电磁场理论武汉大学柯亨玉

源，求电容器的储能。
忽略平行板的边 缘效应，两板极 之间的电场为
E
V0 d
,D
V0 Vd0 d
0
, ,
介质中 介质外
x
ε
d
l
We
1 2
V
we rdV
1 2
V0 d
2
db 0 l
x x
6 带电体系的静电作用力
虚功原理如下：设空间一定位形 结构的带电体系，静电能为 We 。 假想该电荷体系的空间位形结构 在静电力作用下发生小的虚位
第二个小电荷元自从无穷远处移 到r2点时，外力克服电场力所作 的功是
r2
dw r2 dV2 E1 dL r2 dV212
We 0 r2 dV212 r3 dV313 r3 dV323
n j1
lim n
j 1
i 1
ri
dViij
V
1 r r dV
2
能否作为能 量密度函数
轴，与 无关。
pm Iπa2nˆ Isnˆ
Ar 0 Idl 4π l r r'
Idl eˆxsin' eˆ ycos' ad'
R1 r 2 a2 2arsinsin' 1/ 2
1 1 a sinsin'
r r
Ar 0 4π l
Idl r r'
I0
4π
利用关系式 D 和 Er r
We
1 2
V
r r dV
1 2
DrrdV
V
1 2
V
Dr
E r
dV
r
S
Dr
dS
V
1 2
Dr
E
r
dV
能量密度函数
两者都可 作为静电 场能量计 算公式但 意义不同
静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。
第三章 静态电磁场
主要内容：
静态电磁场的基本性质 静态电磁场的能量 静态电磁场的基本方程
3.1 静电场及其方程
1 电位函数及其满足的方程 对于静电场，Maxwell方程变为
Er 0 Dr r
V
引入电位函数 r ，满足的方程
2r r （Poisson方程）
如果 r 0 Poisson方程变为
Laplace方程
r
ε
S
2 静电场的边界条件
Poisson方程或Laplace方程的求解，必需
知道位函数所在区域边界上的状态，即边
界条件。所谓边界条件即电场在介质交界
面两侧所满足的方程。可直接从静电场满
足的方程（积分）导出。
D2 D1 nˆ s
22
12
nˆ
s
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 n
1
1 n
s
nˆ E2 E1 0
Q 0
， 导体所带电荷量 ， 导体不带电
4 静电场的定解问题
均匀介质空间Ω中的静电场为确定边界条件 下Poisson方程的解，即
2
r
r
|
n S
2
2
n S
s
或
r |S 2 r S
【例3-1】电偶极子是
由相距一小距离L的两
个等值异号的点电荷所 组成的电荷体系，其方 向由负电荷指向正电 荷，大小为：P ＝qL。 求电偶极子在远处产生 的电场。
r
q
4π 0
1 r1
1 r2
r
qLcos 4π 0r 2
Pe r
4π 0r 3
E r
r
1 4π 0r
3
eˆ r
2 Pe cos
eˆ
Pesin
5 静电场的能量和能量密度 根据能量守恒原理，静电场的能量等于产生 电荷静电场体在建立过程中，外力克服静电 力做功的总和。
第一个小电荷元 自从无穷远处移 到点，外界克服 电场力做功为零
i sids
1 2
si Eds
si
f ds
si
得到单位导体表面积受到的静
电力是：
| f
1 2
s E
导体表面
其中 E|导体表面为系统总电荷在导体 表面处产生的电场。
| f
1 2
s
E
导体表面
含受力面元本 身的电荷在内
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
则： Br Ar Ar
为使 Ar 与 Br 之间是唯一对应关系，对磁矢势附加
条件 Ar 0 ，则唯一确定。矢势满足的方程为：
Br Ar Ar 2 Ar Jr 2 Ar Jr 这是一个矢量Poisson方程，包含三个标量 Poisson方程，是求解恒定电流磁场的基本方程。
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
Br Ar
磁感应强 度矢量是 一个无散 场，一个 无散矢量 场可以表 示为某个 矢量函数 的旋度。
称矢量函数 Ar 为磁矢势。
由磁感应强度的无散性引入的磁矢势不是唯一确定的
如果： Br Ar 设： Ar Ar r
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
We
1 2
r r dV
V
1 2
i sds
si
1
2
i qi
导体系相对于同一参考点的电位
导体系的电荷量
【例3-2】平行板电容器宽长度为l，宽度为b，间 距为d。电容器两板极之间的部分区域充满了电介 质。如果将平行板电容器接入电压为V0 的直流电
2r1rs 0
3 导体的边界条件 没有外加电场
导体内存在大量可自 由移动的电子；宏观 上呈现电中性
E
附加场
+ +
+ + +
达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 导体内部电场为零； 导体边界面上电场的切向分量为零； 导体为等势体； 电荷只分布在导体的表面
（ 0 n 常
数）
s
S
s
ds
2 11 0 r
a r
sinsin'
eˆ xsin'
eˆ ycos'
ad'
0 Iπa 2
4πr 2
sin( eˆ x
)
eˆ
0 Iπa 2
4πr 2
sin
0 Pm r
4πr 3
Br
移 δl ，静电力作的虚功为：
δA F δl 该虚功等于电荷体系能量的减少
F
eˆ x
We x
eˆ y
We y
eˆ z
We z
We
We
δl
We
We We We
如果上式应用于导体系，并设 导体系电荷保持不变，结合导 体系能量表达式，静电力为
| F We q常量
＝ 1 2
si
2 边界条件 利用磁场在两介质边界上满足的条件 nˆ B2 B1 0 nˆ H2 H1 J s
可以导出磁矢势在边界面上的条件：
nˆ A2 A1 0
nˆ
1
2
A2
1
1
A1
Js
| A2 A1
0
边界面
A2 r
A1r
3 小电流环的磁场 由于电流分布的轴对称
性，磁矢势以z为对称