整数指数幂
整数指数幂(一)
n个
a
n
复习
2.正整数指数幂的运算性质： 底数不变，指数相加 （1）同底数幂相乘： 即：am·n=am+n （m，n都是正整数） a （2）幂的乘方： 底数不变，指数相乘 即（am）n=amn （m，n都是正整数） （3）积的乘方：等于把积的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘
n
例 1
计算： （1） （a-1b2）3
（2）a-2b2· 2b-2）-3 （a
下列等式是否正确？为什么？ a n n n m÷an=am·-n （2） （1）a a ( ) a b
例 2
b
练习：P25
1.下面的计算对不对，如果不对，应怎样改正？ （1）（-7）0=-1 （2）（-1）-1=1 （3）ap·-p=1（a≠0，p是正整数） a （4）（x0）-3=1 1 （5）x3y-3· 2y0）-3= 3 0 （x 2. （a6b-4）（a-3b2）=（ ） A、 a-18b-8 B、a-2b-2 C、a2b2 D、a3b-2 3. 化简ab-1（c+d）-1得（ ） a bc ac ad C、 bd D、 b A、 B、 2. 把下列结果化为只含有正整数指数的形式 （1）a2b3· -1b2）3 （2a （2）6a-1b-3÷（-3a2b-4c）
当a≠0时
a3÷a5=a3-5=a-2 ∴a-2=
a 1 a a 5 2 a a
3 5
3
1 一般地，当n是正整数时，a-n= n a
1 2 a
想一想
1 1 2 3 ( 5 ) a · a ·5 2 a a a a a 1 1 1 3 5 8 3 ( 5 ) a · 3 ·5 8 a a a a a a 1 1 0 5 5 0 ( 5 ) a · 1· 5 5 a a a a a
有理数指数幂知识点
有理数指数幂知识点一、有理数指数幂的概念。
1. 正整数指数幂。
- 定义：对于a∈ R，n∈ N^*，a^n=⏟a× a×·s× a_n个a。
例如2^3 = 2×2×2 = 8。
2. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1(a≠0)。
这是因为当a≠0时，a^m÷ a^m=a^m - m=a^0，而a^m÷a^m = 1。
3. 负整数指数幂。
- 定义：a^-n=(1)/(a^n)(a≠0,n∈ N^*)。
例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
4. 分数指数幂。
- 正分数指数幂：a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a≥slant0,m,n∈ N^*,n > 1)。
例如4^(3)/(2)=√(4^3)=√(64) = 8。
- 负分数指数幂：a^-(m)/(n)=(1)/(a^frac{m){n}}=(1)/(sqrt[n]{a^m)}(a > 0,m,n∈N^*,n > 1)。
例如8^-(2)/(3)=(1)/(8^frac{2){3}}=(1)/(sqrt[3]{8^2)}=(1)/(4)。
二、有理数指数幂的运算性质。
1. 同底数幂相乘。
- a^m· a^n=a^m + n(a>0,m,n∈ Q)。
例如2^(1)/(2)×2^(1)/(3)=2^(1)/(2)+(1)/(3)=2^(3 + 2)/(6)=2^(5)/(6)。
2. 同底数幂相除。
- a^m÷ a^n=a^m - n(a>0,m,n∈ Q)。
例如3^(3)/(2)÷3^(1)/(2)=3^(3)/(2)-(1)/(2)=3^1 = 3。
3. 幂的乘方。
- (a^m)^n=a^mn(a>0,m,n∈ Q)。
例如(2^(2)/(3))^3=2^(2)/(3)×3=2^2 = 4。
指数幂运算.3.3 整数指数幂的运算法则
②ห้องสมุดไป่ตู้
(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数).
③
实际上，对于a≠0，m，n是整数，有
a m = a m · a -n = a m+(-n) = a m-n . bn
因此，同底数幂相除的运算法则被包含在公式①中.
am ·an=am+n(a≠0，m，n都是整数)
而对于a≠0， b≠0， n是整数，有
a b
n
=(a· b )
-1 n
= a · ( b ) =a
n
-1 n
n
·
b
-n
n a = n. b
因此，分式的乘方的运算法则被包含 在公式③中.
(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数) ③
典例解析
例1
设a≠0，b≠0，计算下列各式 （1）a7 ·a-3； （2）(a-3)-2；
-1 4 5 x y ； （1） 4x2 y
3 5 y 答案： 3 . 4x
（2） y 4 3x
-2
-3
.
