超几何分布
2.2.1超几何分布
X P
P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .
0 0.01 1 0.18 2 0.81
【新课引入】
思考 2：已知 10 件产品中有 4 件次品，现从这 10 件产
品中任取 3 件，用随机变量 X 表示取得的次品数，写出 X 的分布列。
X 的分布列为： X P
0
0 3 C4 C6 3 C10
1
1 2 C4 C6 3 C102源自2 1 C4 C6 3 C10
3
3 0 C4 C6 3 C10
求分布列一定要说明 X 的分布列也可以写成：
C C P( X k ) C
k 4 3 k 6 3 10
k 的取值范围！
， （ k 0,1, 2, 3 ）
6
【新课引入】
思考 3：一袋子中装有 8 个红球和 4 个白球， 这些球除颜色外完全相同，现从中任意摸出 5 个球，用变量 X 表示摸出红球的个数，写出 X 的分布列。
解：设摸出的 5 个球中红球的个数为 X .
变量 X 服从 N 30 , M 10 , n 5 的超几何分布。
K 5 k C10 C20 P ( X k ) 5 变量 X 的分布列为： , k 0,1, 2,3, 4,5 C30
则:
P ( X 3) P ( X 3) P ( X 4) P ( X 5) 0.191
注: ⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
【范例讲解】
例 1.现有 10 张相同的卡片，其中有 5 张上印有“奖”字。 游戏者从中任抽 5 张，抽到 2 张或 2 张以上印有“奖”字 的卡片就可获得一份精美小礼品，如果抽到 5 张印有“奖” 字的卡片就可另外获得一套丛书， ⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？ ⑵他能获得一套丛书的概率是多少？
超几何分布计算方法
超几何分布计算方法
超几何分布是描述从有限总体中抽出n个样本中成功的数量的
概率分布。
在实际应用中，超几何分布经常被用来描述从一个有限总体中随机抽出一定数量的样本，其中成功的样本数量满足某种特定的条件。
计算超几何分布的方法通常有两种：公式法和逆变换法。
公式法是根据超几何分布的定义公式进行计算。
具体来说，超几何分布的概率密度函数为：
P(X=x) = (M choose x) * (N-M choose n-x) / (N choose n) 其中，M表示总体中成功的数量，N表示总体的大小，n表示从总体中随机抽出的样本数量，x表示随机抽出的样本中成功的数量。
在使用公式法进行计算时，需要先计算组合数，然后将其代入公式中进行计算。
逆变换法则是通过将均匀分布的随机数进行逆变换，得到超几何分布的随机数。
具体来说，可以通过以下步骤进行计算：
1. 生成一个均匀分布的随机数U
2. 计算超几何分布的累积概率分布函数F(X=x)
3. 求解方程F(X=x) = U，得到超几何分布的随机数x
逆变换法可以在一定程度上提高计算的效率，特别是当超几何分布较复杂或概率密度函数难以计算时。
总之，超几何分布是一种常见的概率分布，可以用于描述许多实际问题。
计算超几何分布的方法有多种，需要根据具体问题选择适合
的方法。
超几何分布表达式
超几何分布表达式超几何分布是一种统计计算，主要用来计算多个实验事件之间的相关性。
它将多个抽样结果的概率结合起来，并以表达式的形式描述出这种概率关系。
超几何分布表达式通常是用来描述独立试验中每次结果出现的概率，或者是独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
超几何分布表达式（Hypergeometric Distribution Expression）由P. L. S. Hogg、J. A. C. Brown提出，它是一种统计概率分布，用于描述一组数据中元素出现的概率。
它可以用于计算多次独立试验中每次结果出现的概率，也可以用于计算独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
该概率表达式可以定义为P(X) = ( aCx ) / ( Nc )其中，C是组合运算符，代表从a个分类中取x个元素的组合数；N是实验总数；x是元素的组数；a是实验种类数。
超几何分布是一种常见的概率分布，可以用来计算抽样出现各个结果的概率，是计算统计有效性的重要工具。
超几何分布概率分布表达式具有明确的数学描述，在实际应用中，更方便的是通过计算超几何概率分布函数来获得这一概率表达式的解析解。
超几何概率分布函数为：F(x) =[P(X=x)]其中，X表示被试变量，F(x)表示概率分布函数，P(X=x)表示被试变量X等于x的概率。
有关超几何分布表达式，在统计学中有一些技巧和技术，可以帮助实验室和研究者更好地理解该概率分布表达式以及它的意义。
主要有以下几点：1.念解释：超几何分布表达式是一种统计计算，主要用于计算多个实验结果出现的概率，以及独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
2.学表达：超几何分布表达式的数学表达式为：P(X) = ( aCx ) / ( Nc )，其中，C是组合运算符，N是实验总数，x是元素的组数，a是实验种类数，P(X)是概率表达式。
3.率分布函数：超几何概率分布函数为：F(x) =[P(X=x)]，其中，X表示被试变量，F(x)表示概率分布函数，P(X=x)表示被试变量X等于x的概率。
超几何分布表达式
超几何分布表达式超几何分布表达式是统计学里面一种非常常见的概率分布，它处理的是有关离散变量的观察数据，主要被用于统计计算中处理离散变量。
超几何分布表达式由三个参数组成，即总体大小N，实验次数n和抽样次数k，其中N是总体大小，n是实验的次数，k是抽样的次数。
超几何分布表达式的特性是：它可以表示给定总体中某一类型变量出现的次数的概率分布，并且根据超几何分布的特性，这种概率的计算公式可以被简化，使得计算更加容易。
超几何分布表达式也可以用来描述在给定总体中一次抽样中，抽样次数比实验次数多的情况下，一类变量出现次数的概率分布。
超几何分布表达式的应用非常广泛，它经常被用于评估某一变量出现次数和总体大小之间的关系，从而判断总体大小的大小。
