16.2.2二次根式乘除法ppt
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a
b）b）
a
b
乙， a b
（
a
b）（ a — —
b）
a b
a b
a b
对于两同学的解法，谁的正确？为什么？
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例2.已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3）a－1 •（
a － 1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（
－ 1）
8
3
（ 2）3 2
8
27
（ 3） 5a 10 a
（ 4） 2 y 2 4 xy
3.化简： （1）－19÷ 95
（2） 9 1 ÷（－3 21）
48
24
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(3)化简 1 a
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练习
计算:
(1) 72 3(用两种方法计算）
(3) 90 3 3 5
(5)9 1 ( 3 2 1) 48 2 4
(2) 11 11 35
出来，并加以验证
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强化训练
把下列各式化成最简二次根式：
（1） 8244 4 5
16.2.2 二次根式的除法-初中数学人教版八年级下册教与练课件
n b n b
(1)
4
4
= ；
9
9
(2)
16
16
=
；
25
25
(3)
36
36
=
.
49
49
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
16
=_______;
25
一般地，二次根式的除法法则是：
根指数
被开方数
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
(4)原式= 1
2 45 5 3 45 8 3 36 3 6 9
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
a
a
(a 0, b 0).
b
b
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
(3) 4a 3 16a 2 .
x 1
x 1
1
2
=
;
解: (1)
2( x 1)
2
2
2x 2
1 5 6 7
1 4 6 6
1 2 3 3
(2) 0.125a b c = a b c =
a b c 2ac a b c 2ac
8
16
4
5 6 7
11.计算.
3
(1) 90 3 ;
5
(2)
3a 2
2
2
2
(3)
2
.
3
(1)
4
4
= ；
9
9
(2)
16
16
=
；
25
25
(3)
36
36
=
.
49
49
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
16
=_______;
25
一般地，二次根式的除法法则是：
根指数
被开方数
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
(4)原式= 1
2 45 5 3 45 8 3 36 3 6 9
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
a
a
(a 0, b 0).
b
b
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
(3) 4a 3 16a 2 .
x 1
x 1
1
2
=
;
解: (1)
2( x 1)
2
2
2x 2
1 5 6 7
1 4 6 6
1 2 3 3
(2) 0.125a b c = a b c =
a b c 2ac a b c 2ac
8
16
4
5 6 7
11.计算.
3
(1) 90 3 ;
5
(2)
3a 2
2
2
2
(3)
2
.
3
人教版八年级下册数学16.2二次根式的乘除(2) ——二次根式的除法课件 (共18张PPT)
(5) 3 3 5
(6) 0.4 (7) 3 24
(8)
5x 12 y3
难点突破
例 5 化简 (aa1－ ) a11=1a =__．____
分析：含字母的二次根式的化简，通常要知道字母的符号,而字 母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏．因此，化简时要从 被开方数入手．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
a0,b0
二次根式相除，根号不变，把被开方数相除。
思考：
1、这里的字母a，b可以取任意实数吗？ 2、为了方便记忆，你能用一句话叙述这一规律吗？ 3、等式 m3 m3 成立的条件是__m__>_5___
m5 m5
实践应用
a b
a b
a 0 ,b 0
例1 计算 (1) 24 3
(2) 3 1 2 18
∴a －1a＝a
(－1 a)＝a
(－a) (－a) (－a)
＝a
(－－aa)2＝a
－a
－a
＝－aa －a＝－ －a．
巩固提升
1.计算 4 8 1 的结果是（ A ）
3
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
2.若使等式
42k k1
42k 成立，则实数k取值范围是_1_＜__k__≤_2__
k1
3.下列二次根式 4 5， y, x2y2, a 2+ 9, 2 x中属于最
课外作业
1.计算：
(1) 30 3 22221 23 2
(2) 7314 3 21 152 2
(3) a3b (3 b)(32a) ( 4 )7 ( 5 6 1 )2( 4 )2
2a
(5) 2 5 50
人教版《二次根式的乘除》PPT初中数学ppt
(3) 32a b ÷ 2ab (a＞0，b＞0). 文掌字握表 二述次：根二式次的根除式法相法除则，和把商被的3开算方术数平相方除根，。根指数不变 .
