2011年-2018年高考数学导数分类汇编(理)
2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——2.函数及其性质
)
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
【2012，10】已知函数 f (x)
1
，则 y f (x) 的图像大致为（ ）
ln(x 1) x
y
y
y
y
1
O1
x
1
1
1
O1
O1 x
x
O1
x
【2011，12】函数 y 1 的图像与函数 y 2 sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） x 1
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
【解析】取对数：
x
ln
y
ln
3
ln
5
．
x y
ln 3 ln 2
3 2
，∴
2x
3y
，
x
ln
2
z
ln
5
，则
x z
ln 5 ln 2
5 2
，
∴ 2x 5z ∴ 3y 2x 5z ，故选 D．
【法二】取对数：
x ln 2
bln b
和
aln a
，
构造函数 f x x ln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，因此
f a f b 0 a ln a bln b 0 1 1 又由 0 c 1 得 ln c 0 ，
a ln a b ln b ，
∴
ln c a ln a
ln c b ln b
b
天津卷2011-2018卷导数部分
天津卷2011-2018函数2018.5．（5分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 2018.13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．2018.14．（5分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．2017.6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 2017.8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]2017.12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．2016.13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．2016.8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}2015.7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a2015.8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．2014.4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．2013.7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．42013.8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2013.14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=时，取得最小值．2012.4．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．32012.14．（5分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．2011.8．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．2011.7．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 2018.20．（14分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g （x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g （x）的切线．2017.20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2016.20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．2015.20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．2014.20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2013.20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．2012.20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2011.19．（14分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=时，证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）；（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．天津卷2011-2018函数2018.5．（5分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a=log2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．2018.13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．2018.14．（5分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）2017.6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．2017.8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x ﹣1，由2x﹣1=﹣，可得x=，切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．由图象平移可得，﹣≤a≤2．故选：A．2017.12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．2016.13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a ﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）2016.8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C2015.7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．2015.8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．2014.4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g （x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）2013.7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B．2013.8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选：A．2013.14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．2012.4．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选：B．2012.14．（5分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【解答】解：y==，作出函数y=与y=kx﹣2的图象如图所示：∵函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．2011.8．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选：B．2011.7．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故选：C．2018.20．（14分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g （x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g （x）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u （x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．2017.20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：（﹣1，）（，+∞）所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x ∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．2016.20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b =﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．2015.20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f （x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．2014.20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g （X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．2013.20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（0，）（，+∞）所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e2t lne t ﹣t=t（e2t﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使成立，只需，即2＜，即2＜2+，只需，变形可得只需0＜lnu ＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有成立．2012.20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a ∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．2011.19．（14分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=时，证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）；（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．【解答】解：（1）由题意得函数f（x）=lnx﹣ax2的定义域为，当a≤0时，f'（x）＞0，则函数f（x）=lnx﹣ax2在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，x＞0，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，综上所述，结论是a≤0时，函数f（x）=lnx﹣ax2的单调增区间为（0，+∞）；a＞0时，函数f（x）=lnx﹣ax2的单调增区间为，单调减区间为．（2）证明：当时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，则，又f（x）在（2，+∞）上的值域为（﹣∞，f（2）），∴存在x0∈（2，+∞），使，综上所述，结论证明成立．（3）证明：f（α）=f（β），由（1）知，又β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，所以1≤α≤2≤β≤3，所以，即，所以．。
