高二上学期数学12月月考试卷第2套真题
高二数学上学期12月月考试题含解析试题 (2)
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹口泉高二〔上〕12月月考数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕∀x∈R，x2﹣2x+4≤0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0＞0，那么a＞〕A．0 B．1 C．2 D．3〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．k＞3是方程+=1表示双曲线的〔〕条件．A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要5．条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，那么￢p是￢q的〔〕A．充要条件 B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件 D．既非充分也非必要条件6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，那么该椭圆的方程为〔〕A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=17．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为，那么C的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x8．椭圆HY方程x2+=1，那么椭圆的焦点坐标为〔〕A．〔，0〕〔﹣，0〕B．〔0，〕，〔0，﹣〕C．〔0，3〕〔0，﹣3〕D．〔3，0〕，〔﹣3，0〕9．焦点为〔2，0〕的抛物线的HY方程为〔〕A．y2=16x B．y2=8x C．y2=4x D．y2=2x10．双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与实轴的夹角为30°，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．211．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，假设曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，那么曲线C的离心率等于〔〕A．B．C．D．12．设F1、F2是椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．双曲线的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为．14．椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，那么∠F1PF2=．∃x∈R，x2+2x+m≤+∞〕，那么实数a=．16．椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，|AP|=2|PB|，那么椭圆的离心率为．三、解答题〔17题10分，其余每一小题12分，一共70分〕17．分别求适宜以下条件的双曲线的HY方程．〔Ⅰ〕焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；〔Ⅱ〕一个焦点为F〔﹣6，0〕的等轴双曲线．x2+x+a＞0的解集为R，假设19．椭圆C的焦点F1〔﹣2，0〕和F2〔2，0〕，长轴长为6．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．〔1〕假设a=1，且p∧q为真，务实数x的取值范围；〔2〕假设q是p的充分不必要条件，务实数a的取值范围．21．双曲线与椭圆有一共同的焦点，点在双曲线C上．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕以P〔1，2〕为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．22．椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕过点Q〔1，0〕的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．二零二零—二零二壹口泉高二〔上〕12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕∀x∈R，x2﹣2x+4≤0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0∀x∈R，x2﹣2x+4≤为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0，应选C．＞0，那么a＞〕A．0 B．1 C．2 D．3＞0，那么a＞＞1，那么a＞应选C〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】由判断充要条件的方法，我们可知：假设p⇒⇒∨⇒“p∧∧⇒“p∨∨∧【解答】解：由于“p∨又由“p∧所以“p∨⇒“p∧“p∧⇒“p∨再根据充要条件的判断方法，可知“p∨∧故答案为B．4．k＞3是方程+=1表示双曲线的〔〕条件．A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程+=1表示双曲线⇔〔3﹣k〕〔k﹣1〕＜0，解得k范围，即可判断出结论．【解答】解：方程+=1表示双曲线⇔〔3﹣k〕〔k﹣1〕＜0，解得k＞3或者k＜1．∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．应选：A．5．条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，那么￢p是￢q的〔〕A．充要条件 B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件 D．既非充分也非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进展判断即可．【解答】解：p：|x+1|＞2，得x＞1或者x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，q：5x﹣6＞x2，即q：x2﹣5x+6＜0，即2＜x＜3，即￢q：x≥3或者x≤2，即￢p是￢q的充分不必要条件，应选：B．6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，那么该椭圆的方程为〔〕A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【考点】椭圆的HY方程．【分析】由题意可设椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，由c=2，运用离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：由题意可设椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，由2c=4，e==，解得c=2，a=2，b==2，即有椭圆方程：+=1．应选：C．7．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为，那么C的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．应选：D．8．椭圆HY方程x2+=1，那么椭圆的焦点坐标为〔〕A．〔，0〕〔﹣，0〕B．〔0，〕，〔0，﹣〕C．〔0，3〕〔0，﹣3〕D．〔3，0〕，〔﹣3，0〕【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆HY方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆HY方程x2+=1，那么其焦点在y轴上，且c==3，那么椭圆的焦点坐标为〔0，3〕和〔0，﹣3〕，应选：C．9．焦点为〔2，0〕的抛物线的HY方程为〔〕【考点】抛物线的简单性质．【分析】由焦点为〔2，0〕，=2，可得2p=8，又开口向右，即可得出抛物线的HY方程．【解答】解：∵焦点为〔2，0〕，∴=2，∴2p=8，开口向右，∴抛物线的HY方程为y2=8x．应选B．10．双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与实轴的夹角为30°，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与实轴的夹角为30°，推出a、b关系，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．应选：C．11．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，假设曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，那么曲线C的离心率等于〔〕【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，讨论曲线为椭圆或者双曲线，运用椭圆或者双曲线的定义，及离心率公式，即可得到结论．【解答】解：由于曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，假设曲线为椭圆，那么由离心率公式，可得e===；假设曲线为双曲线，那么由离心率公式，可得e===．应选A．12．设F1、F2是椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴应选C．二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．双曲线的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的HY方程y2=8x，可得焦点为〔2，0〕．进而得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为〔2，0〕．由题意双曲线的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为：．14．椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，那么∠F1PF2=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及余弦定理即可求得cos∠F1PF2，即可求得的值∠F1PF2．【解答】解：椭圆，a=5，b=3，c=，∵|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF2|=10﹣|PF1|=4．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===，∴∠F1PF2=，故答案为：．∃x∈R，x2+2x+m≤+∞〕，那么实数a=1．【分析】存在x∈R，使x2+2x+m≤∀x∈R，都有x2+2x+m＞0〞，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4﹣4m＜0，所以m＞1，那么a=1．【解答】解：存在x∈R，使x2+2x+m≤∴∀x∈R，都有x2+2x+m＞0〞，∴△=4﹣4m＜0，∴m＞1，m的取值范围为〔1，+∞〕．那么a=116．椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，|AP|=2|PB|，那么椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B=，设P〔0，t〕，∵=2，∴〔﹣a，t〕=2〔﹣c，﹣t〕．∴a=2c，∴e==，故答案为．三、解答题〔17题10分，其余每一小题12分，一共70分〕17．分别求适宜以下条件的双曲线的HY方程．〔Ⅰ〕焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；〔Ⅱ〕一个焦点为F〔﹣6，0〕的等轴双曲线．【考点】双曲线的HY方程．【分析】〔Ⅰ〕由条件可知c=8，又e=，所以a=6，求出b，即可求出双曲线的HY方程；〔Ⅱ〕设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，那么c2=2a2=36，求出a，即可求出双曲线的HY方程．【解答】解：〔Ⅰ〕由条件可知c=8，又e=，所以a=6，b==2，故双曲线的HY方程为=1．…〔Ⅱ〕设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，那么c2=2a2=36，∴a=3，故双曲线的HY方程为=1．…x2+x+a＞0的解集为R，假设2+x+a＞0的解集为R的等价条件是△＜【解答】解：∵f〔x〕=a x〔a＞0，a≠1〕是减函数，∴0＜a＜1，关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，∴△=1﹣4a＜0⇒a＞，∵∴当P真，q假时，0＜a≤．当p假，q真时，a≥1．故满足条件的实数a的取值范围是〔0，]∪[1，+∞〕．19．椭圆C的焦点F1〔﹣2，0〕和F2〔2，0〕，长轴长为6．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的HY方程．【分析】〔1〕设椭圆C的方程为：，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；〔2〕联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由韦达定理可求x1+x2的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标．【解答】解：〔1〕设椭圆C的方程为：，由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，椭圆C的HY方程为：；〔2〕由，得10x2+36x+27=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=﹣=﹣，∴线段AB中点横坐标为﹣，代入方程y=x+2得y=﹣+2=，故线段AB中点的坐标为〔﹣，〕．20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．〔1〕假设a=1，且p∧q为真，务实数x的取值范围；〔2〕假设q是p的充分不必要条件，务实数a的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕假设a=1，求出p，q成立的等价，利用p∧q为真，即可务实数x的取值范围；〔Ⅱ〕根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可务实数a的取值范围．＜x＜＜x＜3，∵p∧q为真，即p，q都为真，∴，∴2＜x＜3，即实数F的取值范围是〔2，3〕．〔2〕假设假设q是p的充分不必要条件，∵a＞0，a＜x＜3a，假设q是p的充分不必要条件，∴，那么1≤a≤2，∴a的取值范围是{a|1≤a≤2}．21．双曲线与椭圆有一共同的焦点，点在双曲线C上．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕以P〔1，2〕为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的HY方程．【分析】〔1〕由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P〔1，2〕为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．【解答】解：〔1〕由双曲线C的焦点为F1〔﹣2，0〕，F2〔2，0〕由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，∴∴，∴b2=2∴所求双曲线为…〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，因为A、B在双曲线上∴，两方程相减得：得〔x1﹣x2〕〔x1+x2〕﹣〔y1﹣y2〕〔y1+y2〕=0∴，∴∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…22．椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕过点Q〔1，0〕的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】〔Ⅰ〕利用离心率为，是椭圆C上一点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕分类讨论，利用，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在椭圆C上，∴又∵，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，故所求椭圆方程为．…5分〔Ⅱ〕∵，∴．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，由，∴与矛盾，故直线l的斜率存在且不为零设直线l的方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，得〔4k2+1〕x2﹣8k2x+4〔k2﹣1〕=0，∴，，∴；由，得x1x2+y1y2=0，解得k=±2，∴所求直线l的方程为2x﹣y﹣2=0或者2x+y﹣2=0．…13分．。