超几何分布表达式也可以用于分析变量出现次数随着总体大小的变化而变化的情况，从而对某一变量的分布情况有一定的认识。
在评估及把握分类数据时也常常使用超几何分布表达式，其中也包括使用离散种类的方法来分析变量在某个离散分布之中出现的概率情况，从而计算一定概率范围内一类变量出现次数的概率。
超几何分布表达式也可以用于数据建模，它可以用于对复杂的数据集进行分析或建模，从而帮助数据科学家们分析和预测数据的变化趋势。
此外，超几何分布表达式还可以用于查询和分析大数据的模型，以便快速找到最合适的模型，并能准确定位出现问题的部位。
超几何分布表达式在统计学中扮演着重要角色，它不仅应用范围广泛，还可以用于分析复杂的变量，从而帮助人们更好地分析及把握数据。
超几何分布表达式是一种有效的数据分析工具，通过计算概率也可以获得更加准确的结果。
未来，超几何分布表达式在统计学以及数据分析领域的应用将越来越广泛，有助于人们加深对数据的理解，加快科技发展的步伐。
超几何分布
几何分布是离散型概率分布的一种。
所描述的是n重伯努利试验成功的概率率。
（所谓的伯努利实验指的是指在一次试验中只考虑两种结果:A发生和A不发生.在相同条件下将伯努利实验重复n次，每次实验A发生的概率都相同，称这样的一系列实验为n重伯努利实验。
）在 n次重伯努利试验中，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率就叫做几何分布。
独立重复试验中，试验首次成功所需的试验次数就是服从几何分布。
如果用一个事件描述，它就像你向靶子上无规则地乱投，正中耙心的概率。
这个当时的概率抽样事件是不同的。
比如，从五个小球中拿一个出来，就像面前挖五个小洞，扔出去看它掉在哪个里面，不管中不中，都能掉一个洞里。
而这种，是只有一个目标，但能掉的位置很多，而且不固定。
正因为这样，它有当时的那种选号码的分布是不同的。
那些类似于点，和线上来选择，而这种类似于面上。
超几何分布是产品抽样检查中用的，其实，它是二项分布的变体。
三项分面是，前面五个洞，扔一次之后，拿出来再扔，还是那样。
你所投递的目标，也就耙的面积没有变。
但超几何分布是，当你投过一个小球时，如果不对，你所投递那个位置就不会再投中了。
这好比投一次，就把那个耙重新换一个，各个相独立。
而且，前面那个结果也会带到这个新耙上来。
这就像原来投一个平面，现在的新平面既和原来的无关，不又不包含已经投过的那个点，就相当于在多维面中，每个面依次选择一次。
你无法像二项分面那样，回到原来那个平面上去投中目标了，因为你试验一次，它就变一次。
这也是，明明二项分布和超几何分布极其相似却迥异的原因。
二项分布就像一件事在平面上重复多次。
而超几何分布就像，一件事在每个维度上都只做一次。
抛物几何从属于欧氏几何。
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
超几何分布
函数代码
函数代码
超几何分布计算函数 function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN) for k=kkk to n AA=1 BBA=1 BBB=1 lll=n for i= 0 to k-1 BBA=BBA(MM-i)/(NN-i) next for j= k to n
谢谢观看应用ຫໍສະໝຸດ 例期望方差示例
已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。 例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中 摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。 其中N = 30. D = 10. n = 5. P（一等奖） = P(X=4) + P(X=5) 由公式,k=0,1,2,...得： P（一等奖） = 106/3393
期望
定理：对超几何分布X~H(N,M,n)，随机变量X的数学期望. 引理一： 引理二： 引理证明：它们均可用恒等式（1+x）M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1两边的展开式中含xn-1项的系数相等证明。 仅以（2）中n≤M的情形证明如下：的展开式中含xn-1项的系数为（注意N-M） 定理证明：当M=N=1时，X的分布列P（X=1）=1，且有n=1，可得此时欲证成立。 当M=1，N≥2时，X的分布列为： 所以（引理一(2)） 下证M≥2时也成立，又分两种情形： （1）又当n≤N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有 （2）又当n＞N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有
方差
对X~H(N,M,n)， . 证明：D(X)=E(X2)-E(X)2 （此公式利用定义式简单展开即得） （提取，变形） （拆项，变形） （拆开∑，就是分组求和）
超几何分布
§2 超几何分布
二、利用超几何分布公式求概率
例2：在一个口袋中有30个球，其中有10个红球，其余为 白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5 个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖.那么获一等 奖的概率有多大？（结果保留两位有效数字）
第二章 概率
§2 超几何分布
二、利用超几何分布公式求概率
第一章 §2 超几何分布
§2 超几何分布
复习
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量．
3.离散型随机变量的分布列
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
P（ξ ＝xｉ）＝Ｐｉ
第二章 概率
§2 超几何分布
一、超几何分布
引例1 已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品 中任取2件，用X表示取得的次品数. 问题1:X可能取哪些值? 问题2:“X＝1”表示的试验结果是什么?P(X＝1)的值呢?