答案： 27 x12 y 6.
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
我们全都要从前辈和同辈学习到一些 东西。就连最大的天才，如果想单凭他 所特有的内在自我去对付一切，他也决 不会有多大成就。 —— 歌德
2 x （2） y .
-3
3 y -2 2 x 解 （1） 3 x -1 y
= 2 x 3-(-1)y -2-1 3
= 2 x 4 y -3 3
人教版八年级上册15.2.3整数指数幂(教案)
同时，我也发现部分学生在解决实际问题时，仍然存在不知道如何运用整数指数幂的问题。针对这一情况，我计划在接下来的课程中，增加一些综合性的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，逐步掌握运用整数指数幂的方法。
举例：讲解同底数幂相乘法则时，以2^3 × 2^4为例，强调指数相加的概念，确保学生理解并掌握ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一运算规则。
2.教学难点
-理解并运用幂的乘方、积的乘方性质，尤其是指数的变化规律。具体难点包括：
-幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)；
-积的乘方：(ab)^n = a^n × b^n。
-将实际问题抽象为指数幂问题，利用指数幂的性质和运算规则解决问题。
-鼓励学生互相交流、讨论，共同解决难点问题，提高学生的合作能力；
-对学生在学习过程中遇到的共性问题进行归纳总结，进行针对性的讲解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整数指数幂》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非常大或非常小的数字的情况？”（如：科学记数法表示的较大或较小数值）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整数指数幂的奥秘。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用纸牌模拟幂的乘方过程，让学生直观地理解指数的概念。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
整数指数幂的运算性质
正数的奇次方根为正数
负数的奇次方根为负数 正数的偶次方根有两个
2. 根式的性质
3.实数指数幂运算性质
实数指数幂的运算性质:
设m R, n R
a a a
m n
m n
n
mn
(a ) a
mn
(ab) a b
n
n
a=0,b=0时,m或n不是正实数时,无 意义.
口答:
1的平方根 27的立方根 -27的立方根
1
3
-3
81的4次方根
3
口答:
5
32 = －2
3
a a
6
2
4
4
16 = 2
(2) = 2
4
( a) a
n n
当n为奇数时，a a 当n为偶数时，
n n
n
a , a 0 n a a, a 0
例1、判断下列语句是否正确： ⑴－2是16的四次方根； ⑵正数的n次方根有两个；
整数指数幂的运算性质:
设m Z, n Z
a a a
m n
m n
n
m n
(a ) a
mn
(ab) a b
n
n
a=0时,m或n不是正实数时,无意 义.
思考:
整数指数幂能否扩展成有理 数指数幂?
一. 根式 平方根: 若一个数的平方为a,则
这个数叫做a的平方根.
立方根: 若一个数的立方为a,则 这个数叫做a的立方根. n次方根: 若一个数的n次方为a,则 这个数叫做a的n次方根.
1 例2, a 经 过 计 算 可 得 : a A) a , C) a, B) a , D) a
整数指数幂3
b3 a2
2
解：原式 =
b6 a 4
=a4b6
a4
(3) a1b2
解：原式 a3b6 b6
a3
3
(4) a2b2 a2b2
解：原式 a2b2 a6b6
a8b8 b8
a8
3
=
b6
05
例2.将下列各式转化为只含有正整数指数幂的形式：
（1）a2
解：原式
=
1 a2
（2）m2n3
解：原式
=m
2
1 n3
m2 n3
（3）5a11
解：原式 = 1 5
a
a 5
05
例3.利用负整数指数幂将下列各式化成不含分母的式子：
（1）a3
1 b4
解：原式 =a3 b4
（2）m2xb33
解：原式
=-x3
1 m2
1 b3
=-x3m b 2 3
06
练习4.
P145 练习1.2.