上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知等比数列中，，则的公比为__．}{n a 12452,16a a a a +=+=}{n a 【答案】2【分析】设公比为，再根据题意作商即可得解.q 【详解】设公比为，则，所以. q 345128a a q a a +==+2q =故答案为：.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为，12448⨯=故答案为：483．直线与直线平行，则m 的值是__________．0mx y -=220x my --=【答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线与直线平行，0mx y -=220x my --=∴ 12m m -=≠-∴.m =故答案为：.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：，解得，可得两条直线交点P （1，-1）． 21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩11x y =⎧⎨=-⎩直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；①直线不经过原点时，设直线方程为， ②1x y a a +=-把交点P （1，-1）代入可得，解得a =2． 111a a-+=-所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故答案为：x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由，求得底面半径，进而得22r l πππ==到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，22r l πππ==1r =所以h ==所以圆锥的体积为： 1133V Sh π==⨯6．如果二面角的平面角是锐角，空间一点Р到平面、和棱的距离分别为4和l αβ--αβl的大小为_______________.l αβ--【答案】或75 15 【分析】分点P 在二面角的内部和外部，利用二面角的定义求解.l αβ--【详解】当点P 在二面角的内部，如图所示：l αβ--， A ，C ，B ，P 四点共面，,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥是二面角的平面角，ACB ∠因为Р到平面、和棱的距离分别为4和αβl所以 1sin ,sin 2ACP BCP ∠=∠=所以，30,45ACP BCP ∠=∠= 则；453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= 当点P 在二面角的外部，如图所示：l αβ--， A ，C ，B ，P 四点共面，,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥是二面角的平面角，ACB ∠因为Р到平面、和棱的距离分别为4和αβl所以所以 1sin ,sin 2ACP BCP ∠=∠所以，30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= 则.453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= 故答案为：或75 15 7．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，，则122,5,3r r h ===. ()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=故答案为：.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①与是异面直线；②与BM ED CN BE 平行；③与成角④与垂直，请写出正确结论的个数为__ 个．CN BM 60 DM BN【答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得与是异面直线，故①正确；BM ED 与平行，故②正确；CN BE 连接，则为等边三角形，所以与所成角为，EM BEM △BE BM 60︒因为，所以与成角，故③正确；//CN BE CN BM 60︒对于④，连接，平面，平面，CN BC ⊥CDNM DM ⊂CDNM 所以，又，面BCN ，BC DM ⊥DM CN ⊥,,CN BC C CN BC ⋂=⊂所以平面，DM ⊥BCN 平面，所以，故④正确.BN ⊂BCN DM BN ⊥所以正确结论的个数是4个.故答案为：49．若圆上恰有相异两点到直线，则的取值范围是222:()0O x y r r +=>40x y --=r __．【答案】【分析】计算圆心到直线的距离为.||d r -【详解】圆心到直线的距离，(0,0)40x y --=d =因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=||d r -即.||r -r <<故答案为： 10．过点的直线满足原点到它的距离最大，则直线的一般式方程为___________. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭l l 【答案】2450x y --=【分析】过作于，连接，可得直角三角形中，从而得到当时，O OB l ⊥B OA AOB OB OA <OA l ⊥原点到直线的距离最大，利用垂直，求出的斜率，从而得到的方程.O l l l 【详解】设点，过坐标系原点作于，连接， 1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭O OB l ⊥B OA 则为原点到直线的距离，OB O l 在直角三角形中，为斜边，AOB OA 所以有，OB OA <所以当时，原点到直线的距离最大，OA l ⊥O l 而，所以， 1212OA k -==-12l k =所以的直线方程为， l 11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线上的动点，PA ，PB 是圆的切线，A ，B 是切34130x y ++=()()22111x y -+-=点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线的距离最小，求出最小距34130x y ++=离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心，且圆的半径为()1,1C 1所以，PB PA =四边形PACB 面积为：122S PB r =⨯⋅=所以当取最小值时，取最小值PC S 由点在直线上运动可知，当与直线垂直时取最小值P PC 34130x y ++=PC 此时为圆心到直线的距离PC C 34130x y ++=即4PC故四边形PACB 最小面积为：S ==【点睛】关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象的函数称为函数，为其旋()02θθπ≤≤JP θ转角，若函数为函数，则其旋转角所有可取值的集合为___________ 0y x =≤≤JP θ【答案】 2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存AB 在垂直于轴的切线，且切点异于弧端点，通过图形进行分析可得结果.x AB ,A B【详解】为如图所示的一段圆弧，其所对圆心角， 0y x =≤≤AB 6AOB π∠=若该函数图象绕原点逆时针旋转后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于轴的切线，且θx 切点异于弧端点，AB ,A B 由图象可知：若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切6COD π∠=A C D ,C D x 线，此时； 2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切线，此时6EOF π∠=A E F ,E F x ； 35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若函数为函数，其旋转角所有可能值的集合为：∴0y x =≤≤JP ()02θθπ≤≤. 2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故答案为：. 2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设，求__．10x y -+=d =【答案】【分析】根据的表达式可知，其几何意义表示直线上一点到点和点d 10x y -+=(),P x y ()3,5A -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.()2,15B -【详解】根据题意可得 d =表示直线上一点到点和点的距离之和，10x y -+=(),P x y ()3,5A -()2,15B -点关于直线的对称点为，A 10x y -+=(),C a b则满足解得；513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩4,2a b ==-所以点关于直线的对称点为，如下图所示：A 10x y -+=()4,2C-则PA PB PB PC BC +=+≥所以()minPA PB BC +===故答案为：14．若___________.,x y R ∈【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为是轴上的动点，是(),0P x x ()0,Q y y 轴上的动点，，是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当、、、四()1,1A ()1,2B A 'P Q B '点共线时，取得最小值，则，最后利用两点间的距离公PA QB PQ ++()minPA QB PQ A B ''++=式即可求得结果.【详解】=根据两点间的距离公式可知，到点的距离，(),0P x ()1,1A 表示点到点的距离， ()0,Q y ()1,2B到点的距离，(),0P x ()0,Q y 其中是轴上的动点，是轴上的动点，，是定点，(),0P x x ()0,Q y y ()1,1A()1,2B+如图，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，A x ()1,1A '-By ()1,2B '-+则需求的最小值，PA QB PQ ++可知当、、、四点共线时，取得最小值，A 'P QB 'PA QB PQ ++即，()min PA QB PQ++=二、单选题15．设，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（ ）29n a n =-A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 100n n a a +≤⎧⎨≥⎩【详解】由，即，解得，因为,故. 100n n a a +≤⎧⎨≥⎩()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩7922n ≤≤n N *∈4n =故选：A.16．已知三条不同的直线，，，两个不同的平面，，则下列说法错误的是（ ）a b c αβA ．若，，，则或a α⊥//αβab ⊥r r b β//b β⊂B ．若，，，则a α⊥b β⊥//αβa b ⊥r r C ．若，，，则a α⊥b β⊥αβ⊥a b ⊥r r D ．若，，，则a α⊥⋂=c αβ//bc a b ⊥r r 【答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，，可得，又或 ，选项A 正确； //a ααβ⊥，a β⊥//a b b β⊥∴b β⊂选项B 中，，又 ，则，选项B 错误；//a a ααββ⊥∴⊥，b β⊥//a b 选项C 中，或 ，又//a a ααββ⊥⊥∴，a β⊂b β⊥时，； 时，，选项C 正确；//a β∴a b ⊥a β⊂a b ⊥选项D 中，，又 ，选项D 正确a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，//bc a b ∴⊥故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与M 两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内A B λ0λ>1λ≠M 两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（ ） A B 2P PA PB=22PA PB+A ．B ．C ．D ．16+8+7+3【答案】A 【分析】设，，由P 的轨迹为以为圆心，半径为()()1,0,1,0A B -(),P x y PA PB =()2,0的圆，又，其中可看作圆上的点到原点()222221PA PB x y +=++22x y +()2223x y -+=(),x y 的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.()0,0【详解】解：由题意，设，，()()1,0,1,0A B -(),P x y 因为，即，PA PB ==()2223x y -+=所以点P 的轨迹为以()2,0因为，其中可看作圆()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++22x y +()2223x y -+=上的点到原点的距离的平方， (),x y ()0,0所以，()(222max27x y +=+=+所以，即的最大值为， ()22max2116x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +16+故选：A.18．已知长方体的外接球O 的体积为，其中，则三棱锥的体1111ABCD A B C D -323π12BB =O ABC -积的最大值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．4【答案】A【分析】设，根据长方体的外接球O 的体积和，可求得外,AB a AD b ==1111ABCD A B C D -12BB =接球的半径，根据基本不等式求得的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答2R =ABC S A 案；【详解】设，,AB a AD b ==∵长方体的外接球O 的体积为，， 1111ABCD A B C D -323π12BB =∴外接球O 的半径， 2R =∴， 22416a b ++=∴，2212a b +=∴，2262a b ab +≤=∵O 到平面的距离， ABC 1112d BB ==， 132ABC S ab =≤A ∴三棱锥的体积．O ABC -1131133ABC V S d =⨯⨯≤⨯⨯=A ∴三棱锥的体积的最大值为1． O ABC -故选：A ．19．如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成（ABCD M BC 1AB BM ==ABM A AM AB M '不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是B 'AMCD B D 'N B D '（ ）①平面；②存在某个位置，使得；③线段长度为定值；④当三棱锥//CN AB M 'CN AD ⊥CN 的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.B AMD '-B AMD '-4πA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】取中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到不成立，AB 'AB AD '<可判断②；由①知，且，可判断③；当平面平面时，三棱锥//CN MN 'CN MN '=B AM '⊥AMD 体积最大，此时中点为外接球球心，可判断④.B AMD '-AD 【详解】对于①，取的中点，连接，则，所以四边形AB 'N 'NN '1////,2NN AD CM NN AD CM ''==为平行四边形，N MCN '所以，又平面，平面，即平面， //CN MN 'MN '⊂AB M 'CN ⊄AB M '//CN AB M '故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得， CN AD ⊥又，平面，,AD CD CN CD C ⊥= ,CN CD ⊂CDN 所以平面，又平面，所以，AD ⊥CDN DN ⊂CDN AD ⊥DN 即，因为，所以不可能，故②错误； 222AB AD DB ''=+1,2,AB AD AB AD ''==<对于③，由①得，因为，，CN MN '=AB B M ''⊥1AB B M ''==所以为定值，所以长度为定值，故③正确；MN '==CN对于④，取的中点，当三棱锥的体积最大时，AD H B AMD '-此时平面平面，因为，平面， B AM '⊥AMD MD AM ⊥MD ⊂AMD 平面平面，所以平面， B AM ' AMD AM =MD ⊥B AM '又平面，所以，AB '⊂B AM 'AB MD '⊥又，平面， ,B AB M M MD M B '''⊥= ,D B M M '⊂B MD '所以平面，平面，所以， AB '⊥B MD 'B D '⊂B MD 'A B D B ''⊥所以即为三棱锥的外接球球心，又， H B AMD '-1HA =所以外接球的表面积是，故④正确. 24π14π⨯=故选：C三、解答题20．