问题3:如何求P(X＝k)(k=0,1,2)
第二章 概率
§2 超几何分布
2 超几何分布
四、超几何分布的综合应用
例4：袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个 红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球. (1)求得分X的概率分布列; (2)求得分大于6分的概率.
第二章 概率
§2 超几何分布
小结
第二章 概率
§2 超几何分布
第二章 概率
P X k
课件1：7.4.2 超几何分布
3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩 电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.
【解析】X＝1 表示的结果是抽取的 2 台彩电有甲型和乙型彩电各一 台，故所求概率 P(X＝1)＝CC13C25 12＝53. 【答案】35
4.某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参 加某种活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X＝3)＝________.
解：X 的所有可能取值为 0,1,2，由题意得：
P(X＝0)＝CC3436＝15，
P(X＝1)＝CC24C36 12＝35，
P(X＝2)＝CC14C36 22＝15. ∴X 的分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
1 5
3 5
1 5
探究三 超几何分布与二项分布间的关系 例3.在10件产品中有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品 中任取3件．求：
∴X 的分布列为
X 0 10 20 50 60 100 110 150 200
P
161 330
7 337 33014 99源自1 3379 990
1 66
11 99 495
∴P(5≤X≤120)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＋P(X＝50)＋P(X＝60)＋
P(X＝100)＋P(X＝110)＝373＋3730＋1949＋313＋97990＋616＝12.
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从 二项分布； 区别 ②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从 超几何分布
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很 联系
小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.
2.2 超几何分布
2.2超几何分布.【问题导思】1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列． 【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误．2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为的概率在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件， 求：(1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品， 1件是次品的概率．【思路探究】 解答本题可根据超几何分布公式求解．【自主解答】 从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数C 2100，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等， ∴C 2100＝4 950为基本事件总数．(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数C 295，记“任取2件都是合格品”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P (A 1)＝C 295C 2100＝893990，(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C 25，记“任取2件都是次品”为事件A 2，那么事件A 2的概率为P (A 2)＝C 25C 2100＝1495.(3)记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为事件A 3，而取到1件合格品，1件次品的结果数为C 195C 15那么事件A 3的概率为P (A 3)＝C 195C 15C 2100＝19198.1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P (A 3)＝1－P (A 2)－P (A 1)＝19198.2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M 、N 、n 、k ，同时要避免不必要的重复计算．某种彩票的开奖是从1,2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为【解】 P (X ≥5)＝P (X ＝5)＋P (X ＝6)＋P (X ＝7)＝C 57·C 229C 736＋C 67·C 129C 736＋C 77·C 029C 736≈0.01，∴至少中三等奖的概率为0.01.在2010年上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区，3个场馆分布在C 片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A 片区的每个场馆的排队时间为2小时，B 片区和C 片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；(2)设小红排队时间总和为X (小时)，求随机变量X 的分布列．【思路探究】 (1)是古典概型问题，利用古典概型公式求解即可；(2)A 片区需等2小时，B 片区、C 片区均需等1小时，这样A 片区参观场馆的个数可视为超几何分布，也可按三区计算，分类讨论．【自主解答】 (1)从10个场馆中随机选定3个场馆，基本事件的总数为C 310＝120，设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件D ，其中所包含的基本事件的个数为C 14C 13C 13＝36.由于每个基本事件发生的可能性是相等的，所以P (D )＝36120＝310.即小红每个片区都参观1个场馆的概率是310.(2)随机变量X 可能取得的值为：3,4,5,6.P (X ＝3)＝2C 33＋2C 13C 23C 310(或C 36C 310)＝16， P (X ＝4)＝C 14C 13C 13＋2C 23C 14C 310(或C 14C 26C 310)＝12， P (X ＝5)＝2C 24C 13C 310(或C 24C 16C 310)＝310，P (X ＝6)＝C 34C 310＝130.∴随机变量X 的分布列如下1．本例(3)按所等时间分两类时X 并不服从超几何分布，但A 片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．一袋中有x (x ∈N ＋)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． (1)当x ＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；(2)当x ＝3时，设X 表示取出的2个球中红球的个数，求X 的分布列； (3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23，求x 的最小值．【解】 (1)当x ＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A ，P (A )＝C 23＋C 23＋C 22C 28＝14， 即取出的2球颜色都相同的事件概率为14.(2)当x ＝3时，X 可取0、1、2，∵P (X ＝0)＝C 25C 28＝514，P (X ＝1)＝C 13C 15C 28＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 28＝328.