（a≥0，b>0）
（2）被开放数若是带分数，应先化为假分数，再应用公式化简.
发现：
；
人教版 · 数学· 八年级（下）
解：原式＝4a 二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
例4 计算：
（1） 24 3
解：（1）
（2） 3 1 2 18
（2）
巩固新知
计算：（1） 24 6
解：（1）
（2）
（2） 2 1 9 4
合作探究
新知二 二次根式除法法则的逆用
公式： a a （a≥0，b>0）. bb
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
除式的算术平方根 .
此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的 取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0 即可.
.
1 35 ÷
3 15
；
利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二次根式.
（1）
（2）
解：原式＝2 解：原式＝ 2 （1）
（2）
二次根式除法法则的逆用也称为商的算术平方根的性质.
发现：
；
知识点3：最简二次根式
（b≥0，d>0，c≠0）
化简： （1）
（2）
17．观察下列各式及其验证过程：
2
2 3
＝
2＋23 ，验证：2
2 3
＝
2（22－1）＋2 22－1
＝
人教版八年级下册 16.2 二次根式的乘除(2)课件(共18张PPT)
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
知⑴ 识 点 一 （2）
二 次 根 （3） 式
2
4 3 ＝ _
_，
9
4
16 25
＝5
_，
6
36
7 ＝ _
，
49
2
3 4
＝
_；
9
4
5 16
＝_
_；
25
6
36 7 ＝ _ _ .
49
的 一般地，二次根式的除法法则是
除
法
aa
法
＝
bb
（a≥0， b >0___）.
问题5 化简： （1） 28 7 ；（2） 1 2 5 ；
5
7 （3） 1 2 1
；
36a （4） 2 5 b 2 （b＞0）．
四、强化训练
计算：
(1) 0.4 3.6
(2)
2 3
27 8
(3) 8 5
3 40
(4) 27 50Байду номын сангаас6
深入探究一
4 .11、 、等 等mmm m－ － 式 － － 式 5353＝＝mmm m－ －－ － 53m成 53成>立5立的的 _条 ___条 __件___件_是 。____是 。 ________
逆向思考
问题3
能否将二次根式
3 化简？ 64
三、研读课文
把
a b＝
a b 反过来就可以进行二次根式的化简.即，
知 识
aa
＝
b
b （a≥0，b >0）
点 例5 化简：
二 (1) 3
二
100
(2) 75 27
人教版八年级下册16.2二次根式乘除 (共23张PPT)
第二节 二次根式的乘除 （第二课时）
1．二次根式的概念
（1） 一般地，我们把形如 a (a 0)
的式子叫做二次根式。 （2）“ ” 称为二次根 号。
（3）“ a a ” 中，必须有： 0
2．二次根式的性质
（1）
双非负性：
①a ②
a
0
0
（2） a 2 பைடு நூலகம்；（a 0）
计算：
4 9
2 __3_
16 ___4 25 5
4
2
___
93
16 ___4 25 5
计算：
36
6
___
一般49地: 7
6
36 49
__7_
a a ;(a 0,b 0) bb
二次根式的除法法则：
二次根式相除，把被开方数相除作 为商的被开方数，根号不变。
二次根式的除法公式：
②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫做最简 二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中，一 定要把结果化成最简二次根式。
（2）把下列二次根式化成最简二次根式：
① 32
② 40
③ 1.5
答案：① 4 2
③6 2
④4 3
② 2 10 ④ 23
3
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别
a a ;(a 0,b 0) bb
（3）最简二次根式：
①被开方数不含分母；分母中不含二次根式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫 做最简二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中， 一定要把结果化成最简二次根式。
1．二次根式的概念
（1） 一般地，我们把形如 a (a 0)
的式子叫做二次根式。 （2）“ ” 称为二次根 号。
（3）“ a a ” 中，必须有： 0
2．二次根式的性质
（1）
双非负性：
①a ②
a
0
0
（2） a 2 பைடு நூலகம்；（a 0）
计算：
4 9
2 __3_
16 ___4 25 5
4
2
___
93
16 ___4 25 5
计算：
36
6
___
一般49地: 7
6
36 49
__7_
a a ;(a 0,b 0) bb
二次根式的除法法则：
二次根式相除，把被开方数相除作 为商的被开方数，根号不变。
二次根式的除法公式：
②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫做最简 二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中，一 定要把结果化成最简二次根式。
（2）把下列二次根式化成最简二次根式：
① 32
② 40
③ 1.5
答案：① 4 2
③6 2
④4 3
② 2 10 ④ 23
3
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别
a a ;(a 0,b 0) bb
（3）最简二次根式：
①被开方数不含分母；分母中不含二次根式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫 做最简二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中， 一定要把结果化成最简二次根式。