已知等差数列中，. {}n a 1479,0a a a =+=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)当为何值时，数列的前项和取得最大值？n {}n a n 【答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2) 5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果； （2）求出数列的前项和，结合二次函数的性质即可求出结果. {}n a n 【详解】（1）由， 1479,0a a a =+=得，解得，11360a d a d +++=2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-所以数列的通项公式.{}n a ()112n a n n N *=-∈（2），19,2a d ==-， ()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+∴当时，取得最大值.5n =n S 21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值； (2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值． 【答案】(1)53【分析】(1)由可知就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可//AB CD PBA ∠得平面PDA ，根据线面垂直的性质可得，进而求出即可；AB ⊥AB PA ⊥tan PBA ∠(2) 连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得平面PBD ，进而可AC ⊥知为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.APO ∠【详解】（1）由题意知，，所以就是异面直线PB 与DC 所成的角， //AB CD PBA ∠因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，PD ⊥AB ⊂AB PD ⊥又，，所以平面PDA ，而平面PDA ， AB AD ⊥=PD AD D ⋂AB ⊥PA ⊂所以.在中，，AB PA ⊥Rt PAB A 106PA AB ===，所以，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为；5tan 3PA PBA AB ∠==53（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ， 由平面ABCD ，得，，PD ⊥PD AC ⊥PD AD ⊥因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以， BD AC ⊥AC =又平面PBD ，所以平面PBD ，BD PD D PD BD =⊂ ，、AC ⊥所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，为PA 与平面PBD 所成的角， APO ∠又PD =8，AD =6，所以PA =10， 12AO AC ==所以在中，， Rt APO A sin AO APO PA ∠==即PA 与平面PBD22．已知直线l 的方程为. ()()()14232140m x m y m +--+-=(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得的ABO A 面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，或 2211660x y +-=922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据的面积为9，求出m 的值，可得结论. ABO A 【详解】（1）直线l 的方程为， ()()()14232140m x m y m +--+-=即， ()()4314220m x y x y +-+-+=令，可得， 43140x y +-=220x y -+=求得，，2x =2y =可得该直线一定经过和的交点. 43140x y +-=220x y -+=()2,2（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则、，且， 142,014m A m -⎛⎫⎪+⎝⎭1420,32m B m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭142014m m ->+142032m m ->-，∴，或.14m <-23m >则的面积为， ABO A 1142142921432m m m m --⨯⨯=+-即，即， ()()()227194132m m m ⨯-+-=21017200m m --=∴，或 .52m =45m =-故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为，或.2211660x y +-=922660x y +-=23．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点Ω为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点1O 2O 与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)的体积； Ω(2)若，求几何体的表面积． 112:1:3PO O O =Ω【答案】(1) 78π【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解. 【详解】（1）如图可知，过P 、、的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角1O 2O ABCPD ABCD 形为等腰三角形，CPD PC PD =在直角中，， 1OO D A 1OD =1O D 112OO ==，其体积为 111122O P =-=211328ππ⨯⨯=，其体积为 122112O O =⨯=2314ππ⨯=所以几何体的体积为Ω37488πππ+=（2）若，设，则，故， 112:1:3PO O O =122O O h =123h PO =213h h +=35h ∴=在直角中，，，则1OO D A 1OD =135OO =154O D ==故圆锥的底面半径为，高为45125O P ==圆锥的侧面积为45π⨯=圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为451265O O =464825525ππ⨯⨯=所以几何体 Ω2484255ππ⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线相切．260x y -+=(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求的值． dBN（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问是否为定值，并说明理由． dBN【答案】(1) ()2215x y +-=(2)（ⅰ）；（ⅱ）为定值，理由见解析 12d BN12【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得为定值dBN．12【详解】（1）圆C 的半径r==则圆C 的方程为；()2215x y +-=（2）（ⅰ）由，取y ＝0，可得． ()2215x y +-=2x =±∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：交于M ，N 两点，0x x =则，解得或， 2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩13x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=-⎩∴M （1，3），N （1，﹣1）， 则直线AM 的方程y ﹣0，即．()()3212x =+--20x y -+=圆心到直线AM 的距离d|BN |==； 12=（ⅱ）由圆C 与动直线l ：交于M ，N 两点， 0x x =设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立，解得M （），N （）， 220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩01x ，01x ，∴直线AM ：．)2y x =+圆心（0，1）到直线AM 的距离d|BN |==则．12d BN ==∴为定值． d BN12。
高二数学上学期第二次12月月考试题理word版本
高二年级第二次月考理科数学试卷一、选择题(共60分)1、已知是两个定点,且,,则点的轨迹为( )A.双曲线B.双曲线的一支C.椭圆D.线段2、对于空间任一点和不共线的三点,,,有,则是,,,四点共面的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知椭圆的两个焦点为、,且,弦过点,则的周长为( )A.B.C. D.4、下列结论不正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则5.已知椭圆,长轴在轴上,若焦距为,则等于( )A.4B.5C.7D.86.已知双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )A. B.或 C.或 D.或7、在棱长为1的正方体中,,分别为和的中点,那么直线与所成角的余弦值是( )A. B. C. D.8、设函数,若,则等于( )A.B. C.D.9.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.10、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )A.-2B.2C.-4D.411.如图,空间四边形中,,,.点在上,且,为的中点,则等于( )A. B.C. D.12、若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )A.2B.3C.6D.8二.填空题(共20分)13、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），则|AB|=_________.14、若抛物线的焦点坐标为,则准线方程为.15.曲线在点处的切线方程为.16、已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是________________ 三:解答题17、(10分)已知曲线在点处的切线平行于直线,且点在第三象限.1.求点的坐标;2.若直线,且也过点,求直线的方程.18、(12分)抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,并于双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为,求抛物线的方程和双曲线的方程。
19、(12分)如图,四棱锥的底面是正方形,底面,点在棱上.1.求证:平面平面;2.当且为的中点时,求与平面所成的角的大小.20、已知函数在与时都取得极值.1.求、的值与函数的单调区间;2.若对,不等式恒成立,求的取值范围.21、(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.1.证明:平面;2.求二面角的正弦值.22.如图所示,椭圆的左、右焦点分别为,,且过的直线交椭圆,两点,且.1.若,,求椭圆的标准方程;2.若,且,试确定椭圆离心率的取值范围.。
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1x =，12y =，12z =-C ．12x =，1y =，12z =-4．已知抛物线2:C y x =的焦点为为B ，1BF =，则BAF ∠=（A ．30°B ．45°5．美术绘图中常采用“三庭五眼鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（A ．524C ．9246．已知双曲线221(0)x y m m-=>曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．y =±7．已知直线20kx y k -+=与直线二、多选题9．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法A ．无论λ取何值，三棱锥B ．若24λ=，则EG ⋅ C ．点1D 到平面EFG 的距离为D ．若异面直线EF 与AG 12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，圆的蒙日圆.若椭圆Γ：22x a 动点M 作Γ的两条切线，分别与A ．2a b=B ．MPQ 面积的最大值为C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为D ．若动点D 在Γ上，将直线三、填空题四、解答题(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成角的余弦值．18．已知圆C 过点(02)M -，，(1)求圆C 的标准方程．(2)设直线10ax y -+=与圆C 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数19．已知圆22:22M x y x ++（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点,AB AC 的斜率分别是12,k k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=∠二面角P AD B --为直二面角．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若直线PB 与平面PAD 弦值．21．已知双曲线C ：22x a -A(1)求双曲线C 的方程(2)动直线12y x t =+交双曲线22．抛物线1C ：24x y =，双曲线一点3,4M m ⎛⎫⎪⎝⎭作1C 的切线，其斜率为(1)求2C 的标准方程；。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。
贵州省2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
A．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 OA BC
B．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 NA // 平面 OBC C．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则 BC 与 AM 所成角的余弦值为 14
7 D．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体 OABC 的外接球的表面积为 103
(1)证明：不论 m 为何值，直线 l 过定点 M . (2)过（1）中点 M ，且与直线 l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 最小时，求直线 l 的方程.
五、证明题 21．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ADE 平面 ABCD ，且 AB 4 ，正三角形 ADE 的边长为 2.
贵州省 2023-2024 学年高二上学期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 ax 3y 2 0 与直线 2x a 1 y a 0 平行，则 a （ ）
A． 2
B．3
C． 2 或 3
(1)证明： BC OP .
(2)若 BM 2MC ，求二面角 M AP C 的余弦值.
试卷第 5页，共 5页
(1)证明： EF / / 平面 ABCD . (2)若 EF AB ，且直线 AE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 21 ，求 EF 的值.
7 22．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 3 2, PA PB PC AC 6,O 为 AC 的中 点.
