右可逆的，并称a 则称元素 的 右逆元； 右逆元；若 ∃一个元素 a -1∈A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称 -1为 a 是可逆的，并称a 的逆元。 的逆元。 显然， 的逆元， 也为a 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为 -1的逆元
第五章 代数系统基础
例7：代数系统 (ρ( E), ∼) 与 (ρ( E),∪) 的类型不相同。 ： ∪ 的类型不相同。
第五章 代数系统基础
3、子系统（或子代数） 、子系统（或子代数） 定义： 定义：设 ( S ,
1
,
2
,⋯ ,
i
n
) 是代数系统， 是代数系统，
S ′ 是 S 的在每一运算
下 ( i = 1, 2, …，n ) ，
上述运算为 °( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法 ，
第五章 代数系统基础
A={0, 1}, 二元运算 * 的定义见下表。 的定义见下表。 * 0 1 0 0 0 1 0 1
上述运算*是集合 ， 上的逻辑合取运算 上述运算 是集合{0，1}上的逻辑合取运算 是集合
第5章 代数系统
5.1代数系统 (Algebraic Systems)
我们把这种数集中的代数运算,抽象概括推广,可 得到一般集合上代数运算的概念。集合中的代数运算 实质上是集合中的一类函数。 定义5.1.1 设A,B是集合，函数f: An→B称为 集合A上的n元运算（ n-ary operation），整数n 称为运算的阶（order）。若B=A或B A,则称该
f(x)=-x是将x映为它的相反数。-x是由x唯一确定的，
它是对一个数施行求相反数运算的结果。
f ：Z→Z是函数。
5.1代数系统 (Algebraic Systems)
（2）在A={0,1}集合上，p∈A, f(p)=﹁p, ﹁表示否定。则 f(p)=﹁p是将p映为它的否定。 ﹁p是由p唯一确定的，它是对A中的一个元素 施行否定运算的结果。f : A→A是函数。
表 5.2.2
。
a a a
b a b
a b
从“。”运算表可知， “。”是可交换的。因为 (a。a)。b=a。b=a (a。b)。b=a。b=a 所以“。”是可结合的。 a。(a。b)=a。a=a a。(b。b)=a。b=a
5.2.1 二元运算的性质 (Properties of Operations)
若xy z
(x, y, z∈S→(y。z)*x=(y*x)。(z*x))，
则称“*”运算对“。”运算满足右分配律。
若二者均成立，则称“*”运算对“。”运算满足分
配律 (distributivity) 。
5.2.1 二元运算的性质 (Properties of Operations)
系统的概念。
作业: Pg134：1，2，5，6
5.2 二元运算(Binary Operation)
第5章 代数系统hhs
6/38
5.1 代数系统的引入
例3：函数的复合运算
Y X { f f : X Y} （所有从X 到Y的函数的集合)
X m, Y n, Y
X
n m个不同的函数
X X { f f : X X}
集合X {a, பைடு நூலகம்},
f1
f2
f3
f4 f 4 ( a) b
f1 f2
f1 f1 f2
5.2 运算及其性质
幺元的定义
设 是定义在集合 A 上的二元运算, 若有el A , 对于任意的 x A ,
er A e A 都有el x = x， x er = x ex =xe=x 则称 el 为 A 中关于运算 的左幺元； 右幺元； 幺元。
10/38
5.2 运算及其性质
由集合上定义若干个运算而组成的系统,通称代数系统.