07
利用整数指数幂的运算性质，完成下列各题. 1.计算
b a
2
b2 a2
1 a2
b2
a2
1 b2
a2 b2
通过以上用负整数指数幂和0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质的验 证，指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推 广到了整数指数幂。
05
例1.计算
（1）a2 a5
解：原式 =a 25
=a7
1 = a7
（2）
同底数幂的乘法
am·an=am+n
(a≠0 ，m、n为整数)
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
分式的乘方
15.2.5整数指数幂的运算
【思路点拨】根据整数指数幂的运算法则计
算,结果化为整式或分式．
解:(1)(2a3b－2)－3(a－2b3)2 =2－3·(a3)－3·(b－2)－3·(a－2)2·(b3)2
1 a b a 2 1 a b 8
9 6 3
4
b
6
1 3
12
b 8a
12
13
解: (2)4xy2z÷(-2x-2yz-1) =[4÷(-2)]·x1-(-2)·y2-1·z1-(-1)
15.2.3整数指数幂
学习目标
1.理解并掌握整数指数幂的运算性质及科学记数法,会运用
整数指数幂的运算性质进行有关计算,.
2.懂得运用类比数学思想方法学习数学.
3.五个正整数指数幂的运算性质统一为三个整数指数幂的
运算性质.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.
学习重点
1.整数指数幂的运算性质并运用其进行计算. 2.科学记数法.
又∵1mm2=10-6m2 ∴每一个这样的元件约占: 9×10-7×10-6=9×10-13(m2).
智能抢答
-0.00028 用 科 学 记 数 法 表 示
为:-0.28×10-3正确吗?
答:不正确. ∵-0.000 28 用科学记数法
表示为:-2.8×10-4.
思维点拨 思维点拨
写出科学记数法的原数 已知N=a×10n(1≤|a|<10,n为整数) 1.当n>0时,原数N等于把a的小数点向右移动 n位得到的数,位数不够时用0补上. 2.当n<0时,原数N等于把a的小数点向左移动 n位所得的数,位数不够时用0补上.
a －b 例4.计算 （1） －1 －1 . a －b
(2)(m＋n)－5·(2m－n)3÷(m＋n)－2．
1.3 整数指数幂
(2)3 1 1 (2)3 8
5、用小数表示下列各数： ①10- 4； ② 1.6×10－3； ③2.1×10-5； ④－3.2×10－ 6、计算：
（1）a2×a-3；（2）(a×b)-3；（3）(a-3)2。
7、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指 数幂的形式：
（1）(a-3)2(ab2)-3； （2）(2mn2)-2(m-2n-
=(
1 a
)n(a≠0,n为正整数)
特别地，a-1 =
1 a
(a≠0)
例如：33÷35=3-2=312
=
1
9
a4÷a6=a-2
1
=a2
例1 计算：
2-3
10-2 (-2)-4
-2-4
( 21 ) -3
(
2 3
)-2
58÷58
(
1 3
)
0×10-1
(a-1)2÷(a-1)2(a≠1)
例2 把下列各式写成分式：
2
0
=
1
，
3
100=1， x0=1(x≠0)
动脑筋 设a≠0，n是正整数，试问：a-n等于什么？
分析
如果想把公式
am an =
am-n
推广到m＜n的情
形，那么就会有
a-n=
a0-n=
a0 an
=
1 an
这启发我们规定
n
a-n =
1 an
(a≠0,n为正整数)
由于
1 an
1 = a
因此
a-n
2.已知3m=2, 9n=10, 求33m-2n 的值
解： 33m-2n =33m÷32n=(3m)3÷(32)n=(3m)3÷9n =23÷10=8÷10=0.8
初中数学整数指数幂的运算要点
初中数学整数指数幂的运算要点.docx 初中数学整数指数幂的运算要点本文主要介绍了初中数学中整数指数幂的运算要点。
整数指数幂是数学运算中常见的概念，理解和掌握其运算规律对于初中生研究数学非常重要。
1. 什么是整数指数幂整数指数幂是指将一个数字以整数作为指数进行幂运算的结果。
例如，2^3，表示将数字2连乘3次，即2 × 2 × 2，结果为8。
在这个例子中，2是底数，3是指数，8是幂。
2. 同底数幂的运算规律当进行同底数的幂运算时，需要注意以下规律：- 同底数幂相乘：m^n × m^k = m^(n+k)。
例如，2^3 × 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
- 同底数幂相除：m^n ÷ m^k = m^(n-k)。
例如，2^5 ÷ 2^2 =2^(5-2) = 2^3。
- 幂的分配律：m^n × p^n = (m × p)^n。
例如，2^3 × 3^3 = (2 ×3)^3 = 6^3。
3. 幂的乘法法则当进行多个幂相乘的运算时，可以使用幂的乘法法则，规则如下：- 幂的乘法：(m^n)^k = m^(n × k)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3 × 2) = 2^6。
4. 幂的除法法则当进行幂的除法运算时，可以使用幂的除法法则，规则如下：- 幂的除法：(m^n) ÷ (m^k) = m^(n-k)。
例如，(2^5) ÷ (2^2) = 2^(5-2) = 2^3。
5. 幂的负指数当幂的指数为负数时，需要特别注意：- m^(-n) = 1/(m^n)。
例如，2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8。
6. 幂的0次方任何数的0次方都等于1，即m^0 = 1。
以上是初中数学整数指数幂的运算要点介绍。
掌握这些运算规律能够帮助学生更好地理解和解决相关数学问题。
第10次课整数指数幂及科学记数法
整数指数幂及科学记数法【学习目标】1. 熟练掌握整数指数幂的运算.2. 熟练运用科学记数法表示一个有理数。