2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—3.导数及其应用
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 3．导数及其应用（含解析）一、选择题【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【2014，12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞- 二、填空题【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为 ． 【2012，13】13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________． 三、解答题【2018,21】（12分）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【2016，21】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2015，21】设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;（2）求证：当0a >时，()22ln f x a a a≥+．【2014，21】设函数2(1)()ln 2a f x a x x bx -=+-(1)a ≠，曲线()y f x =在点(1, f (1))处的切线斜率为0．(Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若存在x 0≥1，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围．【2013，20】已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4．(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．【2012，21】21．设函数()2xf x e ax =--． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()'()10x k f x x -++>，求k 的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 3．导数及其应用（解析版）一、选择题【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解析：选C ．问题转化为()21cos2cos 03f x x a x '=-+…对x ∈R 恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+…，即245cos cos 033a x x -+…恒成立． 令cos x t =，得245033t at -++…对[]1,1t ∈-恒成立． 解法一：构造()24533g t t at =-++，开口向下的二次函数()g t 的最小值的可能值为端点值， 故只需保证()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……，解得1133a -剟．故选C ．解法二：①当0t =时，不等式恒成立；②当01t <…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立，由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在01t <…上单调递增，所以()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，故13a -…；③当10t -<…时，1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立．由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在10t -<…上单调递增，()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，所以13a …．综上可得，1133a -剟．故选C ． 【2014，12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-解：依题a≠0，f '(x )=3ax 2-6x ，令f '(x )=0，解得x =0或x =2a，当a >0时，在(-∞, 0)与(2a ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．在(0,2a) 上，f '(x )<0，f (x )是减函数．且f (0)=1>0，f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，在(-∞,2a )与(0,+∞)上，f '(x )<0，f (x )是减函数．在(2a,0)上，f '(x )>0，f (x )是增函数．要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只要2()0f a>，即a 2>4，所以a <-2．故选C另解：依题a≠0，f (x )存在唯一的正零点，等价于3113a x x =-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于a =-t 3+3t 有唯一的正零根，即y =a 与y =-t 3+3t 有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记g (t )=-t 3+3t ，g'(t )=-3t 2+3，由g '(t )=0，解得t =±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t )<0，g (t )是减函数．在(-1,1)上，g '(t )>0，g (t )是增函数．要使a =-t 3+3t 有唯一的正零根，只要a <g (-1)=-2，故选C 二、填空题【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为 ． 【解】1y x =+．求导得212y x x'=-，故切线的斜率1|1x k y ='==，所以切线方程为21y x -=-，即1y x =+．【2012，13】13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________．【解析】430x y --=．由已知'3ln 4y x =+，根据导数的几何意义知切线斜率1'|4x k y ===，因此切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=． 三、解答题【2018,21】已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．21．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1e a ≥时，()0f x ≥．【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）()()()()2222'=--=+-xx x x f x e ae a e a e a①当0>a 时，20+>x e a ，令()0'>f x ，即0->x e a ，解得ln >x a ， 令()0'<f x ，即0-<x e a ，解得ln <x a ，所以当0>a ，()f x 在()ln ,+∞a 上递增，在(),ln -∞a 上递减． ②当0=a 时，()()220'=>x f x e ， ()f x 在R 上递增．③当0<a 时，0->x e a ，令()0'>f x ⇒20+>x e a ⇒2>-xa e ⇒ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ， 令()0'<f x ⇒20+<x e a ⇒2<-xa e ⇒ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ， 所以当0<a 时，()f x 在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增，在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减． 综上所述：当0>a ，()f x 在(),ln -∞a 上递减，在()ln ,+∞a 上递增；当0=a 时， ()f x 在R 上递增； 当0<a 时，()f x 在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减，在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增．（2）由（1）得当0a >时，()()()ln ln 2min ln ln ==--aaf x f a eea a a 2ln 0=-≥a a ， ∴ln 0≤a ，得01<≤a ．当0=a 时，()()20=>xf x e 满足条件．当0<a 时，()ln ln 222minln ln 22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a a f x f e ea a 223ln 042⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭a a a ，∴3ln 24⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭a ⇒342-≤a e ⇒342≥-a e ，又因为0<a ，所以3420-≤<e a ． 综上所述，a 的取值范围是342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【2016，21】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 解析：（1）由题意()()()1e 21xf x x a x '=-+-()()=1e 2x x a -+．①当20a …，即0a …时，e 20xa +>恒成立．令()0f x '>，则1x >，所以()f x 的单调增区间为()1,+∞．同理可得()f x 的单调减区间为(),1-∞． ②当20a <，即0a <时，令()0f x '=，则1x =或()ln 2a -． （ⅰ）当()ln 21a ->，即e2a <-时，令()0f x '>，则1x <或()ln 2x a >-， 所以()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞．同理()f x 的单调减区间为()()1,ln 2a -； （ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x …时，10x -…，1e 2e e 0x a +-=…，所以()0f x '…．同理1x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时．令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -． 综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -； 当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -； 当0a …时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞．（2）解法一（直接讨论法）：易见()1e 0f =-<，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况． ①当e2a <-时，由()f x 单调性可知，()()()ln 210f a f -<<，故不满足题意； ②当e2a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，显然不满足题意； ③当e02a -<<时，由()f x 的单调性，可知()()()1ln 2f f a <-， 且()()()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a -=---+--()2ln 220a a a =--+<⎡⎤⎣⎦，故不满足题意；下面研究0a …，当0a =时，()()2e xf x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有1个零点，故舍去；当0a >时，()1e 0f =-<，()20f a =>，所以()f x 在()1,+∞上有1个零点；（i ）当01a <…时，由ln 02a<，而2ln ln 2ln 12222a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23ln ln 0222a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；（i i ）当1a >时，由20-<，而()()22424e 990ef a a --=-+=->， 所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；可见当0a >时()f x 有两个零点．