人教版八年级数学下：16.2二次根式的乘除课件(共15张PPT)(课件精选)
想一想：
化简：（1） 1 2 -1
（2） 2 2 3
13
小结 课件在线
1.二次根式的除法利用公式:
a aa 0,b 0
bb
2.最简二次根式:
a b
a a 0,b 0
b
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
3.在二次根式的运算中，对最后结果的要求。
14
比一比，看谁最棒
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数 6
课件在线
二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，
3
2 3 1
2 18
（3） 8 2a
课件在线 10
课件在线
做一做：教材第10页练习第1、2、3题.
11
课件在线
应用新知 例： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别 为a，b.已知S= 2 3，b= 10,求a.
解：因为S= ab, 所以
a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
12
课件在线
课件在线
（1）4 3 a 3 8 3 ( 2) a2 b 5 x3 y a b 2 0
a
xy
(3 ) 18 2 x3 3 3 x y (4) 3ab 6 b
3a
15
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化简：（1） 1 2 -1
（2） 2 2 3
13
小结 课件在线
1.二次根式的除法利用公式:
a aa 0,b 0
bb
2.最简二次根式:
a b
a a 0,b 0
b
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
3.在二次根式的运算中，对最后结果的要求。
14
比一比，看谁最棒
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数 6
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二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，
3
2 3 1
2 18
（3） 8 2a
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做一做：教材第10页练习第1、2、3题.
11
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应用新知 例： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别 为a，b.已知S= 2 3，b= 10,求a.
解：因为S= ab, 所以
a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
12
课件在线
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（1）4 3 a 3 8 3 ( 2) a2 b 5 x3 y a b 2 0
a
xy
(3 ) 18 2 x3 3 3 x y (4) 3ab 6 b
3a
15
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人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除法2》PPT课件
a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
例2：计算 解：
1 24
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
方法1： 24 32
找因数的最 大公因数,不 行再分解因 数
2432
方法2： 24 32
2 64 2
23 325 ( 8384) 8 2 3 2
16 3
16 3
结果必须化为最简二次根式.
计算 : (1) 14 7 (2)3 5 2 10 (3) 3x • 1 xy 3
你能用上面二次根式乘法法则来计算吗？
例1 计算：
(1) 1000
解：原式 1000 0 1 100 10
0.1(2) 3 2 23
原式 3 2 23
1 1
（默2）
二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 3.化简二次根式.
有简便的方法吗?根据什么?
(2) 0.03 3
积和商的二次根式的性质:
ab a b, (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
反过来:
二次根式乘除运算法则 （默1））
a b ab(a o,b 0), a a (a 0,b 0) bb
二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； 化简。
计算： 30 3 2 2 2 2 1 （默5）
23
《二次根式的乘除》二次根式PPT课件3 (共21张PPT)
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
例题2 计算:
1
3
2 12;
2 2
例将下列各式分母有理化 :
1) 2 3 2 ;
(a b)( a b ) 3) A : 原式 ( a b )( a b )
(a b)( a b ) 2 2 a b B : 原式 ( a ) ( b ) a b
解:
3 2 2 2) ; 3 2 2
2 2
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3b 3b 3b
含有二次根式 不含二次根式 两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
3b 与
3b 互为有理化因式.
