和角的正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
两角和与差的正切
两角和与差的正切
正切是一个在数学中具有重要意义的函数。
它的定义是，当一条直线
与另一条直线的两个斜率相乘时得到的结果。
正切可以用来描述两角平分
线之间的关系，也可以用来计算两角和与两角差之间的正切。
两角和和差的正切分别为：
和：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)。
差：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/ (1+tanα * tanβ)。
上述结果可以由三角恒等式和正反三角函数的定义来证明，首先是三
角恒等式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，
tan(α+β)=[sin(α+β)/cos(α+β)]=[sinαcosβ+cosαsinβ]/[cos
αcosβ-sinαsinβ]，同样的，tan(α-β)=[sin(α-β)/cos(α-
β)]=[sinαcosβ-cosαsinβ]/[cosαcosβ+sinαsinβ]，将第一两
项分开，可以得到tan(α+β)= (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)，tan(α-β) = (tanα - tanβ)/ (1+tanα * tanβ)。
因此，两角和与两角差的正切可以表示为：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)，tan(α-β) = (tanα - tanβ)/
(1+tanα * tanβ)。
正切和角公式推导过程
正切和角公式推导过程1. 正切的基本概念大家好，今天我们来聊聊正切这个数学小明星。
你知道吗，正切其实是一个三角函数，它和直角三角形有着千丝万缕的联系。
说到这里，想必大家都记得那个经典的直角三角形吧！对，就是那种一个角是90度的三角形。
在这个三角形中，正切的定义是对边与邻边的比值。
听起来是不是有点高大上？别担心，我们慢慢来，绝对不会让你觉得无聊。
想象一下，如果你站在山顶，俯视山脚下的风景，山脚到你脚下的直线就是邻边，而从山顶到山脚的直线就是对边。
正切就像是告诉你，“嘿，看看这条线和那条线的关系！” 这就是正切的魅力所在。
简单来说，正切就是一个角的对边长度除以邻边长度的结果。
是不是觉得简单明了？当然，掌握了这个概念，你就可以开始更深入地探讨正切的世界了！1.1 正切与其他三角函数的关系接下来，我们要说说正切与其他三角函数的关系。
正切可是个社交高手，它和正弦、余弦都有着密切的联系。
要说它们之间的关系，就像是好朋友一样，互相帮衬。
在直角三角形中，正切可以通过正弦和余弦来表示，公式是：正切等于正弦除以余弦。
用数学的语言来说，就是：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。
想象一下，你和朋友一起参加派对，正弦和余弦就像是两个活泼的舞者，而正切则在旁边为他们加油助威。
每当你想知道某个角的正切值时，只需查看它的正弦和余弦，轻松搞定。
这种关系让正切在三角函数的大家族中，显得格外重要。
2. 正切和角度的关系2.1 角度的变化与正切的变化接下来，让我们深入探讨一下角度变化对正切的影响。
当你改变角度时，正切的值也会随之变化。
就像是一个调皮的小孩，随着你给的不同角度，它的反应各有不同。
比如，当角度是0度时，正切值是0；当角度是45度时，正切值是1；而到了90度时，正切值就会“无限大”，这可是个挺戏剧性的转变哦！这就像是坐过山车，随着角度的变化，正切的表现也是一波三折。
你可以想象自己在旋转，随着每一个角度的转变，正切值在你脑海中如同过山车般起伏。
三角函数和角公式有哪些
三角函数和角公式有哪些三角函数是数学中的一种特殊函数类型，其定义基于数学中的三角形概念。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。
角公式指的是在三角函数中，根据不同角的关系而得出的一系列重要公式。
下面将逐一介绍常见的三角函数和角公式。
1.周期性：所有的三角函数都具有周期性。
对于常用角度的三角函数，它们的周期为360°，或2π弧度。
2. 正弦函数（sin）：正弦函数以角度或弧度为自变量，在-1到1之间取值。
一些重要的角公式如下：- 正弦函数的正交性：sin(θ) = sin(180°-θ)- 余弦函数的补角关系：sin(90°-θ) = cos(θ)3. 余弦函数（cos）：余弦函数以角度或弧度为自变量，在-1到1之间取值。
一些重要的角公式如下：- 余弦函数的正交性：cos(θ) = cos(180°-θ)- 正弦函数的补角关系：cos(90°-θ) = sin(θ)- 余弦函数的和差公式：cos(α±β) = cosαcosβ± sinαsinβ4. 正切函数（tan）：正切函数以角度或弧度为自变量，没有界限和特殊值。
一些重要的角公式如下：- 正切函数的周期性：tan(θ) = tan(θ + nπ)，其中n为整数- 正切函数的倒数与角度的关系：cot(θ) = 1/tan(θ)- 正切函数的和差公式：tan(α±β) =(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)5. 余切函数（cot）：余切函数以角度或弧度为自变量，没有界限和特殊值。
一些重要的角公式如下：- 余切函数的周期性：cot(θ) = cot(θ+ nπ)，其中n为整数- 余切函数的倒数与角度的关系：tan(θ) = 1/cot(θ)6. 正割函数（sec）：正割函数以角度或弧度为自变量，在正弦函数定义域之外取值。
三角函数常用公式公式及用法
三角函数常用公式公式及用法三角函数常用公式及用法三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的角度和边长密切相关。
在解决三角形问题和推导其他数学公式时，三角函数的常用公式发挥着重要的作用。
本文将介绍三角函数的常用公式及其用法，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，用符号sin表示。
它表示一个角的对边与斜边之比，即sinA = a/c，其中A为角A的度数，a为角A的对边长度，c为斜边长度。
1. 正弦函数的基本性质公式（1）sin(π/2 - A) = cosA，即正弦函数的余角关系。
