安徽省A10联盟2020-2021学年高三下学期开学考试理科数学试题

安徽省A10联盟2020-2021学年高三下学期开学考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，则()()U U C A C B ⋂（ ）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．()1,0-D ．(]1,0-2．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．0,1B ．1,0C ．()1,0D ．0,13．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．1124．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，()11f =-，若()211f x -≥-，则x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞ C ．0,1D ．(][),01,-∞+∞5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．116．()73111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（ ） A ．-7B ．28C ．35D ．427．设x ，y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，则a =（ ）A ．1B ．-1C ．53-D ．538．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ） A ．6267A A 种B ．3247A A 种C ．362367A A A 种D ．362467A A A 种9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A 5B 9C 10D ．1010．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．811．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线()00ax y a -=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为123,,x x x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．112．如图，在ABC ∆中，sin sin BD B CD C =，2BD DC ==2AD =，则ABC ∆的面积为（）ABC ．D ．二、填空题13．已知向量a 与b 方向相同，(2,a =，2=b ，b -=___________．14．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，在点A 处的切线与,x y 轴分别交于点,M N，若MON ∆的面积为12，则AF =_________________． 15．在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________________________．16．已知函数()ln xf x ax x e =-（其中e 为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是____________________________．三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212n n n a S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为菱形，160ABB ∠=，AB BC ==AC =1BB AC ⊥．（1）求证：平面11BB C C ⊥平面11ABB A ； （2）求二面角111A AC B --的余弦值．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，O 为坐标原点，点,A B 分别为椭圆C 的左、右视点，P 为椭圆C 上异于,A B 的一点，直线,AP BP 的斜率分别是12,k k ．（1）求证：12k k 为定值；（2）设直线l 交椭圆C 于,M N 两点，//AP OM ，//BP ON ，且OMN ∆的面积是C 的标准方程．20．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X 表示这10件产品中质量指标值位于（187.4，225.2）的产品件数，求()EX ；（ii ）一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在()3,3μσμσ-+之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查下．下面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查．12.6≈，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=21．已知函数()()1ln f x ax a R x =∈的最大值为1e（其中e 为自然对数的底数），f x是()f x 的导函数． （1）求a 的值；（2）任取两个不等的正数12,x x ，且12x x <，若存在正数0x ，使得()()()21021f x f x f x x x -'=-成立．求证：102x x x <<．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan 2y x πααπ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，曲线1C的参数方程是1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=． （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线1C 交于,O M 两点，直线l 与曲线2C 交于,O N 两点，求MN 的最大值．23．已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈. （1）当2m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()3f x x ≤+的解集包含[]1,2，求实数m 的取值范围.参考答案1．D 【分析】根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果. 【详解】由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤， ∴()()(]1,0U U C A C B =-.故选D. 【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题. 2．A 【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数和实数点的对应得到结果. 【详解】∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 故选A. 【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了． 3．B 【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果. 【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为101P 606==.