试卷第 4页，共 5页
A． 179 4
B． 178 4
C． 179 8
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y = B.1y =- C.2y = D.=2y -3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.2D.27.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN 的取值范围为-12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu r uu u r，则C 的坐标是__________.14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若627OMN S =，求l 的方程.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若23PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为23（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由.辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的定义求得.【详解】由题得()245i i 45i 54i 3i 3i 33z --===--，所以z 的共轭复数为54i 33-+.故选：B.2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -【答案】A 【解析】【分析】结合抛物线的准线方程求解即可.【详解】由题知抛物线224x py y =-=-,所以2p =，故抛物线24x y =-的准线方程为12p y ==.故选：A.3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】根据指数，对数相应的值可得12021a -<=<，12log 30b =<，121log 13c =>从而可求解.【详解】因为12021a -<=<，12log 30b =<，112211log l 132c og =>=所以b a c <<，故C 项正确，故选：C.4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】取CD 的中点E ，连接BE .由重心的性质可知23BO BE =，且,,B O E 三点共线.因为()()()1112222BE BC BD AC AB AD AB b a c =+=-+-=-+，所以()()211112,33222BO BE b a c BP BA BO AB BO==-+=+=-+()1115112223666a b a c a b c =-+⨯-+=-++ .所以BP 在基底{},,a b c 下的有序实数组为511,,666⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-【答案】D 【解析】【分析】根据θ的终边经过点()sin 3,cos3，利用三角函数终边知识从而可求解【详解】由题意得πsin 3cos3π2tan tan 3πsin32cos 32θ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故π3π,Z 2k k θ=-+∈.又因为π3,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin30,cos30><，所以3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2k =，所以5π32θ=-，故D 项正确.故选:D.6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.22D.32【答案】A 【解析】【分析】设1F N m =，2MNF 中，由余弦定理得m 与a 的关系，12NF F △中，由余弦定理得c 与a 的关系，可求C 的离心率.【详解】如图，设1F N m =，则12,3MF m MN m ==.由椭圆定义可得2222,2MF a m F N a m =-=-，则在2MNF 中，由余弦定理得:()()22222222222||9(2)(22)647cos 262629MN F N MF m a m a m m am MNF MN F Nm a m m a m ∠+-+---+====⋅--，即2254368442m am am m +=-，解得2a m =，则123,22a a F N F N ==.在12NF F △中，由余弦定理得222212121212937232cos 2442293a a a a F F F N F N F N F N F NF a ∠=+-⋅=+-⋅⋅⋅=，又122F F c =，所以323a c =，所以离心率33c e a ==.故选：A.7.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π【答案】C 【解析】【分析】利用割补法将此多面体补成正方体，建立空间直角坐标系，根据几何关系，从而可求解.【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2a ，则(,0,2),(0,,2),(,2,2),(2,2,),,,222a a B a a C a a D a a a F a a a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3(,0,),,,022a a DF a a DE ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ ，所以212a DE DF ⋅=-=-，解得a =，则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为r ，即2,2r r ==，则外接球的表面积为16π.故C 项正确.故选：C.8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-【答案】D 【解析】【分析】应用角平分线的性质及等面积法及数量积即可求解.【详解】在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，由CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，设M 到两边的距离为d ，则||||AMC BMC S BC d S AC d ⋅==⋅21，故1111233226AMC ABC S S ==⨯⨯⨯⨯=.已知AMC 的三个内角均小于2π3，则点P 与AMC 的三个顶点的连线两两成角2π3，所以.12π12π12π||sin ||||sin ||||sin 232323AMCS PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅(||||||||||||)46PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅=，所以2||||||||||||3PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅= ，所以PA PM PM PC PA PC⋅+⋅+⋅ 2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos333PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅ 1121(||||||||||||)2233PA PM PM PC PA PC =-⋅+⋅+⋅=-⨯=- .故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞【答案】BC 【解析】【分析】由0,0,0x x x <=>分类讨论，结合奇函数的性质求出不等式的解集，然后判断各选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，且在()0,∞+单调递减，且()10f -=，所以()()110f f -=-=，且()()00,f f x =在(),0∞-上单调递减，所以当0x =时，()0xf x =，不满足题意；当0x <时，由()0xf x >，可得()0f x <，所以10x -<<；当0x >时，由()0xf x >，可得()0f x >，所以01x <<.综上，()0xf x >的解集为()()1,00,1-U .故选:BC .10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD 【解析】【分析】由图象结合五点法求出函数解析式，然后根据正弦函数性质进行检验．【详解】由题意可知311ππ1,4126A T ==-，解得πT =，所以2ππT ω==，解得2ω=.将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 2f x x ϕ=+中，得πsin 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得π2π,Z 3k k ϕ=-∈，因为π2ϕ<，所以当0k =时，π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对于A 项，7π7ππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心，故A 项正确；对于B 项，5π5ππ()sin(2)112123f =⨯-=，所以直线5π12x =是()f x 图像的对称轴，故B 项正确；对于C 项，()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移7π12个单位长度得7ππsin 2123y x ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3πsin 2cos22x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的图像，故C 项错误；对于D 项，当π2π[,]23x ∈时，π2ππ2,π,π332x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在区间[π2,2π]3上单调递减，故D项正确.故选：ABD11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN的取值范围为-【答案】ABD 【解析】【分析】由直线过定点的求法参变分离，即可列式求解得出定点判断A ；由两直线平行时斜率的关系列式得出m 判断B ，注意验证一下，避免两直线重合；通过圆弦长的几何求法列式得出半径r ，设出所求点(),Q x y ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出12PQ MN MQ ==，即可通过圆弦长的几何求法列式22222OMOQ MQ OQ PQ =+=+代入值化简得出轨迹方程，即可判断C ；通过圆上点到定点距离的范围求法得出PQ 的取值范围，即可通过2MN PQ =得出MN 的取值范围判断D.【详解】对于A ，因为直线()():12130l m x m y m '++--=，可化为()230x y m x y -++-=，由0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()():12130l m x m y m '++--=过定点()1,1P ，故A 正确；对于B ，当直线l 与直线l '平行时，因为直线:10l x y +-=的斜率为1-，所以直线l '的斜率也为1-时，则1211mm+=--，解得：2m =-，此时:3360l x y '--+=，即20x y +-=与直线:10l x y +-=平行，故B 项正确；对于C2=，则=，解得2r =，设MN 的中点为(),Q x y ，PM PN ⊥ ，Q 为MN 的中点，12PQ MN MQ ∴==， 点,M N 在圆O 上，2OM ∴=，OQ MN ⊥，22222OM OQ MQ OQ PQ ∴=+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，62为半径的圆，故C 错误；对于D ，点P 到圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为22，在圆22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内，PQ ∴的取值范围为22-+⎣⎦，2MN PQ= MN ∴的取值范围为，故D 项正确.故选：ABD.12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，假设//BE 平面PAC ，由线面平行的性质得到线线平行，但BE 不与AC 平行，所以假设不成立，A 错误；B 选项，将侧面铺平展开，在平面内得到最短距离；C 选项，先求出四面体-P ABC 为正四面体，作出辅助线，找到二面角B PC A --的平面角，利用余弦定理求出答案；D 选项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，得到cos 3OD DE β==，根据余弦函数的单调性得到π2βθ<<，从而得到答案.【详解】对于A 项，假设//BE 平面PAC ，因为BE ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BE //AC ，由题意得BE 不与AC 平行，所以假设不成立，则BE 不平行平面PAC ，故A 项错误；对于B 项，将侧面铺平展开得3AD DE ==，因为3AD ==，所以AB =故2cos30ABAE ==︒，1AO =，底面圆周长2π12π⨯=，所以 πAE =，则π3ADE ∠=，所以点A 到DE 中点M 的最短距离为AM ，在等边三角形ADE 中，sin2π3AM AD ==，故B 项正确；对于C 项，因为3DE =，1AO =，则DO ==，所以12PO DO ==21PA =+=，同理PB PC ==，又AB BC AC ===，所以四面体-P ABC为正四面体，取PC 的中点Q ，连接,BQ AQ ，则BQ ⊥PC ，AQ ⊥PC ，则AQB ∠即为二面角B PC A --的大小，其中3602BQ AQ ==︒=，由余弦定理得222993144cos 3323222AQ BQ AB AQB AQ BQ +-+-∠===⋅⨯⨯，即二面角B PC A --的余弦值为13，故C 项错误；对于D 项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，则22cos 3OD DE β==，由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos cos θβ<，又cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故π2βθ<<，此时平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆，D 正确.故选：BD .【点睛】在空间中，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆，用一个不垂直轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角α不同时，可以得到不同的截口曲线，设圆锥的轴截面半顶角为β，当βα<时，截口曲线为椭圆，当βα=时，截口曲线为抛物线，当βα>时，截口曲线为双曲线如图所示：三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu ruu ur ，则C 的坐标是__________.【答案】102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】应用空间向量数乘即向量相等即可.【详解】因为()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，设(),,C x y z 则()3,3,5AB =- ，(,,)O y z C x =所以210(,,)2,2,33OC x y z AB ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则102,2,3x y z =-==，即102,2,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,0-【解析】【分析】将问题转换成e 1xy =-与y b =的图像交点问题，数形结合得到答案.【详解】函数()e 1xf x a =-+有两个零点，即e 1xy =-与y a =-的图像有两个交点.令a b -=，作出e 1xy =-与y b =的大致图像如图所示，由图可知01b <<，则01a <-<，故实数a 的取值范围是()1,0-.故答案为：()1,0-15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.【答案】53【解析】【分析】由正弦函数性质及已知条件建立不等式组即可【详解】因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且0ω>，所以πππππ2666x ωωω-<-<-，因为()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在对称轴，所以()ππππ262,Z πππ1π62k k k ωω⎧-≥+⎪⎪∈⎨⎪-≤++⎪⎩，解得452,Z 33k k k ω+≤≤+∈，当1k =-时，203ω<≤；当0k =时，4533ω≤≤；当1k ≥时，不成立，即2450,,333ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为：53.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.【答案】13【解析】【分析】取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN +=；表示出11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.【详解】由230GA GB GC ++= ，得220GA GC GB GC +++=.取AC 的中点,M BC 的中点N ，有20GM GN +=，则11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= .设π02BAD Ðq q 骣琪=<<琪桫，由于1DE l ⊥，2DE l ⊥，而AC AB ⊥，则π2EAC θ∠=-，由2AD =，1AE =，得21,cos sin AB AC θθ==，则122222cos sin sin2ABC S AB AC θθθ=⋅==≥ ，当且仅当π22θ=，即π4θ=时取等号，此时GCB △的面积的最小值为1163ABC S = .故答案为：13【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算.取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN += ；表示出11113326GBC MBC ABCABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）24y x =（2）330x y --=【解析】【分析】（1）利用向量关系求出点A 坐标，代入抛物线方程可得；（2）求出直线BF ，AF 的方程，设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，利用点到直线的距离公式可得.【小问1详解】因为43FB FA OF =- ，所以33OF FB FA FB +=- ，所以3OB BA =，设(),A x y ，则()()31,11,1x y =--，解得()4,4A .因为点A 在C 上，所以2424p =⋅，所以2p =，所以24y x =.【小问2详解】由（1）知()1,0F ，所以直线BF 的方程为1x =，又43AF k =，所以直线AF 的方程为()413y x =-，即4340x y --=.由抛物线的图形知，AFB ∠的角平分线所在直线的斜率为正数.设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，则有43415x y x --=-，若43455x y x --=-，得310x y +-=，其斜率为负，不合题意，舍去.所以43455x y x --=-+，即330x y --=，所以AFB ∠的角平分线所在直线的方程为330x y --=.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若27OMN S =，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）10x y +-=或10x y --=.