【知识点】1、整数指数幂 ① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
即★n m n m a a +=⋅a ★()mn nm a a =★()n n nb b a a = ★n m n m a a -=÷a （0≠a ）★n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛n★n a 1=-na （0≠a ）★10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。
2、科学记数法若一个数x 是0<x<1的数，则可以表示为n 10a ⨯（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。
如0.000000125=-7101.25⨯若一个数x 是x>10的数则可以表示为n10a ⨯（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。
如120 000 000=8101.2⨯【例题】例1、计算（1）3132)()(---⋅bc a (2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x7个09个数字例2、已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.例3、（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯； （2）3223)102()104(--⨯÷⨯.（3）（9×10－3)×(5×10－2). （4） (－4×106)÷(2×103)例4、我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)例5、用科学记数法表示－0.00002009＝ ． －0.000000001＝ ． 0.0012＝ ． 0.000000345＝ ． 0.00003＝ ． 0.00000000108＝ ．【巩固练习】1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2）322231)()3(-----⋅n mn m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x(5)(yx )2·(xy)－2÷(x －1y).(6)(ab )－2·(ba)2; (7)(－3)－5÷33.(8) a －2b 2·(ab －1);2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.3、据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( )A.2.5×10－3B.2.5×10－4C.2.5×10－5D.－2.5×10－4 4、下面的计算不正确的是( )A.a 10÷a 9=aB.b －6·b 4=21bC.(－bc)4÷(－bc)2=－b 2c 2D.b 5+b 5=2b 5 5、要使(242--x x )0有意义,则x 满足条件_______________.6、(1)(a1)－p=_______________;(2)x －2·x －3÷x －3=_______________;(3)(a －3b 2)3=;____________(4)(a －2b 3)－2=_______________. 7、若x 、y 互为相反数，则(5x )2·(52)y =____________________. 8、计算:(23-)－2－(3-π)0+(22-)2·(22)－2.9.计算:(1)5x 2y －2·3x －3y 2; (2)6xy －2z÷(－3x －3y －3z －1).10.已知m －m －1=3,求m 2+m －2的值.11、27a a ÷= ； =--3132)(y xyx _ ___。
新 15.2.4 整数指数幂--
3
am an=am+n，这条性质对于m，n是整数的
●
情形仍然适用。
整数指数幂有以下运算性质：
（1） （2）
a a a
m n
m n
（m,n为整数）
（m,n为整数） （m,n为整数）
(a ) a
m n
mn
（3）
（4） （5）
( ab ) a b
m n
n
n n
mn
a a a n a n a ( ) n b b
0
（a≠0,m,n为整数且m＞n）
（ b≠0 ，n是整数）
（6） 当a≠0时，
a 1（ 零指数幂的运算）
（1） (a
计算下列各式，并把结果写成只含正整数指数幂的形式 2 2 2 2 3 1 2 3
b )
（2） a
b (a b )
6 6
a b
3 6
a b (a b )
2 2
8
b 3 a
6
b 1 8 8 b 8 a a
计算下列各式，并把结果写成只含正整数指数幂的形式
（1）
x y ( x y)
2
3
1
3
1 x
3
（2）
a c (2ab c ) (a b) 7 4b
2 3 2 2
4 6
1 1 1 29 0 （3） 2 ( ) (4) 1 3 5 4
2
（4） 4 ( 2) 5 (1)
0
2012
1 2 =7 ( ) 3
已知
2
x y xy
2 2
2
2
且
xy 0
整数指数幂PPT课件
对于一个小于1的正小数，
如果小数点后至第一个非0数字前有8
个0,用科学记数法表示这个数时，10
的指数是多少？如果有m个0呢？
9
m+1
19
例题
纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米 。把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒乓 球放在地球上。1立方毫米的空间可以放多少 个1立方纳米的物体？
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9
6
练习
1、填空：
1
（1）32=_9__， 30=1__， 3-2=9____;
1 （2）(-3)2=_9__，(-3)0=1__，(-3)-2=_9____；
1 （3）b2=b__2_, b0=1__, b-2=b__2__(b≠0).
