初中数学四边形提高练习(辅助线)

A F
B
D
C E
F E
A
B
C
D
图（一） 【题型二】四边形一边上的动点到两对角线距离之和
图（二）
1．已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O， P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别作直线 AC 、 BD 的垂线 PE 、 PF，垂足 为 E 、F ．
（ 1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE +PF 的值．
（ 2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE - PF 的值．
A
E O
P F
B
D
A
C
B F
P
D
O E C
2．如图，矩形 ABCD 的两边 AB =3， BC =4， P 是 AD 上任一点， PE ⊥ AC 于点 E ， PF⊥ BD 于点 F。求 PE +PF 的值
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并写出自变量 x 的取值范围
F
A
E
O
P
B
D
C
【题型三】正方形内部有垂直线段，则一定有全等或可以构造全等；
1．（ 2010 浙江绍兴） ( 1) 如图 1 , 在正方形 ABCD 中 , 点 E, F 分别在边 BC, CD 上 , AE , BF 交于点 O , ∠ AOF ＝ 90 °. 求证： BE ＝CF .
（ 3）若 CD =6 ， BC=8， S 四边形 ABCD =49 ，求 AB 的值 .
A D
B
C
3．在△ ABC 中，∠ ACB 为锐角，动点 D （异于点 B）在射线 BC 上，连接 AD ，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF ，连接 CF .
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( 1) 若 AB =AC ，∠ BAC=90 °那么
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CE x y y x y （2）设
，四边形 AHEG 的面积为
，求 关于 的函数关系式；当
取最大值时，判断四边形 AHEG 的形状，并说明理由．
【 题型四 】 连接四边中点所得到的四边形
1．顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是
()
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D ．正方形
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四边形 常见辅助线 提高
【题型一】若一个四边形的一组对角为直角，且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形
M B
C
A
D N
其实，这个图也可以看做是把 AND 旋转以后得到的正方形， 应用举例 1．如图，四边形 ABCD 中， AB =BC ，∠ ABC =∠CDA =90°， BE ⊥ AD 于点 E ，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE=（ ）
EF 的值；
GH
GH ，求
ABCD （3）如图 3，矩形
中， AB a ， BC b ，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 EF
GH EF
，求
的值．
GH
A
D AE
D
A
E
D
H
H
G G
B
CB
FC
B
F
C
图1
图2
图3
A
G
D
O M
E
B
H
C
第 26题（ 1 ）
4．如图，矩形 ABCD ， M 为 CD 中点，点 E 在线段 MC 上运动， GH 垂直平分 AE ，垂足为 O，分别交于 AD 、BC 于点 G 、 H ， AB =3， BC =4． （ 1）求 AE ： GH ；
2．顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
() D ．正方形
3．顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是
()
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D ．正方形
4．顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是
()
A．平行四边形
B．矩形
A
P
B
E
F
O
。D
C
3．如图，△ ABC 中， AB =AC ， AD 、 AE 分别是
BAC 及其外角
CAF 的平分线， CE⊥ AE
（ 1）求证： AB =DE
S （ 2）若
ABC
48 ，AD =8， P 为线段 CE 上的动点，设 x 为点 P 到直线 AC 的距离， y 为点 P 到直线 AB 的距离，求 y 与 x 的函数关系式，
A． 2
B． 3
B
C． 2 2
C
D． 2 3
A
E
D
发散思维： 也可以连接 BD ，旋转 BDC 会得到一个什么形？
2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A =90 °，∠ ABC 与∠ ADC 互补 . （ 1）求∠ C 的度数；
（ 2）若 BC＞ CD 且 AB=AD ，请在图 5 上画出一条线段，把四边形 ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；
C．菱形
D Fra Baidu bibliotek正方形
【 题型五 】 有角互余，则暗示应该构造直角三角形：让这组互余角成为一个三角形的内角
1． 如图，在梯形 ABCD 中， DC ∥ AB ，∠ A ＋∠ B =90 °。若 AB =10， AD=4， DC =5 ，则梯形 ABCD 的面积为
①如图一，当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是
（直接写结论）
②如图二，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由。 （ 2）若 AB ≠ AC，∠ BAC≠ 90 °。点 D 在线段 BC 上，那么当∠ ACB 等于多少度时，线段 CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立。请画出相应图形， 并说明理由。
( 2) 如图 2, 在正方形 ABCD 中 , 点 E, H, F, G 分别在边 AB , BC, CD , DA 上 , EF , GH 交于点 O , ∠ FOH ＝ 90° , EF
＝ 4. 求 GH 的长 .
D
FC
DF
C
A
图1
E
O
G
B
A
图2
H O
E
B
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2 ． 如 图 1 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， E，F，G，H 分 别 为 边 AB，BC，CD，DA 上 的 点 ， HA EB FC GD ，连接 EG， FH，交点为 O ．如图 2，连接 EF，FG，GH，HE ，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；
D
G
C
F
O H
A
E
B
D
G
C
F
O H
A
E
B
图1
图2
矩形内部有垂直线段，则一定有相似或可以构造相似；
3．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面
3 个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图 1，正方形 ABCD 中，作 AE 交 BC 于 E ， DF AE 交 AB 于 F ，求证： AE DF ；
（2）如图 2，正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在 AD， BC 上，点 G，H 分别在 AB，CD 上，且 EF