数值分析(第2章)
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2.1.2 机械求积的概念 2.1.3 求积公式的精度 2.1.4 一点注记
2.1.1 求积方法的历史变迁
求积方法源于求曲边图形的面积。 公元前三世纪， 古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。 其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面 积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建 立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。 微积分的发明使面积计算方法焕然一新。按照微积分基本定理，只要提供被积函数
2.3 Gauss公式
2.3.1 Gauss公式的设计方法
2.3.2 帯权的Gauss公式举例
2.3.1 Gauss公式的设计方法
Newton-Cotes 公式在构造实限用积分区间的等分点作为求积节点，这样做在简化处理 的同时也限制了精度。如果求积节点也可自由选择，即 2.1.2 中机械求积公式中的
作为求积节点构造形如 2.1.2 中求积公式，若这种公式至少有 n 阶精度，则称之为 n 阶 Newton-Cotes公式。特别的，梯形公式
b
a
f x dx
ba f a f b 2 ab , x2 b 作为求积节点构造形如 2
是最简单的 Newton-Cotes 公式。下面再举例说明这种公式的构造。 例 试以 a, b 的二等分点 x0 a, x1
ba ba t ，则 2.1.2 中的机械求积公式可变为 2 2
g t dt 2 g t
1 1 i 0 i i
n
式中节点为
ti
1 2 xi a b ba
这时 2.1.3 中的方程组就表现为较简单的形式。不失一般性，在设计求积公式时，可 以着重考察区间为 1,1 的特殊情形。
b
a
ab f x dx b a 0 f a 1 f 2 f b 2
的 Newton-Cotes 公式。
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法(续)
解 为简化处理，令 a 1, b 1，则上述公式具有形式
f x dx (b a) f x
b a i 0 i i
n
式中 xi 称为求积节点， i 称为求积系数，亦称伴随节点 xi 的权。 不难看出，机械求积公式的构造本质上是个选取参数 xi , i 的代数问题。为要构造上 述公式，需要提供一种判别求积方法精度高低的准则。
f x dx 2 f 1 f 0 f 1
1 1 0 1 2
f 1, f x, f x2 准确成立，据此列出代数方程即可解出 1 2 0 2 , 1 6 3 易知它对 f x3 依然准确成立，可见这样构造的 Newton-Cotes 公式
2.3.2 带权的Gauss公式举例
考察积分 I
x f x dx ，这里 x 0 称为权函数，当 x 1时为普通
b a
积分。仿照普通积分的说法，称求积公式
x f x dx A f x
b a k 0 k k
运用某种复化求积公式可以求得积分值 I 的近似值 I h ， h 0 时， 当 即可取 I h 作 为积分值 I 的值。问题在于如何选取合适的步长 h 呢？因为步长过大精度得不到保证，步 长太小计算量又太大。 实际计算中，常常采取如下策略：事先预报某个步长 h （可以稍大一点） ，然后逐次 减半，直到二分前后两个近似值的偏差 I h / 2 I h 在精度范围内可以忽略为止。这种 在计算中自选步长的方法称作变步长方法。 对于梯形法，步长二分前后梯形值 Tn 和 T2 n 有如下递推关系式：
2.2 Newton-Cotes公式
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法 2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法
设将求积区间 a, b 划分为 n 等分，选取等分点
xi a ih, h
ba , i 0,1,, n n
b i 0 a
n
这样，机械求积公式的构造问题便归结为求解如下形式的代数方程组：
1 b k 1 a k 1 x b a k 1 , k 0,1,, m i 0
n k i i
2.1.4 一点注记
为简化处理手续，可引进变换
x
再记 g t f
ba ba t 2 2
A0 A1 2 / 3 x A x A 2 / 5 0 0 1 1 2 x0 A0 x12 A1 2 / 7 x3 A x3 A 2 / 7 0 0 1 1
由于所设计的公式不具有对称结构，它的设计要困难得多。最终可以依据上述方程组解出
x0 , x1 , A0 , A1 ，于是所要设计的 Gauss 公式为
设将求积区间[ a , b ] n 等分，步长 h 把这个和作为所求积分的近似值。 最常用的复化求积公式有复化梯形公式：
n 1 ba Tn f a 2 f xi f b 2n i 1
复化 Simpson 公式：