∴X 的概率分布列为：(3)设“取出的2P (B )＝C 1x C 13＋C 1x C 12＋C 13C 12C 2x ＋5<23，∴x 2－6x ＋2>0， ∴x >3＋7或x <3－7， 且x ∈N ＋， ∴x 的最小值为6.弄错随机变量的分布类型致误布袋中有5个红球，4个黑球，设从袋中取出一个红球得1分，取出一个黑球得0分，现从袋中随机取出4个球，求所得分数X 的分布列．【错解】 由题意可知X 可能的取值为1,2,3,4，且X 服从超几何分布，其中M ＝5，N ＝9，n ＝4，则P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 9－5C 49(k ＝1,2,3,4)．【错因分析】 X 不服从超几何分布，而取到的红球个数Y 服从超几何分布，虽然X ，Y 可能取值相同，但意义不同．【防范措施】 弄清超几何分布的条件与特点，避免弄错随机变量X 的分布类型，将不服从超几何分布的随机变量误认为服从超几何分布．【正解】 由题意可知从袋中随意取4个球可能出现的结果分别为：0红4黑，1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红0黑，这五种情况分别得0分，1分，2分，3分，4分，故X 可能的取值为0,1,2,3,4，因为P (X ＝0)＝C 05C 44C 49＝1126，P (X ＝1)＝C 15C 34C 49＝1063，P (X ＝2)＝C 25C 24C 49＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 14C 49＝2063，P (X ＝4)＝C 45C 04C 49＝5126，所以随机变量X 的分布列为解决超几何分布问题的关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同m 时的概率P (X ＝m )，从而求出X 的分布列．1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.1721【解析】 根据题意知该问题为古典概型，∴P ＝C 14C 25C 39＝1021.【答案】 C2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( )A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率． 【答案】 B3．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数分别为________(即定义中的N 、M 、n )的超几何分布． 【解析】 由超几何分布的定义可知N 、M 、n 分别为10,3,5. 【答案】 10,3,54．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【解】 X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为一、选择题1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615B.C 310C 35C 615C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 615【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0＜ξ≤2)B ．P (ξ≤1)C ．P (ξ＝2)D ．P (ξ＝1)【解析】 由已知得ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122·C 14C 226，P (ξ＝2)＝C 24C 226.∴P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 122·C 14＋C 222C 226.【答案】 B3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则p (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( ) A.3979 B.180 C.12 D.4181【解析】 由题意知所求概率为P ＝C 240＋C 240C 280＝3979. 【答案】 A5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( ) A ．恰有1只是坏的的概率 B ．恰有2只是好的的概率 C ．4只全是好的的概率 D ．至多有2只是坏的的概率【解析】 恰好2只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B 二、填空题6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P (X ＝1)＝________.【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P (X＝1)＝C 13C 12C 25＝35.【答案】 357．某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，求有2人会说日语的概率为________．【解析】 有两人会说日语的概率为C 26C 24C 410＝37.【答案】 378．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的2件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k 45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】47245三、解答题9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生合格的概率． 【解】 X 可以取1,2,3.P (X ＝1)可以取C 18·C 22C 310＝115；P (X ＝2)＝C 28·C 12C 310＝715；P (X ＝3)＝C 38·C 02C 310＝715.所以X 的分布列为：该考生合格的概率为P (X P (X ＝3)＝715＋715＝1415.10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列．【解】 从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1 225.选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501 225＝27.(2)∵P (X ＝0)＝C 215C 235＝317，P (X ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (X ＝2)＝C 220C 235＝38119.∴X 的分布列为11．交5元钱，可以参加一次摸奖，袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽取2个球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【解】 设随机变量X 表示抽奖人所得的钱数，则X 的取值为2、6、10.P (X ＝2)＝C 28C 02C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝10)＝C 22C 08C 210＝145.故X 的分布列为(教师用书独具)袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【思路探究】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球， P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为：P (X ≥1)＝1－528＝2328.某食品厂生产的40件产品中，重量超过505克的产品有12件，现从这40件产品中任取2件．(1)设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； (2)求至多含有一件重量超过505克的产品的概率．【解】 (1)由题意Y 的可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130.∴Y 的分布列为(2)由(1)P ＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝63130＋2865＝119130.。
【方法指导】超几何分布解读