（2）sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，即正弦函数的和角公式。
（3）sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB，即正弦函数的差角公式。
2. 正弦函数的常用关系公式（1）sin^2A + cos^2A = 1，即正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1。
（2）sin2A = 2sinAcosA，即正弦函数的双角公式。
（3）sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]，即正弦函数的半角公式。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的一种，用符号cos表示。
它表示一个角的邻边与斜边之比，即cosA = b/c，其中A为角A的度数，b为角A的邻边长度，c为斜边长度。
1. 余弦函数的基本性质公式（1）cos(π/2 - A) = sinA，即余弦函数的余角关系。
（2）cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB，即余弦函数的和角公式。
（3）cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB，即余弦函数的差角公式。
2. 余弦函数的常用关系公式（1）sin^2A + cos^2A = 1，即余弦函数和正弦函数的平方和恒等于1。
（2）cos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A，即余弦函数的双角公式。
两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
解析：
两角和、差的正切公式：
两角和、差的正弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
记忆方式：异名同号
正弦的展开肯定就是以正弦开头，然后满足异名，正弦配余弦，符号就和我们要求的符号相同。
两角和、差的余弦公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
记忆方式：同名异号
余弦的展开肯定就是以余弦开头，然后满足同名，余弦配余弦，正弦配正弦，符号就和我们要求的符号相异。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
两角和与差的正切公式的几何意义
正切公式是初等数学中的一个基本概念，它在几何问题中有着重要的应用。
本文将从两角和与差的正切公式出发，探讨其在几何中的意义，希望能给读者一个清晰的认识。
一、两角和的正切公式两角和的正切公式是初等数学中的重要公式之一。
它表示了两个角的正切之和与它们的其他三角函数之间的关系。
具体表达式如下：tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)这个公式在解决一些几何问题时具有重要的作用。
在三角形中，如果已知两个角的正切值，我们可以利用两角和的正切公式求出这两个角的正切值之和，从而进一步得到角的具体数值。
二、差的正切公式与两角和的正切公式类似，差的正切公式是另一个重要的公式。
它表示了两个角的正切之差与它们的其他三角函数之间的关系。
具体表达式如下：tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα * tanβ)这个公式同样可以应用在解决几何问题中。
在求解一个三角形中的角度时，如果已知两个角的正切值之差，我们就可以利用差的正切公式求出这两个角的正切值之差，从而进一步得到角的具体数值。
三、两角和与差的正切公式的几何意义两角和与差的正切公式的几何意义在于，它们可以帮助我们解决一些与角度相关的几何问题。
通过这些公式，我们可以根据已知的角度信息，推导出其他角度的数值。
这在实际问题中有着重要的应用，特别是在工程、测量、导航等领域。
在测量工程中，我们经常会遇到需要求解某个角度的情况。
通过两角和与差的正切公式，我们可以根据已知的角度信息，快速准确地计算出需要的角度数值。
这对于确保测量的准确性具有重要的意义。
在导航领域，两角和与差的正切公式同样可以发挥重要作用。
在航空、航海等领域，我们需要根据已知的航向角和风向角，计算出实际的飞行或航行角度。
借助正切公式，我们可以便捷地完成这一计算过程，确保飞行或航行的准确性和安全性。
两角和与差的正切公式在几何中具有重要的意义，它为我们解决与角度相关的实际问题提供了有力的工具和方法。
高考数学 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
两角和与差的正弦、余弦与正切公式[知识梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.(2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝b a (a ≠0)． 特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等．(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x . [诊断自测]1．概念思辨(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.(2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 ∵α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6，∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16＝1.3．小题热身(1)sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值为( )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．2 D.12答案 B解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°cos (15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30° ＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3.