正方形的定义及性质课件
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.
达标检测1．
3、已知：正方形 ABCD 对角线AC、BD相 交于点 O ，且 AB＝4cm ，如图。
求：AC的长及正方形的面积 S。
4．已知：在正方形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O，且AC＝6 2 cm ，如图
求：正方形的面积S。
达标检测 5： 如图，已知 E点在正方形 ABCD的BC边的延长线上， 且CE=AC ，AE与CD相交于点 F，则∠AFC=________
由正方形的定义 可知，
学案1、正方形既是（1）有一组邻边相等的矩形， 又是 （2）有一个角为直角的菱形。 （3）有一组邻边相等，并且一个角为直角的平行四边形。
学案2 ?
2. 如图正方形 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的度数。
.
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
例2：
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证： （1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，. 每条对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也 是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
.
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
不是轴对称图形
对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、
对四等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
轴对称图形、
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
18.2 .3特殊的平行四边形 ----正方形（第1课时）
完美的正方形
回顾：平行四边形 ,矩形与菱形有哪些性质 ?
边: 对边平行且相等
平行四边形 角: 对角相等,邻角互补
对角线: 对角线互相平分
具有平行四边形所有性质
矩形
边： 对边平行且相等 角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等且互相平分
.
菱形的性质
(2)
.
平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
四边形 平行四边形
矩形
正 方 菱形
形
.
学案2
它是轴对称图形 ,有4条对称轴 (C) A
D (B)
也是中心对称图形 ,对称中心为点 O O
(1)它具有平行四边形的一切性质 (D) B
C(A)
.
达标检测6：判断下列命题是否正确
? 1、四个角都相等的四边形是正方形； (×)
? 2、四条边都相等的四边形是正方形； (×)
? 3、对角线相等的菱形是正方形；
( √)
? 4、对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ )
? 5、对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×)
? 6、四边相等，有一个角是直角的四边形
轴对称图形、
.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B )
A、四个角相等
B、对角线互相垂直平分 .
C、对角互补 .
D 、对角线相等 .
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A、四条边相等 .
B 、对角线互相垂直平分 .
C、对角线平分一组对角 . D、对角线相等 .
.
练习3.正方形的一边和对角线的夹角为4_5_°_________.
答案：1、八个 △ABC、△BCD、 △CDA、
△DAB 、△AOB 、△AOD、
△BOC 、△COD
A
D
O 2 AB=BC=CD=DA AC=BD
OA=OB=OC=OD
3、45°；45°，90°
B
C
.
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1) (4)
3 2 1
答案
.
证明：（1）∵ ABCD 是正方形 ∴AD=AB，∠ADE= ∠ABF=90 ° 在△ ABF 与△ ADC 中
AD=AB ∠ADE= ∠ABF=90 °
DE=BF ∴ △ABF ≌△ADE （SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3
3 2 1
（2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA
是正方形.
(√ )
.
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等 四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
.
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√ √√
√
√√
想一想：
１．若O点移动至E点时，连接AE、CE， 你有那些结论？
A
D
O
E
B
C
该怎样证明这些结论？
.
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质
A
D
边： 对边平行，四条边都相等
O
角：四个角都是直角
B
对角线：对角线互相垂直平分且相等，
C
每条对角线平分一组对角
对称性： 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
.
平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
.
例3．已知：如图在正方形 ABCD 中，F为CD延长线 一
点，CE ⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD ＝45°
菱形的性质
具有平行四边形一切性质
边: 四条边相等
角：对角相等,邻角互补
互相垂直平分 对角线:
分别平分两组对角
.
探究小结
邻边相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形
一个角是直角
发现：
正方形
一个角为直角的菱形叫正
∟ 方形
如何来给正方形下定义？
.
1． 正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
练习4.已知正方形的面积为9cm2,它的周长1为2c_m______________. 4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了___2_a__+_1___.
A
ห้องสมุดไป่ตู้
D
O
B
C
.