代数系统是近世代数研究的中心问题，是数学中最重要、最 基础的分支之一，其理论不仅是许多数学研究的基础，而且在通 信理论、系统工程等领域都有着广泛的应用。特别在计算机科学 领域，是诸如程序设计、数据结构、形式语言、编码理论、逻辑 电路设计等领域必不可少的理论基础。
N , , , I , , , Q, , , R, , , C, ,
5/38
5.1 代数系统的引入
例1:时钟代数
给定代数系统 V = < Im , >，其中Im= {1，2，…, m} 为一元运算
i 1 i m (i) 1 i m
15/38
5.2 运算及其性质
定理：设代数系统 <A, >, 这里 是定义在 A 上的一个二元 运算，A 中存在幺元 e, 且每一个元素都有左逆元。如果 是可结合的,则该代数系统中任何一个元素的左逆元必定是 该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
5.1 代数系统的引入
例3：函数的复合运算
Y X { f f : X Y} （所有从X 到Y的函数的集合)
X m, Y n, Y
X
n m个不同的函数
X X { f f : X X}
集合X {a, பைடு நூலகம்},
f1
f2
f3
f4 f 4 ( a) b
f1 f2
f1 f1 f2
5.2 运算及其性质
幺元的定义
设 是定义在集合 A 上的二元运算, 若有el A , 对于任意的 x A ,
er A e A 都有el x = x， x er = x ex =xe=x 则称 el 为 A 中关于运算 的左幺元； 右幺元； 幺元。
10/38
5.2 运算及其性质
由集合上定义若干个运算而组成的系统,通称代数系统.
代数系统是近世代数研究的中心问题，是数学中最重要、最 基础的分支之一，其理论不仅是许多数学研究的基础，而且在通 信理论、系统工程等领域都有着广泛的应用。特别在计算机科学 领域，是诸如程序设计、数据结构、形式语言、编码理论、逻辑 电路设计等领域必不可少的理论基础。
N , , , I , , , Q, , , R, , , C, ,
5/38
5.1 代数系统的引入
例1:时钟代数
给定代数系统 V = < Im , >，其中Im= {1，2，…, m} 为一元运算
i 1 i m (i) 1 i m
15/38
5.2 运算及其性质
定理：设代数系统 <A, >, 这里 是定义在 A 上的一个二元 运算，A 中存在幺元 e, 且每一个元素都有左逆元。如果 是可结合的,则该代数系统中任何一个元素的左逆元必定是 该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
第五章 代数系统
至少有2+22ห้องสมุดไป่ตู้6A。
4/7/2014 10:07 PM chapter5 11
5.1 代数运算及其性质
5.1.2 二元运算的性质
algebra system 代数系统
【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于 任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。 证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c
4/7/2014 10:07 PM chapter5 14
5.1 代数运算及其性质
5.1.2 二元运算的性质
algebra system 代数系统
【例11】设集合S={α ，β ，γ ，δ }，在S上定义的两个 二元运算*和★如表示。试指出左幺元或右幺元。
* α β γ δ αβγ δ Δα αβ αβ αβ β γ γ γ γ δ γ δ
5.1 代数运算及其性质
5.1.2 二元运算的性质
algebra system 代数系统
【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2 试问：集合I和运算★是否构成代数系统? 运算★在I上可交 换吗？可结合吗？有无单位元？是否所有的元素都有逆元？ 若有，逆元是什么？ 解：a,b,c∈I，a★b＝a＋b－2∈I，即运算★在I上封闭， 若e是I上关于★的单位元，则a∈I，a★e=e★a=a， 即<I,★>是代数系统。 即a+e-2=a，得e=2，而2∈I，∴★在I中有单位元2。 ∵a★b＝a＋b－2＝b＋a－2＝b★a，∴★在I上可交换。 a∈I，有4-a∈I，而 ∵(a★b)★c＝(a+b-2)★c＝(a+b-2)+c-2=a+b+c-4 a★(4-a)=a+(4-a)-2＝(4-a)+a-2=(4-a)★a=2 a★(b★c)＝a★(b+c-2)＝a+(b+c-2)-2＝a+b+c-4 即I中任一元素a都有逆元4-a。 ∴(a★b)★c＝a★(b★c)，即运算★在I上可结合。
离散数学第5章 代数系统
代数系统的性质
十.吸收律
设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y∈X， 有
x(xy)=x
则与 满足吸收律。
和
x(xy)=x
例如
Hale Waihona Puke 集合的∪与∩满足吸收律。软件学院
a)
b)
c c a b
c)
c c c c
d)
c c c c
a a a b b c c
b b c a
a a a b b c c
软件学院