所以所求a 的取值范围为()0,+∞． 解法二（分离参数法）：显然1x =不是()f x 的零点， 当1x ≠时，由()0f x =，得()22e 1x xa x -=-()1x ≠．设()()22e 1xxg x x -=-()1x ≠，则问题转化为直线y a =与()g x 图像有两个交点， 对()g x 求导得()()()()24e 1211x x x g x x ⎡⎤---+⎣⎦'=-， 所以()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减．①当0a …时，若(),1x ∈-∞，()0g x >，直线y a =与()g x 图像没有交点，若()1,x ∈+∞，()g x 单调递减，直线y a =与()g x 图像不可能有两个交点， 故0a …不满足条件；②若0a >时，取13min 12x ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()()12111g x a x >-…， 而()20g a =<，结合()g x 在()1,+∞单调递减， 可知在区间()1,2x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点，取2min 1x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，3x = 则()()22221g x a x -厖，()33223322x g x a x x -<<<， 结合()g x 在(),1-∞单调递增，可知在区间()32x x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点， 综上所述，0a >时直线y a =与()g x 图像有两个交点，函数()f x 有两个零点．【2015，21】设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;（2）求证：当0a >时，()22ln f x a a a+…．解：(Ⅰ) f '(x )=2e 2x ax-， x >0 …2分 (1)若a ≤0时，f '(x )>0在(0,+∞)恒成立，所以f '(x )没有零点； …3分(2)若a >0时，f '(x )单调递增．当x →0, f '(x ) →-∞；当x →+ ∞,f '(x ) →+∞， 所以f '(x ) 存在一个零点． …6分(Ⅱ) 设f '(x )的唯一零点为k ，由(Ⅰ)知(0, k )上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(k ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )取最小值f (k )． …8分 所以f (x )≥f (k )= e 2k -a ln k ，又f '(k )= 2e 2k a k -=0，所以e 2k =2ak，22ln ln k k a =-，所以f (k )=2(ln 2)2ln 2ln 2222a a a aa k ka a a a k a k --=++≥+， 所以f (x )≥22lna a a+． …12分 21． 解析 （1）()()2e ln 0x f x a x x =->，()22e x a f x x'=-． 显然当0a …时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点．当0a >时，取()()22e x a g x f x x '==-，则()224e 0x ag x x'=+>，即()f x '单调递增． 令()()22e 0x a g x f x x '==-=，即22e x ax =．画出22e xy =与a y x=的图像，如图所示．由图可知，()f x '必有零点，所以导函数()f x '存在唯一零点．（2）由（1）可知()f x '有唯一零点，设零点为0x ， 由图可知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，即()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增．所以()f x 在0x x =处取得极小值，即()()0200min e ln x f x f x a x ==-．又()02002e 0xa f x x '=-=，解得020e 2x a x =．① ①两边分别取自然对数，得002ln ln 2x a x =-，即00ln ln 22ax x =-． 所以()00000ln 22ln 2222a a a a f x a x ax a x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭… 22ln2ln 2a a a a a a -=+（当且仅当0022a ax x =，即012x =时取等号）．【2014，21】设函数2(1)()ln 2a f x a x x bx -=+-(1)a ≠，曲线()y f x =在点(1, f (1))处的切线斜率为0．(Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若存在x 0≥1，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 解：(Ⅰ) ()(1)af x a x b x'=+--(x >0)，依题f '(1)=0，解得b =1， …3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2(1)()ln 2a f x a x x x -=+-，2(1)(1)[(1)]()a x x a x a x a f x x x --+---'==， 因为a ≠1，所以f '(x )=0有两根：x =1或1ax a=-。
2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.函数与导数
2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数一、选择题【2018，5】设函数()()ax x a x x f +-+=13，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =【2018，9】已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2015，12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．A ．B ．D ．【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题【2018，理21】已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.【2017，21】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，21】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，21】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0lnxxbef x ae xx-=+，曲线()y f x=在点（1，(1)f处的切线为(1)2y e x=-+．(Ⅰ)求,a b；（Ⅱ）证明：()1f x>．【2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数（解析版）一、选择题【2018，5】设函数()()ax x a x x f +-+=13，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =【答案】D 解析：解法1：由基本函数3x y =，()21x a y -=，ax y =的奇偶性，结合()x f 为奇函数，易知1=a .则()x x x f +=3，求导数，得()()10132='∴+='f x x f ，由点斜式得()x y x y =-=-即010.解法2： ()()ax x a x x f +-+=13为奇函数， ()()x f x f -=-∴，即()()ax x a x ax x a x ----=--+-232311，()10222==-∴a x a 得，则()x x x f +=3，求导数，得()231f x x '=+，()01f '∴=， 由点斜式得()010y x -=-，即y x =.(2018·新课标Ⅰ，理9)已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，【答案】C 解析：()()g x f x x a =++存在两个零点，()0g x ∴= 即()f x x a ++=0有两个根，()f x x a ∴=--有两个根 ，即函数()y f x =与()h x x a =--有两个交点，()h x x a =--在y 轴上的截距为a -，使a -1≤即可， 1a ∴≥-【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ．【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln 33ln 22x y =>，∴23x y >，ln 2ln 5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ．【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确；要比较l o g a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D ．. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，解得32a e ≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选D ．. 【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2()0f a>，即24a >，2a <-．选B 【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ；A ．B ．D ．因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-，所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ．【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-Bln 2)-C ．1ln 2+Dln 2)+【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称． 问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112te =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =，所以min ||2ln2)PQ d =-，故选择B ． 【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x = (B) 1y x =+ C ．21y x =-+ (D) 2xy -=解析：由图像知选B 【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6解析：用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰，选C【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：图像法求解．11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =2132ABC S x =⋅=△，则213ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则45V ，∴体积最大值为3．