6-3无交互作用双因素方差分析
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Байду номын сангаас
6
4.双因素无交互作用方差分析案例 在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模 腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出 压力和模腔温度式样得出某成形品的关键尺寸如 下表，用方差分析两个因素对成形品关键尺寸是 否存在重要影响。
因素A：射出压力 水平1 水平2 水平3 水平1 30.51 30.47 30.84 因素B 水平2 30.97 30.29 30.79 模腔温度 水平3 30.99 29.86 30.62
因素A 因素B 残差
14
小结 (1)
1、方差分析（ANOVA），一般用来分析一个定 量因变量与一个或几个定性自变量（因素）之间 的关系，它可以同时对多个总体的均值是否相等 进行整体检验。 2、根据研究所涉及的因素的多少，方差分析可分 为单因素方差分析和多因素方差分析（包括双因 素方差分析）。
r
s
2
j= 1
= SSA + SSB + SSE
SSA SSB SST SSE
5
3.无交互作用的双因素方差分析表
变差 来源 A因素 B因素 误 差 离差平方 和 SS SSA SSB SSE 自由度 df 均方 MS F值
合 计
SST
MSA=S FA=MSA/MS r-1 SA/(r-1) E MSB=S FB=MSB/MS s-1 SB/(s-1) E MSE=S (r-1)(s-1) SE/(r1)(s-1) rs-1
F值 Fcale
4.34 0.36
F临界值 Fcrif
6.94 6.94
11
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析 通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
2 i= 1 r s
r
s
2
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
2
r
s
xi - x j + x) xi - x j + x)
2
j= 1 2 s 2
= s 邋( xi - x) + r
i= 1
r
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
16
2
3
在无交互作用的双因素方差分析模型中因 变量的取值受四个因素的影响：总体的平 均值；因素A导致的差异；因素B导致的差 异；以及误差项。写成模型的形式就是：
ìï x = m+ a + b + e (可加性假定) ïï ij i j ij ïï r s ï bj = 0 (约束条件) í 邋a i = 0 , ïï i= 1 j= 1 ïï ïï eij N (0, s 2 ) i = 1,2,, r; j = 1,2,, s (独立性、正态性、方差齐性假定) ïî
7.3.1 无交互作用双因素方差分析
1
1.数据结构
如果知道因素A 与因素B不存在交互作用，或交互 作用不明显，可以忽略不计，此时仅仅分析因素A 与因素B各自对试验的影响是否显著 安排在试验时，对因素A与因素B的每一种水平组 合，就只需要安排一次试验，这样就可以大大减 少试验的次数，相应的数据结构如下：
12
SS A SS B RA ( ) 100% 64.7% R B ( ) 100% 5.4% SS T SS T SS e Re ( ) 100% 64.7% SS T R 为 A, B因素和残差占总体平方 和的比率
13
2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
3、方差分析中的基本假设是，来自各个总体的数 据都服从正态分布，相互独立，且有相同的方差。
15
小结 (2)
4、方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变 差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差 项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受 或拒绝原假设的判断的。 5、方差分析的主要步骤包括：建立假设；计算F检 验值；根据实际值与临界值的比较做出决策。 6、在方差分析中，当拒绝H0时表示至少有两个均 值有显著差异。但要知道哪些均值之间有显著差异 还需要借助于多重比较的方法，例如LSD方法。
30.51 30.47 30.84
30.97 30.29 30.79 30.99 29.86 30.62 30.82 30.21 30.75
30.51 30.97 30.99
30.47 30.29 29.86 30.84 30.79 30.62 30.61 30.68 30.49
9
1）代入SSA计算式，得 SSA=3*[(30.82-30.59)2+ (30.2130.59)2+ (30.75-30.59)2]=0.681 2）计算SSB。 SSB= 3*[(30.61-30.59)2+ (30.68-30.59)2+ (30.49-30.59)2]=0.057 3）计算SST。
SS T (x ij x) 2 1.051
i 1 j1
r
s
10
4）计算SSe。
SSe=SST-SSA-SSB=0.314
5）讲计算结果填入方差分析表格。
方差来源 SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响 总和
平方和 自由度 均方和 SS df MS
0.681 0.057 0.314 1.052 2 2 4 8 0.34 0.028 0.078
8
1）计算SSA。SSB
SS A Q1 s ( x i x)
i 1 r 2
SS B r ( x j x) 2
j1
s
x 总平均值
r 因素 A 的水平数
s 因素 B的水平数
本例中：s 3；r 3；x 30.59 x i 计算如下：
A因素水平 xi Xi平均值 1 2 3 B因素水平 Yj Yj=平均值 1 2 3
4
2.离差平方和的分解 SS = 邋 ( x - x )
r s 2 T ij i= 1 j = 1
= 邋 轾i - x) + ( x j - x) + ( xij - xi - x j + x) (x 犏 臌 i= 1 j = 1 = s 邋( xi - x) + r
7
1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平 时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。 2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi 与其他不等 3、确定可接受的α风险系数 α=0.05 4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公 式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
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4.双因素无交互作用方差分析案例 在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模 腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出 压力和模腔温度式样得出某成形品的关键尺寸如 下表，用方差分析两个因素对成形品关键尺寸是 否存在重要影响。
