考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义

第一章随机事件与概率

一、随机试验与随机事件

（一）基本概念

1、随机试验—具备如下三个条件的试验：

（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。

（二）事件的运算

1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。

2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。

3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。

（三）事件的关系

1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A⊂ B。若

A⊂ B且B⊂ A，称两事件相等，记A= B。

2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。

3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。

【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。

（2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。

（四）事件运算的性质

1、（1）AB⊂ A(或B)⊂ A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A；

2、（1）A⋃ A= A,A⋂ A= A；

（2）A⋂ (B⋃ C)= (A⋂ B)⋃ (A⋂ C),A⋃ (B⋂ C)= (A⋃ B)⋂ (A⋃ C)；

3、（1）A= (A- B)⋃ A；（2）(A- B)⋂ A= A- B；

（3）A+ B= (A- B)⋃ AB⋃ (B- A)。

4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A⋂ A= φ 。

二、概率的定义与性质

（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(∙)称为所对应事件的概率：

♠ ♦

1、对事件A ，有P (A )≥ 0（非负性）。

2、P (∧)= 1（归一性）。

∞

∞

3、设A 1,A 2,L ,A n ,L 为不相容的随机事件，则有P (U A n )=

∑ P (A n )（可列可加性）。

（二）概率的基本性质 1、P (φ)= 0。

n =1

n =1

n

n

2、设A 1,A 2,L ,A n 为互不相容的有限个随机事件列，则P (U A k )=

∑ P (A k )。

k =1

k =1

3、P (A )= 1- P (A )。

4、（减法公式）P (A - B )= P (A )- P (AB )。 （三）概率基本公式 1、加法公式

（1）P (A + B )= P (A )+ P (B )- P (AB )。

（2）P (A + B + C )= P (A )+ P (B )+ P (C )- P (AB )- P (AC )- P (BC )+ P (ABC )。

2、条件概率公式：设A ,B 是两个事件，且P (A )> 0，则P (B |A )=

P (AB )

。

P (A )

3、乘法公式

（1）设P (A )> 0，则P (AB )= P (A )P (B |A )。

（2）P (A 1A 2L A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3 |A 1A 2)L P (A n |A 1A 2L A n -1)。

三、事件的独立性

1、两个事件的独立—设A ,B 是两个事件，若P (AB )= P (A )P (B )，称事件A ,B 相互独立。

♣P (AB )=P (A )P (B );

2、三个事件的独立—设A ,B ,C 是三个事件，若♠P

(AC )=P (A )P (C ); ♠P (BC )=P (B )P (C ); ♠♥P (ABC )=P (A )P (B )P (C ),

，称事件A ,B ,C 相互独立。 【注解】

（1）A ,B 相互独立的充分必要条件是A ,B

、A ,B 、A ,B 任何一对相互独立。

（2）设P (A ) = 0或P (A )= 1，则A 与任何事件B 独立。

（3）设P(A)> 0,P(B)> 0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。

四、全概率公式与Bayes公式

1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,A n满足：（1）A i A j= φ(i,j= 1,2,L,n,i≠ j)；

n

（2）U A i = ∧ ，则称事件组A1,A2,L,A n为一个完备事件组。

i=1

2、全概率公式：设A1, A2,L,A n 是一个完备事件组，且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n)，B为事件，则

n

P(B)= ∑ P(A i)P(B|A i)。

i=1

3、贝叶斯公式：设A1,A2,L,A n为一个完备事件组，且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n)，B为任一随机事件，

P(B)> 0，则P(A|B)= P(A

i

)P(B|A

i

)

。

i P(B)

例题选讲

一、填空题

1、设P(A)= 0.4,P(A⋃ B)= 0.7，

（1）若A,B不相容，则P(B)=；（2）若A,B相互独立，则P(B) =。

2、设P(A)= P(B)= P(C)=

。1

,P(AB)= P(AC) = P(BC)=

1

4 6

，则事件A,B,C全不发生的概率为

3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：ABC= φ,P(A)= P(B)= P(C)< 1

，且有P(A+ B+ C)=

9

，

2 16

则P(A)=。

4、设事件A,B满足P(AB)= P(AB)，且P(A)= p，则P(B)=。

5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1

，A发生B不发生的概率与A不发生B 9

发生的概率相等，则P(A) =。

二、选择题：

1、设A,B是两个随机事件，且0< P(A)< 1,P(B)> 0,P(B|A)= P(B|A)，则[ ]

(A)P(A|B)= P(A|B)；(B)P(A|B)≠ P(A|B)；