【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =解析：由函数f (x )=x ln （x ()ln(g x x =为奇函数（(0)0g ==）；由ln(ln(0x x ++-+=（()()0g x g x +-=），得ln 0a =，1a =，故填1.【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－2－2][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9. f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15] ＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题（2018·新课标I ，理21）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.解析：解法1：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-. 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，24a ∆=-.①若02a <≤，则240a ∆=-≤，此时()0f x '≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.②若2a >，则240a ∆=->，方程210x ax -+=有两根12,x x ，且1212010x x a x x +=>⎧⎨=>⎩，故两根12,x x都为正数，且1,22a x ±=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ∈⎝⎭时，()0f x '>.综上可知，当2a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭单调递增，在2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以1212010x x a x x +=>⎧⎨=>⎩.所以要证()()111221212212121211ln ln ln 22x x a x x a x f x f x x x x a a x x x x x x -+--+-==-+<----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证1212ln1x x x x <-①，不妨设12x x >，即证11220ln x x x x <<-，两边平方得()2222111221212212212ln 2x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+<-==+- ⎪⎝⎭， 令121x t x =>，即证21ln 2t t t <+-.令()21ln 2h t t t t=--+，则()10h =，且()22ln 11112ln t h t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令()12ln m t t t t =-+，则()()222221212110t t t m t t t t t --+-'=--==-<， 所以()m t 在()1,+∞上单调递减，()()10m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在()1,+∞上单调递减，()()10h t h <=，即21ln 2t t t<+-恒成立，即()()12122f x f x a x x -<--恒成立.【基本解法2】①式的证明：不妨设1210x x >>>，112112111ln ln ln ln 11x x x x x x x x --=<--，即21111ln 0x x x -+<，令()()21ln 1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x --'=--=<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=恒成立，则①得证.【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+，①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤ 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()11ln g a a a=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >， 若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根． 又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．【法二】令()0f x =，则22x x xe x a e e+=+．再令0xt e =>，则22ln t t a t t +=+，而()f x 有两个零点，则22ln t t a t t +=+有两解，即直线y a =与曲线22ln t t y t t+=+有两个交点； 令()22ln (0)t t g t t t t +=>+，则()()()()()2222211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++， 令()1ln h t t t =--，则()110h t t'=--<，注意到()10h =，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()()max 11g t g ==；而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞→-∞→，所以当()0,1t ∈时，()(),1g t ∈-∞；当()0,1t ∈时，()()0,1g t ∈， 所以，当22ln t ta t t+=+有两解时，a 的取值范围为()0,1．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0e -<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<且()0f x '>1x <），所以x =最小值点，且14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a-<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点. 【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()l n g x x x'=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-. 设函数2()xh x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分【2013，理21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 【2012】21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【解析】（1）因为2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-，所以1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f ef f f ⎧=⋅⎪⎨⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =． 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，由此得'()1x f x e x =-+． 而'()1xf x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =，因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数．综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．（2）由已知条件得(1)x e a x b -+≥． ①（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且11bx a -<+， 可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立． （ii ）若10a +=，则(1)0a b +=．（iii ）若10a +>，设()(1)x g x e a x =-+，则'()(1)x g x e a =-+．当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x > 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增． 所以b ax x x f ++≥221)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++． ② 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+． 所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在121a e =-在处取得最大值，从而()2e h a ≤，即(1)2e a b +≤． 当121a e =-，122e b =时，②式成立，故b ax x x f ++≥221)(．综合得，b a )1(+的最大值为2e．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b ab =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （II ）由（I ）知()ln 11x f x x x =++，所以()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x>- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为(],0-∞.。
导数历年高考真题精选及答案
导数历年高考真题精选及答案一．选择题1. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 2.（2011年高考山东卷文科10)函数2sin2xy x =-的图象大致是3.（2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e4.2011年高考浙江卷文科10)设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是5.（2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12- B ．12 C ．2 D 26.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是7.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a - 2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b8.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 9.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）10.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④11.2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -812..(2009年广东卷文)函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞13.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64B ．1-或214C ．74-或25-64D ．74-或7 14.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A B ． C ． D ． 二、填空题1.（2009辽宁卷文）若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =2.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .3.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .4.（2009宁夏海南卷文）曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为三．解答题1.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． a b a b a2.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.3.2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠ （1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围4.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