【解析】【分析】（1））由离心率和焦点坐标即可求得C 的方程.（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据627OMN S =求出直线l 的方程.【小问1详解】由已知得1c =，离心率12c e a ==，得2222,3a b a c ==-=，则C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题可知，若OMN 面积存在，则斜率不为0，所以设直线l 的方程为1,x my m =+显然存在，()()1122,,,M x y N x y ，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2234690m y my ++-=，因为直线l 过点F ，所以Δ0>显然成立，且12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，因为121122OMNS OF y y =⋅-= .127==，化简得4218170m m --=，解得21m =或21718m =-（舍），所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.【答案】（1）F 为BC 的中点.证明见解析（2）22（3）截面位置见解析，45217+【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理得到四点共面，进而确定F 的位置；（2）证明1A M 同时垂直于两条异面直线，并求出长度即可；（3）在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，画出四边形AFQP 即为所求，并求出周长.【小问1详解】证明：因为EF 面11,BB D D EF ⊂面CBM ，面CBM 面11BB D D MB =，所以EF MB ，所以,,,E F M B 四点共面.又EF MB ，所以F 为BC 的中点.【小问2详解】连接1A M ，因为1AA ⊥面11111,A B C D A M ⊂面1111D C B A ，所以11AA A M ⊥，因为1AA 1BB ，所以11A M BB ⊥，又1111111,A M B D BB B D B ⊥⋂=，所以1A M ⊥面11BB D D ，又BM ⊂面11BB D D ，所以1A M BM ⊥.所以线段1A M 即为异面直线1AA 与BM 之间的距离，易得12A M =即异面直线1AA 与BM 之间的距离为22.【小问3详解】如图，在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，则四边形AFQP 即为所求.又AF PQ AP QF ======，所以该截面的周长为+20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.【答案】（1）π3（2）336λ-=【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到sin cos sin sin A C A C C =+，得到cos 1A A -=，求得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求解.（2）由正弦定理求得5π12a ACB ∠==，根据AD CB CA λ=- ，利用向量的线性运算法则和数量积的运算公式，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】由题得cos sin a C C b c +=+，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，又由πA B C ++=，可得()sin sin B A C =+，所以()sin cos sin sin sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，因为()0,πC ∈，可得sin 0C >cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，故π3A =，【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin b aABC BAC∠∠=2322=解得5π12a ACB ∠==，则5πππ232162cos cos()124622224=+=⋅-⋅=，因为AD CD CA CB CA λ=-=-，由余弦定理得2225π||24162241624cos12AD CB CA λλλλ=+-⋅=+-⋅⋅(222416242483164λλλλ=+-⋅=-+，所以当336λ-=时，AD 取到最小值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）CM =，证明见解析（2）20,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用线面平行即可求证，然后利用勾股定理可求出CM 的长；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解直线与平面的夹角，并结合函数性质，从而求解.【小问1详解】证明：取PA 的中点N ，连接,EN MN ，如下图，因为,M N 分别为,PB PA 的中点，所以MN AB 且12MN AB =.又EC AB 且12EC AB =，所以EC MN ，EC MN =，所以四边形CMNE 为平行四边形，所以CM EN .因为CM ⊄平面,PAE EN ⊂平面PAE ，所以CM 平面PAE .在Rt PEN中，EN ===，所以CM EN ==.【小问2详解】取EA 的中点Q ，连接,PQ BQ，易得PQ =在QAB中，45,QAB BQ ∠==，且PB =，则222PQ QB PB +=，即PQ QB ⊥.因为,,,PQ EA EA QB Q EA QB ⊥⋂=⊂面ABCE ，所以PQ ⊥面ABCE .取AB 的中点G ，连接EG ，则EG EC ⊥，以E 为原点，,,EG EC QP方向分别为,,x y z轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(2,2,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,E A B C Q P ---，设(),,,(01)F x y z AF AP λλ=<<，则有()(2,2,x y z λ-+=-，所以()()2,,,F BF λλλλ--=--.因为()(0,2,0,1,EC EP ==-，设平面PEC 的一个法向量(),,n a b c = ，则200EC n b EP n a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取a =1)n =- .设BF 与平面PEC 所成角为θ，则sin BF n BF n θ⋅===⋅3=.设11t λ=>，所以sin 3θ=，因为2213421224t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以24213t t -+>，0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即BF 与平面PEC所成角的正弦值的取值范围为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在定点M ，坐标为()2,0M .【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式为0得2230k m -+=，进而可得,P Q 坐标，即可根据向量垂直的坐标关系代入求解.【小问1详解】由题可得渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，则右焦点F到渐近线的距离为b ==，又2222,===+ce c a b a，所以223,1b a ==，所以C 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题可得直线的斜率显然存在且k ≠，设直线l 的方程为y kx m =+，则11,22Q k m ⎛⎫+⎪⎝⎭，联立22,1,3y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得()2223230k x kmx m ----=，由设直线l 与双曲线有且只有一个公共点P且k ≠，可知()()2222Δ44330k m k m=----=，即2230k m -+=.令()11,P x y ，则123km kx k m==--，代入直线方程得213k y m m m =-+=-，即3,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.假设以PQ 为直径的圆上存在定点M ，令()0,0M x ，则0MP MQ ⋅=，即00113022k x x k m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，即00011330222k k x x x m m ⎛⎫⎛⎫-+--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()200013202kx x x m --+-=，令2001302x x --=且020x -=，则02x =当02x =时恒成立，所以在焦点所在的坐标轴上存在定点M ，坐标为()2,0M .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b。
高二数学上学期第二次12月月考试卷 理含解析 试题
内蒙古杭锦后旗奋斗中学2021-2021学年高二数学上学期第二次〔12月〕月考试卷理〔含解析〕一、单项选择题1.点P的直角坐标为，那么点P的极坐标可以为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.【详解】，那么点P的极坐标应选C【点睛】此题考察将直角坐标化为极坐标，属于根底题，解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式准确代入求解.2.曲线的极坐标方程化为直角坐标为A. B.C. D.【答案】B【解析】此题考察极坐标方程的知识答案 B点评：通过极坐标的公式就可以直接转化3.曲线的参数方程为〔为参数〕，那么该曲线离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把曲线C化成普通方程，再求曲线的离心率.详解：由题得曲线C的普通方程为，所以曲线C是椭圆，a=4,.所以椭圆的离心率为.应选A.点睛：此题主要考察参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于根底题.4.抛物线上的点到焦点的间隔为，那么的值是〔〕A. 或者B.C.D. 或者【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义有〔负值舍去〕，此时，将点代入抛物线方程中，求出，选D.的离心率为，那么的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【考点定位】此题考察双曲线的根本性质，考察学生的化归与转化才能.6.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数〕，那么曲线C〔〕A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】试题分析：由题意得，曲线的参数方程可化为，化为普通方程为，表示以为圆心，以为半径的圆，应选A．考点：参数方程与普通方程的互化．7.假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出k的值是〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】试题分析：当输入的值是时，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；退出循环输出结果为，应选A.考点：1、程序框图；2、条件结果及循环构造.8.“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交〞是“0＜b＜1”的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线与圆都相交，因此题中应选必要不充分条件．9.直线的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D. 与有关，不确定【答案】B【解析】极坐标方程即： ,整理可得：，据此可得直线的位置关系是垂直 .此题选择B选项.10.两点A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，点P是椭圆上任意一点，那么点P到直线AB的间隔最大值为〔〕A. B. C. 6 D.【答案】A【解析】由题意得直线AB的方程为，点到直线的间隔最大值即为图中过点P且与直线AB平行的切线与直线AB之间的间隔。
贵州省铜仁市松桃苗族自治县第三高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考(12月)数学试卷
贵州省铜仁市松桃苗族自治县第三高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷一、单选题1．3i =A ．-1B ．i-C ．1D ．i2．直线10x y ++=的倾斜角为（）A ．30oB ．45C ．135D ．1503．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．以椭圆22184x y +=的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A ．22144x y -=B ．22184x y -=C ．22124x y -=D ．22122x y -=5．圆221:(1)1C x y -+=，圆222:20C x y y +-=，则圆1C 与2C （）A ．外离B ．有3条公切线C ．关于直线10x y ++=对称D ．公共弦所在直线方程为0x y -=6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点−2,0，()2,0B ，P 是一个动点，则下列说法正确的是（）A ．若4PA PB +=，则点P 的轨迹为椭圆B ．若PA PB PA PB +=- ，则点P 的轨迹为圆C ．若2PA PB -=，则点P 的轨迹为双曲线D ．若22||4PA PB -=，则点P 的轨迹为一条线段7．若双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一条渐近线被圆()22416x y -+=所截得的弦长为4，则C 的离心率为（）ABC D ．28．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）A ．22194x y +=B ．22145x y +=C ．22154x y +=D ．22195x y +=二、多选题9．已知圆22:4630C x y x y +--+=，直线():24100l mx y m m +--=∈R ，则（）A ．圆C 半径r =B ．圆C 的一条切线方程是310x y +-=C ．直线l 过定点()45，D ．当l 被圆C 截得的弦长最短时，2m =三、单选题10．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左、右焦点分别为()10F c -，，()20F c ，，M 是椭圆上一动点，则（）A ．122MF MF a-=B ．12MF F △面积的最大值为2a C ．若1120MF F F ⋅= ，则21b MF a=D ．若椭圆上存在点M ，使得12120F MF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是⎤⎥⎣⎦四、多选题11．已知左、右焦点分别是1F ，2F 的双曲线2214x y -=上有一点(,)P m n （m ，0n >），且1215cos 16F PF ∠=，则（）A ．12sin F PF ∠B ．1216PF PF =C ．12PF F 的面积为31D ．12PF F 的周长为12+五、填空题12．若函数()()3R f x x a x =+∈是奇函数，则实数a =.13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．14．若F 是双曲线22145x y -=的左焦点，(A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为.六、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin2C C =.(1)求角C 的大小；(2)若8b =，且ABC V 的面积为，求ABC V 的周长.16．当m 为何值时，方程22171x ym m +=--表示下列曲线：(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线.17．已知双曲线22:169144C x y -=(1)求双曲线C 的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；(2)过点()1,8P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点且点P 恰好为线段A 的中点，求直线l 的方程18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 上一点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若E 是PB 的中点，且二面角P —AC —E ，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，半焦距c=(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为2，求AOBV面积的最大值.。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A．23B．22
6．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是
通的概率为（）
二、多选题
A ．1EF AD ⊥C ．EF 与1BD 异面
11．已知抛物线2
:2C y px =2x =-上一点，过点P 作抛物线
三、填空题
四、解答题
(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，市太空知识竞赛，求90分（包括9020．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，1
12
BC CD AD ==
=、PA PD =，E 、(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)若PC 与AB 所成角为45 ，求二面角21．已知抛物线C ：28y x =，点(M B 两点．
(1)若P 为抛物线C 上的一个动点，当线段的顶点处，求a 的取值范围；
(2)当a 为定值时，在x 轴上是否存在异于点
(1)求r的取值范围；
(2)过点P作圆C的两条切线，切点为PB与椭圆E的另一个交点为
ST的最大值，并计算出此时圆。
广东省高二上学期12月月考数学试题(解析版)