n 1 n 1 ba Sn f a 4 f xi 1/ 2 2 f xi f b 6n i 0 i 1
1
0
x f x dx 0.389111 f 0.821162 0.277556 f 0.289949
2.4 复化求积法
2.4.1 复化求积公式
2.4.2 变步长梯形法
2.4.1 复化求积公式
ba , 分点为 xi a ih, i 0,1, , n 。所谓复化 n 求积法， 就是先用低阶的求积公式求得每个子段[ xi , xi 1 ] 上的积分值， 然后将它们累加求和，
数值分析 Numerical Analysis
Royea 2012.7
第二章 数值积分
2.1 机械求积 2.2 Newton-Cotes公式 2.3 Gauss公式 2.4 复化求积法 2.5 Romberg算法 2.6 数值微分
2.1 机械求积
2.1.1 求积方法的历史变迁
xi , i , i 0,1,, n 均为待定参数， 适当选取这些参数可以使公式具有 2n 1阶精度。 这种高
精度的求积公式称为 Gauss 公式。 为简化处理，先考虑区间 1,1 上的情形。特别地，对于一点 Gauss 公式 n 0 ：
f x dx 2 f x
f x dx (b a) f
b a
就是说，底为 b a 而高为 f 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。称 f 为区 间 a, b 上的平均高度。
2.1.2 机械求积的概念（续）
一般地，取 a, b 内若干个节点 xi 处的高度 f xi ，通过加权平均的方法生成平均高 度 f ，这类求积方法称机械求积：
2.3.1 Gauss公式的设计方法（续）
k 0 x0 1 x1k
1 1
k
2 k 1
, k 0,1, 2,3
Gauss 公式具有高精度，它的结构应具有对称性。特别地，令 0 1 , x1 x0 ，则上述 方程组可简化为
20 1 2 20 x0 1/ 3
2.1.3 求积公式的精度
称形如 2.1.2 中机械求积公式具有 m 阶（代数）精度，如果它对于一切 m 次多项式是 准确的，但对于 m 1多项式不准确；或者说它对于幂函数 f x x k k 0,1,, m 均能 准确成立，即有
b a i xik x k dx, , k 0,1,, m
f x 的原函数 F x , F ' x f x ，便有下列求积公式：
f x dx F b F a
b a
若 F x 可以很容易得到，则求积分的处理过程就大大简化。
2.1.2 机械求积的概念
事实上，我们不难发现，微积分方法法求积分也有其局限性：实际问题中碰到的被积 函数往往没有初等函数表示的原函数， 而实验测量中往往只是给出了一张数据表等等。 显 然这些情况下将无法运用微积分基本定理来求积。鉴于此，在数值求积过程中，人们又重 新审视古人将积分计算归结为提供函数值的穷竭法，从而导致了所谓求积方法的提出。 依据积分中值定理，对于连续函数 f x ，在 a, b 内存在一点 ，成立
由此可得如下两点 Gauss 公式
1 G2 f 3
1 f 3
b a b a f 2 2 3
对一般区间 a, b ，应用 2.1.4 中的变换，可得在这种区间上的两点 Gauss 公式：
G2
b a b a a b f 2 2 2 3
令它对于
b
a
ab f x dx b a 0 f a 1 f 2 f b 2
实际上就是具有
3阶精度的 Simpson 公式。
ba 7 f x0 32 f x1 12 f x2 32 f x3 32 f x4 90
1 1 0 0
令它对 f 1, x 准确，这样即可导出所谓中矩形公式 G1 2 f 0 。下面着重考察两点 Gauss 公式的构造：
f x dx f x f x
1 1 0 Байду номын сангаас 1 1
令它对 f 1, x, x 2 , x3 准确，则有
复化 Cotes 公式：
n 1 n 1 n 1 ba Cn 7 f a 32 f xi 1/ 4 12 f x1/ 2 32 f xi 3/ 4 7 f b 90n i 0 i 0 i 1
2.4.2 变步长的梯形法
同理，我们还可构造如下具有 5阶精度的 Cotes公式：
b
a
f x dx
2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析
设 n 代表区间等分数，不难证明，当 n 为偶数时 Newton-Cotes 公式具有 n 1 阶精度， 这时 Newton-Cotes 公式在精度方面会获得额外的好处； 而当 n 为奇数时 Newton-Cotes 公式 仅具有 n 阶精度。 作为例子，Simpson 公式和 Cotes 公式都在精度上获得额外的好处；相反，n 3 时的 Newton-Cotes 公式仅具有与 Simpson 公式相当的精度。另外，数值算例同样也说明了这个 事实。
n
是 Gauss 型的，如果它对于任意 2n 1次多项式均能准确成立。 例 试构造如下形式的 Gauss 公式
1
0
x f x A0 f x0 A1 f x1
解 令它对 f 1, x, x 2 , x3 准确成立，得
