空间向量的坐标表示

例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
z A1 B1 C1
D1
A B x
D y
C
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b; (2)3a b; (3)6a;
答案： （-2，7，4） （-10，1，16） （-18，12，30）
例题3: (1)已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 形ABCD是平行四边形,求点D的坐标. (2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面. 变:已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),试证明:四边形ABCD是梯形.
4、空间向量基本定理:
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位 向量时,称为单位正交基底，通常用 {i, j , k } 表示
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 OP＝xOA＋yOB＋zOC
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知a (2, 3,5), (3,1, 4) b 求a b, a b,8a 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
2、难点： 确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
P８３
9,10,11
例2：如图，是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D' ，
' 求 ABDC .
解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐
标系O-xyz，则
所以 A(1, 0, 0), B(1,1, 0), D(0,0,0), C (0,1,1) z AB (1,1,0) (1,0,0) (0,1, 0) DC ' (0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) D ' ' ABDC 0 0 11 0 1 1 A '
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
空间向量的 坐标表示
1、共线向量定理 对于任意两个向量 ab(a ¹ 0) ，则向量 a 与 b ， 共线的充要条件是存在实数 l ,使得 b = l a
2、共面向量定理
对于两个不共线向量 a, b ,则向量 p 与向量 a, b
共面的充要条件是存在实数组(x,y),使得
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在
AC,C1D上,且 AM C1 N 2 ,求证:MN//BD1 z
MC ND
A1 B1 C1 D1
N
A B
x M
D
y
C
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律； （2）、空间向量中的公式的形式与平面向量中相
关内容一致，因此可类比记忆；
b
p xa yb zc p a c
A'
C c o bB Aa
p
P B'
P’
' ' ' ' ' OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC
p xa yb zc
当x+y+z=1时，必有P、A、B、C四点共面.
5、平面向量的坐标表示：
给定一个平面直角坐标系和向量 p 且设 ，
p xi y j 则有序实数组 ( x, y ) 叫做 p 在平面直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y)
使得
分别为x,y轴正方向上的单位向量，由平面向量基 ( x, y ) 本定理，存在唯一的有序实数组
i、 j
(1)平面向量的坐标等于向量的终点坐标减 去它的起点坐标. (2)以原点为起点的向量的坐标等于它终点的 坐标.
6、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 (a1 b1, a2 b2 ), a b
面内所有向量的一组基底.
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量线性表示.
4、空间向量基本定理:
如 果 三 个 向 量1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 任 一 向 量 存 在 唯 一 e p， 的 有 序 实 数 组x, y, z )， 使 p xe1 y e2 z e3 (
D
'
C ' (0,1,1) B ' (1,1,1) C (1,1,0) y
A
x
o (0,0,0) B
来自百度文库
(1,0,0)
若E1，F1分别是A'B'和C'D' 的一个四等分点，那么 DF1 BE1 又是多少呢？
z D' F1 (0, ,1)

15 答案： 16
x
A'

3 (1, ,1) E1 4
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
2.已知 AB (3,5, 7), AC (1, 2,9) ,则 BC __________ 3.已知 m (4, 2,6), n (2, y, z) ,若 m n 则y=_____,z=______.
已知空间两向量 a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ),(a 0) 则 a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ( R)
1 4
C'
B'
A
D(0,0,0) o
C
B y (1,1,0)
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 BA1,AC上的点,且BM=CN,
(1)MN与面AA1D1D平行吗? (2)M在何处时,MN最短?
B1 z A1 C1
D1
M
A N
D y
B x
C
1、空间向量基本定理： 如果三个向量 a、 c不共面， 那么对空间任一 b、 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
强调：对于基底 {e1, e2 , e3}
（1)e1, e2 , e3不共面
{e1 , e2 , e3}—-基底
e1 , e2 , e3 --基向量
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.
（3）e1, e2 , e3中能否有0 ?
P78
1,2,3,4
(1)AB (2,0,0) (2)AB1 (2,0, 2) (3)AC (2, 2,0) (4)AC1 (2, 2, 2) (5)CD1 (2, 0, 2) (6)C A1 (2, 2, 2)
p = xa + yb
3、平面向量基本定理
如果 e , e 是平面内的两个不共线向量，那么对于这 1 2 一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1,λ2，使 得 a= l e + l e 1 1 2 2 我们把不共线的两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平