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。
文字命题的证明步骤： 第一步 : 画图 第二步 : 写已知 第三步：写求证 第四步 : 证明
达标检测1．
3、已知：正方形 ABCD 对角线AC、BD相 交于点 O ，且 AB＝4cm ，如图。
求：AC的长及正方形的面积 S。
4．已知：在正方形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O，且AC＝6 2 cm ，如图
求：正方形的面积S。
达标检测 5： 如图，已知 E点在正方形 ABCD的BC边的延长线上， 且CE=AC ，AE与CD相交于点 F，则∠AFC=________
由正方形的定义 可知，
学案1、正方形既是（1）有一组邻边相等的矩形， 又是 （2）有一个角为直角的菱形。 （3）有一组邻边相等，并且一个角为直角的平行四边形。
学案2 ?
2. 如图正方形 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的度数。
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例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
例2：
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证： （1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，. 每条对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也 是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
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知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
不是轴对称图形
对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、
对四等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
轴对称图形、
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
18.2 .3特殊的平行四边形 ----正方形（第1课时）
完美的正方形
回顾：平行四边形 ,矩形与菱形有哪些性质 ?
边: 对边平行且相等
平行四边形 角: 对角相等,邻角互补
对角线: 对角线互相平分
具有平行四边形所有性质
矩形
边： 对边平行且相等 角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等且互相平分
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菱形的性质
(2)
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平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
四边形 平行四边形
矩形
正 方 菱形
形
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学案2
它是轴对称图形 ,有4条对称轴 (C) A
D (B)
也是中心对称图形 ,对称中心为点 O O
(1)它具有平行四边形的一切性质 (D) B
C(A)
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达标检测6：判断下列命题是否正确
? 1、四个角都相等的四边形是正方形； (×)
? 2、四条边都相等的四边形是正方形； (×)
? 3、对角线相等的菱形是正方形；
( √)
? 4、对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ )
? 5、对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×)
? 6、四边相等，有一个角是直角的四边形
轴对称图形、
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1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B )
A、四个角相等
B、对角线互相垂直平分 .
C、对角互补 .
D 、对角线相等 .
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A、四条边相等 .
B 、对角线互相垂直平分 .
C、对角线平分一组对角 . D、对角线相等 .
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练习3.正方形的一边和对角线的夹角为4_5_°_________.
答案：1、八个 △ABC、△BCD、 △CDA、
△DAB 、△AOB 、△AOD、
△BOC 、△COD
A
D
O 2 AB=BC=CD=DA AC=BD
OA=OB=OC=OD
3、45°；45°，90°
B
C
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正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1) (4)
3 2 1
答案
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证明：（1）∵ ABCD 是正方形 ∴AD=AB，∠ADE= ∠ABF=90 ° 在△ ABF 与△ ADC 中
AD=AB ∠ADE= ∠ABF=90 °
DE=BF ∴ △ABF ≌△ADE （SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3
3 2 1
（2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA
是正方形.
(√ )
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小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等 四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
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菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√ √√
√
√√
想一想：
１．若O点移动至E点时，连接AE、CE， 你有那些结论？
A
D
O
E
B
C
该怎样证明这些结论？
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小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质
A
D
边： 对边平行，四条边都相等
O
角：四个角都是直角
B
对角线：对角线互相垂直平分且相等，
C
每条对角线平分一组对角
对称性： 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
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平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
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例3．已知：如图在正方形 ABCD 中，F为CD延长线 一
点，CE ⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD ＝45°
菱形的性质
具有平行四边形一切性质
边: 四条边相等
角：对角相等,邻角互补
互相垂直平分 对角线:
分别平分两组对角
.
探究小结
邻边相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形
一个角是直角
发现：
正方形
一个角为直角的菱形叫正
∟ 方形
如何来给正方形下定义？
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1． 正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
练习4.已知正方形的面积为9cm2,它的周长1为2c_m______________. 4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了___2_a__+_1___.
A
ห้องสมุดไป่ตู้
D
O
B
C
.
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。
文字命题的证明步骤： 第一步 : 画图 第二步 : 写已知 第三步：写求证 第四步 : 证明