2.3.2 带权的Gauss公式举例（续）
2.1.1 求积方法的历史变迁
求积方法源于求曲边图形的面积。 公元前三世纪， 古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。 其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面 积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建 立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。 微积分的发明使面积计算方法焕然一新。按照微积分基本定理，只要提供被积函数
2.3 Gauss公式
2.3.1 Gauss公式的设计方法
2.3.2 帯权的Gauss公式举例
2.3.1 Gauss公式的设计方法
Newton-Cotes 公式在构造实限用积分区间的等分点作为求积节点，这样做在简化处理 的同时也限制了精度。如果求积节点也可自由选择，即 2.1.2 中机械求积公式中的
作为求积节点构造形如 2.1.2 中求积公式，若这种公式至少有 n 阶精度，则称之为 n 阶 Newton-Cotes公式。特别的，梯形公式
b
a
f x dx
ba f a f b 2 ab , x2 b 作为求积节点构造形如 2
是最简单的 Newton-Cotes 公式。下面再举例说明这种公式的构造。 例 试以 a, b 的二等分点 x0 a, x1
ba ba t ，则 2.1.2 中的机械求积公式可变为 2 2
g t dt 2 g t
1 1 i 0 i i
n
式中节点为
ti
1 2 xi a b ba
这时 2.1.3 中的方程组就表现为较简单的形式。不失一般性，在设计求积公式时，可 以着重考察区间为 1,1 的特殊情形。
b
a
ab f x dx b a 0 f a 1 f 2 f b 2
的 Newton-Cotes 公式。
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法(续)
解 为简化处理，令 a 1, b 1，则上述公式具有形式
f x dx (b a) f x
b a i 0 i i
n
式中 xi 称为求积节点， i 称为求积系数，亦称伴随节点 xi 的权。 不难看出，机械求积公式的构造本质上是个选取参数 xi , i 的代数问题。为要构造上 述公式，需要提供一种判别求积方法精度高低的准则。
f x dx 2 f 1 f 0 f 1
1 1 0 1 2
f 1, f x, f x2 准确成立，据此列出代数方程即可解出 1 2 0 2 , 1 6 3 易知它对 f x3 依然准确成立，可见这样构造的 Newton-Cotes 公式
2.3.2 带权的Gauss公式举例
考察积分 I
x f x dx ，这里 x 0 称为权函数，当 x 1时为普通
b a
积分。仿照普通积分的说法，称求积公式
x f x dx A f x
b a k 0 k k
运用某种复化求积公式可以求得积分值 I 的近似值 I h ， h 0 时， 当 即可取 I h 作 为积分值 I 的值。问题在于如何选取合适的步长 h 呢？因为步长过大精度得不到保证，步 长太小计算量又太大。 实际计算中，常常采取如下策略：事先预报某个步长 h （可以稍大一点） ，然后逐次 减半，直到二分前后两个近似值的偏差 I h / 2 I h 在精度范围内可以忽略为止。这种 在计算中自选步长的方法称作变步长方法。 对于梯形法，步长二分前后梯形值 Tn 和 T2 n 有如下递推关系式：
2.2 Newton-Cotes公式
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法 2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析
2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法
设将求积区间 a, b 划分为 n 等分，选取等分点
xi a ih, h
ba , i 0,1,, n n
b i 0 a
n
这样，机械求积公式的构造问题便归结为求解如下形式的代数方程组：
1 b k 1 a k 1 x b a k 1 , k 0,1,, m i 0
n k i i
2.1.4 一点注记
为简化处理手续，可引进变换
x
再记 g t f
ba ba t 2 2
A0 A1 2 / 3 x A x A 2 / 5 0 0 1 1 2 x0 A0 x12 A1 2 / 7 x3 A x3 A 2 / 7 0 0 1 1
由于所设计的公式不具有对称结构，它的设计要困难得多。最终可以依据上述方程组解出
x0 , x1 , A0 , A1 ，于是所要设计的 Gauss 公式为
设将求积区间[ a , b ] n 等分，步长 h 把这个和作为所求积分的近似值。 最常用的复化求积公式有复化梯形公式：
n 1 ba Tn f a 2 f xi f b 2n i 1
复化 Simpson 公式：