高考专题全国卷真题2011至2018-导数及其应用(含大小题)
17.导数及其应用【高考真题】17-1（2011全国-9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A ） （B ）．4 （C ）． （D ）．6 17-2（2011全国-20）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足∥，··，M 点的轨迹为曲线。
（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值。
17-3（2011全国-21）已知函数，曲线在点（1，）处的切线方程为。
（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
17-4（2012全国-12）设点P 在曲线上，点Q 在曲线上，则的最小值为（ ） （A ） （B（C ）（D17-5（2012全国-21）已知函数满足。
（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。
y =2y x =-y 103163xOy (0,1)A -B 3y =-M MB OA MA AB =MB BA C C P C l C P O l ln ()1a x b f x x x =++()y f x =(1)f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x>+-k 12x y e =ln(2)y x =||PQ 1ln2-ln 2)-1ln2+ln 2)+)(x f 2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-)(x f b ax x x f ++≥221)(b a )1(+17-6（2013全国Ⅰ-11）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 （A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0] 17-7（2013全国Ⅰ-21）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x )≤kgf (x )，求k 的取值范围。
2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——3.导数及其应用
D． 2(1 ln 2)
【解析】函数 y 1 ex 与函数 y ln(2x) 互为反函数，图象关于直线 y x 对称． 2
问题转化为求曲线 y 1 ex 上点 P 到直线 y x 的距离的最小值 d ，则 | PQ | 的最小值为 2d ． 2
（用切线法）：
设直线 y x b 与曲线 y 1 ex 相切于点 P(t, 1 et ) ，
可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f′（x）=3x2+1，
曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【2015，12】设函数 f (x) = ex (2x 1) ax a ,其中 a 1 ，若存在唯一的整数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则 a
．
【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC 的中心为 O．D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，
CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC， CA，AB 为折痕折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC．的边长变
3x2
1 有唯一的正零点，等价于 a
3 1 x
1 x3
有唯一的正零根，令 t 1 ，则问题又等价于 a t3 3t 有唯一的正零根，即 y a 与 y t3 3t 有唯一 x
的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t) t 3 3t ， f (t) 3t 2 3 ，由 f (t) 0 ， t 1，
的取值范围是（ ）
A．
3 2e
2018年全国2卷理科数学十年真题分类汇编3 导数
2018年全国2卷理科数学十年真题分类汇编3 导数3.导数一、基础题组1.【2014新课标，理8】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A。
0.B。
1.C。
2.D。
3答案】D解析】因为$y'=a-\frac{1}{x+1}$，所以切线的斜率为$a-1=2$，解得$a=3$，故选D。
2.【2017课标II，理11】若$x=-2$是函数$f(x)=(x+ax^{-1})e^{-3x}$的极值点，则$f(x)$的极小值为A．$-1$。
B．$-2e^{-3}$。
C．$5e^{-3}$。
D．$1$答案】A考点】函数的极值、函数的单调性名师点睛】（1）可导函数$y=f(x)$在点$x$处取得极值的充要条件是$f'(x)=0$，且在$x$左侧与右侧$f'(x)$的符号不同；（2）若$f(x)$在$(a,b)$内有极值，那么$f(x)$在$(a,b)$内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3.【2005全国2，理22】(本小题满分12分)已知$a\geqslant0$，函数$f(x)=(x^2-2ax)e^x$．Ⅰ)当$a$为何值时，$f(x)$取得最小值？证明你的结论；Ⅱ)设$f(x)$在$[-1,1]$上是单调函数，求$a$的取值范围．解析】：（I）对函数$f(x)$求导数得$f'(x)=(x+2x-2ax-2a)e^{2x}$，令$f'(x)=0$，得$x+2(1-a)e^{-2x}=0$，从而$x=\frac{1}{2}\ln\frac{1}{1-a}$。
解得$x_1=a-1-\sqrt{a^2-a+1},x_2=a-1+\sqrt{a^2-a+1}$当$a\geqslant1$时，$x_1x_2$上为增函数，而当$x=0$时，$f(x)>0$，所以当$x=x_2$时，$f(x)$取得最小值。
II）因为$f(x)$在$[-1,1]$上是单调函数，所以$f'(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递增。
2011-2018年全国一卷导数理汇编 带答案
1．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．2．（5分）（2014•新课标Ⅰ理）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•新课标Ⅰ理）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[） B．[）C．[）D．[）【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D5．（5分）（2018•新课标Ⅰ理）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【分析】利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.【解答】因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D.【点评】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.16．（5分）（2018•新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【分析】首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.【解答】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.4．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）。
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编导数一．基础题组1.【2010新课标，理3】曲线 $y=\frac{x}{x+2}$ 在点(-1,-1)处的切线方程为()A。
$y=2x+1$。
B。
$y=2x-1$C。
$y=-2x-3$。
D。
$y=-2x-2$答案】A2.【2008全国1，理6】若函数 $y=f(x-1)$ 的图像与函数$y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=\_\_\_$A。
$e^{2x}-1$。
B。
$e^{2x}$C。
$e^{2x}+1$。
D。
$e^{2x}+2$答案】B.解析】由 $y=\ln x+1 \Rightarrow x=e。
f(x-1)=e^{2(x-1)}。
f(x)=e^{2x}$。
因为 $y=f(x-1)$ 的图像与 $y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，所以 $f(x)$ 的图像也与 $y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
因此，$f(x)$ 的图像为 $y=\ln x-1$ 的图像上下平移一定距离得到。
所以 $f(x)$ 的图像单调性与 $y=\ln x+1$ 相同。
即在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增。
3.【2012全国，理21】已知函数 $f(x)$ 满足$f(x)=f'(1)e^{x-1}$。
1)求 $f(x)$ 的解析式及单调区间；2)若 $f(x) \geq -\frac{f(0)x}{2}+\frac{1}{2}x^2+ax+b$，求$(a+1)b$ 的最大值。
解析】(1)由已知得 $f'(x)=f'(1)e^{x-1}-f(0)+1$。
所以$f'(1)=f'(1)-f(0)+1$，即 $f(0)=1$。
又 $f(0)=f'(1)e^{0-1}$，所以$f'(1)=e$。
从而 $f(x)=e^{x-1}+x-\frac{1}{2}$。
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.函数与导数.docx