故选B.(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．7 B ．－7 C.17 D ．－17答案 C解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.故选C.题型1 求值问题典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，若17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． 本题采用“函数转化法”．解 由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210， 从而sin x ＝－7210，tan x ＝7.则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210·⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－721021－7＝－2875.方法技巧三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路1．角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化．2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．冲关针对训练已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.故选C.题型2 三角恒等变换的综合应用角度1 研究三角函数的性质 典例 (优质试题·临沂一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．本题采用转化法、数形结合思想．解 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3， 化简可得f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3＝sin2x －23⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos2x ＋ 3 ＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)函数的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2时单调递增，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，转化为函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点．令u ＝2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3 可得f (x )＝2sin u 的图象(如图)．由图可知：m 在[3，2)，函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2.故得实数m 的取值范围是m ∈[3，2)，由题意可知x 1，x 2是关于对称轴是对称的：那么函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的对称轴为x ＝5π12， ∴x 1＋x 2＝5π12×2＝5π6.那么tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－33.方法技巧三角函数综合性试题涉及三角函数的性质研究．首先将三角函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，在转化过程中需要三角恒等变换．如典例．这是高考的重点题型．冲关针对训练(优质试题·河北区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＝32sin x －12cos x ＋cos x ＝32sin x ＋12cos x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π.(2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝45， 由于α是第一象限角，所以sin α＝35，则tan α＝34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 角度2 三角恒等变换与向量的综合典例(优质试题·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数． (1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 本题采用向量法、平方法．解 (1)向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数．若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，则(2cos α－2sin α，sin 2α－t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0， 可得cos α－sin α＝15，平方可得sin 2α＋cos 2α－2cos αsin α＝125，即为2cos αsin α＝1－125＝2425(cos α>0，sin α>0)，由sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＋sin α＝(cos α－sin α)2＋4sin αcos α ＝125＋4825＝75， 即有sin α＝35，cos α＝45，则t ＝sin 2α＝925.(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，即有4cos αsin α＋sin 2α＝1，即有4cos αsin α＝1－sin 2α＝cos 2α，由α为锐角，可得cos α∈(0,1)，即有tan α＝sin αcos α＝14，则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝121－116＝815， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋11－tan2α＝1＋8151－815＝237. 