第3章 图像变换2

复习：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8.共轭对称性用途
利用这一性质，如果在数据存储和传输时，仅
存储和传输频谱的一部分，进行逆变换恢复原图像
时，按对称性补充另一部分数据，即可达到数据压
缩的目的。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
h (t )
1
x ( )
（2）
-2+t

1 2
0
t 1

h (t ) 1
x ( )
（3）
-2+t 2
1
0 1 t
3 1 t 时 2 1 1 3 3 y (t ) 1 (t )d t 2 4 16 2
• 卷积的复习
（4）
h (t ) 1 x ( )
第3章 图像变换
3.1 傅里叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 小波变换及其应用
3.1 傅里叶变换
3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1.4 傅里叶变换在图像处理中的应用
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
1.可分离性
图像尺寸为N×N的函数f (x,y)的DFT可以为如下形式：
• 卷积的复习
（3）卷积的物理意义（理论版）
①一个单位冲击函数
(t ) 0
t 0 t0
作用于线性电路，使电路输出 y（t）= h（t） 则，h（t）为电路的冲击响应函数。
δ ( t)
h(t)
t
y（t）
0
0
t
（3）卷积的物理意义（理论版） ②若两个单位冲击函数陆续作用于该线性电路？
M N
)
] F ( 0 , 0 )
第一个公式表明将F(μ,ν)与一个指数项相乘就相当 于把其变换后的空域中心移动到新的位置。
第二个公式表明将f (x, y)与一个指数项相乘就相当 于把其变换后的频域中心移动到新的位置。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4.平移性质
上式说明：在原点的傅里叶变换即等于图像的 平均灰度值。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
均值性实例
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
3.周期性
图像尺寸为M×N的函数 f (x, y)的DFT具有周期性：
F ( , ) F ( M , ) F ( , N ) F ( M , N )
x(t) 1
h(t) 1
解：
1 2
0
1
t
0
h ( )
2
t
反折：
-2 0
1
时移

-2+t t
h (t )
1 0
• 卷积的复习
h (t )
1
x ( )
（1）
-2+t t

1 2
0
1

1 t 时， y (t ) 0 2
1 t 1时， 2 t 1 t2 t 1 y(t ) 1 (t )d 2 4 4 16 2
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
可分离性实例
行变换
列变换
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
可分离性用途
对简化傅立叶变换的程序编制非常有意义： 在编写二维傅立叶变换程序的时候，只需要编写 一个一维变换的函数。首先将图像数据按列计算 一维变换，调用一次函数，然后用中间结果的行
的方向计算一维函数，再次调用一次函数，最后
复杂的卷积运算变乘法
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
• 卷积的复习
（1）卷积的定义
y(t ) x(t ) * h(t ) x( )h(t )d


3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
• 卷积的复习
（2）例题 ：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
定义二维离散卷积：
f e ( x, y ) g e ( x, y )
M 1 N 1 m 0 n 0
f
e
(m, n ) g e ( x m, y n )
( x 0,1,2, M 1; y 0,1,2, N 1)
式中， f e ( x, y )与 g e ( x, y ) 分别是 f ( x, y )、g ( x, y )的周期化函数。
引入极坐标 x=rcosθ, y=rsinθ, μ=kcosф, ν=ksinф，将 f (x, y) 和 F(μ,ν)转换为 f (r,θ)和 F(k,ф)，将它们带入傅里叶变化 对：
[ f (r, 0 )] F[k , 0 ]
上式表明：对 f (x, y)旋转θ0 ，对应于其傅里叶变换 F(μ,ν)也旋转θ0。类似地，对F(μ,ν)旋转θ0也对应于其傅里 叶反变换旋转θ0。
即得到二维的变换结果。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
2.均值性
由二维傅里叶变换的定义：
1 M 1N 1 F (0,0) f ( x, y ) MN x 0 y 0
而，f ( x, y ) 1
f ( x, y ) MN
x 0 y 0
M 1 N 1
f ( x, y) F (0,0)
f1 ( x, y) * f 2 ( x, y)