因素A：射出压力 水平1 水平2 水平3 水平1 30.51 30.47 30.84 因素B 水平2 30.97 30.29 30.79 模腔温度 水平3 30.99 29.86 30.62
因素A 因素B 残差
14
小结 (1)
1、方差分析（ANOVA），一般用来分析一个定 量因变量与一个或几个定性自变量（因素）之间 的关系，它可以同时对多个总体的均值是否相等 进行整体检验。 2、根据研究所涉及的因素的多少，方差分析可分 为单因素方差分析和多因素方差分析（包括双因 素方差分析）。
r
s
2
j= 1
= SSA + SSB + SSE
SSA SSB SST SSE
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3.无交互作用的双因素方差分析表
变差 来源 A因素 B因素 误 差 离差平方 和 SS SSA SSB SSE 自由度 df 均方 MS F值
合 计
SST
MSA=S FA=MSA/MS r-1 SA/(r-1) E MSB=S FB=MSB/MS s-1 SB/(s-1) E MSE=S (r-1)(s-1) SE/(r1)(s-1) rs-1
F值 Fcale
4.34 0.36
F临界值 Fcrif
6.94 6.94
11
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析 通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
2 i= 1 r s
r
s
2
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
2
r
s
xi - x j + x) xi - x j + x)
2
j= 1 2 s 2
= s 邋( xi - x) + r
i= 1
r
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
16
2
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在无交互作用的双因素方差分析模型中因 变量的取值受四个因素的影响：总体的平 均值；因素A导致的差异；因素B导致的差 异；以及误差项。写成模型的形式就是：
ìï x = m+ a + b + e (可加性假定) ïï ij i j ij ïï r s ï bj = 0 (约束条件) í 邋a i = 0 , ïï i= 1 j= 1 ïï ïï eij N (0, s 2 ) i = 1,2,, r; j = 1,2,, s (独立性、正态性、方差齐性假定) ïî
7.3.1 无交互作用双因素方差分析
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1.数据结构
如果知道因素A 与因素B不存在交互作用，或交互 作用不明显，可以忽略不计，此时仅仅分析因素A 与因素B各自对试验的影响是否显著 安排在试验时，对因素A与因素B的每一种水平组 合，就只需要安排一次试验，这样就可以大大减 少试验的次数，相应的数据结构如下：
12
SS A SS B RA ( ) 100% 64.7% R B ( ) 100% 5.4% SS T SS T SS e Re ( ) 100% 64.7% SS T R 为 A, B因素和残差占总体平方 和的比率
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2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
3、方差分析中的基本假设是，来自各个总体的数 据都服从正态分布，相互独立，且有相同的方差。
15
小结 (2)
4、方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变 差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差 项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受 或拒绝原假设的判断的。 5、方差分析的主要步骤包括：建立假设；计算F检 验值；根据实际值与临界值的比较做出决策。 6、在方差分析中，当拒绝H0时表示至少有两个均 值有显著差异。但要知道哪些均值之间有显著差异 还需要借助于多重比较的方法，例如LSD方法。
30.51 30.47 30.84
30.97 30.29 30.79 30.99 29.86 30.62 30.82 30.21 30.75
30.51 30.97 30.99
30.47 30.29 29.86 30.84 30.79 30.62 30.61 30.68 30.49
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1）代入SSA计算式，得 SSA=3*[(30.82-30.59)2+ (30.2130.59)2+ (30.75-30.59)2]=0.681 2）计算SSB。 SSB= 3*[(30.61-30.59)2+ (30.68-30.59)2+ (30.49-30.59)2]=0.057 3）计算SST。
SS T (x ij x) 2 1.051
i 1 j1
r
s
10
4）计算SSe。
SSe=SST-SSA-SSB=0.314
5）讲计算结果填入方差分析表格。
方差来源 SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响 总和
平方和 自由度 均方和 SS df MS
0.681 0.057 0.314 1.052 2 2 4 8 0.34 0.028 0.078
8
1）计算SSA。SSB
SS A Q1 s ( x i x)
i 1 r 2
SS B r ( x j x) 2
j1
s
x 总平均值
r 因素 A 的水平数
s 因素 B的水平数
本例中：s 3；r 3；x 30.59 x i 计算如下：
A因素水平 xi Xi平均值 1 2 3 B因素水平 Yj Yj=平均值 1 2 3
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2.离差平方和的分解 SS = 邋 ( x - x )
r s 2 T ij i= 1 j = 1
= 邋 轾i - x) + ( x j - x) + ( xij - xi - x j + x) (x 犏 臌 i= 1 j = 1 = s 邋( xi - x) + r
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1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平 时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。 2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi 与其他不等 3、确定可接受的α风险系数 α=0.05 4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公 式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。