高二上学期12月月考数学试题一、单选题1的倾斜角为（ ） 0y +=A ．B ．C ．D ．3π6π56π23π【答案】D【分析】得，所以0y +=y =tan k α==，结合直线的倾斜角的范围即可求得.α【详解】设该直线的倾斜角为α，则，解得. tan α=[)0,απ∈23πα=故选：D.2．已知圆C ：，则（ ） 2286100x y x y +---=A ．圆C 的圆心坐标为 B ．圆C 的圆心坐标为 ()4,3--()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案. 【详解】因为圆C ：的标准方程为. 2286100x y x y +---=()()224335x y -+-=所以其圆心坐标为ABD 错误，C 正确. ()4,3故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是（ ）13A ．B ．C ．D ．1027162720272627【答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案. 【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为，23若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为，224339⨯=前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为，212122833333327⨯⨯+⨯⨯=所以最后甲获胜的概率. 482092727P =+=故选：C4．已知圆C ：和直线l ：，若圆C 上存在A ，B 2222420x y kx y k +-++-=()25130kx k y +--=两点关于直线l 对称，则k ＝（ ） A ．－2 B ．C ．2D ．或21212【答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解. 【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称， 所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为，圆心，()()221x k y -++243k k =-+(),1C k -所以，解得，222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或所以. 12k =故选：B5．已知圆：和圆：，则圆与圆1C 2224230x y x ay a +-+++=2C 22224410x y x ay a ++-+-=1C 2C 的公切线的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4. 【详解】两圆的标准方程分别为和， ()()2221x y a -++=()()22122x y a ++-=圆心分别为，，半径分别为，()12,C a -()21,2C a -11r=2r =圆心距，故， 123C C ==≥1212C C r r >+所以圆与圆外离，所以圆与圆有4条公切线. 1C 2C 1C 2C 故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）3AP PN =23ON OM = OA a = OB b = OC c =A ．B ．111444OP a b c =++ 1133AN a b c =++C ．D ．311444AP a b c =-+- 1122OM b c =- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因，所以选项错误； ()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-B 因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+ .所以选项错误；311444a b c =-++C 因为，所以选项错误. ()111222OM OB OC b c =+=+ D 因为，所以选项正确；311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭A 故选：.A 7．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，P ABCD ()1,1,0AB =- ()1,0,2AD =()1,1,1AP =- ，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） E AC F PD A ．直线与直线．是平面的法向量 BP CD AD PAB C ． D ．//EF PB AC BD ⊥ 【答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为，，()0,2,1BP AP AB =-=-()1,1,0CD BA ==- 所以，cos ,BP CD BP CD BP CD ⋅<>===故A 错误；因为平面PAB ，且，所以不是平面PAB 的法向量，AB ⊂10AD AB ⋅=≠ AD故B 错误；连接，如图所示：BD因为为线段的中点，为线段的中点， E AC F PD 又为平行四边形的对角线， BD ABCD 所以为线段的中点 E BD 所以是的中位线，EF PBD △所以，即， //EF PB //EF PB故C 正确；因为，， ()2,1,2AC AB AD =+=-()0,1,2BD AD AB =-= 所，1430AC BD ⋅=-+=≠故不成立， AC BD ⊥故D 错误. 故选：C.8．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最()5,0A ()0,5B ()1,0P 后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出关于的对称点和它关于y 轴的对称点,则就是所求的路程长. P AB 1P 2P 12PP【详解】易知直线AB 的方程为，设点关于直线AB 的对称点为，5y x =-+()1,0P ()1,P a b 则解得即．1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩5,4,a b =⎧⎨=⎩()15,4P 又点关于y 轴的对称点为，()1,0P ()21,0P -=故选：.A二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立 C ．B 与C 为互斥事件 D ．C 与D 为互斥事件【答案】ABD【分析】先求出, 再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解. (),(),(),()P A P B P C P D 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)．共36个． ,(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)依题意，，11(),()66P A P B ==事件C 包括，共5个，，事件D 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)5()36P C =，共6个，． (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)61()366P D ==对于选项A ，事件只有结果，A 与B 相互独立，所以选项A 正AB 1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅确；对于选项B ，事件只有结果，A 与D 相互独立，所以选项B 正AD 1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不B C ，是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确． C D ，故选：ABD10．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A ．m 的取值范围为 B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m ∈C ．若，则该椭圆的焦距为4 D ．若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D 错误. ((故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：，则（ ） ()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=A ．圆M 与圆内切2216x y +=B ．直线与圆M 相离sin cos 0x y αα-=C ．圆M 上到直线的距离等于1的点最多有三个0x y +=D上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB面积100y +-=的最小值为【答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出，利用三角的MP 恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心，半径， ()2cos ,2sin M θθ12r =而圆的圆心，，2216x y +=()0,0O 24r =所以，，所以圆M 与圆内切，A 正确； 2OM ==21r r -2216x y +=B ：圆心M 到直线，故圆sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ-≤和直线相切或相交，B错误；C ：因为圆心到直线的距离()2cos ,2sin M θθ0x y +=， π14d θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为，圆M 的半径为2，[]0,3d ∈所以圆M上到直线的距离等于1的点最多有四个，故C 错误； 0x y +=D ：四边形PAMB 的面积2S MA PA PA =⋅==当MP 时，有最小值，100y +-=MP ，πsin 52sin 53θθθ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭因为，所以，[]3,7MP ∈min 3MP =则四边形PAMB 面积的最小值D 正确. min S ==故选：AD.12．如图，已知正方体的棱长为2，P 为空间中一点，，1111ABCD A B C D -1AP xAA y AB z AD =++则（ ）A ．当，时，异面直线BP 与 12x z ==0y =1C D B ．当，时，三棱锥的体积为 1x y ==[]0,1z ∈1A PBC -43C ．当，，时，有且仅有一个点P ，使得平面 12x =1y =[]0,1z ∈1A C ⊥1AB P D ．当，时，异面直线BP 和所成角的取值范围是0y =[]0,1x z =∈1C D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于，连接，.由下图可知，P 为的中点，取的中点O .连接PO ，BO ，A 11B D 1AD 1AD 11B D则，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与所成的角，易得，，1//PO C D 1C D BP =PO =正确； BO =cos BPO ∠=A对于，由条件可知（），P 点的轨速为线段，因为，所以B 1BP zBC BB =+ []0,1z ∈11B C 11B C BC ∥P 到平面的面积为，所以三棱锥的体积为1A BC 1A BC A 122⨯=1P A BC -定值，故选项正确； 43B 对于，如下图，由条件可知（），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为C 112BP zBC BB =+ []0,1z ∈，的中点）.因为平面，所以平面即平面，点P 则平面与直1BB 1CC 1A C ⊥11AB D 1AB P 11AB D 11AB D线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项错误；C对于，由条件可知（），可知点P 的轨速为线段，如下图，建立空D ()1AP x AA AD =+ []0,1x ∈1AD 间直角坐标系，得，，设，，则，所()12,0,2C D =- ()2,0,2B ()0,,2P a a -[]0,2a ∈()2,,BP a a =--以，当，即时，cos <1,>BP C D ==[]20,2a t -=∈2a =0=t ，此时直线BP 和所成的角是；当，即时，1cos ,0BP C D <>= 1C D 2π2a ≠(]0,2t ∈， 1cos ,BP C D <>=令，11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭1cos ,BP C D <>=所以，即时，， 112m t ==0a =1cos ,BP C D <> 直线BP 和所成角的最小值为，故选项正确.1C D π4D故选：.ABD三、填空题13．若直线与直线平行，则a ＝______________. ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=【答案】4【分析】根据直线与直线平行时的条件计算即可.1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=【详解】因为直线与直线平行， ()2110x a y ---=()4230x a y -+-=所以，解得， ()()2241a a -+=--4a =经检验，当时，两直线不重合， 4a =所以. 4a =故答案为：4.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两点，若221369x y +=1F 2F 1F ，则______________.2214AF BF +=AB =【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得，结合题意即可求解. 22||4AF BF AB a ++=【详解】因为，，， 6a =122AF AF a +=122BF BF a +=两式相加得. 22||424AF BF AB a ++==又，所以. 2AF +214BF =10AB =故答案为：10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，1223p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p ＝78______________. 【答案】## 140.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，解得.()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14p =故答案为：.1416．已知圆，M 是直线l ：上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点22:2O x y +=40x y -+=分别为A ，B ，则的最小值为______.MA MB ⋅【答案】3【分析】画出图形，设,利用数量积公式将转化为求的最小值，从2AMB θ∠=MA MB ⋅2||cos 2MA θ而分析图形可知当时, 这时最小，即 最小. OM l ⊥2||cos 2MA θMA MB ⋅【详解】设, 则 ,2AMB θ∠=2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ可知当 时, 最小且 最大, 最小, 这时 最小.OM l ⊥||MA 2θcos 2θMA MB ⋅设点 到直线 的距离为 , 则 O l d d =因为圆 的半径为 , 所以当 时, , 可得 , O OM l ⊥1sin 2θ=21cos 2,||2MA = θ226d =-=所以 的最小值为3.MA MB ⋅ 故答案为：3 .四、解答题17．已知△ABC 的顶点，，BC 边上的高所在直线的方程为.()5,0A -()2,2B -550++=x y (1)求直线BC 的方程；(2)若 ，求直线AC 的方程.在①点C 在直线上；②BC 边上的中线所在直线的方程为这两个条件中任选一0x y -=120x y +-=个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)5120x y --=(2)选①：；选②：38150x y -+=1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式求方程即可； BC （2）若选①联立直线方程求出点坐标，再求出斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出C AC 中点坐标，再由中点坐标公式求出点坐标，利用点斜式求方程即可.BC C 【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为，550++=x y 所以直线BC 的斜率.5k =直线BC 的方程为，即.()252y x +=-5120x y --=（2）若选①.由， 05120x y x y -=⎧⎨--=⎩解得，即， 33x y =⎧⎨=⎩()3,3C 所以，直线AC 的方程为， 38AC k =()3058y x -=+即.38150x y -+=若选②.由，解得，即线段BC 的中点坐标为. 1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩48x y =⎧⎨=⎩()4,8设点，则， ()11,C x y 11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得，即， 11618x y =⎧⎨=⎩()6,18C 所以，直线AC 的方程为， 1811AC k =()180511y x -=+即.1811900x y -+=18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．C ()1,1A ()2,2B -C :50l x y ++=（1）求圆的方程；C （2）若过点的直线被圆截得的弦长为的方程．()1,1D --m C m 【答案】（1）；()()223225x y +++=（2）直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为AB :50l x y ++=，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差. ()3,2--5=（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心2d ==到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况. 2【详解】（1）因为，，所以线段的中点坐标为， ()1,1A ()2,2B -AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即AB 21321AB k --==--AB 113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．330x y --=圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：， C 33050x y x y --=⎧⎨++=⎩32x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心的坐标是．C ()3,2--圆的半径长， C 5r =所以圆心为的圆的标准方程是．C ()()223225x y +++=（2）因为，所以在圆内. ()()22131225-++-+<()1,1D --又因为直线被圆截得的弦长为m C所以圆心到直线的距离C m 2d ==①当直线的斜率不存在时，，m :1m x =-到的距离为，符合题意．()3,2--=1x -3(1)2---=②当直线的斜率存在时，设，即．m ():11m y k x +=+10kx y k -+-=，22⇒22(12)4(1)k k -=+解得，直线为：，即： 34k =-m 31(1)4y x +=-+3470x y ++=综上：直线的方程为或．m =1x -3470x y ++=【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130](1)求语文成绩在内的学生人数．[]120,130(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中[)80,90[)80,90随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【答案】(1)5(2)0.21 (3)． 35【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生1a []120,130人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知，解得，()20.020.030.04101a +++⨯=0.005a =语文成绩在内的学生人数为．[]120,1300.005101005⨯⨯=（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率． 1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，[)80,900.005101005⨯⨯=男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc 所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为． 