超几何分布解读超几何分布是一类典型的概率分布．解决超几何分布类型题目的关键是根据题意判断随机变量服从超几何分布，然后根据超几何分布概率公式进行求解．下面就超几何分布的定义、注意点及相应的实际应用加以剖析．1．超几何分布的定义一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min（M，n），且n≤N，M ≤N．称对应的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．对应的超几何分布列为：2．超几何分布的解题步骤（1）判断问题是否属于超几何分布问题；（2）若是超几何分布问题，指出随机变量所服从的超几何分布式；（3）计算所要求的事件的概率，并回答．3．超几何分布的注意点（1）超几何分布的模型是不放回抽样．（2）公式P（X=k）=的推导：由于事件{X=k}表示含有M件次品的N件产品中，任取n件其中恰有k件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N件产品中任取n件，由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有个基本事件；而其中恰有k件次品，则必有n－k 件正品，因此事件{X=k}中含有个基本事件，由古典概型公式可知P（X=k）=．（3）在应用超几何分布时，主要注意是把问题中的对应问题转化为什么相当于次品，什么相当于正品，再结合超几何分布的概率公式加以分析求解．（4）在解决问题时要发现实际问题中的随机变量，讨论随机变量是否符合超几何分布的条件，而不能盲目套用．4．超几何分布的应用（1）超几何分布的判断例1．判断下列问题哪些属于超几何分布：（1）一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率p=0.3，求他一次射门命中次数X的分布列；（2）一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中以随机方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列；（3）在15个村庄中，有5个村庄交通不太方便，现从中任选10个村庄进行考查，求选到5个交通不方便村庄的分布列；（4）在一个袋中，有10个红球，5个黄球，3个黑球，从中无放回地抽取3球，求抽到黄球的分布列．分析：判断一个分布是否为超几何分布，主要在于研究的问题是否直接是“超几何分布模型”，或者通过化归可视为“超几何分布模型”也可以．解析：（1）不属于超几何分布，题设中不存在“正品”与“次品”的问题，更不存在选多选少的问题，实际上，问题（1）属于两点分布；（2）、（3）、（4）都是超几何分布，（2）是标准模型，（3）中5个村庄可视为“次品”，则问题即为超几何分布模型，（4）中5个黄球可视为“次品”，则问题也转化为超几何分布模型．点评：判断一个问题（分布）是否为超几何分布，关键在于问题能否变为其概率模型形式，即能否在问题中找到或“造出”有关的“正品”与“次品”的问题，而且是不放回抽样．（2）超几何分布的求解例2．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．分析：实际上，这是一个典型的超几何分布问题，出现次品可分为：1件次品，2件次品两种情况．解析：设抽到次口的件数为X，由题意问题中X服从超几何分布，其中N=50，M=5，n=2，则出现次品的的概率P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=+=+=．点评：直接根据次品与合格品之间的关系，满足超几何分布的问题，根据对应的概率公式加以求解．例3．15名学生中，有10名男生，5名女生，今各选取3个参加数学兴趣小组，至少1名女生的概率多大？分析：实际上，这是一个典型的超几何分布问题，至少1名女生可分为：1名女生，2名女生，3名女生三种情况．解析：设选取女生的人数为X，由题意问题中X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，则至少1名女生的概率P（X≥1）=1－P（X=0）=1－=1－=．点评：在实际问题中，要对问题加以正确分类，明确哪部分相当于正品，哪部分相当于次品，对应超几何分布的问题，求出对应N，M，n的值，再根据对应的概率公式加以求解．变式练习：1．判断下列问题哪些属于超几何分布：（1）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，不放回地抽取产品，抽到次品就结束，求抽取次数的分布列；（2）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，有放回地任取5件，求抽到的次品数X的分布列；（3）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，不放回地任取3件，求抽到的次品数X的分布列．2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于__________．3．从4个男生，3个女生中，挑选4个人参加智力竞赛，至少有1个女生参加的概率为__________．变式练习答案：1．（3）；2．；3．．。
超几何分布概念
超几何分布概念
《超几何分布概念》
一、什么是超几何分布
超几何分布（hypergeometric distribution）是一种有限性统
计分布，可用来描述研究抽样环境中有限性样品集中的随机抽样问题，是一种古老的概念，最早由保罗·雷克利尔（Paul Reiter）在1900年提出。
超几何分布是用来解释和建模碰撞性现象的重要数学工具，它可以应用于采样实验、抽奖、交叉验证、质量控制等统计分析中。
二、超几何分布的基本概念
在这里，主要介绍三大基本概念：样本容量、抽取比例和抽签环境。
样本容量是指将被抽取样本的全部总量；
抽取比例是指将在样本总量中抽取的单位样本所占比例；
抽签环境是指将样本容量和抽取比例两个参数进行特定取值，产生样本抽签的环境。
三、超几何分布的公式
超几何分布的公式为：
P(x)=CxD/N
其中：
P(x)表示从总体中抽取的样本数为x时，满足抽样要求的样本数占总数的概率；
C表示抽样要求中符合条件的样本总数；
D表示样本总数；
N表示从总体中抽取的样本数。
数学超几何分布
数学超几何分布数学超几何分布是一种概率分布，用于描述从有限总体中抽取固定大小的样本时的概率分布情况。
下面将按照步骤来介绍数学超几何分布。
步骤一：了解总体和样本的概念。
总体指的是我们想要研究的所有个体或事物的集合，而样本是从总体中选择的一部分个体或事物。
步骤二：确定问题的条件。
在使用数学超几何分布时，我们需要明确以下条件：总体大小（N）、总体中成功个体的数量（K）、样本大小（n）以及成功个体在样本中的期望数量（k）。
步骤三：计算概率。
根据超几何分布的公式，我们可以计算得到在给定条件下每个可能取值的概率。
超几何分布的公式如下所示：P(X=k)=(K choose k)*((N-K)choose(n-k))/(N choose n)其中，(a choose b)表示从a个元素中选择b个元素的组合数，可以通过计算公式(a!)/(b!(a-b)!)来得到。
步骤四：解决问题。
使用计算出的概率，我们可以回答各种与样本数量、成功个体数量等相关的问题。
例如，我们可以计算在总体中有20个成功个体、总体大小为100的情况下，从中抽取10个样本，其中有5个成功个体的概率是多少。
步骤五：应用实例。
数学超几何分布可以应用于各种实际问题。
例如，在质检过程中，我们可以使用超几何分布来计算在一个批次中抽取一定数量的产品样本，其中有多少个是合格产品的概率。
这可以帮助我们评估质量控制的效果。
综上所述，数学超几何分布是一种用于描述从有限总体中抽取固定大小的样本时的概率分布情况的数学工具。
通过了解总体和样本的概念、确定问题的条件、计算概率、解决问题以及应用实例，我们可以更好地理解和应用数学超几何分布。
4.2 超几何分布