7
2((、1(11)计()1)22)2算0200;：0;;; ((((2222))))323232322;222;;; ((3(33)()30)0)0.0.0.0.001111333;3;;;
(5)
a b
n
an bn
(n是 正 整 数)
(6)a0 1(a 0)
1纳米
109 米 ， 即1纳 米
1 109
米
3
一般地，am中指数m可以是负整 数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？ am an amn (a 0, m, n是 正 整 数, m n)
当m=n时, a3 a3 ? 当m＜n时,a3 a5 ?
引入负整数指数和0指数后，运算性 质am·an=am+n(m,n是正整数)能否扩大 到m,n是任意整数的情形?
10
2024/10/25
11
观察
a3
• a5
16.2.3 整数指数幂
8 8 8
例 题
例10 下列等式是否正确？为什么？ （1）a a a a ; （2）
m n m n
a n n a b . b
n
解：（1） a m a n a mn a m( n) a m a n ,
所以
n
a m a n a m an ;
(103 )3 (109 )3 109 1027 109( 27) 1018.
1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体.
16.2.3 整数指数幂
引言
当n是正整数时，
a n a aa
n个
正整数幂有以下运算性质：
(1) (2) (3)
(4)
(5)
a m a n a m n m n mn a a (ab)n a n bn
(m,n是正整数) (m,n是正整数) (n是正整数) (m,n是正整数,且m>n,a0) (n是正整数)
a a nb n . b
n
an 1 a n （2） n a n a nbn , 所以 b b b
思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一 个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时， 10的指数是多少？如果有m个0呢？
0.0000000021 2.110
a an n b b
n
a m a n a m n
例 题
例9 计算 （1） (a b ) ;
1 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3
（2） a 2b 2 (a 2b 2 ) 3 .
3 6 6
15.2.3整数指数幂教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整数指数幂相关的实际问题，如计算细胞的分裂次数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算，演示整数指数幂的基本原理。
（2）掌握整数指数幂的计算法则：熟练运用正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的计算法则；
举例：计算a^3、a^0、a^(-3)的值，以及解决涉及整数指数幂的运算题目。
（3）运用整数指数幂解决实际问题：将整数指数幂应用于实际情境，解决生活中的数学问题；
举例：计算银行存款复利、物体的体积与表面积等。
2.教学难点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了整数指数幂的概念和运算。我发现学生们对于这一章节的内容充满了好奇，但也存在一些理解上的难点。首先，对于整数指数幂的定义，大部分学生能够接受并理解正整数指数幂的含义，但在零指数幂和负整数指数幂的概念上，他们感到有些困惑。我通过举例和图示的方式，尽量让学生们直观地感受到负指数幂的实际意义，希望这样的方法能够帮助他们更好地消化这一部分内容。
学生小组讨论的环节，我尝试作为一个引导者，提出一些开放性的问题，引导学生思考。我发现，这样的方式能够激发学生们的思维，促使他们更深入地探讨问题。但在讨论过程中，我也发现有些学生容易偏离主题，这可能是因为他们对讨论的方向不够明确。为了提高讨论的效率，我计划在下次的讨论中，提供更明确的讨论指南，帮助学生聚焦关键问题。
（3）整数指数幂在实际问题中的应用：学生难以将数学知识与实际问题相结合，需要引导学生发现生活中的整数指数幂现象，培养学生的数学应用意识；
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
整数指数幂课件
性质
任何非零数的0次幂都等于1，即a^0=1 （a≠0）。
整数指数幂的运算规则
运算±a^n=a^(m±n)
（a≠0，m，n为正整数
）。
幂的乘法：
02
(a^m)^n=a^(m×n)（
