空间向量的坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间向量的坐标表示与数量积
空间向量的坐标表示与数量积空间向量是指具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以由其在坐标系中的坐标表示。
坐标表示的形式可以是直角坐标、柱坐标或球坐标等，而本文将主要讨论向量的直角坐标表示以及与数量积的关系。
一、直角坐标表示直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系。
一个向量在直角坐标系中的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。
向量的坐标表示使我们能够方便地进行向量运算，比如向量的加减、数量积等。
下面以一个具体的向量为例进行说明。
假设有向量A，它的起始点在原点O(0, 0, 0)，终点在点P(x, y, z)。
根据直角坐标系的定义，我们可以得到向量A的坐标表示为A(x, y, z)。
这表示向量A在X轴上的投影长度为x，在Y轴上的投影长度为y，在Z轴上的投影长度为z。
二、数量积的计算数量积是一种向量运算，它可以衡量两个向量之间的相似程度。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
具体地，我们可以通过向量的坐标来计算数量积。
设向量A的坐标表示为A(x1, y1, z1)，向量B的坐标表示为B(x2,y2, z2)。
根据数量积的计算公式，我们可以得到：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2三、应用举例假设有向量A(1, 2, 3)和向量B(4, 5, 6)，我们可以通过坐标表示计算它们的数量积。
首先，根据数量积的计算公式，我们可以得到：A·B = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6)= 4 + 10 + 18= 32因此，向量A和向量B的数量积为32。
数量积的计算结果可以告诉我们这两个向量之间的相似程度。
如果数量积为正数，表示两个向量之间的夹角为锐角；如果数量积为负数，表示两个向量之间的夹角为钝角；如果数量积为零，表示两个向量垂直。
3.1.4 空间向量的坐标表示
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．
空间向量的坐标表示
D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
空间向量的坐标表示
『创新探究』
1． 设点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上
一点， 且 D1P D1B ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 DP 的坐标为
z
.（用 表示）
D1 A1
C1 B1
解：D1B (1,1, 0) (0, 0,1) (1,1, 1)
在同一直线上，则 m n= .
4. 如图, 已知 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，
点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AE FC1 1．
证明:四边形
BED1F
是平行四边形．（向量法）
D1 z
A1
C1
B1
F
E
y
D
A
xC
B
建系(如图)，则B(3，3，0), E(0，3，1), F(3，0，2), D1(0, 0，3) BE (3，0，1) FD1 四边形BED1F是平行四边形.
（2） a (A2,B0,5)2,Db C ,(8,0A,B20)2；DC ， 2（.设3a）a又(2,A(21Dm,0,与03)B,, bnC不2(3)共,,b0线,0，)(4. ∴, 2四m边1形,3nAB2C)D，是梯形.
且 a ∥ b ，求实数 m, n 的值.
3.若点 A(2, 5, 1), B(1, 4, 2),C(m 3, 3, n)
◆借助平面直角坐标系,我们用坐标来表示平面上任
意一点的位置.
那么, 对于空间中的任意一点, 还能否用坐标来表
示它的位置?
建立空间直角坐标系
例: 在作空出间点直P(角5，坐4标，系6z)中. , z
46
空间向量的坐标表示
o x
y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k
AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a
a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC
应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.
