北师大版初三数学秋季班(教师版) 第13讲 二次函数存在性问题--基础版

北师大初三数学9年级上册秋季版（教师版）

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第13讲 二次函数存在性问题

知识点1二次函数中直角三角形存在性问题 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于

y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ）， 由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

【典例】

1.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）

（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；

（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P 的坐标；

（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．

【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴﹣﹣=1，

∴b=﹣2

∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；

∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．

∴x1=﹣1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则，

∴

∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；

（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴∠OCB=45°，

∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，

∴D坐标为（1，﹣2 ）

Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），

∵点P在CE垂直平分线上，

∴点P纵坐标为﹣2，

∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，

∴x2﹣2x﹣3=﹣2，

解得：x=1±，

∵P在第三象限，

∴P的坐标为（1﹣，﹣2）；

（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴K的坐标为（n+3，n），

∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，

∵S △PBC =S △PKC +S △PKB =

，

∴×3KP= ∴m 2﹣3m=，

解得：m=﹣或，

∵P 在第三象限，

∴P 的坐标为（﹣，﹣）

∵点P 在CE 垂直平分线上，

∴E 的坐标为（0，﹣）

【方法总结】

探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：

（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；

（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；

（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。

【随堂练习】

1．（2019•禅城区二模）如图，已知直线2x m =-+与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点(1,4)A 为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．

（1）求m 的值；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P 是x 轴上一点，当ABP ∆为直角三角形时直接写出点P 的坐标．

【解答】解：（1）将点A 坐标代入2y x m =-+得：42m =-+，解得：6m =；

（2）26y x =-+，令0y =，则3x =，故点(3,0)B ，

则二次函数表达式为：2(1)4y a x =-+，

将点B 的坐标代入上式得：20(31)4a =-+，

解得：1a =-，

故抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =--+=-++；

（3）①当90ABP ∠=︒时，

直线AB 的表达式为：26y x =-+，

则直线PB 的表达式中的k 值为1

2，

设直线PB 的表达式为：12

y x b =+， 将点B 的坐标代入上式得：1032

b =⨯+， 解得：32

b =-， 即直线PB 的表达式为：1322

y x =

-， 当1x =时，1y =-，

即点(1,1)P -；

②当()90AP P B ∠'=︒时，

点(1,0)P '； 故点P 的坐标为(1,1)-或(1,0)．

2．（2019•郊区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线2x =-与x 轴交与点C ，与抛物线2y x bx c =-++交于点A ，此抛物线与x 轴的正半轴交于点(1,0)B ，且2AC BC =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点．过点P 作PD 垂直于x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使3DE PE =．

①求点P 的坐标；

②在直线PD 上是否存在点M ，使ABM ∆为以AB 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）直线2x =-与x 轴交于点C ，

∴点(2,0)C -，

(1,0)B ，