方法技巧三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简．冲关针对训练(优质试题·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝23，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝2sin α2＝23，∴sin α2＝13，∴cos α＝1－2sin 2α2＝79，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝149.1．(优质试题·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.2．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.4．(优质试题·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )A.12B.33C.22D.32答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(优质试题·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(优质试题·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛ π4－ ⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2， 由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.⎝⎭cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C. 7．(优质试题·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3答案 A解析 sin2αsin2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)tan (α＋β)－tan (α－β)＝13.故选A. 8．(优质试题·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( ) A ．－12 B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin (2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D. 9．(优质试题·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(优质试题·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34， ∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D. 二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13. ∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13. ∴cos 2α－sin 2β＝13. 12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β ＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(优质试题·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案 π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3。
两角和差的正弦余弦和正切公式
两角和差的正弦余弦和正切公式在三角函数中，两角的和差的正弦、余弦和正切公式是很重要的定理，用于计算角度的和与差的三角函数值。
这些公式不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机图形学等领域也经常被使用。
下面将详细介绍这些公式。
1.两角和差的正弦公式：设角A和角B是两个任意角，则有以下公式成立：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这些公式表明，两个角度的和或差的正弦值可以表示为这两个角度的正弦、余弦函数值的线性组合。
这个公式在计算三角函数值时非常有用，可以通过已知角度的正弦、余弦函数值计算出两个角度之和或差的正弦函数值。
2.两角和差的余弦公式：设角A和角B是两个任意角，则有以下公式成立：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin Bcos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B这些公式表明，两个角度的和或差的余弦值可以表示为这两个角度的余弦、正弦函数值的线性组合。
这个公式在计算三角函数值时也非常有用，可以通过已知角度的余弦、正弦函数值计算出两个角度之和或差的余弦函数值。
3.两角和差的正切公式：设角A和角B是两个任意角，且cos A != 0，cos B != 0，则有以下公式成立：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式表明，两个角度的和或差的正切值可以表示为这两个角度的正切值的函数。
这个公式在计算三角函数值时也非常有用，可以通过已知角度的正切函数值计算出两个角度之和或差的正切函数值。
这些两角和差的公式可以通过三角函数的定义以及三角函数的诱导公式推导得出。
这些公式在三角学中是非常重要的，广泛应用于计算角度的和与差的三角函数值。
三角函数基本转换公式与特殊三角函数值
三角函数基本转换公式与特殊三角函数值三角函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了角度与直角三角形边长之间的关系。
在三角函数中，最常见的是正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
在学习三角函数的过程中，我们会遇到一些基本转换公式和特殊三角函数值，它们在解题和证明中都会起到重要的作用。
首先，我们来介绍一下三角函数的基本转换公式。