2011—2018 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编7．函数与数一、(2018 新· Ⅱ，文e x e x的象大致（）3)函数 f xx2(2018 新· Ⅱ，文10)若f (x)cos x sin x 在 [0, a] 是减函数， a 的最大是（）A．πB．πC．3πD．π424(2018 新· Ⅱ，文12)已知 f ( x)是定域( ,) 的奇函数，足 f (1 x) f (1x) ．若 f (1) 2 ，f (1) f (2) f(3) f (50)（）A． 50B． 0C． 2D． 50（ 2017·8）函数f (x)ln( x22x8) 的增区是（）A. (-， - 2)B. (- ， - 1)C. (1， +)D. (4， +)（ 2016·10）下列函数中，其定域和域分与函数y=10lgx的定域和域相同的是（）A． y=x B ．y=lg x C．y=2x D ．y1x（ 2016·12）已知函数f( x)（ x∈R）足 f(x)=f(2- x)，若函数 y=|x2- 2x- 3|与 y=f(x) 像的交点(x , y )，11m( x2 , y2 ) ，⋯， ( x m , y m ) ，x i（）i1A． 0B．m C． 2m D． 4m（2015·11）如，方形 ABCD 的 AB=2， BC=1，O 是 AB ∠ BOP=x.将点 P 到 A， B 两点距离之和表示x 的函数的中点，点P 沿着 BC， CD 与 DA 运，f（ x）， f（ x）的像大致（）A． B ．C． D ．（ 2015·12）函数f ( x) ln(1 | x |)1，使得 f ( x) f (2x 1)成立的x的取范是（）x21A. (1,1)B. (, 1) (1, ) C. ( 1 , 1)D.( , 1) ( 1,)333 33 3（ 2014·11）若函数 f (x) = kx- lnx 在区间 (1， +)单调递增，则 k 的取值范围是（）A ．, 2B ．, 1C ． 2,D ． 1, （ 2013·8）设 a log 3 2 ， blog 5 2 ， c log 2 3，则（）A ． a c bB ． b c aC ． c b aD ． c a b（ 2013·11）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c ，下列结论中错误的是（）A ． x 0 R ， f ( x 0 ) 0B ．函数 yf ( x) 的图象是中心对称图形C ．若 x 0 是 f (x) 的极小值点，则 f ( x) 在区间 ( , x 0 ) 单调递减D ．若 x 0 是 f (x) 的极值点，则f (x 0 ) 0（ 2013·12）若存在正数 x 使 2x ( xa) 1成立，则 a 的取值范围是（ ）A ． (, )B ． (2, ) C ． (0, )D ． ( 1, )（ 2012·11）当 0< x ≤1时， 4xlog a x ，则 a 的取值范围是（）2A ．(0，2 )B ．( 2， 1)C ．(1， 2 )D ．( 2 ， 2)22（ 2011·3）下列函数中，既是偶函数又在 （0，+ ））单调递增的函数是（3B ． y | x | 1C ． y2|x|A ． y xx 1D ． y 2（ 2011·10）在下列区间中，函数 f (x) = e x+ 4x - 3 的零点所在的区间为（）A ． ( 1 ,0)B ． (0, 1)C ． ( 1 , 1)D ． ( 1 , 3)444 22 4（ 2011·12）已知函数 y = f (x)的周期为 2，当 x ∈ [-1,1] 时 f (x) = x 2，那么函数 y = f (x)的图像与函数 y = |lgx|的图像的交点共有（ ）A ．10 个B ．9 个C ．8 个D ．1 个二、填空题(2018 ·课标Ⅱ，文新 13)曲线 y 2ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 __________．（ 2017·14）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (，0) 时， f ( x)=2 x 3 x 2 ，则 f (2) =（ 2015·13）已知函数 f (x) = ax 3- 2x 的图象过点 (- 1, 4)，则 a =.（ 2015·16）已知曲线 y x ln x 在点 (1, 1)处的切线与曲线y ax 2 (a2) x 1相切，则 a.（ 2014·15）偶函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (- 1) = _______.（ 2012·13）曲线 yx(3ln x 1) 在点 (1, 1)处的切线方程为.（ 2012·16）设函数 f ( x) ( x 1)2sin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m =.x 2 1三、解答题(2018 ·21)已知函数f x 1 x3 a x2x 1 ．3（ 1）若 a 3 ，求 f ( x) 的单调区间；（ 2）证明： f ( x) 只有一个零点．（2017·21）设函数 f (x) = (1- x2)e x.（1）讨论 f (x)的单调性；（ 2）当 x 0 时， f (x) ax+1，求 a 的取值范围 .（ 2016·20）已知函数f ( x) ( x 1)ln x a(x1) .（Ⅰ）当a=4 时，求曲线y=f(x)在(1， f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈(1,+∞)时， f(x)>0，求a的取值范围 .（2015·21）已知函数 f (x) = ln x +a(1- x).（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；（Ⅱ）当 f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求 a 的取值范围 .（ 2014·21）已知函数 f (x) = x3- 3x2+ax+2 ，曲线 y = f (x)在点 (0， 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为- 2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k<1 时，曲线y = f (x)与直线 y = kx- 2 只有一个交点．（2013·21）已知函数f ( x) x2e x .（Ⅰ）求 f ( x) 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y f ( x) 的切线l的斜率为负数时，求l 在x轴上截距的取值范围。
2011届高考数学分类导数及其运用
2011届高考数学分类导数及其运用导数选修1-1 第3章 导数及其运用§3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．当堂练习：1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ∆满足（ ） A x∆>0 Bx∆<0 Cx ∆0≠Dx∆=02、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到xx ∆+0时，函数值的改变量是（ ）A)(0x x f ∆+ Bxx f ∆+)(0 Cxx f ∆)(0 D)()(00x f x x f -∆+3、已知函数12+=xy 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x∆+2D 2+2)(x ∆4、质点运动规律32+=ts ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度是（ ）A t ∆+6B tt ∆+∆+96 C t ∆+3 D t ∆+95．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy ）,则xy ∆∆等于A ．4Δx+2Δx2B ．4+2ΔxC ．4Δx+Δx2D ．4+Δx7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y －1=0，则A ．f ′(x0)>0B ．f ′(x0)<0C ．f ′(x0)=0在t=5时的瞬时速度________．15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s∆∆． (2)当t=2，Δt=0.001时，求t s∆∆．(3)求质点M 在t=2时的瞬时速度．16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率．(2)点A 处的切线方程．17．已知函数f(x)=2 1 0 0x x x ax b x ⎧++≤⎨+>⎩，试确定a 、b 的值，使f(x)在x=0处可导．18．设f(x)=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--,求f ′(1)．选修1-1 第3章 导数及其运用 §3.2导数的运算重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．考纲要求：①能根据导数定义，求函数21,,,y c y x y x y x====的导数．能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：()()()10(,;sin cos ;cos sin ;n n c c x nx n N x x x x -*''''==∈==为常数）；()()()();ln ;log ;11ln ;log xxx x a a e a x e a a x e x x ''''====法则1[]()()()()u x v x u x v x '''±=± 法则2[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+法则32()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''-=≠⎡⎤⎢⎥⎣⎦经典例题：求曲线y=21x x+在原点处切线的倾斜角.当堂练习：1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5C.10a2x －6x5D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+63.函数y=（2+x3）2的导数是( )A.6x5+12x2B.4+2x3C.2（2+x3）3D.2（2+x3）· 3x4.函数y=x －（2x －1）2的导数是( ) A.3－4x B.3+4x C.5+8x D.5－8x5.设函数f （x ）=ax3+3x2+2,若f'（－1）=4，则a 的值为( )A.319B.316C.313D.310 6.函数y=212x x -的导数是( )A.221)1(2x x -+ B.22131x x -+ C.222)1(4)1(2x x x ---D.222)1()1(2x x -+7.函数y=8354-+x x 的导数是( )A.3453+x B.0 C.243)83()34(5-++x x xD.243)83()34(5-++-x x x8.函数y=xx cos 1-的导数是( )A.xxx x cos 1sin cos 1--- B.2)cos 1(sin cos 1x x x x --- C.2)cos 1(sin cos 1x x x -+- D.2)cos 1(sin cos 1x x x x -+-9.函数f （x ）=1213++x x 的导数是 ( )A.23)12(1++x x B. 232)12(23+++x x xC.232)12(23++--x x x D.232)12(3++-x x x106.曲线y=－41x3+2x2－6在x=2处的导数为( )A.3B.4C.5D.6 11.曲线y=x2（x2－1）2+1在点（－1，1）处的切线方程为_________.12.函数y=xsinx －cosx 的导数为_________. 13.若f （x ）=xcosx+xx sin ,则f'（x ）=_________.14.若f （x ）=cotx,则f'（x ）=_________. 15.求曲线y=2x3－3x2+6x －1在x=1及x=－1处两切线的夹角.16.已知函数f （x ）=x2（x －1）,若f'（x0）=f （x0）,求x0的值.17.已知函数y=xx 21322+-,求在x=1时的导数.18.求函数y=x x++-1212的导数.选修1-1 第3章 导数及其运用§3.3导数在研究函数中的应用重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次． 经典例题：已知函数axx 2)x (f 3+=与cbx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线. (1) 求实数c ,b ,a 的值;(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.当堂练习： 1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为( )A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2. 函数9x 3ax x)x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 3. 在函数x8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π的点中, 坐标为整数的点的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0 4. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 则=a( ) A.18B. 41C. 21D. 1 5. 已知函数mx 21x 3)x (f 23+-=(m 为常数) 图象上点A 处的切线与直线03y x =+-的夹角为45, 则点A 的横坐标为( )A. 0B. 1C. 0或61D. 1或61 6. 曲线=y xx 32+在2x =处的切线的斜率为( )A. 7B. 6C. 5D. 4 7. 已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 ( ) A. 10m /s B. 9m /sC. 4m /sD. 3m /s 8. 