2011年-2018年高考数学导数分类汇编(理)

2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编

【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（1）求a 、b 的值；

（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围。 【解析】

（1）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

-+ 由于直线230x y +-=的斜率为1

2

-

，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩

解得1a =，1b =。

（2）由（1）知ln 1

1x x x

++，所以

22ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=

。 (i)设0k ≤，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得2

1

()01h x x >-；

当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2

11

x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k

.

（ii ）设0

-11

）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）

=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2

11

x

-h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2

11

x -

h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0）

【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2

1()2

f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。 【解析】

（1）12

11()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211

()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=

得：21

()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+

()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+

得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>

当x =max ()2e F x =

；当1,a b ==(1)a b +的最大值为2

e

【2013新课标1】21. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （1）求a ，b ，c ，d 的值

（2）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。 【解析】

（1）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2； （2）由（1）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+， 设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），