想一想
a b
的有理化因式为
a b
; ; ;
162二次根式的乘除2精品PPT课件
计算 1 24
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试 (1)
计算：
32 2
3 4 1 7
5 10
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
分别为a,b.已知S=2 3 ,b= 10 ,求a.
解：因为S =ab, 所以a= S 2 3 2 3 10 30 b 10 10 10 5
拓展
已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
解：a=3 2 2 ,b 3＋2 2
原式=
ab
（
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－ 3 2 1）
48
24
例7 设长方形的面积为S，相邻两边长
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解：((43))（(21001）)..660ab492222××58c79x1＝11=29669=29=51＝6ab2200258c..2x16095492=＝××=41153b965a969xc==00..483ab××11c43
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试 (1)
计算：
32 2
3 4 1 7
5 10
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
分别为a,b.已知S=2 3 ,b= 10 ,求a.
解：因为S =ab, 所以a= S 2 3 2 3 10 30 b 10 10 10 5
拓展
已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
解：a=3 2 2 ,b 3＋2 2
原式=
ab
（
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－ 3 2 1）
48
24
例7 设长方形的面积为S，相邻两边长
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解：((43))（(21001）)..660ab492222××58c79x1＝11=29669=29=51＝6ab2200258c..2x16095492=＝××=41153b965a969xc==00..483ab××11c43
八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt
02
练一练
1．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知： 是整数，则满足条件
的最小正整数为(
A．2
)
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
∵ 20 = 4 × 5 = 2 5 ，且 20 是整数，
∴2 5是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
02
练一练
2．已知 = ， = ，则 = (
PA R T
02
练一练
02
练一练
计算：
1） 14 × 7 = 14 × 7 = 2 × 72 = 7 2
2）2 10 × 3 5 = 2 × 3 × 10 × 5
= 6× 2×5×5
= 6 × 52 × 2=30 2
3） 3 ×
1
3
= 3 × 1 =
3
× 2= = 2 × =
A．2a
B．ab
C．
)
D．
【答案】D
【详解】
解： 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 ×
3 = ⋅ ⋅ = 2 ．
故选D．
3．（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初二期中）下列
各数中,与2 的积为有理数的是(
A．2
B．3
C．
)
【答案】D
【详解】
解：A、2×2 3=4 3为无理数，故不能；
01
二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
ab = • ≥ 0，b ≥ 0
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
计算：
1） 16 × 81 =
=
《16.2 二次根式的乘除》课件(3套)
2
6
如果根号前有 系数，就把系数相 除，仍作为二次根 号前的系数。
2 11 1 5 26
236 52
23 5
6 5
（2）－4 2 37
最后结果的 分母中不含 二次根式。
42 37
4 27 3 77
4 14 3 72 4 14 3 72 4 14 37
4 14 21
4 27
377
4 14
3 ( 7)2 4 14 37
1 24
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
3
求 2a
a b
b a
1 b
的值。
解：要想原等式有意义，必须满足：
4a b 11 0
1 b 4a 3 0 3
a1 4
b 12
将 a、b 代入
2a a（ b 1） ba b
=2
1 4
1
4
12
12 1
4
1
12
1 2
1 48
48
1 12
1 1 48 12 2 48
1 12 1 2 3 3
m ≥3 m >5
m> 5
3. 已知：3 ＝1.732，如何求出
的近似值?
