命题及其关系

命题及其关系

知识点：

1. 命题：

1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：

真命题 假命题 1.3 关系： 原命题

逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则

这两个命题称为互逆命题。

若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结

论的否定，则这两个命题称为互否命题

若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q”

逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和

条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题

若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假

假

假

假

1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系

2. 充分必要条件： 2.1 概念：

若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题

“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”

特称命题：含有特称量词的命题

“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧

当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；

当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨

当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝

若p 是真命题，则p ⌝必是假命题

若p 是假命题，则p ⌝必是真命题

2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．

练习：

1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3

(B)2

(C)1

(D)0

2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0

3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 命题“对任意的3

2

10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3

2

10x R x x ∈-+，≤ B ．存在32

10x R x x ∈-+，≤ C ． 存在3

210x R x x ∈-+>，

D ．对任意的3

2

10x R x x ∈-+>，

6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：

2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则

m≤0”,故选D.

4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.

由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1

|≤1”的必要而不充分条件,故选B.

6. 答案 A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性

成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.

7. 答案 A∵a·b=|a|·|b|·cos,

∴a·b=|a|·|b|时,有cos=1,即=0,∴a∥b.

而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,

此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.

综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.

8. 答案 D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是

“a2>b2”的既不充分也不必要条件.

9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,

φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.