4．2 超几何分布【必备知识·自主学习】1.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P(X ＝k)＝，max{0，n －(N －M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n ，M ，N∈N＋.若一个随机变量X 的分布列由上式确定，则称随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．如何正确理解超几何分布？提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．2．超几何分布的均值一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．( )(2)某贫困县辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，则P(X＝4)的概率为.( )(3)有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是.( )提示：(1)√.X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝(k ＝0，1，2，3)，是超几何分布．(2)√.X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝.(3)×.设抽到的次品件数为随机变量ξ，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，则ξ服从超几何分布，所以Eξ＝n·.2．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( )A．B．C．D．【解析】选B.根据题意P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.3．(教材例题改编)在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是________．【解析】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率P＝＝＝.答案：【关键能力·合作学习】类型一超几何分布(数学运算)【典例】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【思路导引】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～N(0，1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的概率分布列为(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.类型二超几何分布的均值(数学运算)【典例】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列；(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．【思路导引】(1)根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率．(2)利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列．(3)由(2)计算出乙平均答对题目数的期望值．利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值．由此得到两人平均答对的题目数的大小相等．【解析】(1)因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P＝C＝.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，X的分布列为：(3)因为乙平均答对的题目数EX＝2×＋3×＋4×＝，甲答对题目Y～B，甲平均答对的题目数EY＝4×＝.因为EX＝EY所以甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．超几何分布均值的求法(1)利用超几何分布的均值公式求解；(2)列出相应的概率分布列，根据均值公式求解．【补偿训练】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则EX为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P(X＝0)＝＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.备选类型概率统计的综合应用(逻辑推理)【典例】(2021·北京高二检测)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：(1)求高一、高二两个年级各有多少人？(2)设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟．当m≥175，且n≥75时，称该学生为“运动达人”．①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．【思路导引】(1)按照比例求解即可；(2)①根据题意找出高二学生中“运动达人”的人数，根据概率公式即可求解；②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望．【解析】(1)设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有＝，＝.所以高一年级有196人，高二年级有140人．(2)①由表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.②ξ的所有可能取值为1，2，3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为故ξ的期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.超几何分布应用范围超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A 的概率分布问题．【课堂检测·素养达标】1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A．1－B．C．D．【解析】选D.由超几何分布概率公式可知，所求概率为.2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为( )A． B． C． D．【解析】选A.依题意可知，产品总数为13＋2＝15件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为＝＝＝. 3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于( )A．4 B．4.5 C．4.75 D．5【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以Eξ＝3×＋4×＋5×＝4.5.4．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望EX＝________．【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.答案：4．2 超几何分布【必备知识·自主学习】1.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．如何正确理解超几何分布？提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．2．超几何分布的均值一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．( )(2)某贫困县辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，则P(X＝4)的概率为.( )(3)有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是.( )提示：(1)√.X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，是超几何分布．(2)√.X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝.(3)×.设抽到的次品件数为随机变量ξ，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，则ξ服从超几何分布，所以Eξ＝n·.2．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( )A．B．C．D．【解析】选B.根据题意P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.3．(教材例题改编)在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是________．【解析】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率P＝＝＝.