1 3
一题 多解
1 1 1 0.577 3 3 1.732
计算繁琐。
1 1 1
3
3
1.732
0.577
3 3 33 3 3
计算简便。
4.在括号内填写适当的数或式子使 等式成立。
（1） 8 （ 2 ）= 4
（2）2 5（ 5）= 10
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8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式
被开方数不含分母
3
(2) 被开方数中不含开得进 方的因数或因式
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 分母中不含根号 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
25 y 5 y 25 y 5y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
2 2 2 2
2
75 (3) 27
75 75 5 3 5 解： (3) 27 27 3 3 3
例题讲解
例3: 化简（分母中不含根号）
2 ( 2) 3 解: 3 3 5 15 (1) 5 5 5 5
例 1： (1) 解: (1)
24 2 1 (2) 3 18 3 24 24 82 2 3 3
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
3 (3) 2 2
1 8
1 8
被开方数为带分 数时要先化成假 分数。
3 解： (3) 2 2 7 8 2
2
0 时, ab 2 b
a b bb ab b
思考与探索 如何化去
a a 0, b 0 中被开方数中 b
的分母呢?(方法2)
当a 0,b
0时,
a a b ab b b b b 这样也可以把分母中的根号化去。
练习
2 (1) 1 (2) 1.5 3 1 3 (4) 1 2 8
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a＜0)
复习提问
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a b (a 0, b 0)
1 (4) 0.2 0.125 2 1 a (6) (1 a 1) 1 a
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a = a (a ≥ 0，b > 0) b b （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
× × √
0.5x
×
×
×
4x 4x
2
ab 3xy 2 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
√
× √
√
×
计算：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 3 8 3x 3 2 (4) (5) (6) 3 n 6 40 5
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。
3 (1) 5
例题讲解
例3: 化去根号内的分母:
1 1 1 (1) (2) (3) 1 2 3 2
解:
1 1 1 2 2 (1) 2 2 2 2 2
练习一：化去根号内的分母:
2 (1) ; 5
1 (2) 3 ; 5
4 , 7
a b
4 9 16 49
2 3
4 9
4 9
4 7
16 16 49 49
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
例题讲解
计算：
1 3 2 3 1 (1) (2) (3) 2 1 3 2 3 1
1 1 (4) (5) 2 3 2 2 x 1
计算:
(1) 72 3 3 (3) 90 3 5 1 3 1 (5)9 ( 2 ) 48 2 4 (2) 1 1 1 1 3 5
1 1 (3) 2 3
a a 把分母中的根号化去 ,使分母变成有理数 , 这个过 a a a 0 , b 0 程叫做分母有理化。 b b b b
例3：计算 解：
1
3 5
15 5
3 2 2 27
3
8 2a
1
3 3 5 5 5 5
3 2 3 2 2 3 6 2 3 27 3 3 3 3
7 1 2 8
28 2 7
练习：
(1) 18 2
(2) 72 6
b b (3) 2 5 20a
b b (4)3 2 2 2 a a
3
探究
把
a a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
3 25y (2) 例2: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
练习：
1.
6 15)
2.
24 27
3.
x x x 0
5
a (4)2 ab 3 b
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
4 1. 9 16 2. 49
2 , 3
1 1 (3) (4) 3 8
1 1 (5)2 (6) (7) 0.3 (6) 3x 5 12 2y
3b (3) a 0, b 0 5a
思考与探索
a 如何化去 a 0, b 0 中被开方数中 b
的分母呢?（方法1）
当a 0,b a b ab b
做一做:
1 (1)2 24 (3 15 2) 6 12 1 3 3 18 (2)3 ( ) 3 x 2 xy 4 xy
试一试:
1 2 (1) 2 3 28 (5 2 ) 2 7 a b x 4 (2) 2 6x 3a 3b 5
2 2 2
a b ) a
注意运算顺序哟!