a≠0，m，n为正整数）
。
幂的除法：
04
a^m/a^n=a^(m-n)（
a≠0，m，n为正整数）。
在计算整数指数幂时，应遵循先 乘除后加减、先指数后根号的运
算顺序规则。
运算优先级
当指数幂运算与其他数学运算混合 时，应遵循数学运算的优先级规则 ，先进行指数幂运算，再进行其他 运算。
括号的作用
在运算过程中，括号可以改变运算 的优先级，将括号内的表达式优先 计算。
负整数指数幂的意义
定义
负整数指数幂表示倒数，即 $a^{-n} = frac{1}{a^n}$，其中 $a$是正实数且$n$是正整数。
意义
负整数指数幂的意义在于表示一 个数的倒数的正整数次幂，是数
学中一种常见的表示方法。
应用
负整数指数幂在数学、物理和工 程等领域中有着广泛的应用，如 概率论、复变函数、电路分析等
。
无穷大与无穷小的关系
01
无穷大的定义
无穷大表示一个数随着某变量的增大而无限增大，即对于任意正实数
$M$，总存在某个正实数$N$，使得当$x > N$时，$f(x) > M$。
01 同底数幂的乘法性质
同底数幂的乘法性质是指$a^m times a^n = a^{m+n}$，这个性质在解决数学问题时非常有 用。
02 同底数幂的除法性质
同底数幂的除法性质是指$a^m / a^n = a^{mn}$，这个性质在解决数学问题时也非常有用。
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对于一个小于1的正小数， 对于一个小于1的正小数，如 果小数点后至第一个非0数字前有8 果小数点后至第一个非0数字前有8个0, 用科学记数法表示这个数时，10的指 用科学记数法表示这个数时，10的指 数是多少？如果有m 数是多少？如果有m个0呢？
9
m+1
例题
纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9 纳米是非常小的长度单位， 纳米=10 米。把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒 乓球放在地球上。 乓球放在地球上。1立方毫米的空间可以放多 少个1立方纳米的物体？ 少个1立方纳米的物体？
我们已经知道，一些较大的数适 我们已经知道， 合用科学记数法表示。例如， 合用科学记数法表示。例如，光速约 为3×108米/秒，太阳半径约为 6.96× 千米。 6.96×105千米。 有了负整数指数幂后，小于1的 有了负整数指数幂后，小于1 正数也可以用科学记数法表示。例如， 正数也可以用科学记数法表示。例如， 0.000257=2.57× 0.001=10-3，0.000257=2.57×10-4.
n
解：两个等式都正确。 两个等式都正确。
m+(（1）∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n
∴am÷an=am·a-n
1 a a n n −n ( 2) Q = n = a • n = a b b b b n a n −n ∴ = a b b
n
n
科学记数法
= 100 = 1000000
3
3
(4)( 3a )
2 −3
1 1 = 2 = 6 27a 3a
引入负整数指数和0指数后， 引入负整数指数和0指数后，运算 性质a (a≠0,m,n是正整数 是正整数,m 性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m n)可以扩大到m,n是全体整数 可以扩大到m,n是全体整数。 ＞n)可以扩大到m,n是全体整数。 引入负整数指数和0指数后， 引入负整数指数和0指数后，运 算性质a (m,n是正整数 是正整数) 算性质am·an=am+n(m,n是正整数)能否扩 大到m,n是任意整数的情形? m,n是任意整数的情形 大到m,n是任意整数的情形?
n n n
( 2)(a )
(1)a • a = a
m n
m+n
( m , n是正整数 )
m n
= a ( m , n是正整数 )
mn
一般地， 中指数m 一般地，am中指数m可以是负整 数吗？如果可以，那么负整数指数幂a 数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？ 表示什么？
a ÷a = a
m n
1×10-9
-0.000 03
1.2×10-3 3.45×10-7 1.2× 3.45×
0.000 000 010 8
-3×10-5
2、计算： 计算：
−6
1.08× 1.08×10-8
3 −6 2 −4 3
(1)(2×10 ) × (3.2×10 ) (2)(2×10 ) ÷ (10 )
3 −5 3
am·an=am+n 这条性质对于m,n是 这条性质对于m,n m,n是 任意整数的情形仍然适用. 任意整数的情形仍然适用.