这些公式是通过角度的周期性质和三角函数定义导出的，它们可以帮助我们将一个三角函数的表达式转换为另一个三角函数的表达式，从而简化计算和证明的过程。
1.正弦函数的基本转换公式：- 正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)- 正弦函数具有周期性，即sin(θ + 2πn) = sin(θ)，其中n为整数- 正弦函数具有偶对称性，即sin(π - θ) = sin(θ)2.余弦函数的基本转换公式：- 余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)- 余弦函数具有周期性，即cos(θ + 2πn) = cos(θ)，其中n为整数- 余弦函数具有奇对称性，即cos(π - θ) = -cos(θ)3.正切函数的基本转换公式：- 正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)- 正切函数具有周期性，即tan(θ + πn) = tan(θ)，其中n为整数此外，我们还常常需要用到一些特殊角的三角函数值。
这些特殊角的三角函数值可以通过几何图形或其他方法来确定。
下面是一些常见的特殊角的三角函数值：1.0度角和360度角的三角函数值：- sin(0°) = 0，sin(360°) = 0- cos(0°) = 1，cos(360°) = 1- tan(0°) = 0，tan(360°) = 02.30度角和330度角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2，sin(330°) = -1/2- cos(30°) = √3/2，cos(330°) = √3/2- tan(30°) = √3/3，tan(330°) = -√3/33.45度角和315度角的三角函数值：- sin(45°) = √2/2，sin(315°) = -√2/2- cos(45°) = √2/2，cos(315°) = √2/2- tan(45°) = 1，tan(315°) = -14.60度角和300度角的三角函数值：- sin(60°) = √3/2，sin(300°) = √3/2- cos(60°) = 1/2，cos(300°) = 1/2- tan(60°) = √3，tan(300°) = -√35.90度角和270度角的三角函数值：- sin(90°) = 1，sin(270°) = -1- cos(90°) = 0，cos(270°) = 0- tan(90°) = 无穷大，tan(270°) = 无穷大以上是一些常见的特殊角的三角函数值，它们在解题和证明中都会被广泛使用。
九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数是数学中的一门重要学科，是研究角和三角形之间关系的一门学科。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1,1]之间的实数。
在直角三角形中，正弦函数表示的是角的对边与斜边之间的比值。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，其定义域是实数集，值域也是[-1,1]之间的实数。
在直角三角形中，余弦函数表示的是角的邻边与斜边之间的比值。
3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，在定义域上存在无穷多个间断点。
其值域为整个实数集。
在直角三角形中，正切函数表示的是角的对边与邻边之间的比值。
除了这三个基本的三角函数，还有以下几个常用的三角函数公式：1.两角和公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))2.两角差公式：sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))3.和角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan^2(A))4.半角公式：sin(A/2) = √[(1 - cos(A))/2]cos(A/2) = √[(1 + cos(A))/2]tan(A/2) = sin(A)/(1 + cos(A))5.二倍角公式：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2cos^2(A) = (1 + cos(2A))/2tan^2(A) = (1 - cos(2A))/(1 + cos(2A))这些公式在解决三角函数相关问题时非常有用，可以帮助我们简化计算，推导其他三角函数之间的关系，以及解决各种三角形的问题。
三角形正玄余玄正切定理公式
三角形正玄余玄正切定理公式
三角形的正弦、余弦和正切定理公式如下：
1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。
则有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。
2. 余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形则有：
a²=b²+c²-2bc·cosA；
b²=a²+c²-2ac·cosB；
c²=a²+b²-2ab·cosC。
也可表示为：
cosC=(a²+b²-c²)/2ab；
cosB=(a²+c²-b²)/2ac；
cosA=(c²+b²-a²)/2bc。
3. 正切定理：在三角形中，任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
对于边长为a，b和c而相应角为A，B
和C的三角形，有：
(a-b)/(a+b)=[tan(A-B)/2]/[tan(A+B)/2]；
(b-c)/(b+c)=[tan(B-C)/2]/[tan(B+C)/2]；
(c-a)/(c+a)=[tan(C-A)/2]/[tan(C+A)/2]。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询数学领域专业人士或查阅数学书籍。
三角函数公式边和角的关系
三角函数公式边和角的关系
三角函数公式中的边和角关系通常涉及正弦、余弦和正切函数。
以下是一些主要的公式：
1. 正弦定理：在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比是恒定的，即