63105=20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，，△ABD 沿BD 折2BC =CD cos C =起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：面PBD ；BC ⊥(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的性1BD =BC BD ⊥质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，， 2BC =CD cos C =由余弦定理知，即， 2225221BD =+-⨯=1BD =所以，即.222BD BC CD +=BC BD ⊥因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面平面，BCD PBD BD =所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. ()0,0,0B ()2,0,0C ()0,1,0D在△ABC 中，由余弦定理知， (222222AB =+-⨯⨯解得AB =所以，， cos ABD ∠=4ABD π∠=可求得，()0,2,2P 从而，. ()0,1,2DP = ()2,1,0DC =- 设平面PCD 的法向量为，(),,n x y z =由，得，令，可得. 00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020y z x y +=⎧⎨-=⎩2y =()1,2,1n =- 因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为，()1,0,0m = 所以，cos ,m n 〈〉== 即二面角C -PD -B21．已知圆.224：+=C x y (1)若圆与直线相切，求的值； C 320：-+-=l x my m m (2)已知点，过点作圆C 的切线，切点为，再过作圆的切线，()10M ，P Q P ()()221112：'-+-=C x y 切点为，若，求的最小值.R =PQ PR MP 【答案】(1)或 0m=125m =(2)【分析】（1）利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案；C l （2）设点，求出，，利用，可得点所在直线方程， (),P x y PQ PR =PQ PR P 的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.MP P 【详解】（1）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2因为圆与直线相切，C 320：-+-=l x my m ，解得或； 20m =125m =（2）圆的圆心为半径为， 224：+=C x y ()00C ，2的圆心为半径为()()221112：'-+-=C xy ()11，'C 设点(),P xy=，PR ==因为，所以，=PQ PR =整理得，30x y ++=因为到直线，所以直线与圆相离， ()00C ，30x y ++=1>30x y ++=C因为到直线与圆相离， ()11，'C 30x y ++=>30x y ++=C '即点在直线上，P 30x y ++=的最小值即为点到直线MP P 30x y ++=22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，，点E 在33AD AB ===棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE ？若存在，求出的值；若不存在，说BE EC 明理由.【答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE 的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由平面，平面得，又，SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,SA AB SA AD ⊥⊥AD AB ⊥以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB AD AS因为，，，，， ()0,0,0A (S ()1,3,0C ()0,3,0D 31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. 31,,2SE ⎛= ⎝ ()1,0,0CD =-(0,3,SD = 设平面SCD 的法向量为， (),,n x y z = 则，则，令，得. 00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩1y=(n = 设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则， 332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ 所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为. 310（2）设，平面SDE 的法向量为， ()()1,,003E λλ≤≤()111,,m x y z = 则，则， 00SD m SEm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11111300y x yλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令. 1z =(3m λ=- 又， (AS = 当点A 到平面SDE，AS m m⋅==解得， 2λ=所以存在点，使得点A 到平面SDE ()1,2,0E 此时. 2BE EC =。
高二数学上学期12月月考试题理 2
学益学区2021～2021学年第一学期高二年级月考二试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学〔理科〕(试卷满分是150分，考试时间是是为 120分钟) 试卷说明：本套试卷分两局部，第一卷为选择题，第二卷为非选择题 一、 选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
2+9y 2=36的焦点坐标是( ) (A)〔0,±3〕 (B)(0,±5)(C)(±3,0) (D)(±5,0)2．抛物线2y x =的焦点坐标是〔 〕A ． ()1,0B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭3.如下图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，那么MN →等于 ( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c 4.设动点P 到A(－5,0)的间隔 与它到B(5,0)间隔 的差等于6，那么P 点的轨迹方程是( )(A)22x y 1916-= (B)22y x 1916-=(C)22x y 1x 3)916-=≤-（ (D)22x y 1(x 3)916-=≥ 222x y 1a 0a-=（＞）的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，那么此双曲线的渐近线方程是( )〔A 〕y=±5x 〔B 〕y=±55x 〔C 〕y=±3x 〔D 〕y=±33x6、向量)2,0,1(),0,1,1(-==b a ，且b a k +与b a -2互相垂直，那么k 的值是A ．1B ．51C ． 53D ．57 7.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的间隔 为5，焦点到椭圆中心的间隔 为3，那么该椭圆的HY 方程是( )〔A 〕22x y 12516+= 〔B 〕22x y 1259+=或者22y x 1259+= 〔C 〕22x y 12516+=或者22y x 12516+= 〔D 〕椭圆的方程无法确定 8.k ＞9是方程22x y 19k k 4＋＝－－表示双曲线的( ) A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 2222x y 1a b+= (a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，假设∠F 1PF 2=60°，那么椭圆的离心率为( )〔A 〕2 〔B 〔C 〕12 〔D 〕1310过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，假如|AB|=8，那么x 1+ x 2= 〔 〕A ．8B ．10C ．6D ．411、12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，那么12F PF ∆的面积是〔 〕A 2B 4C 8D 1612．假设点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上挪动时，使MA MF +获得最小值的M 的坐标为〔 〕A ．()2,2B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()0,0 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，那么k 的值是______________。
高二数学上学期12月月考试题 理含解析 试题 2
2021-2021学年高二数学上学期12月月考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕x ，y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅得到的点图，由这些点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图〔 〕A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B【解析】【分析】 通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系；①④是明显的线性相关．【详解】由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；①中y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关；④中y 随x 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y 与x 正相关．应选：B ．【点睛】此题考察了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是根底题目．2.命题“x R ∀∈，2240x x -+<〞的否认为〔 〕A. x R ∀∈，2240x x -+≥B. 0x R ∃∈，200240x x -+≥C. x R ∀∉，200240x x -+≥D. 0x R ∃∉，200240x x -+≥【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否认是特称命题的知识，判断出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否认是特称命题，注意到要否认结论，条件不用否认，由此确定B 选项正确.应选B.【点睛】本小题主要考察全称命题与特称命题，考察全称命题的否认是特称命题，属于根底题.3.顶点在原点，焦点是()0,3的抛物线的方程是〔 〕A. 212y x =B. 212x y =C. 2112y x =D. 2112x y = 【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且2p =3，解可得p 的值，据此分析可得答案．【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是〔0，3〕， 那么抛物线开口向上且2p =3，解可得p ＝6， 那么要求抛物线的方程为x 2＝12y ；应选：B ．【点睛】此题考察抛物线的几何性质以及HY 方程，属于根底题．4.为了理解某次数学竞赛中1 000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,那么每名学生成绩入样的时机是( ) A. 110 B. 120 C. 150 D. 1100【答案】A【解析】【详解】因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的时机相等,都是1001100010=.应选A.5.如下图，执行该程序框图,为使输出的函数值在区间11[,]42内那么输入的实数x 的取值范围是〔 〕A. (,2]-∞-B. [2,1]--C. [1,2]-D.[2,)+∞【答案】B【解析】【分析】该程序的作用是计算分段函数f〔x〕＝[]()()2,2,22,,22,x xx⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，即可得到答案．【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f〔x〕＝[]()()2,2,22,,22,x xx⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩的函数值．又∵输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，∴11242x≤≤ ,即 x∈[﹣2，﹣1]应选B．【点睛】此题考察了条件构造的程序框图，由流程图判断出程序的功能是解答此题的关键，属于根底题.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为〔〕A.110B.15C.310D.25【答案】C【解析】【分析】先设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生〞，由题意确定事件A包含的根本领件个数，以及总的根本领件个数，进而可求出结果.【详解】依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生〞，那么事件A包含的根本领件个数为233C=种，而根本领件的总数为2510C=，所以3 ()10P A=，应选C ．【点睛】此题考察求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于根底题． 1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，那么实数a 的值是〔 〕 A. 23 B. 1 C. 12 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由1l 与2l 垂直得：·12(1)=0a a +-，解得23a = ， 应选A. 【点睛】此题考察直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于根底题.8.矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为( )A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积 【详解】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：300962040.68300300p -===， 又=0.6846S S p S ==⨯椭圆椭圆长方形，解得：=320.6416.32S 椭圆⨯≈应选C【点睛】此题主要考察了概率模拟及其应用，属于根底题．210x y+-=与230x y++=间的间隔为〔〕【答案】D【解析】【分析】运用两平行直线的间隔公式即可得到结论．【详解】根据两平行线间的间隔公式得：d5===．应选：D．【点睛】此题考察两平行直线的间隔公式的运用，考察运算才能，属于根底题．1O：2220x y x+-=与圆2O：2220x y y+-=的位置关系是〔〕A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进展判断即可．【详解】两圆的HY方程为〔x﹣1〕2+y2＝1，和x2+〔y﹣1〕2＝1，对应圆心坐标为O1〔1，0〕，半径为1，和圆心坐标O2〔0，1〕，半径为1，那么圆心间隔 |O1O2|=0＜|O1O2|＜2，即两圆相交，应选：B．【点睛】此题主要考察圆与圆的位置关系的判断，求出圆的HY方程，利用圆心距和半径之间的关系是解决此题的关键，比拟根底．A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔 〕A. 32πB. 24πC. 6πD. 6π【答案】C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如以下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，那么2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 应选C.【点睛】此题考察三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考察空间想象才能与计算才能，属于中等题.0x -=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，假设2FC CA =，那么该椭圆的离心率是〔〕1 C.2 1-【答案】A【解析】【分析】由直线0x -+=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =，求得322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得262a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x =所以c =(F ，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，1,2OF OC FC ==，因为2FC CA =，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭， 又由点A 在椭圆上，得22394a b += ②由①②，可得2242490a a -+=，解得262a =，所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =.应选A.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或者范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕221420C x y x y +-+=：与圆222240C x y y +--=：．求两圆公一共弦所在直线的方程_____．【答案】x ﹣y ﹣1＝0【解析】【分析】根据相交圆的公一共弦所在直线的方程求法：将两个圆的方程化为HY 形式或者者一般形式，然后两个圆的方程相减得到的方程即为两圆公一共弦所在直线的方程.【详解】因为圆221420C x y x y +-+=：与圆222240C x y y +--=：；由()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，可得4440x y -++=，即x ﹣y ﹣1＝0，所以两圆公一共弦所在直线的方程为：x ﹣y ﹣1＝0．故答案为：10x y --=.【点睛】此题考察相交圆的公一共弦所在直线的方程的求解，难度较易.14.如图，矩形''''O A B C 是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中''6O A =，''2C D =，那么原图形面积是______．【答案】242【解析】【分析】把矩形O 'A 'B 'C '的直观图复原为面图形，再根据斜二测画法得出对应边长与高，求出原图形的面积．【详解】把矩形O 'A 'B 'C '的直观图复原为面图形，如下图；由O 'A '＝6，C 'D '＝2，得出O ′D ′＝22， 所以OA ＝6，OD ＝42，所以原图形OABC 的面积是：S 平行四边形＝6×42=242．故答案为：242．【点睛】此题考察了斜二测画法与应用问题，也考察了平面图形面积计算问题，是根底题．15.如下图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且22EF =，那么以下结论中正确的选项是________．①//EF 平面ABCD ；②AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等；③平面ACF ⊥平面BEF ；④三棱锥E ABF -的体积为定值.