类似于上面的观察，可以进一步用负 类似于上面的观察， 整数指数幂或0指数幂， 整数指数幂或0指数幂，对于前面提到的其他 正整数指数幂的运算性质进行试验， 正整数指数幂的运算性质进行试验，看这些 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 事实上， 事实上，随着指数的取值范围由正整数 推广到全体整数， 推广到全体整数，前面提到的运算性质也推 广到整数指数幂。 广到整数指数幂。
归纳
例题
计算： 计算：
(1) (a-1b2)3
(2) a-2b2 (a2b-2)-3
●
(3)x2y-3(x-1y)3 (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 6 b 解： (1) (a-1b2)3 =a-3b6 = 3 a 8 b -2b2 (a2b-2)-3 (2) a =a-8b8 = 8 a
练习
1、填空： 填空： 1 （1）32=___， 30=__， 3-2=____; ） 9 9 ， 1，
1 （2）(-3)2=___，(-3)0=__，(-3)-2=_____； ） 9， 1， 9 ； 1 2 2 （3）b2=___, b0=__, b-2=____(b≠0). ） 1 b b
2、计算： 计算：
观察
a 1 3 + ( −5 ) −2 a •a = 5 = 2 = a = a a a 3 3+(−5) −5 即a • a = a 1 1 1 −3 −5 −8 − 3 + ( −5 ) a •a = 3 • 5 = 8 = a = a a a a −3 −5 −3+(−5) 即a • a = a 1 1 0 0 + ( −5 ) −5 −5 a • a = 1• 5 = 5 = a = a a a 0 0+(−5) −5 即a • a = a
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9米 毫米=10 纳米=10
(10 ) ÷ (10 ) = 10 ÷ 10 = 10
−3 3 −9 3
−9
−27
−9 − ( −27 )
= 10
18
1立方毫米的空间可以放1018个1立 立方毫米的空间可以放10 方纳米的物体。 方纳米的物体。
练习
1、用科学记数法表示下列各数： 用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 001 0.001 2 0.000 000 345
●
(3)x2y-3(x-1y)3
1 = x (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
=x-1y0
=2-2a-2b-4c6÷ a-6b3 =2-2a4b-7c6 4 6 a c = 7 4b
下列等式是否正确？为什么？ 下列等式是否正确？为什么？
（1）am÷an=am·a-n
a n −n ( 2) = a b b
复习回顾
我们知道， 我们知道，当n是正整数时， 是正整数时，
a = a • a •L• a
n
n个 正整数指数幂还有哪些运 正整数指数幂还有哪些运 算性质呢 算性质呢？
( 3)(ab ) = a b ( n是正整数 ) m n m−n ( 4)a ÷ a = a ( a ≠ 0, m , n是正整数 , m 〉 n ) n n a a (5) = n ( n是正整数 ) b b 0 (6)a = 1(a ≠ 0) 1 −9 1纳米 = 10 米，即1纳米 = 9 米 10
m−n
( a ≠ 0, m , n是正整பைடு நூலகம் , m 〉 n )
3 3
a ÷a =? 3 5 当m＜n时, a ÷ a = ?
当m=n时, m=n时
a a ÷a = 3 =1 a
3 3
3
a ÷a = a
3 3
3
3− 3
=a
3
a =1
0
0
a a 1 a ÷a = 5 = 3 2 = 2 a a •a a
(1)2 (1)2 ;;
−3
0
3 (2) ; (2) 2
−2
;
(3)0.01 ;
(4)(3a )
2 −3
( a ≠ 0)
解： 1）20=1 （
3 ( 2 ) 2
−2
4 2 = = 9 3
−3
2
1 ( 3)0.01 = 100
−3
3 5
a ÷a = a
3 5
3− 5
=a
−2
1 a = 2 a
−2
归纳
一般地， 一般地，当n是正整数时， 是正整数时，
−n
a
1 = n (a ≠ 0) a
这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数。 这就是说， (a≠0)是 的倒数。 am (m是正整数） 是正整数） 是正整数 ） am = 1 （m=0） 1 是负整数） a−m（m是负整数）
即小于1 即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a 表示为a×10-n的形式，其中a是整数数 的形式，其中a 位只要一位的正数，n是正整数。 位只要一位的正数， 是正整数。 这种形式更便于比较数的大小。 这种形式更便于比较数的大小。 例如2.57 例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8， 2.57× 显然大于2.57 2.57× 前者是后者的10 前者是后者的103倍。