函数)(x f ＝5224+-x x在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是 ( ) A. 5, 4 B. 13, 4C. 68, 4D. 68, 59. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为433, 则a 等于 ( ) A. －23 B.21C. －21D. －21或－2310. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( )A. 3B. 2C. 1D. 32 11. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 . 12. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .13. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程为 . 14. 曲线y ＝122-+x ax 在点M) ,(4321-处的切线的斜率为－1, 则a ＝ .15. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-=(1) 求)x (f 的单调递减区间;(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.16. 已知函数dax bx x )x (f 23+++=的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线 方程为07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.17. 已知函数,bx ax y 23+=当1x =时, y 的极值为3.求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.18. 设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m)x (f <成立, 求实数m 的取值范围.选修1-1 第3章导数及其运用§3.4生活中的优化问题重难点：会利用导数解决某些实际问题．考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?当堂练习：1.函数y=x3+x的单调增区间为( )A.(-∞,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.不存在2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是（）3.右上图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是（）A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时f(x)取到极小值4.下列说法正确的是（）A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<6,则f(x)无极值D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.a≥3B.a=2C.a≤3D.0<a<36.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函数,则( )A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<07.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为( )2 A.2 B.-2 C.7D.48.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增9.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e］上的最大值为( )A.1-eB.-1C.-eD.010.函数y=x5-x3-2x，则下列判断正确的是( )A.在区间（-1，1）内函数为增函数B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数C.在区间(-∞,1)内函数为减函数D.在区间(1,+∞)内函数为增函数11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 . 12.函数y=4x2+x1的单调增区间为 . 13.函数y=3x2-2lnx 的单调减区间为 . 14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .15.已知函数y=ax 与y=-xb 在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2. (1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?17.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?选修1-1 第3章导数及其运用§3.5导数及其运用单元测试 1、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（ ）A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－22、f/（x ）是f （x ）的导函数，f/（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.xy 2sin = B.xxe y = C.xx y -=3D.x x y -+=)1ln( 4、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ） A. 21>-<b b ，或 B.21≥-≤b b ，或 C.21<<-b D.21≤≤-b5、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A.),3[]3,(+∞--∞ B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞D. )3,3(- 6、下列说法正确的是（ ）A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在8、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y=极小值,则下列说法正确的是（ ）A.函数)(x f 有最小值)(0x f B. 函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x fC.函数)(x f 的最大值也可能是)(0x f D. 函数)(x f 不一定有最小值 9、函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）A. 5，15B. 5，4-C. 5，15-D. 5，16- 10、函数xx x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于（ ）A ．274B ．278C ．2716D ．2732 11、设函数5()ln(23)f x x =-，则f′1()3＝____________________12、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为13、函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是 14、点P 是曲线xx y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是15、已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 2l 和x 轴所围成的三角形的面积16、设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中（Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合； （Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数17、设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1) (Ⅰ)求导数f ' (x);(Ⅱ)若不等式f(x1)+ f(x2)≤0成立，求a 的取值范围18、已知c3在2-=x时有极大值6，在+=2)-(2bxf+xaxx=x时有极小值，求c b a,,的值；并求)(x f在区间[－3，13]上的最大值和最小值.19、设函数R-+(3)6=,5f∈xxxx（Ⅰ）求)(x f的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程a(有3个不同实根，求)f=x实数a的取值范围.（Ⅲ）已知当)1k∈xxx时恒成立，求实数k+∞f(()≥,),1(-的取值范围.选修1-1 选修1-1综合测试1．已知命题甲：0)(0='x f ，命题乙：点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则甲是乙的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件 2、已知椭圆的焦点为()11,0F -和()21,0F ，点P 在椭圆上的一点，且12F F 是12PF PF 和的等差中项，则该椭圆的方程为（ ） A 、221169x y += B 、2211612x y += C 、22143x y += D 、22134x y +=3、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( ) A ．5、3 B ．10、2 C ．5、1D ．6、44、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 3 B 、34 C 、22D 、125．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是 （ ） A ．(a+1, 0) , (－a+1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） D ．(－a a 1-,0),(a a 1-, 0)6、若双曲线22221x y a b-=与()222210x y a b a b-=->>的离心率分别为12,e e ，则当,a b变化时，2212e e +的最小值是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．3 7.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标可能是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4) 8. 函数xax x f 1)(2-=在区间),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a 9、方程x3－6x2+9x －10=0的实根个数是 （ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、010．已知函数f(x)的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )11．命题2,30x R x x ∀∈-+>的否命题是 .12．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 条件。
2012-2018高考(全国I,II,III卷)真题分类汇编专题：17.导数及其应用一 (解析版)