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
其中 $a, b, c$ 是三角形的三边，$A, B, C$ 是与它们对应的角，$R$ 是三角形的外接圆半径。
2. 余弦定理：在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的这两边与它们之间的角的余弦的乘积，即
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
3. 正切定理：在任意三角形中，任意一边与其对角的正切值的比等于其他两边之比，即
$\frac{a}{\tan B} = \frac{b}{\tan C}$
这些公式在三角形的角度和边长的计算中非常有用，特别是当需要解决几何问题或三角函数问题时。
三角和的正切公式的推导过程
三角和的正切公式的推导过程要推导三角和的正切公式，可以使用欧拉公式：$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$首先，假设我们有一个等差数列$a, a+d, a+2d, ..., a+nd$，其中$a$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
我们想求解这个等差数列的和$S$。
我们可以将这个等差数列展开为：$$S = (a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+nd))$$将等差数列中的每一项用复数表示，我们可以得到：$$S = (a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+nd)) = [a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+nd)]1$$将这个和式中的每一项与$e^{id}$相乘，我们可以得到：$$Se^{id} = (a + (a+d)e^{id} + (a+2d)e^{2id} + ... +(a+nd)e^{nid})$$再将这个新的和式中的每一项移动到原来的和式中，我们可以得到：$$Se^{id} = a + ae^{id} + ae^{2id} + ... + ae^{nid} + de^{id} + de^{2id} + ... + de^{nid}$$观察右侧的每一项，我们可以得到：$$ae^{id} + ae^{2id} + ... + ae^{nid}$$这是等比数列的和，可以用公式$$a\frac{1 - e^{i(n+1)d}}{1 - e^{id}}$$来表示。
同样地，我们有$$de^{id} + de^{2id} + ... + de^{nid}$$这也是等比数列的和，可以用公式$$de^{id}\frac{1 - e^{in(d)}}{1 - e^{id}}$$来表示。
将上面两个式子代入$Se^{id}$，我们可以得到：$$Se^{id} = a + a\frac{1 - e^{i(n+1)d}}{1 - e^{id}} +de^{id}\frac{1 - e^{in(d)}}{1 - e^{id}}$$将$e^{id}$约掉，我们可以得到：$$Se^{id} = a\frac{1 - e^{i(n+1)d}}{1 - e^{id}} + de^{id}\frac{1 - e^{in(d)}}{1 - e^{id}}$$移项后再约分，我们可以得到：$$S(e^{id} - 1) = a(1 - e^{i(n+1)d}) + d(1 - e^{in(d)})$$上式两边都乘以$e^{-id}$后，并且化简右边的括号内的表达式，我们可以得到：$$S(e^{-id} - 1) = a(1 - e^{ind}) + d(1 - e^{ind})e^{-id}$$$$S(e^{-id} - 1) = a(1 - e^{ind}) + d(e^{-id} - e^{-id}e^{ind})$$ $$S(1 - e^{id}) = a(1 - e^{ind}) + d(1 - e^{ind})e^{-id}$$$$S = \frac{a(1 - e^{ind}) + d(1 - e^{ind})e^{-id}}{1 - e^{id}}$$将$n \to \infty$，我们可以得到等差数列的和公式：$$S = \frac{a + de^{-id}}{1 - e^{id}}$$然后，我们将这个等差数列的和公式应用到三角和的公式中。
两角和正切公式证明
两角和正切公式证明两角和正切公式，在三角函数的世界里，那可是个相当重要的角色！咱先来说说啥是两角和正切公式。
它呀，就是tan(α + β) = (tanα +tanβ) / (1 - tanαtanβ) 。
这公式看起来可能有点复杂，但别急，咱们一步步来证明它。
为了搞清楚这个公式，咱们先从最基础的三角函数定义说起。
还记得正切函数tanθ 是啥不？就是sinθ / cosθ 嘛。
那对于tan(α + β) ，咱们就可以写成sin(α + β) / cos(α + β) 。
这时候，就得搬出三角函数的和角公式啦。
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ ，cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ 。
把这俩代入到tan(α + β) 里，就变成了(sinαcosβ + cosαsinβ) / (cosαcosβ - sinαsinβ) 。
接下来，咱们给这个式子的分子分母同时除以cosαcosβ 。
分子就变成了(tanα + tanβ) ，分母呢，就成了 (1 - tanαtanβ) 。
嘿，这不就得到了咱们要证明的两角和正切公式tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) 嘛！我给您说个我以前教学时候的事儿。
有一次上课，我在黑板上写下这个两角和正切公式，然后问同学们能不能理解。
结果大部分同学都一脸懵，还有个小调皮在下面嘀咕：“这啥呀，跟外星密码似的。
”我一听，笑了笑说：“别着急，咱们一步步来，就像解谜题一样。
”我带着他们从最基础的三角函数定义开始，一步一步推导，慢慢地，同学们的眼睛开始亮了，开始跟着我的思路一起思考。
最后，当我们成功推导出这个公式的时候，教室里响起了一阵小小的欢呼声，那个小调皮还站起来说：“老师，原来也没那么难嘛！”那一刻，我真的觉得特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
它的用处可大了去了。