f1 ( p, q) f 2 ( x p, y q)dpdq
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
（5）二维离散函数卷积
设两个二维离散函数：
f ( x, y), g ( x, y), 0 x A 1; 0 x C 1; 0 y B 1 ( A B 个样本值) 0 y D 1 ( C D 个样本值)
将DFT频谱的原点移动到矩阵M×N的中心，这样只要 设：
M N 0 , 0 2 2
0 x 0 y
M N
e
x y
j 2 (
)
e
j ( x y )
(1)
x y
[ f ( x, y )( 1)
M N ] F ( , ) 2 2
上式表明：如果要将图像的频谱原点移到图像中心， x y 只要将f (x, y)乘上因子 ( 1) ，再进行DFT变换即可。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
分配律实例
空 域
+
=
频 域
+
=
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
6.比例变换（尺度变换）
给定2个标量α和β，可以证明对傅里叶变换下 列2个公式成立：
[f ( x, y )] F ( , )
[ f (x, y )] F( , ) | |
9.傅里叶变换的卷积定理
对于连续和离散卷积都有下列定理成立：
[ f1 ( x, y ) * f 2 ( x, y )] F1 ( , ) F2 ( , )
[ f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )] F1 ( , ) * F2 ( , )
卷积是空间域滤波和频域滤波之间的纽带
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
5.分配律
根据傅里叶变换的定义，可以得到：
[ f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )] [ f1 ( x, y )] [ f 2 ( x, y )]
上式表明：傅里叶变换对加法满足分配律。但 对乘法则不满足：
[ f1 ( x, y) f 2 ( x, y)] [ f1 ( x, y)] [ f 2 ( x, y)]
上式表明：只需一个周期里的变换就可将F(μ,ν) 在频域里 完全确定。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4.平移性质
DFT平移特性如下：
[ f ( x x0 , y y0 )] F ( , )e
[ f ( x, y )e
j 2 (
j 2 (
x0 y0
M N
)
0 x 0 y
旋转性实例
原始图像
空 域 旋转300 旋转450
频 域
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
旋转性实例
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
8.共轭对称性
如果 f (x, y) 是实函数，则它的傅里叶变换具有 共轭对称性：
F ( , ) F * (, )
F * ( , ) 为 F ( , ) 的复共轭。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
可分离性——二维傅里叶变换的全过程
(0,0) M-1 (0,0) M-1 (0,0) M-1
x f(x,y)
N-1
列变换
N-1
x Leabharlann Baidu(x,v) v
行变换
N-1
u
F(u,v)
y
v
先通过沿输入图像的列向计算一维变换
再沿中间结果的行向计算一维变换 可以改变上述顺序，即先行后列
τ 0 t
τ 0 t
（3）卷积的物理意义（理论版） ③连续信号 x（t）输入，（可以看成许多δ 乘以不同系 数陆续作用）
y(t ) x( )h(t )d


3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
（4）二维连续函数卷积
对于连续二维函数f1(x,y)与函数f2(x,y)，卷积定 义为：
j 2 1 N 1 j 2 N 1 N 1 N F (u, ) e f ( x, y)e N x 0 N y 0
x
y
1 e N x 0
N 1 j 2 x N
F ( x, )
F(x,ν)是沿着f (x,y) 的列方向所进行的傅里叶变换。然后再将 F(x,ν) 进行行方向的傅里叶变换。 上式说明：二维DFT可分离为一系列一维DFT
0
1
3 2
2
3 t
• 卷积的复习
y(t ) x(t ) * h(t ) x( )h(t )d


（3）卷积的物理意义(通俗版)
• 老板命令干活，你却打台球，被发现，扇你一巴掌（输入信号，脉冲）， 你脸上鼓起一个包，脸是系统，包是脸对巴掌的响应，假定你的脸是线性时 不变系统，老板总是打你脸同一位置，你的脸上总是会在相同的时间间隔内 鼓起来一个相同高度的包来。 • 老板每扇你一巴掌，你5分钟就消肿，如果老板忍无可忍，以0.5秒的间隔 不间断的扇你，第一次鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，效果不断 叠加，鼓包效果就可以求和了； • 如果老板再狠一点，频率越来越高，求和就变成积分了。可以这样理解， 在这个过程中的某一固定的时刻，脸上的包的鼓起程度和之前每次打你都有 关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说， 某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某 一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是 卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。 x(τ)就是 第τ个巴掌的力度， h(t-τ) 就是第τ个巴掌在t时刻的作用程度，乘起来再叠加 就ok了，
由以上公式可知：空间域中图像的平移不影响频谱幅度 （幅值不变），仅对应于频域的相移（只改变了相位谱 ）
原图像
X轴平移图像
Y轴平移图像
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4.平移性质用途
方块图像
原点平移前的 频谱幅度图像
原点平移后的 频谱幅度图像
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
4.平移性质用途
1
第二个式子表明：对f (x, y)在空间尺度的放缩 导致其傅立叶变换F(μ,ν) 在频域尺度方面相反放缩。
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
尺寸缩放实例
64×64 空 域 32×32 16×16
频 域
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
尺寸缩放实例
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
7.旋转性
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
（5）二维离散函数卷积
即：
f ( x, y ), f e ( x, y ) 0 , g ( x, y ), g e ( x, y ) 0 , 0 x A 1; 0 y B 1 A x M 1; B y N 1 0 x C 1; 0 y D 1 C x M 1; D y N 1
3 t3 2

t

1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) (t )d t 2 2 4 2 4
1
(5)
1 2
1
x ( )
h (t )
t 3时，y(t ) 0
0 1 -2+t
t
y(t)
5 16 9 16
1 2
y(t)的时域波形如图所示：