代数系统基础
就专业知识而言，计算机学科中要培养学生三个能力： 理论抽象设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型，需要了解有哪些代数结构(系统)。
另外，抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。
本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数 结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。
软件学院
同态与同构
设<X,>,<Y, >是两个代数系统，和 都是二元运算，
如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2∈X，有
f(x1x2)=f(x1)f(x2) --------此式叫同态关系式 则称 f是从<X,>到<Y, >的同态映射，简称这两个代数
系统同态。
并称<f(X), >为<X,>的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态。 如果f是单射的，称此同态f是单同态。 如果f是双射的，称<X,>与<Y,>同构，记作(X,)≌(Y,)。 f是<X,>到 <X,>的同态(同构),称之为自同态(自构)。
第五章代数系统
当群阶为1时，它的唯一元素视为幺元;
|G|>1，且群有零元，则任意x∈G,x * x不存在逆元。 2、群中方程有唯一解 x*a=b 3、群满足削去率 4、群中除e元外，无其它等幂元素 = * x= ≠e
反证：设存在a∈A且a≠e，a*a=a，则
a-1*a*a=a-1*a a=e
5、有限群运算表中每一行或每一列都是G的元素的一个置换 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 设集合S={a,b,c,d}，则下例都是S置换。
三、 独异点性质
1、设<A,*>是一个独异点，则运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同 的。
2、设<A,*>是一个独异点，任意a,b ∈A，且a,b都有逆元，则：
(a-1)-1=a (a * b)-1=b-1 * a-1 练习： 设<R，*>是代数系统，其中R是实数集合，任意a,b ∈R都有：a*b=a+b+a· b 证明： <R，*>是独异点，判断每个元素是否有逆元？ 设<S,*>是一个半群， a∈S，在S上定义· 运算如下：任意x,y ∈S,x · y=x*a*y, 证明： <S, · >也是一个半群。 设A是一个非空集合，定义· 运算：任意a,b ∈ A，a · b=a，证明<A, · >是半群。
例3：<P(A),∩ > ，<P(A),∪> , 〈N,+〉
二、 有限半群性质 设代数系统<A,*>是半群，A为有限集合，则必然存在a∈A，a*a=a. 证明：因为A是有限半群，根据半群封闭性： 则任意b∈A，必有b1, b2, b3, …, bi,… bj ∈A 又根据半群是有限的，必然存在i和j,使bi= bj ，(j>i,j=i+p) 即有bi= bi * bp 则bi+1= bi +1 * bp bi+2= bi +2 * bp
第五章 代数系统简介[88页]
![第五章 代数系统简介[88页]](https://img.taocdn.com/s3/m/76abd809a26925c52cc5bf8d.png)
由集合和集合上的运算所构成的系统称为代数 系统.本章将给出代数系统的一般定义与实例， 并讨论一些典型的代数系统.
5.1 二元运算及性质
内容：二元运算，交换律，结合律，分 配 律，吸收律，幂等律，消去律等。 重点：（1）掌握二元运算的概念；
（2）掌握二元运算的重要性质； （3）掌握零元，幺元，逆元的定 义。
则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足，则 称运算“ ”对运算“”满足分配律.
4、若 a a c a ，则 称运算“ ”对运算“ ”满足
左吸收律；若 a b a a ，则 称运算“ ”对运算
“ ”满足右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算 “ ”对运算“ ”满足吸收律.
f ( a1, a2 ,, an ) b，则可记为
a1, a2 ,, an b ．
例如， (a) b
一元运算，
a1,a2 b
二元运算，
a1, a2 , a3 b 三元运算.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是
a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元.
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元.
例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数，“ ” 是普通乘法，问1是它的幺元吗？
解：代数系统 R, ，其中 R 为实数，“ ”是普 通乘法，并且对任意的实数 m R ，有 m1 1 m m，
1R
即任意实数 m 与1相乘为 m .显然1是代数系统 R, 的幺元.
