1.1.3 四种命题间的相互关系

1.1.3四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)
(2)
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是()
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()
A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
5．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A ．都真
B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①②都是真命题
D ．
二、填空题
7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)
8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)
9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b
，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．
三、解答题
10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.
12．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．
【能力提升】
13．给出下列三个命题：
①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b
； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2
； ③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.
当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．
其中假命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
14．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1.1.3四种命题间的相互关系
知识梳理
1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p
2．(2)①相同②没有关系
作业设计
1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D
4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真
解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②
10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．
又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”判断，具体：
a 1＋a ≥
b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b
，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]
14．解 能确定．理由如下：
显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .
②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .
从而可知，b >a >c .
所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。