故选B 【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型. 4．C 【分析】由题可得()()211f x f -≥，根据函数奇偶性得到()()|21|1f x f -≥，结合单调性得到不等式关系211x -≤，求解即可. 【详解】由题可得()()211f x f -≥，函数为偶函数，()()|21|1f x f ∴-≥，由函数()f x 在()0.+∞上单调递减， ∴211x -≤，解得01x ≤≤. 故选C. 【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用；解抽象函数的不等式问题，一种方法可以将函数表达式直接写出，解不等式即可；一种方法是，通过研究函数的单调性直接转化为自变量的不等关系. 5．C 【分析】模拟程序框图运行即得解. 【详解】第一次运行时，()0111,3t k =+⨯==； 第二次运行时，()1136,5t k =+⨯==； 第三次运行时，()61535,7t k =+⨯==；第四次运行时，()3517252,9t k =+⨯==； 此时刚好不满足100t <，故输出9k =， 故选C 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．B 【分析】()71x +的通项为17r rr T C x +=,令3,6r r ==分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式()71x +的通项为17r r r T C x +=，分别令3,6r r ==，则3x 的系数为367728C C -=.故选B. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 7．B 【分析】由条件画出可行域，作直线l ：20x y +=，将直线向上平移经过点A 时，目标函数取最小值，然后将点A 坐标代入目标函数中，解方程可求出a 的值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.其中11,22a a A +-⎛⎫-⎪⎝⎭，作直线l ：20x y +=，平移直线l ，当其经过点A 时，z 取得最小值，即min 112222a az +-=-+⋅=，解得1a =-， 故选：B.【点睛】此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题. 8．D 【分析】从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起是34A 种; 6个女生随意排是66A 种, 再插入2个男生是27A 种可得. 【详解】采用捆绑法和插空法：从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生随意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2742A 种，综上所述，不同的排法共有362467A A A 种， 故选:D. 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法. 9．A 【分析】根据三视图还原几何体，进而得到侧面的面积之和. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示，在直角梯形ABCD 中，CD ===；同理，PB ===，PD ===3PC ===；在PCD ∆中，2222223cos 26PC CD PDPCD PC CD+-+-∠===，∴sin PCD ∠==，∴11sin 322PCD S PC CD PCD ∆=∠=⨯⨯= 1111222,2332222PAB PAD S PBAB S PA AD ∆∆==⨯⨯===⨯⨯=，11122PBCS PB BC ∆==⨯= 235PCD PAB PAD PBC S S S S S ∆∆∆∆=+++=+=.故选A. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 10．C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型. 11．D 【分析】根据题意得到()sin 2f x x =-，()2cos2f x x '=-，画出函数图像，可知切线方程过点()()()1133,sin 2,0,0,,sin 2x x x x --，由切线的几何意义得到：333sin 202cos 20x x x ---=-，进而得到结果. 【详解】由题意得，()sin 2f x x =-，则()2cos2f x x '=-，易知直线()00ax y a -=>过定点()0,0，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，∴1320,0x x x +==，则切线方程过点()()()1133,sin 2,0,0,,sin 2x x x x --， ∴333sin 202cos 20x x x ---=-，即333sin 22cos 2x x x =，则33tan 22x x =，∴()()123133123133tan tan tan 212x x x x x x x x x x x x +---===+---.故选D. 【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论． 12．B 【分析】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，结合题干条件得到AD 为BAC ∠的平分线，根据角平分线定理得到2AB BDAC DC==，再由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到2AC =，在三角形中应用余弦定理得到sin 8BAC ∠=，最终求得面积. 【详解】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，由sin sin BD B CD C =， 得DE DF =，则AD 为BAC ∠的平分线，∴2AB BDAC DC==， 又cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22=，解得2AC =;在ABC ∆中，(222421cos 2428BAC +-∠==⨯⨯，∴sin 8BAC ∠=，∴1sin 22ABC S AB AC BAC ∆=∠=.故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.13．2. 【分析】根据题干得到2a b =2b b -==.【详解】∵(2,a =，∴22a =，∵a 与b 方向相同，且2b =，∴2a b =，2b b -==.故答案为2. 【点睛】这个题目考查了向量的模长的计算，以及向量共线的应用，属于基础题. 14．2 【分析】设出直线l 的方程，设出A 点的坐标，求得过A 的切线方程，由此求得,M N 的坐标，代入三角形的面积公式列方程，解得A 点的坐标，根据抛物线的定义求得AF 的值. 【详解】由题意，焦点()0,1F ，设直线1y kx =+，不妨设A 为左交点，()00,A x y ，则过A 的切线为0022x x y y =+，则()00,0,0,2x M N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()0011222x S y =⋅⋅-=，解得02x =-，则()2,1A-，根据抛物线的定义可得11122pAF=+=+=. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查抛物线的定义，属于中档题.15．. 【分析】根据三角形的边长关系得到222AB BC AC +=再结合题干得到BC ⊥平面DAB ，BC BD ⊥，进而得到三角形BCD 和三角形ACD 有公共的斜边，得到球心为DC 的中点进而求解. 