第七章动力学的基本方程
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引言 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动
力学中所研究的力学模型是质点和质点系。
动力学的两类问题： （1）已知物体的运动规律，求作用在物体上的力； （2）已知作用在物体上的力及运动的初始条件，求物 体的运动规律。
§7-1 质点动力学的基本定律 §7-2 刚体绕定轴转动的微分方程 §7-3 转动惯量
maCx Fx e maCy Fy e J C M C ( F )
e
e n maC Fn e J C M C ( F ) ma Ft
t C
e
以上各组均称为刚体平面运动微分方程.
z
ri
Mi
刚体绕定轴转动的微分方程
当外力主矩 时，角加速度 ，因而刚体作匀速转动或保
持静止（转动状态不变）。
应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。
（1）已知刚体的转动规律 ，可以通过导数运算求得刚
体上的外力对轴的力矩。 （2）已知外力的力矩，可以求角加速度，通过积分运算，
也可求得角速度和转动规律。
d q 3g sin q d q q 2l
q
wenku.baidu.com
0
q dq
q
0
3g sin q d q 2l
2 3 g (1 cosq ) q l
作业
7-1 7-16
mat Ft , m
v2
Fn , 0 Fb
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动. 混合问题：第一类与第二类问题的混合.
§7-2 刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ie ) d2 或 J z 2 M z ( F ie ) dt
J z ' J zC md
2
③．计算转动惯量的组合法
例7-4 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。 解： J O J O杆 J O盘
1 2 1 m1l m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 2 1 m1l m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
§7-3刚体对轴的转动惯量
1．定义： J z
mi ri 2
若刚体的质量是连续分布，则
J z m r dm
2
在工程中，常将转动惯量表示为
J z m
2 z
—— m为刚体的质量， z 称为回转半径
2．转动惯量的计算 ①．积分法 ②. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的
转动惯量一般是不相同的。
二、质点的运动微分方程
或
ma Fi 2 d r m 2 Fi dt
1 、在直角坐标轴上的投影
m
d2 x dt
2
Fx , m
d2 y dt
2
Fy , m
d2 z dt
2
Fz
2、在自然轴上的投影 由 有
a at an n, ab 0,
J Cq M C ( F) P l 2 l l 即: q YB sin q X A cosq g 12 2 2
4．求解微分方程 联立上面3个微分方程,有:
3 g sin q q 2l
若还要求解任一瞬时的角速 度,则可进一步积分:
q d q q dq
例 均质细杆AB，长l，重 P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑 动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止 状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度(q的函数)。
解：1、杆在任意位置的受力图如图所示。 2、分析杆质心的运动，如图所示质 心的坐标为
l xC sin q 2 l yC cosq 2 l 2 l q sin q q cosq 2 2 l 2 l q cosq q sin q 2 2
§7-4 刚体的平面运动微分方程
e maC F
e J C M C ( F )
2
或
e d rC m 2 F dt 2 e d J C 2 M C ( F ) dt
应用时一般用投影式：
C x C y
3．杆的平面运动微分方程
mxC X 即: P l 2 l ( q sin q q cos q ) X A g 2 2
mC Y y P l 2 l 即: ( q cosq q sin q ) YB P g 2 2
§7-4 刚体平面运动微分方程
一、动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
ma F 第二定律 P mg , g 9.8 m 重力
力的单位:牛[顿],
s2
s2
1N 1kg 1m
第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
力学中所研究的力学模型是质点和质点系。
动力学的两类问题： （1）已知物体的运动规律，求作用在物体上的力； （2）已知作用在物体上的力及运动的初始条件，求物 体的运动规律。
§7-1 质点动力学的基本定律 §7-2 刚体绕定轴转动的微分方程 §7-3 转动惯量
maCx Fx e maCy Fy e J C M C ( F )
e
e n maC Fn e J C M C ( F ) ma Ft
t C
e
以上各组均称为刚体平面运动微分方程.
z
ri
Mi
刚体绕定轴转动的微分方程
当外力主矩 时，角加速度 ，因而刚体作匀速转动或保
持静止（转动状态不变）。
应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。
（1）已知刚体的转动规律 ，可以通过导数运算求得刚
体上的外力对轴的力矩。 （2）已知外力的力矩，可以求角加速度，通过积分运算，
也可求得角速度和转动规律。
d q 3g sin q d q q 2l
q
wenku.baidu.com
0
q dq
q
0
3g sin q d q 2l
2 3 g (1 cosq ) q l
作业
7-1 7-16
mat Ft , m
v2
Fn , 0 Fb
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动. 混合问题：第一类与第二类问题的混合.
§7-2 刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ie ) d2 或 J z 2 M z ( F ie ) dt
J z ' J zC md
2
③．计算转动惯量的组合法
例7-4 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。 解： J O J O杆 J O盘
1 2 1 m1l m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 2 1 m1l m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
§7-3刚体对轴的转动惯量
1．定义： J z
mi ri 2
若刚体的质量是连续分布，则
J z m r dm
2
在工程中，常将转动惯量表示为
J z m
2 z
—— m为刚体的质量， z 称为回转半径
2．转动惯量的计算 ①．积分法 ②. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的
转动惯量一般是不相同的。
二、质点的运动微分方程
或
ma Fi 2 d r m 2 Fi dt
1 、在直角坐标轴上的投影
m
d2 x dt
2
Fx , m
d2 y dt
2
Fy , m
d2 z dt
2
Fz
2、在自然轴上的投影 由 有
a at an n, ab 0,
J Cq M C ( F) P l 2 l l 即: q YB sin q X A cosq g 12 2 2
4．求解微分方程 联立上面3个微分方程,有:
3 g sin q q 2l
若还要求解任一瞬时的角速 度,则可进一步积分:
q d q q dq
例 均质细杆AB，长l，重 P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑 动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止 状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度(q的函数)。
解：1、杆在任意位置的受力图如图所示。 2、分析杆质心的运动，如图所示质 心的坐标为
l xC sin q 2 l yC cosq 2 l 2 l q sin q q cosq 2 2 l 2 l q cosq q sin q 2 2
§7-4 刚体的平面运动微分方程
e maC F
e J C M C ( F )
2
或
e d rC m 2 F dt 2 e d J C 2 M C ( F ) dt
应用时一般用投影式：
C x C y
3．杆的平面运动微分方程
mxC X 即: P l 2 l ( q sin q q cos q ) X A g 2 2
mC Y y P l 2 l 即: ( q cosq q sin q ) YB P g 2 2
§7-4 刚体平面运动微分方程
一、动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
ma F 第二定律 P mg , g 9.8 m 重力
力的单位:牛[顿],
s2
s2
1N 1kg 1m
第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。