就称运算 满足消去律
例如，在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的
整数 x, y, z 由 x y x z或y x z x 可得 y z .
消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S)
5.1 二元运算及性质
内容：二元运算，交换律，结合律，分 配 律，吸收律，幂等律，消去律等。 重点：（1）掌握二元运算的概念；
（2）掌握二元运算的重要性质； （3）掌握零元，幺元，逆元的定 义。
则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足，则 称运算“ ”对运算“”满足分配律.
4、若 a a c a ，则 称运算“ ”对运算“ ”满足
左吸收律；若 a b a a ，则 称运算“ ”对运算
“ ”满足右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算 “ ”对运算“ ”满足吸收律.
f ( a1, a2 ,, an ) b，则可记为
a1, a2 ,, an b ．
例如， (a) b
一元运算，
a1,a2 b
二元运算，
a1, a2 , a3 b 三元运算.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是
a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元.
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元.
例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数，“ ” 是普通乘法，问1是它的幺元吗？
解：代数系统 R, ，其中 R 为实数，“ ”是普 通乘法，并且对任意的实数 m R ，有 m1 1 m m，
1R
即任意实数 m 与1相乘为 m .显然1是代数系统 R, 的幺元.
就称运算 满足消去律
例如，在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的
整数 x, y, z 由 x y x z或y x z x 可得 y z .
消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S)
第5章 代数系统的基本概念
第5章 代数系统的基本概念 章
证明 因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el， 令其为e，有x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′，那么 e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元。
第5章 代数系统的基本概念 章
【例5.1.6】 在实数集R中，对加法"+"运算，0是幺元； 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并"∪"运算，是幺元； ∅ 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 在AA={f|f:A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。
第5章 代数系统的基本概念 章
证明 因为θr和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。令其为θ，有 x*θ=θ*x=θ 设另有一零元为右零元θ′，那么 θ=θ*θ′=θ′ 故θ对S中的*运算是唯一的零元。 证毕 同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
第5章 代数系统的基本概念 章
定义5.1.4 设*是集合S中的一种二元运算，如果存 在θr∈S(θl∈S)且对任意元素 x∈S均有x*θr=θr(θl(x=θl)， 则称元素θr(θl)是S中关于运算*的右零元(左零元)。 定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr与θl分别是对于 *的右零元和左零元，则 θr=θl=θ,使对任意元素x∈S 有x*θ=θ*x=θ，称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且 x*θ=θ*x=θ θ S * (zero) 唯一。
离散数学第5章代数系统(学生用)
运算的分类
一元运算
只对一个元素进行操作的 运算。
二元运算
对两个元素进行操作的运 算。
n元运算
对n个元素进行操作的运算。
运算的实例
加法
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足 幂等性和消去性。
指数运算
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足 幂等性和消去性。
乘法
是二元运算，满足结合性和交换性，满足幂 等性和消去性。
离散数学第5章代数系统( 学生用)
• 代数系统的基本概念 • 代数系统的运算 • 代数系统的同态与同构 • 代数系统的子代数与商代数 • 代数系统的应用
01
代数系统的基本概念
定义与性质
定义
代数系统是一个有序的三元组 (A,F,D)，其中A是一个非空集合， F是A上的一组二元运算，D是A上 的一组一元运算。
同构实例
例如，矩阵代数中的矩阵集合M与向量空间中的向量集合V之间存在一个一一对应的映射f，使得M中的每一个元 素x经过f的映射后，都对应于V中的某个元素y，并且M中的加法、数乘和乘法运算也对应于V中的加法、数乘和 外积运算，因此M与V同构。
04
代数系统的子代数与商代数
子代数与商代数的定义
子代数
如果代数系统的一个非空子集在给定的运算下仍然是一个代 数系统，则称这个子集为原代数系统的子代数。
同构性质