【详解】由题意知，222AB BC AC +=，∴BC BA ⊥，∵DA BC ⊥，∴BC ⊥平面DAB ， ∴BC BD ⊥，∴CD =在ACD 中，222AC AD CD +=，∴四面体ABCD 的外接球的球心为DC的中点，则其半径R =，故球的体积为34.3R π=故答案为. 【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 16．,0.【分析】根据题意将函数的极值点问题转化为()1ln xe g x x =+与y a =的交点个数问题，画出函数()1ln xe g x x=+的图像，根据函数图像得到结果即可. 【详解】由题意得，()ln xf x a a x e '=+-，当0x >且1x e -≠时,令()ln 0,xf x a a x e '=+-=1ln xe a x=+，令()1ln xe g x x =+，则()()211ln 1ln x e x x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=+；令()11ln h x x x =+-，易知()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =，∴()g x 在()10,e-和()1,1e -上单调递减，在()1+∞，上单调递增，又当10x e<<时，()0g x <；当1x e >时，()()0,1g x g e >=，可画出函数图像：∴根据图像性质可得到：当y a =与函数()g x 只有一个交点时，0a <或a e =． 当a e =时，()ln xf x e e x e '=+-，则()x ef x e x''=-，易知()f x '在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f ''≤=，∴()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值点，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(),0-∞. 故答案为(),0-∞. 【点睛】本题考查了函数的极值问题，以及导数在研究函数的极值问题中的应用，将函数极值点转化为导函数的变号零点问题，函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题． 17．(1)n a n =;(2)323443n nn T +=-⋅. 【分析】(1)根据题干得到当2n ≥时，由22n n n S a a =+得21112n n n S a a ---=+，两式做差得到()()1110n n n n a a a a --+--=，得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，进而得到结果；（2）根据第一问得到13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，由错位相减求和得到结果. 【详解】（1）由题意得，当1n =时，221112a a a =+，又0n a >，∴11a =，当2n ≥时，由22n n n S a a =+得21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又0n a >，∴11,n n a a -=-∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n a n =；（2）由（1）得13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， ∴1211112333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2311111112133333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得1212111133333nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18．(1)见解析. 【分析】(1) 过点A 作1AO BB ⊥交1BB 于点O ，连接OC ，根据勾股定理得到在AOC ∆中，222OA OC AC +=,90AOC ∠=，进而得到二面角1C BB A --为直二面角，得到结果；（2）建立直角坐标系得到两个面的法向量，再由法向量的夹角公式得到结果.【详解】（1）过点A 作1AO BB ⊥交1BB 于点O ，连接OC ， 在三角形AOC中，易得AO BO ==， ∵11,,BB AC BB AO ACAO A ⊥⊥=，∴1BB ⊥平面AOC ，∴1BB CO ⊥， ∴在Rt BOC △中，OC在AOC ∆中，222OA OC AC +=，∴90AOC ∠=， 即二面角1C BB A --为直二面角， ∴平面11BB C C ⊥平面11ABB A ；（2）由（1）知直线,,OA OB OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，直线,,OA OB OC 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系则))()(111,,0,,0,AA B C --，∴()(11116,2,0,0,B A B C =-=．设(),,m x y z =是平面111B AC的法向量，则1111·0·0m B A m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00⎧=⎪⎨=⎪⎩，取1x =，则1y z ==，∴平面111B AC 的一个法向量为()1,3,1m =， 同理，平面11AA C 的一个法向量为()1,0,1n =，∴10cos ,5m n m n m n==， 即二面角111A AC B --的余弦值为5. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角;面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做.19．(1) 12-.(2) 22184x y +=.【分析】(1) 设()00,P x y ,212220022y y k k x bx b ==--,根据点在椭圆上得到结果；（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，//,//AP OM BP ON ， 12OM ONk k =-，即121212y y x x =-，()()121212kx t kxt x x ++=-，联立直线和椭圆，再由韦达定理得到结果.【详解】（1）由题意得，()(),0,,02A aB a -=，即a =，则椭圆C 可化为222220x y b +-=，设()00,P x y ，则2220022x b y =-，∴2200012222220001222222y y y k k x bb y b x b ====-----； （2）由题意知，MN 不垂直于x 轴，设直线MN 的方程为y kx t =+，联立222220y kx tx y b =+⎧⎨+-=⎩，得()2222124220k x ktx t b +++-=，()2222820b k b t ∆=+->，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,1212kt t b x x x x k k -+=-=++，∵//,//AP OM BP ON ，∴12OM ON k k =-，即121212y y x x =-， ∴()()121212kx t kx t x x ++=-，∴()()22121212220k x x kt x x t ++++=，即222242222012ktt b ktt k--+=+得()222212t k b =+，280t ∆=>，∵22212k MN b t+===，点O 到直线MN 的距离d =∴21222OMN S MN d b ∆===， 解得24b =，则28a =，∴椭圆C 的标准方程是22184x y +=.