（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;
(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k
我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解， 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )
在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)
例2、在棱长为2的正方体中，求：
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
向量的坐标表示
向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。
为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。
向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。
一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。
假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。
例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。
那么向量v的坐标表示为(3,4)。
二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。
假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。
例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。
那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。
三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。
以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。
通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。
2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。
通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。
4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。
通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。
总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。
无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。
向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。
掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
数学习作 空间向量的坐标表示法
空间矢量的坐标表示法一、中点公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点连线段的中点M 的坐标为121212,,222x x y y z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋。
二、距离公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点的距离为PQ三、空间矢量的坐标表示法 1. 对于坐标空间中的任意一个矢量v v ，将始点放在原点，若其终点坐标为（a , b , c ），则 v v ＝（a , b , c ），称为v v 的坐标表示。
其中a 、b 、c 分别称为矢量v v 的x 分量、y 分量、z 分量。
2. 若A 、B 两点的坐标分别为A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2），则： AB uu u v ＝（x 2－x 1 , y 2－y 1 , z 2－z 1）。
四、空间矢量的加、减法与系数乘法 设a v ＝（x 1 , y 1 , z 1），b v ＝（x 2 , y 2 , z 2）为坐标空间中的两矢量，则： 1. a v ＋b v ＝（x 1＋x 2 , y 1＋y 2 , z 1＋z 2）。
2. a v －b v ＝（x 1－x 2 , y 1－y 2 , z 1－z 2）。
3. r a v ＝（rx 1 , ry 1 , rz 1），其中r 为实数。
五、分点公式设A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2）是坐标空间中的相异两点，若P 点在线段AB 上，且PA ：PB ＝m ：n ，则P 点坐标为121212,,nx mx ny my nz mz m nm n m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋＋。
六、线性组合 1. 当O ，A ，B 三点不共线时，则对同平面上的任一点P ，OP uuv 都可写成OA uu v 和OB uuv 的线性 组合，而且表示法是唯一的，即存在唯一一组实数x ，y 使得OP uuv ＝x OA uu v ＋y OB uuv 。
解析几何中空间向量的坐标表示法及应用
解析几何中空间向量的坐标表示法及应用空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的矢量，是解析几何中重要的概念。
在几何学、物理学、工程学等领域中，空间向量的概念都具有重要的应用价值。
在这篇文章中，我们将探讨空间向量的坐标表示法及其应用，希望能对各位读者有所帮助。
一、空间向量的坐标表示法在二维平面中，一个向量可以由其在平面直角坐标系下的坐标表示。
同样地，在三维空间中，一个向量可以由其在空间直角坐标系下的坐标表示。
这里我们简单地介绍一下空间向量的坐标表示法。
在空间直角坐标系下，任意一个向量都可以表示成一个三元组$(x,y,z)$ 的形式。
其中，$x$，$y$，$z$ 分别表示向量在 $x$，$y$，$z$ 方向上的投影长度，也就是向量的坐标。
例如，我们有一向量 $\vec{V}$，其起点为点 $A(x_1,y_1,z_1)$，终点为点 $B(x_2,y_2,z_2)$。
则 $\vec{V}$ 的坐标表示为 $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。
这里的坐标表示是相对于原点 $(0,0,0)$ 的。
不难发现，空间向量的坐标表示方式与向量的平移无关，因此在坐标系中选取不同的点作为坐标原点，其坐标表示方式是相同的。
二、空间向量的应用空间向量的研究及其应用涉及到多个学科领域，例如几何学、物理学、工程学、计算机科学等。
在下面的内容中，我们将以几何学为例，介绍一些空间向量的基本应用。
1. 向量的加法及减法空间向量的加法及减法同样可以通过坐标表示法来求解。
具体而言，设向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的坐标分别为$(a_1,a_2,a_3)$ 和 $(b_1,b_2,b_3)$，则向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标表示为 $(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$；向量 $\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标表示为 $(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$。