梳理
a b ab
a b a b
ab a b（a≥0，b≥0）
a b a （a≥0，b＞0） b
最简二次根式。
做一做
例1.计算: (1) 75 ( 6 12)
(2) 2 5 50
解： (1)原式 75 6 2 75 6 2 5 3 2 5 6 6 2 2 12 10 1 10 (2)原式 10 50 50 5 50 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式
被开方数不含分母
3
(2) 被开方数中不含开得进 方的因数或因式
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 分母中不含根号 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
25 y 5 y 25 y 5y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
2 2 2 2
2
75 (3) 27
75 75 5 3 5 解： (3) 27 27 3 3 3
例题讲解
例3: 化简（分母中不含根号）
2 ( 2) 3 解: 3 3 5 15 (1) 5 5 5 5
例 1： (1) 解: (1)
24 2 1 (2) 3 18 3 24 24 82 2 3 3
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
3 (3) 2 2
1 8
1 8
被开方数为带分 数时要先化成假 分数。
3 解： (3) 2 2 7 8 2
2
0 时, ab 2 b
a b bb ab b
思考与探索 如何化去
a a 0, b 0 中被开方数中 b
的分母呢?(方法2)
当a 0,b
0时,
a a b ab b b b b 这样也可以把分母中的根号化去。
练习
2 (1) 1 (2) 1.5 3 1 3 (4) 1 2 8
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a＜0)
复习提问
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a b (a 0, b 0)
1 (4) 0.2 0.125 2 1 a (6) (1 a 1) 1 a
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a = a (a ≥ 0，b > 0) b b （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
× × √
0.5x
×
×
×
4x 4x
2
ab 3xy 2 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
√
× √
√
×
计算：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 3 8 3x 3 2 (4) (5) (6) 3 n 6 40 5
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。
3 (1) 5
例题讲解
例3: 化去根号内的分母:
1 1 1 (1) (2) (3) 1 2 3 2
解:
1 1 1 2 2 (1) 2 2 2 2 2
练习一：化去根号内的分母:
2 (1) ; 5
1 (2) 3 ; 5
4 , 7
a b
4 9 16 49
2 3
4 9
4 9
4 7
16 16 49 49
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
例题讲解
计算：
1 3 2 3 1 (1) (2) (3) 2 1 3 2 3 1
1 1 (4) (5) 2 3 2 2 x 1
计算:
(1) 72 3 3 (3) 90 3 5 1 3 1 (5)9 ( 2 ) 48 2 4 (2) 1 1 1 1 3 5
1 1 (3) 2 3
a a 把分母中的根号化去 ,使分母变成有理数 , 这个过 a a a 0 , b 0 程叫做分母有理化。 b b b b
例3：计算 解：
1
3 5
15 5
3 2 2 27
3
8 2a
1
3 3 5 5 5 5
3 2 3 2 2 3 6 2 3 27 3 3 3 3
7 1 2 8
28 2 7
练习：
(1) 18 2
(2) 72 6
b b (3) 2 5 20a
b b (4)3 2 2 2 a a
3
探究
把
a a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
3 25y (2) 例2: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
练习：
1.
6 15)
2.
24 27
3.
x x x 0
5
a (4)2 ab 3 b
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
4 1. 9 16 2. 49
2 , 3
1 1 (3) (4) 3 8
1 1 (5)2 (6) (7) 0.3 (6) 3x 5 12 2y
3b (3) a 0, b 0 5a
思考与探索
a 如何化去 a 0, b 0 中被开方数中 b
的分母呢?（方法1）
当a 0,b a b ab b
做一做:
1 (1)2 24 (3 15 2) 6 12 1 3 3 18 (2)3 ( ) 3 x 2 xy 4 xy
试一试:
1 2 (1) 2 3 28 (5 2 ) 2 7 a b x 4 (2) 2 6x 3a 3b 5
2 2 2
a b ) a
注意运算顺序哟!
梳理
a b ab
a b a b
ab a b（a≥0，b≥0）
a b a （a≥0，b＞0） b
最简二次根式。
做一做
例1.计算: (1) 75 ( 6 12)
(2) 2 5 50
解： (1)原式 75 6 2 75 6 2 5 3 2 5 6 6 2 2 12 10 1 10 (2)原式 10 50 50 5 50 5 5