比如说，在解决一些三角形的问题时，知道了两个角的正切值，就能通过这个公式算出它们和的正切值，从而进一步求出其他的边和角。
两脚和与差的正弦余弦正切公式
两脚和与差的正弦余弦正切公式英文回答：The formulas for the sum and difference of the sine, cosine, and tangent of two angles are fundamental in trigonometry. These formulas allow us to find the trigonometric functions of the sum or difference of two angles, given the trigonometric functions of the individual angles.Let's start with the sum formulas:1. Sine of the sum of two angles:sin(A + B) = sin(A) cos(B) + cos(A) sin(B)。
2. Cosine of the sum of two angles:cos(A + B) = cos(A) cos(B) sin(A) sin(B)。
3. Tangent of the sum of two angles:tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 tan(A) tan(B))。
Now, let's move on to the difference formulas:1. Sine of the difference of two angles:sin(A B) = sin(A) cos(B) cos(A) sin(B)。
2. Cosine of the difference of two angles:cos(A B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)。
3. Tangent of the difference of two angles:tan(A B) = (tan(A) tan(B)) / (1 + tan(A) tan(B))。
两个角相加的正切公式
两个角相加的正切公式好吧，今天咱们聊聊两个角相加的正切公式。
听起来是不是有点儿高深莫测，像是在看天书？其实没那么复杂，来，咱们轻松一点，像是在喝咖啡一样，慢慢聊。
正切，这个词大家肯定听过。
它是一个在三角形和角度中非常重要的概念，简直就像是数学界的明星。
正切其实就是一个角的对边长度和邻边长度的比值。
想象一下，如果你在爬山，山的高度就是对边，地面上的那段距离就是邻边，正切就是你爬上去的“陡峭程度”，感觉是不是很形象？而两个角相加的正切公式呢，就是在说，如果你有两个角，加在一起之后，正切会怎么变化。
这就像是把两种不同口味的冰淇淋混在一起，结果出来的味道可能会让你惊喜。
公式长得有点复杂，别被吓到，它是这样的：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 tan A * tan B)。
看上去是不是有点像在说外星话？但这只是告诉我们，两个角的正切加起来，和它们的乘积有着千丝万缕的关系。
想象一下，你正在和朋友讨论哪个地方的风景最好。
你们各自说出了自己的观点，结果你们的讨论碰撞出了新的火花。
这个时候，你们的观点就像那两个角，加在一起，能产生新的看法。
生活中很多事情都可以用这个公式来解释，大家都在碰撞思想，结果有时就是那种“1 + 1 > 2”的感觉。
在数学中，角度的组合就像是人生中的选择，很多时候你觉得自己在选的并不是简单的两条路，而是无数条的可能。
每条路都代表着一个角，每一次选择都可能让你的人生走上不同的轨迹。
就像这正切公式，每个选择都有可能带来意想不到的结果。
所以，学会利用这个公式，能够帮助你在面对复杂问题时，找到更简单的解法。
生活中总是充满各种挑战，正如你在解一个看似复杂的数学题时，找到窍门后突然就豁然开朗。
说到这里，咱们再来聊聊这个公式的实际应用。
比如说，在建筑设计中，工程师需要考虑不同角度的组合，确保建筑结构的安全和美观。
就好比在做一块拼图，虽然每一块都是独特的，但拼在一起后，却能形成完美的画面。
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例 例1、利用和（差）公式，求75°， 15 °的正切值。 题 析 讲 例2、计算下列各式的值。
tan30 tan75 (1) 1 tan75 tan30
1 tan15 (2) 1 - tan15
tan( 60 ) tan( 30 ) 例3、计算 的值 1 tan( 60 ) tan( 30 )
以-β 代β
S(α +β )
以
C(α +β )
相 除 T(α +β )
2
代
S(α -β ) C(α -β ) 相 除
以-β 代β
以-β 代β
总 结
T(α -β )
练习：P148 。1
作业：P148 。2 、3（1）、4（1）
两角和与差的正切
温 故
公式Sα +β ,Sα -β ,Cα +β ,Cα -β 以及公式α , β的取值范围？
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
(1)、 求 cot105 的值 1 t an15 ( 2)、 计算 的值 1 cot15 2 3 (3)、 已知 sin ，cos , 3 4 且， 都是第二象限的角 ， 求 t an( ), t an( )
练 习 巩 固
C( ) : cos( ) cos cos sin sin S ( ) : sin( ) sin cos cos sin tan tan T( ) : tan( ) 1 tan tan
公 式 推 导
公式Tα +β 成立的条件是什么？遇到 tan( ) 这类计算时，怎么办？
2
注 意
cos 1 tan( ) 2 sin tan cos( ) 2 2
sin(
)
公式成立的条件是α R，β R ，α ，β α ±β 都不等于kπ+ π /2，k Z 当tanα ,tanβ ,tanα +β 中只要有一个不 存在的话，就不能用公式
能否像上面一样，用单角α ，β 的 正切来表示tan(α ±β )呢？
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求 ？）
tan tan 1 tan tan
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求？） cos cos sin sin cos cos cos cos