人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)

几何图形之半角模型

主题半角模型

教学内容

教学目标

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构

正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，

所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．

【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．

而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．

例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？

【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．

设PF x =，则10EF x =+，1

(10)2

BF x =+．

由222

PB PF BF =+． 可得：22

21

10(10)4

x x =++． 故6x =．

2

16256ABCD S ==．

例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？

【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．

由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．

同理可得，△ADF ≌△AMF ．

∴DF=MF ．

∴EF=ME+MF=BE+DF ．

例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒

∠=，试说明EF BE DF =+。 【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG

∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG ，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°

∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF

例 5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使

45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =

【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，

应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？

显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.

【证明】：把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.

∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.

例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,

CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=.

求证：BE CF =.

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.

求GH 的长.

1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，

EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：

图2

①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；

②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).

【解析】

(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，

∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,

∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ，

∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM //GH 交BC 于M ， 过点B 作BN //EF 交CD 于N ,AM 与BN 交于点O /

， 则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN ,GH=AM ，

∵ ∠FOH ＝90°, AM //GH ，EF//BN , ∴ ∠NO /

A =90°,

故由(1)得, △ABM ≌△BCN ， ∴ AM =BN ， ∴ GH =EF =4．

(3) ① 8．② 4n ．

巩固训练

【双基训练】

1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，

则CDE ∆的面积为________2

cm ．

(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．

3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的

图3 图4 图2

O ′ N

M 图1