同构关系具有自反性、对称性和传递性，即如果A同构于B，那么B一定同构于A；如 果A同构于B，B同构于C，那么A一定同构于C。
同态与同构的实例
同态实例
例如，整数集合Z与有理数集合Q之间存在一个一一对应的映射f，使得Z中的每一个元素x经过f的映射后，都对应 于Q中的某个元素y，并且Z中的加法运算也对应于Q中的加法运算，因此Z与Q同态。
第5章 代数系统的一般性质
1 2 k
是有限集合时， 为有限代数系统。 当S是有限集合时，称V为有限代数系统。 是有限集合时 为有限代数系统 是无限集合时， 为无限代数系统。 当S是无限集合时，称V为无限代数系统。 是无限集合时 为无限代数系统
3. 注意事项
集合S不能是空的 集合 不能是空的 运算的集合不能是空的 必须至少有一个S 的集合不能是空的， 运算 的集合不能是空的 ， 必须至少有一个 上的运算。 上的运算。 代数系统中各个运算的元数可能是不一样的， 元数可能是不一样的 代数系统中各个运算的 元数可能是不一样的， 即每个运算都有自己的运算元数。 即每个运算都有自己的运算元数。
二元运算的定义及表示 二元运算的性质 几个特殊的元素
复习
二元运算的定义 二元运算的性质 几个特殊的元素
§5.2
代数系统及其 子代数和积代数
代数的本义是用符号代替数字 进行运算 代数的本义是 用符号代替数字进行运算 。 用符号代替数字 进行运算。 虽然这个概念现在已大大拓广了， 虽然这个概念现在已大大拓广了 ， 但代 数仍然是和运算紧密联系在一起的。 数仍然是和运算紧密联系在一起的 。 现 在代数的含义是对各种运算进行研究， 在代数的含义是对各种运算进行研究 ， 从众多具体的运算中抽出其公共的最基 从众多具体的运算中抽出其 公共的最基 本的性质， 本的性质 ， 然后根据这些性质的不同而 构成各种不同的代数系统， 构成各种不同的代数系统 ， 使之符合人 们使用之需要。 们使用之需要。
一、代数系统
1. 定义 非空集合S和 上的 上的k个运算 非空集合 和S上的 个运算 f ,f ,…,f 组成的系统 (其中 为n 元运算 i=1,2,…,k) 其中f 元运算, 其中 代数 <S, f ,f ,…,f > 特异元素（代数常数） 特异元素（代数常数）
是有限集合时， 为有限代数系统。 当S是有限集合时，称V为有限代数系统。 是有限集合时 为有限代数系统 是无限集合时， 为无限代数系统。 当S是无限集合时，称V为无限代数系统。 是无限集合时 为无限代数系统
3. 注意事项
集合S不能是空的 集合 不能是空的 运算的集合不能是空的 必须至少有一个S 的集合不能是空的， 运算 的集合不能是空的 ， 必须至少有一个 上的运算。 上的运算。 代数系统中各个运算的元数可能是不一样的， 元数可能是不一样的 代数系统中各个运算的 元数可能是不一样的， 即每个运算都有自己的运算元数。 即每个运算都有自己的运算元数。
二元运算的定义及表示 二元运算的性质 几个特殊的元素
复习
二元运算的定义 二元运算的性质 几个特殊的元素
§5.2
代数系统及其 子代数和积代数
代数的本义是用符号代替数字 进行运算 代数的本义是 用符号代替数字进行运算 。 用符号代替数字 进行运算。 虽然这个概念现在已大大拓广了， 虽然这个概念现在已大大拓广了 ， 但代 数仍然是和运算紧密联系在一起的。 数仍然是和运算紧密联系在一起的 。 现 在代数的含义是对各种运算进行研究， 在代数的含义是对各种运算进行研究 ， 从众多具体的运算中抽出其公共的最基 从众多具体的运算中抽出其 公共的最基 本的性质， 本的性质 ， 然后根据这些性质的不同而 构成各种不同的代数系统， 构成各种不同的代数系统 ， 使之符合人 们使用之需要。 们使用之需要。
一、代数系统
1. 定义 非空集合S和 上的 上的k个运算 非空集合 和S上的 个运算 f ,f ,…,f 组成的系统 (其中 为n 元运算 i=1,2,…,k) 其中f 元运算, 其中 代数 <S, f ,f ,…,f > 特异元素（代数常数） 特异元素（代数常数）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。
证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c
而 a★(b★c)=a★c=c
所以（a★b）★c=a★(b★c)
【例8】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意
的a,b∈Q,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。
解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
3/7/2021
chapter5
5
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.1 若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er。 证明：er=el⊙er＝el 这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。 【例2】N集上的加法的单位元是0。
第五章 代数系统
Algebra System
5.1 代数运算及性质 5.2 半群 5.3 群 5.4 同态与同构 5.5 陪集与拉格朗日定理 5.6 环和域
本章学习目标
algebra system 代数系统
在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关 系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因 此，学好该部分内容，为学习其他课程打下了基础。
所以运算Δ是可交换的。
3/7/2021
chapter5
12
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 【例9】设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运
算*如表所示
*
浅色 深色