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 20．(1)见解析.(2) （i ）()8.185E X =（ii ）需要对当天的生产过程进行检查. 【分析】(1)根据公式得到均值和方差；（2）（i ）根据正态分布()10,0.8185XB ，由公式得到结果；（ii ）3162.2μσ-=，3237.8μσ+=，()237.9162.2,237.8∉进而得到结果. 【详解】（1）由题意得，1700.0251800.091900.222000.32x =⨯+⨯+⨯+⨯+2100.242200.082300.025200⨯+⨯+⨯=，()()()22222222300.025200.09100.2200.32100.24200.08300.025159s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题意得，一件产品中质量指标值位于区间()187.4225.2，的概率为 0.68260.95440.81852+=，则()10,0.8185XB ，∴()100.81858.185E X =⨯=；（ii ）由（I ）知，320012.63162.2μσ-=-⨯=，320012.63237.8μσ+=+⨯=， ∵()237.9162.2,237.8∉，∴需要对当天的生产过程进行检查． 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的应用，平均数的计算以及方差的计算；涉及正态分布的应用，属于基础题.21．（1）1a =.（2）见解析. 【分析】(1)对函数求导，分情况得到函数的单调性，进而求得在1x e=处取得最值，进而求解；（2）根据导数的几何意义得到()()21021ln 1f x f x x x x -=---，构造函数()()2101121ln ln 1ln f x f x x x x x x --=----，通过换元将等式右边的函数改为()()ln ln 11,0,111t t t g t t t t---=-=∈--，对此函数求导得到函数的单调性进而得证. 【详解】（1）由题意得，显然0a ≠，∵()ln f x ax x =-，∴()()()1ln ,0,f x a x x '=-+∈+∞， 令()0f x '=，解得1x e=， ①.当0a >时，令()0f x '>，解得10x e<<；令()0f x '<，解得1x e >，∴()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()f x 在1x e=处取得极大值，也是最大值， ∴()max11f x f e e⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1a =；②当0a <时，易知与题意不符，故舍去， 综上所述，1a =；（2）由（1）知()ln f x x x =-，则()()1ln f x x '=-+，∴()()001ln f x x '=-+，∴()()()210211ln f x f x x x x --+=-，即()()21021ln 1f x f x x x x -=---， 则()()2101121ln ln 1ln f x f x x x x x x --=----212222112121212lnln ln ln 1111x xx x x x x x x x x x x x x --=-=-=----，设()12,0,1x t t x =∈，则()()ln ln 11,0,111t t t g t t t t---=-=∈--， 令()()ln 1,0,1h t t t t =--∈，则()110h t t'=-<， ∴函数()h t 在()0,1上单调递减，∴()()10h t h >=，即ln 10t t -->，又10t ->， ∴()0g t >，即01ln ln 0x x ->，∴01x x >， 同理可证02x x <，得证． 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) ,2R πθαραπ⎛⎫=∈<< ⎪⎝⎭;2cos ρθ=.(2) 【分析】（1）先写出它们的直角坐标方程，再写出它们的极坐标方程；（2）先求出2cos ,2sin OM ON αα=-=，再求出4MN πα⎛⎫=-⎪⎝⎭及其最大值. 【详解】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入tan 2y x πααπ⎛⎫=<<⎪⎝⎭得tan tan θα=， ∴直线l 的极坐标方程是,2R πθαραπ⎛⎫=∈<<⎪⎝⎭， ∵曲线1C 的参数方程是1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），∴曲线1C 的普通方程是()2211x y -+=，即2220x y x +-=， ∴曲线1C 的极坐标方程是2cos ρθ=； （2）将,2R πθαραπ⎛⎫=∈<< ⎪⎝⎭分别代入曲线1C 和2C 的极坐标方程， 则2cos ,2sin OM ON αα=-=，∴2sin 2cos 4MN πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∵2παπ<<，∴当34πα=，sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1，∴MN 的最大值为【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标和极坐标方程的互化，考查极坐标下两点间距离的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．(1) 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2) 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）等价转化为对任意的[]1,2x ∈，131mx x x -≤+-+恒成立，即对任意的[]1,2x ∈，12mx -≤恒成立，再解不等式得解.【详解】（1）当2m =-时，()121f x x x =+++. ①当时，原不等式可化为()()1212x x -+-+≤，化简得322x --≤，解得43x ≥-，∴413x -≤≤-； ②当112x -<≤-时，原不等式可化为()()1212x x +-+≤， 化简得2x -≤，解得2x ≥-，∴112x -<≤-； ③当12x >-时，原不等式可化为()()1212x x +++≤， 化简得322x +≤，解得0x ≤，∴102x -<≤； 综上所述，不等式()2f x ≤的解集是4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由题意知，对任意的[]1,2x ∈，113x mx x ++-≤+恒成立， 即对任意的[]1,2x ∈，131mx x x -≤+-+恒成立， ∵当[]1,2x ∈时，()()31312x x x x +-+=+-+=， ∴对任意的[]1,2x ∈，12mx -≤恒成立， ∵[]1,2x ∈，12mx -≤，∴max min13m x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1322m -≤≤，即实数m 的取值范围为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式的应用和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。