矩阵理论1-2

四、基、维数
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示 设 a1 ,a 2 ,,a n 是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1 , k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a 2 kna n 0
成立，则称向量 a1 ,a 2 ,,a n 线性相关. 若等式 k1a1 k2a 2 kna n 0 当且仅当
因此又有
l1 k1 k l2 －1 2 A l k n n
坐 标 变 换 公 式
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
过渡矩阵的求法
1. 定义法： 分别求基 b1, b2, …, bn在基 a1, a2, …, an下 的坐标, 设求出 bi在基 a1, a2, …, an下的坐标(列)为Ai, 即有 所以,
第一章 线性空间与线性变换
• R3 －最为形象、具体的集合 • 集合的结构属性（彼此相容） 1.集合论：交、并、补运算
2.拓扑结构：度量空间（距离空间）
3.代数结构：向量的加法与数乘
4.欧氏几何学：正交、长度、夹角
5.测度论：点集的长度、面积、体积等
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
矩阵.

a1n a2 n ann
称为从基 a1 ,a 2 ,,a n 到基 b1 , b 2 ,, b n 的过渡
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
形式矩阵乘法的性质
(a1 ,a 2 ,,a n )( A B ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A (a1 ,a 2 ,,a n ) B,
k1 k2 kn 0 时才成立，
则称这组向量线性无关.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
Baidu Nhomakorabea
k 设 a1 ,a 2 ,,a n 是V(P)中的向量， 1 , k2 ,, kn k1a1 k2a 2 kna n 是P中的数，则
注：线性空间V(P)
• 一个数域P，其元素称为标量； • 一个集合V，其元素称为向量； • “加法”运算：运算结果唯一、封闭 且满足：交换律、结合律、 存在零元(称为零向量)、存在负元 • “数乘”运算：运算结果唯一、封闭 且满足： k ( la ) ( kl )a 1a a
( k l )a ka la k (a b ) ka kb
ka k 0 k (a 0) ka , k0 0.
a ( 1)a 1a ( 1)a (1 1)a 0 , ( 1)a a .
ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为 a b a ( b ).
定义1-3：基、维数、有限维线性空间
设V是数域P上的线性空间，若V 中存在一组向 量满足下述条件：
(1) 向量组线性无关；
(2) V 中任一向量可由向量组线性表示， 则称该向量组为线性空间V的一个基, 向量个数n 称为线性空间V的维数，
V 称为n 维线性空间.
dimV n,
n为有限数时,称V为有限维线性空间.
(a1 ,a 2 ,,a n )( AB) [(a1 ,a 2 ,,a n ) A]B.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
坐标变换
k1 n k2 设 a kia i (a1 ,a 2 ,,a n ) i 1 k n
及 b1 , b 2 ,, b n
V ( P )的基： a1 ,a 2 ,,a n
设这两个基的关系为：
b 1 a11a1 a21a 2 an1a n b a a a a a a 2 12 1 22 2 n2 n b n a1na1 a2 na 2 anna n
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
设 a1 ,a 2 ,,a n 为线性空间V(P) 的一个基，
则对任意的 a V , 有
a k1a1 k2a 2 kna n ,
称有序数组 k1 , k2 ,, kn 为a 在基 a1 ,a 2 ,,a n
上述关系可形式地简记为：
( b1 , b 2 ,, b n ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
上述关系可形式地简记为：
( b1 , b 2 ,, b n ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A
a11 a12 a21 a22 这里 A a n1 a n 2
( b 1 , b 2 , , b n ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A
l1 l1 ll11 n l2 l2 ll22 a l j b j ( b 1 , b 2 ,, b n ) [(a11,a 222,,,ann)[A] ] (a1 ,a ,a n )) A j 1 l ll l n nnn
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明： a 0a (1 0)a 1a a , 0a 0, (( a ) a ) 0a ( a ) a , 0 0a 0, 0a 0.
k 0 0,
( 1)a a .
下的坐标.
定理1-1：n 维线性空间V(P)中任一向量必可表示 为V的一个基的线性组合,且表示式是唯一的. (即取定坐标系后，每个向量的坐标存在且唯一）
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
线性空间的维数：
例1 P n {( x1 , x2 ,, xn ) x1 , x2 ,, xn P };
bi=(a1, a2, …, an) Ai,
( b1 , b 2 ,, b n ) (a1 ,a 2 ,,a n )( A1 , A2 ,, An ),
故过渡矩阵为 A= (A1, A2, …, An) .
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
称为向量 a1 ,a 2 ,,a n 的线性组合.
又若向量 b k1a1 k2a 2 kna n ,
则b 也称为向量 a1 ,a 2 ,,a n 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1 ,a 2 ,,a n 线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节
线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、
向量组a1 ,a 2 ,,a n ( n 2) 线性相关
向量组 a1 ,a 2 ,,a n 中至少有一个向量 能由其余向量线性表示.
向量组a1 ,a 2 ,,a n 线性无关 向量组 a1 ,a 2 ,,a n 中任一向量都不能
由其余向量线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
则称V为数域P上的线性空间（L.S.).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
① 可以证明： 零向量是唯一的.
01 01 0 0 01 0 .
负向量是唯一的.
( a )1 ( a )1 0 0 ( a )1 (a ( a )) ( a )1 (( a ) a ) ( a )1 ( a ) (a ( a )1 ) a 0 a
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为 数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V , k P , 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a；
(ⅱ) (a b ) a ( b )； (ⅳ) a ( a ) 0；
例2
P mn { A (aij )mn aij P };
n 1 k 例3 P[t ]n P ( t ) P ( t ) ak t , ak P ; k 0
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第二节
基变换与坐标变换
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
于是有
k1 k2 k n
l1 l2 A . l n
过渡矩阵 A总是可逆的.
(a1 ,a 2 ,,a n ) ( b 1 , b 2 ,, b n ) A1 ,
(ⅲ) a 0 a； (ⅴ) 1a a；
(ⅵ)
k ( la ) ( kl )a；
(ⅶ) ( k l )a ka la ;(ⅷ) k (a b ) ka kb . 则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
例5 例6
S X P n X是齐次线性方程组 0的解 AX ;
R : 全体正实数；数域为 . 定义加法及数乘 R
运算为:

a b ab ; (a , b R )
k a a k . ( k R,a R )
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
三、线性空间举例
例1 V {( x1 , x2 ,, xn ) x1 , x2 ,, xn P }, 记为P n .
例2
P mn { A (aij )mn aij P };
n 1 k 例3 P[t ]n P ( t ) P ( t ) ak t , ak P ; k 0 例4 C[a, b] f ( x ) f ( x )是[a, b]上的连续实函数 ;
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的概念
第二节 基变换与坐标变换
《矩阵论》是高等院校理、工科研 究生的一门重要基础课程。 有人认为， “ 科学计算，归根结底就是矩阵的计 算 ” 。 因此，对于将来从事科学技术 工作的研究生来说 ，矩阵理论和方法 是必不可少的数学工具。
积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若 （1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;