浅色浅色 深色深色源自深色 深色试指出零元和幺元。 解：深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算* 的幺元。
3/7/2021
chapter5
8
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 6、逆元素
设e为运算的单位元，e∈A，
若对a∈ A，al∈ A，使al⊙a ＝e， (ar∈ A，使a⊙ar ＝e，)
则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。 (则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。)
R集上的乘法的单位元是1。
3/7/2021
chapter5
6
algebra system 代数系统
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质
【例3】N集上的加法的零元素无。 R集上的乘法的零元素是0。
【例4】 A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩， ∪的零元素为A，∩的零元素为。 ∪的单位元为，∩的零元素为A 。 5、等幂元 若a ∈A，a⊙a＝a ，则称a为等幂元。 若a∈ A，a⊙a＝a ，则称运算⊙是等幂的。
法运算呢？
解:对于任意的2r,2s∈A，r,s∈N,因为2r·2s=2r+s∈A所
以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因
为至少有2+22=6A。
3/7/2021
chapter5
11
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于
5.1.1 二元运算 二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、
减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。 定义5-1.1 设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为 集合A上的一个二元运算。 【例1】f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y 是N集上的二元运算
f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y 是R集上的二元运算 f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y 不是N集上的二元运算 f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y 不是R集上的二元运算
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，
1、结合律 a,b,c∈ A，(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c) 2、交换律 a,b∈ A，a⊙b＝b⊙a 3、单位元（幺元）
若el∈A，对a∈A，有el⊙a＝a，则称el为左单位元。 若er∈A，对a∈A，有a⊙er＝a，则称er为右单位元。
3/7/2021
chapter5
9
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.3 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，如果 a∈A是左右可逆的，则al=ar 。 这时，令a-1=al ＝ar,则a-1为a的逆元素，也称a为可逆的。 证明：ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al 【例5】 N集上的加法的单位元是0，只有0有逆元素，0-1 =0。
3/7/2021
chapter5
13
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质
【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2
试问：集合I和运算★是否构成代数系统? 运算★在I上可交
R集上的乘法的单位元是1，0无逆元。
3/7/2021
chapter5
10
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.4 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若
a∈A有逆元素，则必唯一。
证明：设a1，a2都是a的逆元素 则a2=e⊙a2=(al⊙a)⊙a2=a1⊙(a⊙a2)=al⊙e=al 【例6】设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？对加
3/7/2021
chapter5
3
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.1 二元运算
判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算 关于集合是封闭的。
推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的 一个n元运算。
3/7/2021
chapter5
4
5.1 代数运算及其性质
通过本章学习，同学们应该掌握以下内容： 二元运算的相关概念和性质、半群和独异点的概念及 其判定、群和子群的概念及其性质、阿贝尔群和循环群的 概念和性质、置换群和陪集的概念相关定理、同态与同构 的概念及其判定、环和域相关概念及性质。
3/7/2021
chapter5
2
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统