n 1 n 1 ba Sn f a 4 f xi 1/ 2 2 f xi f b 6n i 0 i 1
1
0
x f x dx 0.389111 f 0.821162 0.277556 f 0.289949
2.4 复化求积法
2.4.1 复化求积公式
2.4.2 变步长梯形法
2.4.1 复化求积公式
ba , 分点为 xi a ih, i 0,1, , n 。所谓复化 n 求积法， 就是先用低阶的求积公式求得每个子段[ xi , xi 1 ] 上的积分值， 然后将它们累加求和，
数值分析 Numerical Analysis
Royea 2012.7
第二章 数值积分
2.1 机械求积 2.2 Newton-Cotes公式 2.3 Gauss公式 2.4 复化求积法 2.5 Romberg算法 2.6 数值微分
2.1 机械求积
2.1.1 求积方法的历史变迁
xi , i , i 0,1,, n 均为待定参数， 适当选取这些参数可以使公式具有 2n 1阶精度。 这种高
精度的求积公式称为 Gauss 公式。 为简化处理，先考虑区间 1,1 上的情形。特别地，对于一点 Gauss 公式 n 0 ：
f x dx 2 f x
f x dx (b a) f
b a
就是说，底为 b a 而高为 f 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。称 f 为区 间 a, b 上的平均高度。
2.1.2 机械求积的概念（续）
一般地，取 a, b 内若干个节点 xi 处的高度 f xi ，通过加权平均的方法生成平均高 度 f ，这类求积方法称机械求积：
2.3.1 Gauss公式的设计方法（续）
k 0 x0 1 x1k
1 1
k
2 k 1
, k 0,1, 2,3
Gauss 公式具有高精度，它的结构应具有对称性。特别地，令 0 1 , x1 x0 ，则上述 方程组可简化为
20 1 2 20 x0 1/ 3
2.1.3 求积公式的精度
称形如 2.1.2 中机械求积公式具有 m 阶（代数）精度，如果它对于一切 m 次多项式是 准确的，但对于 m 1多项式不准确；或者说它对于幂函数 f x x k k 0,1,, m 均能 准确成立，即有
b a i xik x k dx, , k 0,1,, m
f x 的原函数 F x , F ' x f x ，便有下列求积公式：
f x dx F b F a
b a
若 F x 可以很容易得到，则求积分的处理过程就大大简化。
2.1.2 机械求积的概念
事实上，我们不难发现，微积分方法法求积分也有其局限性：实际问题中碰到的被积 函数往往没有初等函数表示的原函数， 而实验测量中往往只是给出了一张数据表等等。 显 然这些情况下将无法运用微积分基本定理来求积。鉴于此，在数值求积过程中，人们又重 新审视古人将积分计算归结为提供函数值的穷竭法，从而导致了所谓求积方法的提出。 依据积分中值定理，对于连续函数 f x ，在 a, b 内存在一点 ，成立
由此可得如下两点 Gauss 公式
1 G2 f 3
1 f 3
b a b a f 2 2 3
对一般区间 a, b ，应用 2.1.4 中的变换，可得在这种区间上的两点 Gauss 公式：
G2
b a b a a b f 2 2 2 3
令它对于
b
a
ab f x dx b a 0 f a 1 f 2 f b 2
实际上就是具有
3阶精度的 Simpson 公式。
ba 7 f x0 32 f x1 12 f x2 32 f x3 32 f x4 90
1 1 0 0
令它对 f 1, x 准确，这样即可导出所谓中矩形公式 G1 2 f 0 。下面着重考察两点 Gauss 公式的构造：
f x dx f x f x
1 1 0 Байду номын сангаас 1 1
令它对 f 1, x, x 2 , x3 准确，则有
复化 Cotes 公式：
n 1 n 1 n 1 ba Cn 7 f a 32 f xi 1/ 4 12 f x1/ 2 32 f xi 3/ 4 7 f b 90n i 0 i 0 i 1
2.4.2 变步长的梯形法
同理，我们还可构造如下具有 5阶精度的 Cotes公式：
b
a
f x dx
2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析
设 n 代表区间等分数，不难证明，当 n 为偶数时 Newton-Cotes 公式具有 n 1 阶精度， 这时 Newton-Cotes 公式在精度方面会获得额外的好处； 而当 n 为奇数时 Newton-Cotes 公式 仅具有 n 阶精度。 作为例子，Simpson 公式和 Cotes 公式都在精度上获得额外的好处；相反，n 3 时的 Newton-Cotes 公式仅具有与 Simpson 公式相当的精度。另外，数值算例同样也说明了这个 事实。
n
是 Gauss 型的，如果它对于任意 2n 1次多项式均能准确成立。 例 试构造如下形式的 Gauss 公式
1
0
x f x A0 f x0 A1 f x1
解 令它对 f 1, x, x 2 , x3 准确成立，得
2.3.2 带权的Gauss公式举例（续）