答案：【关键能力·合作学习】类型一超几何分布(数学运算)【典例】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【思路导引】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～N(0，1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的概率分布列为(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.类型二超几何分布的均值(数学运算)【典例】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列；(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．【思路导引】(1)根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率．(2)利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列．(3)由(2)计算出乙平均答对题目数的期望值．利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值．由此得到两人平均答对的题目数的大小相等．【解析】(1)因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P＝C＝.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，X的分布列为：(3)因为乙平均答对的题目数EX＝2×＋3×＋4×＝，甲答对题目Y～B，甲平均答对的题目数EY＝4×＝.因为EX＝EY所以甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．超几何分布均值的求法(1)利用超几何分布的均值公式求解；(2)列出相应的概率分布列，根据均值公式求解．【补偿训练】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则EX 为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P(X＝0)＝＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.备选类型概率统计的综合应用(逻辑推理)【典例】(2021·北京高二检测)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：(1)求高一、高二两个年级各有多少人？(2)设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟．当m≥175，且n≥75时，称该学生为“运动达人”．①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．【思路导引】(1)按照比例求解即可；(2)①根据题意找出高二学生中“运动达人”的人数，根据概率公式即可求解；②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望．【解析】(1)设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有＝，＝.所以高一年级有196人，高二年级有140人．(2)①由表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.②ξ的所有可能取值为1，2，3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为故ξ的期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.超几何分布应用范围超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N－M 个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．【课堂检测·素养达标】1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A．1－B．C．D．【解析】选D.由超几何分布概率公式可知，所求概率为.2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为( )A． B． C． D．【解析】选A.依题意可知，产品总数为13＋2＝15件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为＝＝＝.3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于( )A．4 B．4.5 C．4.75 D．5【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以Eξ＝3×＋4×＋5×＝4.5.4．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望EX＝________．【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.答案：。
超几何分布公式推导
超几何分布公式推导
嘿，咱来聊聊超几何分布公式推导啊！超几何分布的公式是这样的：
P(X=k) = [C(M,k) C(N-M,n-k)] / C(N,n)。
哎呀，这可不好理解是吧？咱
来举个例子。
比如说啊，有一个盒子里有一堆红球和黑球，其中红球有 M 个，黑球
有 N-M 个。
现在咱要从盒子里随机抽出 n 个球，那抽到 k 个红球的概率就是用这个公式算的。
哇塞，你想想，这多神奇呀！
就好像抽奖一样，你想知道自己抽中特定奖品的概率，这公式就能帮你算出来呢！比如说你参加一个抽奖活动，奖品有几个，参与抽奖的人有很多，你就可以用这个公式大概算算自己抽中奖品的可能性有多大。
是不是很有意思呀？哈哈！可别小瞧了这个公式哟，它在很多实际问题中都超级有用的呢！。
三大分布--超几何分布
(3)从含有5件次品的10件产品中，任取6件 其中恰有X件次品.X是否服从超几何分布？
析：若 X 服从超几何分布 其中N＝10, n＝6 ,M＝5
则
由 k＝0?,1, 2,, m ;m ＝min{M，n} 得 应有 k＝ 0,1,2,3,4,5 但显然有 k≠0 即 k＝1,2,3,4,5 哪如何处理呢？ 且看高考真题如何处理！
随机变量有范围 (高仿只用莫声张)
若
X
~ H(n
,M
,N)
,则
P( X
k ) C C k nk M NM CNn
( k＝0?,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
若随机变量 X 符合超几何分布的条件 但 k ∈ {0,1,2,…,m } ,则 ①虽然 X 不是“正品”的超几何分布
②但概率公式，期望公式，仍然适用 即表象上；按照求一般分布列来处理 骨子里；按照超几何分布列来处理
⑧若 ⑨若
~ ~
H(n , G( p)
M , N) ,则
,则 E( )
E(
1 p
) nM , D( )
,
N
D(
)
1
p p2
nM
(N n)(N nN(N 1)
M
)
⑩ E( ) E( ) E()
〇11 若ξ,η相互独立，则 E() E( )E()
随机变量期望与方差的求法
(1).定义法： (2).性质公式法： (3).图象估算法： (4).作用估算法：
(k＝0,1, 2,, m)
m ＝min{M，n}
从而X的分布列为
X
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
超几何分布
例5、
课堂小结
• 超几何分布的概念，尤其是区分各个字母 所代表的含义
• 会计算随机变量的超几何分布列，注意书 写规范
• 超几何分布适用于不放回抽取
课后作业
• 课本46页，练习A、习题2-1A、习题2-1B 写在作业本上
• 《学习、探究、诊断》测试七
课后作业
• 课本46页，练习A、习题2-1A、习题2-1B 写在作业本上
练习 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．
解： X 的可能取值为 5，6，7，明求8，分k 9布的，列取10一值．定范要围并说！且
P X k
=—C—k41 k 5， 6， ， 10.
C
5 10
具体写出，即可得 X 的分布列：
X 5 6 7 8 9 10
2 .1.3 超几何分布
一、复习
1) 随机变量的分布列
设随机变量 X 的所有可能取值为
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X xn pn n 1, 2,
则称上式或 X P
x1 x2 ， xn p1 p2 ， pn
为随机变量 X 的分布列．
2)随机变量分布列的性质:
⑴ 对任意的自然数n，有 pn 0;
变题：至少摸出4个红球就中一等奖?