【答案】①③④【解析】【分析】证明11//B D BD ，得//EF 平面ABCD ①正确；AEF ∆与高不同②错误；证明AC ⊥面11BB D D ，③正确； BEF ∆的面积为定值，AO 为三棱锥A BEF -底面BEF 上的高为定值，④正确【详解】①在正方体1111ABCD A B C D -中，11//B D BD ，且BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，故①正确；②点A 到EF 的间隔 大于1BB ，∴AEF ∆的面积与BEF ∆的面积不相等，故②错； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1BB AC ⊥，∴AC ⊥面11BB D D ，又面11BB D D 与面BEF 是同一面，AC ⊂面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BEF ，故③正确； ④BEF ∆中，12EF =，EF 边上的高11BB =，∴BEF ∆的面积为定值，∵AC ⊥面11BDD B ，∴AO ⊥面11BDD B ，∴AO 为三棱锥A BEF -底面BEF 上的高，∴三棱锥A BEF -的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．【点睛】此题考察空间几何体中线面平行，面面平行，面面垂直，以及三角形面积，三棱锥体积的求法，准确推理是关键，是中档题C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点〔不在坐标轴上〕，Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，假设22QF OQ =，那么椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a =，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线， ∴1243223c PF PF c ==，那么122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．三、解答题〔一共6小题，一共70分〕P ：关于x 的方程()230x m x m +-+=的一个根大于1，另一个根小于1．命题q ：()1,1x ∃∈-，使20x x m --=成立，命题s ：方程2214x y m m +=-的图象是焦点在x 轴上的椭圆.〔1〕假设命题s 为真，务实数m 的取值范围；〔2〕假设p q ∨为真，q ⌝为真，务实数m 的取值范围．【答案】(1) ()0,2 (2) 1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕结合椭圆的HY 方程，求出命题为真命题的等价条件即可．〔2〕假设p ∨q 为真，￢q 为真时，那么p 真假q ，求出对应的范围即可．【详解】〔1〕命题s 为真时，即命题s ：方程2214x y m m +=-的图象是焦点在x 轴上的椭圆为真；∴40m m ->>，∴02m <<；故命题s 为真时，实数m 的取值范围为：()0,2； 〔2〕当命题p 为真时，()()23f x x m x m =+-+满足()10f <，即220m -<， 所以1m <．命题q 为真时，方程2m x x =-在()1,1-有解，当()1,1x ∈-时，21,24x x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，那么1,24m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，由于p q ∨为真，q ⌝为真； 所以q 为假，p 为真；那么得1124m m m <⎧⎪⎨<-≥⎪⎩或；∴14m <-； 故p q ∨为真，q ⌝为真时，实数m 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考察复合命题真假关系的判断，求出命题p ，q ，s 为真命题的等价条件是解决此题的关键．属于根底题．18.某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁适宜?请说明理由.(2)假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰.学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕选方案二【解析】【分析】〔1〕可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；〔2〕计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比拟两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为18085719287835x ++++==； 乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x ==-=∑； 乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x ==-=∑； 由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，应选乙适宜.解法二、派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P = 因为12P P >故派甲参赛比拟适宜，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F .方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 一共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，一共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 一共7种， 所以学生乙可参加复赛的概率2710P = 因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】此题主要考察平均数和方差的计算，考察古典概型的概率的计算和决策，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，2,60PA ABC =∠=，E 是BC 中点，假设H 为PD 上的点，2AH =.〔1〕求证：EH 平面PAB ；〔2〕求三棱锥P ABH -的体积.【答案】〔1〕见解析； 〔2〕33. 【解析】【分析】〔1〕根据平行四边形的性质，证得//EH BM ，利用线面平行的断定定理，即可证得//EH 平面PAB .〔2〕由〔1〕得到,E H 到平面PAB 的间隔 相等，根据P ABH H PAB E PAB P ABE V V V V ----===，即可求解.【详解】〔1〕由题意，可得2,2PA AD AH ===H 为PD 的中点， 取PA 的中点M ，连接,HM MB ，那么12HM AD =且//HM AD ，12BD AD =且//BD AD ，所以//HM BD 且HM BD =，所以四边形DHMB 为平行四边形，所以//EH BM ，又由EH ⊄平面,PAB BM ⊂平面PAB ，所以//EH 平面PAB .〔2〕由〔1〕可知//EH 平面PAB ，那么,E H 到平面PAB 的间隔 相等， 所以111332P ABH H PAB E PAB P ABE ABE ABC V V V V S PA S PA ----∆∆====⋅=⨯⋅ 21133223243=⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题主要考察了线面平行的断定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①假设所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或者台体，那么可直接利用公式进展求解．②假设所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用转换法、分割法、补形法等方法进展求解．()1,1A ，()1,3B -.〔1〕求以AB 为直径的圆C 的方程；〔2〕假设直线10x my -+=被圆C 6，求m 值．【答案】(1) ()2222x y +-=. (2)1m =或者17． 【解析】【分析】〔1〕根据题意，有A 、B 的坐标可得线段AB 的中点即C 的坐标，求出AB 的长即可得圆C的半径，由圆的HY 方程即可得答案；〔2〕根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C 到直线x ﹣my +1＝0的间隔 d 2262()22r =-=，结合点到直线的间隔 公式可得221221m m =+-+，解可得m 的值，即可得答案．【详解】〔1〕根据题意，点()1,1A ，()1,3B -，那么线段AB 的中点为()0,2，即C 的坐标为()0,2；圆C 是以线段AB 为直径的圆，那么其半径()()22111113222r AB ==++-=，圆C 的方程为()2222x y +-=.〔2〕根据题意，假设直线10x my -+=被圆C 截得的弦长为6， 那么点C 到直线10x my -+=的间隔 226222d r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 又由2112m m d -+=+，那么有221221m m =+-+，变形可得：27810m m -+=，解可得1m =或者17． 【点睛】此题考察直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的HY 方程，属于根底题．21.如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 一共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°．〔Ⅰ〕假设平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；〔Ⅱ〕问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG∥平面CDF ，假设存在，求出此时三棱锥G-ABE 与三棱锥G-ADF 的体积之比．【答案】〔Ⅰ〕见证明；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据ABCD 为矩形，结合面面垂直性质定理可得BC ⊥平面AEBF ，即BC AF ⊥，结合AF BF ⊥，即可得AF ⊥平面BCF ，最后根据面面垂直断定定理可得结果；〔Ⅱ〕首先易得BC 平面ADF ，再证BE 平面ADF ，进而面面平行，延长EB 到点H ，使得 BH AF =，可得HFDC 是平行四边形，过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，此G 即为所求，通过2444433333G ABE C ABE C ABF D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====可得结果. 【详解】〔Ⅰ〕∵ABCD 为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面AEBF=AB ，∴BC⊥平面AEBF ，又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC⊥AF .∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC∩BF=B，∴AF⊥平面BCF又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF.〔2〕∵BC∥AD，AD ⊂平面ADF ，∴BC∥平面ADF.∵ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°，∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF ⊂平面ADF ，∴BE∥平面ADF ，∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.延长EB 到点H ，使得BH =AF ，又BC //AD ，连CH 、HF ，易证ABHF 是平行四边形， ∴HF //AB //CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH∥DF.过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG∥CH∥DF，〔DF ⊂平面CDF 〕∴BG∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点.又22AF BH ==，∴EG=23EC ，又2ABE ABF S S ∆∆=， 2444433333G ABE C ABE C ABF D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====， 故43G ABE G ADF V V --=.. 【点睛】此题主要考察了面面垂直的断定，强调“线线垂直〞“线面垂直〞“面面垂直〞之间可以互相转化，通过线线平行得到线面平行，等体积法求三棱锥的体积，考察了空间想象才能，属于中档题.C ：()222210x y a b a b+=>>，长半轴长与短半轴长的差为2，离心率为12． 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕假设在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且2211PM QM +为定值，求点M 的坐标．【答案】(1) 22143x y +=(2) ,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕由题意可得：a ﹣b 2=-12c a =，a 2＝b 2+c 2．联立解得：a ，c ，b ．可得椭圆C 的HY 方程．〔2〕设M 〔t ，0〕，P 〔x 1，y 1〕，Q 〔x 2，y 2〕．分类讨论：①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +t ．与椭圆方程联立化为：〔3m 2+4〕y 2+6mty +3t 2﹣12＝0．△＞0．可得|PM |22211()x t y =-+=〔1+m 2〕21y ，同理可得：|PQ |2＝〔1+m 2〕22y ．把根与系数的关系代入()2222212111111y y m PM QM ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，化简整理可得．②当直线l 的斜率为0时，设P 〔2，0〕，Q 〔﹣2，0〕．|PM |＝|t +2|，|QM |＝|2﹣t |．代入同理可得结论．【详解】〔1〕由题意可得：2a b -=12c a =，222a b c =+． 联立解得：2a =，1c =，b =C 的HY 方程为：22143x y +=. 〔2〕设(),0M t ，()11,P x y ，()22,Q x y ．①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x my t =+．联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223463120m y mty t +++-=．()2248340m t ∆=-+>． ∴122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+． ()()222211121x t y m y PM -+=+=，同理可得：()22221PQ m y =+． ∴()2222221111111y M QM y m P ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭()()()212122212211y y y y m y y +-=+ ()()()222222222223123634341131234t m t m m m t m --++=⋅+⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()()()2222222312164314t m t m t =⎡⎤++-⎣⎦+-. ∵2211PM QM+为定值，∴必然有22312164t t +=-，解得7t =±． 此时221179PM QM +=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． ②当直线l 的斜率为0时，设()2,0P ，()2,0Q -．2PM t =+，2QM t =-． 此时()()()2222222111128224t t PM Q t t M +=+=-++-，把247t =代入可得：221179PM QM +=为定值．综上①②可得：221179PM QM +=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考察了推理才能与计算才能，属于难题．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1. 某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为（）
A . 18
B . 20
C . 24
D . 26
2. 若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. 随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是
A . 7.2元，0.56元2
B . 7.2元，元
C . 7元，0.6元2
D . 7元，
元
5. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则
的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
6. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）
A .
B .
C .
D .
7. 已知抛物线，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（）
A .
B .
C .
D .
8. 已知动点的坐标满足方程
，则的轨迹方程是（）
A .
B .
C .
D .
9. 已知非零向量不共线，如果，
，，则四点A，B，C，D（）
A . 一定共线
B . 恰是空间四边形的四个顶点
C . 一定共面
D . 可能不共面
10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就
是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于
3.其中，所有正确结论的序号是（）
A . ①
B . ②
C .①②
D . ①②③
11. 如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. 设f（x）在x处可导，则等于（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 若向量1，，且
，则________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆
的右焦点，直线与椭圆交于
两点，且，则该椭圆的离心率是________．
15. 函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
三、双空题
16. 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________，________．
四、解答题
17. 已知命题“曲线表示焦点在
轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18. 20名学生某次数学考试成绩的频率分布直方图如下：
（1）求频率直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．
19. 如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC ＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，．
（1）求证：AC⊥平面BCD；
（2）二面角B－AC－D为45°，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD 所成的角的正弦值．
20. 若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率.
21. 已知椭圆过点，且离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
22. 已知抛物线C；过点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．。