专题：导数及其应用一1．(2018新课标III 理14) 曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 答案：3-解答：(1)x x y ae ax e =+，则(0)12f a '=+=-，所以3a =-.2.(2018新课标II 理13) 曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 答案：2y x =3.(2018新课标I 文理5) 设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ）A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x =答案：D4.(2018新课标I 文理16) 已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________________.答案：2-5.(2018新课标II 文13)曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________． 答案：y =2x –26.(2017新课标III 理11文12) 已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则=a （ ）A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C7.(2017新课标I 文14)曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x =+8.(2017新课标II 理11) 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++- 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减 所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e -=--=-，故选A 。
2011-2018年全国一卷导数文汇编 带答案
1．（5分）（2011•新课标文）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．2．（5分）（2012•新课标文）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅰ文）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．4．（5分）（2016•新课标Ⅰ文）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．5．（5分）（2017•新课标Ⅰ文）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．6．（12分）（2011•新课标文）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．7．（12分）（2012•新课标文）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．。
2011-2018高考数学函数与导数分类汇编(理)
2011-2018新课标高考《函数与导数》分类汇编一、选择题【2018新课标1】5．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【2018新课标1】9．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-， B ．[)0+∞， C ．[)1-+∞， D ．[)1+∞，【答案】B【2018新课标2】3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 （ ）【答案】B【2018新课标2】11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【2018新课标3】7．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）【答案】D【2018新课标3】12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】D【2017新课标1】5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ D ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【2017新课标1】11．设xyz 为正数，且235x y z ==，则（ D ） A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【2017新课标2】11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ A ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅，令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 极小值为()11f =-。
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2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。
【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
（2）由（1）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。
考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。
(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。
而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾。
（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾。
综合得，k 的取值范围为（-∞，0）【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。
【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞（2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =；当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e【2013新课标1】21. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （1）求a ，b ，c ，d 的值（2）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。
【解析】（1）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2； （2）由（1）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+， 设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，①若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ， 而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， ②若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， ③若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，综上所述，k 的取值范围为[1,2e ]【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. 【解析】(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -+.函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得0e x＝012x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.【2014新课标1】21．设函数f （x ）=ae x lnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处得切线方程为y=e （x ﹣1）+2．（ 1）求a 、b ；（ 2）证明：f （x ）＞1． 【解析】（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， f ′（x ）=+，由题意可得f （1）=2，f ′（1）=e ， 故a=1，b=2； （2）由（1）知，f （x ）=e x lnx+，从而f （x ）＞1等价于xlnx ＞xe ﹣x ﹣，设函数g （x ）=xlnx ，则g ′（x ）=1+lnx ， ∴当x ∈（0，）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（，+∞）时，g ′（x ）＞0． 故g （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 从而g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （）=﹣． 设函数h （x ）=，则h ′（x ）=e ﹣x （1﹣x ）．∴当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＜0， 故h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h （x ）在（0，+∞）上的最大值为h （1）=﹣． 综上，当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001） 【解析】 （1）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递增（2）g （x ）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x(x)=2[++]=2(+)(+)①当b ≤2时，g ’(x) ≥0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;②当b>2时，若x 满足，2< x x e e -+<2b-2即22b b -时g ’(x)<0,而 g （0）=0,因此当0<X ≤22b b -时，g(x)<0综上，b 的最大值为2 （3）由（2）知，2)=322当b=2时，)=32+6ln2>0,ln2>312>0.6928当b=4+1时，)=32+2)ln2<0 In2<1828<0.693【2015新课标1】21. 已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(2)用min {},m n 表示m,n 中最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数 【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与 x 轴相切于点 (x 0,0)，则 f (x 0)=0，¢f (x 0)=0，即 x 03+ax 0+14=03x 02+a =0ìíïîï，解得 x 0=12,a =34. 因此，当 a =34时， x 轴是曲线 y =f (x )的切线. （Ⅱ）当 x Î(1,+¥)时， g (x )=-ln x <0，从而 h (x )=min{f (x ),g (x )}£g (x )<0，∴h (x )在（1，+∞）无零点. 当 x =1时，若 a ³-54，则f (1)=a +54³0， h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故 x =1是h (x )的零点；若 a <-54，则 f (1)=a +54<0， h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故 x =1不是 h (x )的零点.当 x Î(0,1)时， g (x )=-ln x >0，所以只需考虑f (x )在（0,1）的零点个数. (ⅰ)若 a £-3或 a ³0，则¢f (x )=3x 2+a 在（0,1）无零点，故 f (x )在（0,1）单调，而f (0)=14， f (1)=a +54，所以当 a £-3时， f (x )在（0，1）有一个零点；当 a ³0时，f (x )在（0，1）无零点.(ⅱ)若 -3<a <0，则f (x )在（01）单调递增，故当 xf (x )取的最小值，最小值为f +14. ① 若f ＞0，即 -34＜ a ＜0， f (x )在（0,1）无零点.②若f=0，即a=-34，则f(x)在（0,1）有唯一零点；③若f＜0，即-3<a<-34，由于f(0)=14，f(1)=a+54，所以当-54<a<-34时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a£-54时，f(x)在（0,1）有一个零点.综上，当a>-34或a<-54时，h(x)由一个零点；当a=-34或a=-54时，h(x)有两个零点；当-54<a<-34时，h(x)有三个零点.【2015新课标2】21. 设函数f(x)=e mx+x2-mx。