例2:生产方提供50箱的一批产品, 其中有2箱不合格 产品, 采购方接收该批产品的准则是:从该产品 中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格 便接收该批产品,问:该批产品被接收的概率是 多少?
例3、
这两个问题的求解方法一样吗?
超几何分布：适用于不放回抽取
本小题第二问是二项分布这是我们 后面要研究的内容
超几何分布超几何分布
第二章 概 率
X
＝
0
10 11 15 20 10 20 50 60
0 00 0
k
P(
X 161 7 7 14 1 79 1 1 1 ＝ 330 33 330 99 33 990 66 99 495
k)
栏目 导引
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∴P(5≤X≤120)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＋P(X＝50)＋P(X＝60) ＋P(X＝100)＋P(X＝110) ＝ 7 ＋ 7 ＋14＋ 1 ＋ 79 ＋ 1 ＝1.
栏目 导引
1.袋中有 7 个球，其中 3 个黑球、4 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列，并求至少有一个红球 的概率． 解：X＝0，1，2，3，X＝0 表示取出的三个球全是黑球， P(X＝0)＝CC7333＝315.
第二章 概 率
同理 P(X＝1)＝CC14C37 32＝1325， P(X＝2)＝CC24C37 31＝1385，P(X＝3)＝CC7343＝345. ∴X 的分布列为：
第二章 概 率
学法指 导
2．许多不放回抽样的实际问题，可 以 通 过化归为超几何分布，并运用 它简捷求 解．凡类似于“在含有次 品 的产 品中取部分产品,问所取出的 产品中次品件数”的问 题，都属于超 几何分布的模型.
超几何分布
一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中 任取 n(n≤超N几)件何产分品布，用CkMXC表nN－－示kM 取出的 n 件产品中次品的 件数，那么 P(X＝k)＝____C_nN_______．(其中 k 为非负整数) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数 为 N，M，n 的_______________．
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选修2-3 第2章概率
§2.2 超几何分布（理科）(第1课时) 总第30教案
一、【学习目标】
1、通过实例，理解超几何分布及其特点。
2、通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单应用。
二、【概念解读】
1．一般地，若一个随机变量X的分布列为__________________________________________ 则称X服从超几何分布。
记为_________________________。
并将______________________ 称为__________________。
2．超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布。
H(r；n，M，N)中的各个字母都有其具体的含义：r表示样本中次品数，n表示样本容量，M表示次品总数，N表示总体中的个体总数。
3当一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出n件产品中，则不合格品数X的概率
三、【实例分析】
例题1、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。
采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，则接收该
批产品。
问：该批产品被接收的概率是多少？
例题2、高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。
现一次从中摸出5个球，(1)若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率。
(2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。
例题3、盒中装着标有1,2,3,4的蓝色卡片4张，标有1,2,3,4的红色卡片4张，现从盒中任
意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性相等，设取到一张红色卡片记2分，取到一张蓝色卡片记1分，以X 表示抽出的3张卡片的总得分，Y 表示抽出的3张卡片上的最大数字，求X 和Y 的概率。
例题4、10只灯泡中含有)82(≤≤n n 只不合格品，若从中一次任取4只，问：恰含有2只
不合格品的概率)(n f 是多少？当n 为何值时，f(n)取得最大值？并求此时取到的不合格品只数X 的概率分布。
四、【巩固练习】
1、袋中有4个红球，编号为1,2,3,4；3个黑球，编号为5,6,7，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，以X 表示取出的4个球的总得分，Y 表示取出的4个球的最大号码。
则：
① P(X=5)=____________________________ 。
② P(Y=5)=____________________________ 。
③ X 与Y 是否服从超几何分布__________________ 。
2、设50件商品中有15件甲等品，其余为乙等品。
现从中随机选购2件，用X表示所购2
件中的甲等品的件数，求出X的概率分布。
3、某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，每100个产品为一批，检查产品质量时，在
每批中任取一半来检查，如果发现次品不多于1个，则这批产品可以认为是合格的。
求一批产品被认为是合格的概率。
课外作业
1、100张奖券中，有4张有奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为________________。
2、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的
人数，则P(X≤1)=__________ 。
3、从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是_____。
4、盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰有2只是好
的概率为_______________________。
5、口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5 个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是___________(用数字作答)
6、在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至
14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是____________________。
7、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则至少取到1件次品的概率为___________。
8、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中
的不合格品的件数，试求X的概率分布。
9、一个班级有30名学生，其中有10名女生。
现从中任选3名学生当班委，令随机变量X 表示3名班委中女生的人数，随机变量Y 表示3名班委中男生的人数，试求X 与Y 的概率分布。
10、已知甲，乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱次品件数X 的分布列。
11、1000只灯泡中含有n(2≤n ≤992)只不合格品，从中一次任取10只，问：恰含有2只不
合格品的概率)(n f 是多少？当n 为何值时，)(n f 取得最大值。