空间向量的坐标表示法
2－3 空間向量的坐標表示法空間向量的坐標表示法要點整理要點整理甲、空間向量的坐標表示法1. 空間向量的表示法：設P (x 1 , y 1 , z 1) , Q (x 2 , y 2 , z 2)– y 1 , z 2 – z 1)，||。
2. 方向角：= (a , b , c )為一向量，若從x 軸、y 軸、z 的有向角分別為α、β、γ（0 ≤ α , β , γ ≤ π），則α , β , γ3. 方向餘弦：若α , β , γ= (a , b , c )的方向角，則稱cos α =222c b a a ++，cos β =222c b a b ++，cos γ的方向餘弦。
【註】 (1)任意非零向量的方向餘弦必滿足cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1，且sin 2α + sin β + sin γ = 2α| cos β| cos γ)。
4. 分點公式：設P (a 1 , b 1 , c 1)，Q (a 2 , b 2 , c 2)，R 為直線PQ 上一點，滿足RQ PR := m : n 。
(1)若P −R −Q (R 為PQ 的內分點)，則R 的坐標為),,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma ma ++++++= 。
(2)若P −Q −R (R 為PQ 的外分點)，則R 的坐標為,,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma na −+−−+−−+−。
乙、空間向量的內積1. 內積：= (a 1 , a 2 , a 3)= (b 1 , b 2 , b 3)，= || cos θ = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3。
2. 內積性質：(1)⋅ (2) ⋅+) =+⋅。
(3)⋅= || || cos0° = |2。
(4)⇔。
3. 向量的夾角： 若均非零向量，且其夾角為θ（0 ≤ θ < π），則cos θ= =232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++++。
空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示本次课课堂教学内容要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a+y b+z c．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=x a+y b+z c，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；3.空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a =a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++ ，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)= 。
空间向量的坐标表示
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2, a3)使
a = a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空
例 4.在空间直角坐标系中， 已知 A(3,0,0),B(0,4,0), C(0,0,2),P( x, y, z )是平面 ABC 内任意一点， 试求 x, y, z 满足的方程
空间向量的坐标表示
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
例1. 已知 a (1， 3，8) ， b (3,10,4) ， 求 a b ， a b ， 3a 。
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e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
i、 j
(1)平面向量的坐标等于向量的终点坐标减 去它的起点坐标. (2)以原点为起点的向量的坐标等于它终点的 坐标.
6、平面向量的坐标表示及运算律：
(1)若a (a1, a2 ), b (b1, b2 ) 则 (a1 b1, a2 b2 ), a b
面内所有向量的一组基底.
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量线性表示.
4、空间向量基本定理:
如 果 三 个 向 量1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 任 一 向 量 存 在 唯 一 e p， 的 有 序 实 数 组x, y, z )， 使 p xe1 y e2 z e3 (
2.已知 AB (3,5, 7), AC (1, 2,9) ,则 BC __________ 3.已知 m (4, 2,6), n (2, y, z) ,若 m n 则y=_____,z=______.
已知空间两向量 a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ),(a 0) 则 a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ( R)
当x+y+z=1时，必有P、A、B、C四点共面.
5、平面向量的坐标表示：
给定一个平面直角坐标系和向量 p 且设 ，
p xi y j 则有序实数组 ( x, y ) 叫做 p 在平面直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y)
使得
分别为x,y轴正方向上的单位向量，由平面向量基 ( x, y ) 本定理，存在唯一的有序实数组
b
p xa yb zc p a c
A'
C c o bB Aa
p
P B'
P’
' ' ' ' ' OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC
p = xa + yb
3、平面向量基本定理
如果 e , e 是平面内的两个不共线向量，那么对于这 1 2 一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1,λ2，使 得 a= l e + l e 1 1 2 2 我们把不共线的两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在
AC,C1D上,且 AM C1 N 2 ,求证:MN//BD1 z
MC ND
A1 B1 C1 D1
N
A B
x M
D
y
C
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律； （2）、空间向量中的公式的形式与平面向量中相
关内容一致，因此可类比记忆；
例题3: (1)已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 形ABCD是平行四边形,求点D的坐标. (2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面. 变:已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),试证明:四边形ABCD是梯形.
p xa yb zc
4、空间向量基本定理:
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位 向量时,称为单位正交基底，通常用 {i, j , k } 表示
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 OP＝xOA＋yOB＋zOC
1 4
C'
B'
A
D(0,0,0) o
C
B y (1,1,0)
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 BA1,AC上的点,且BM=CN,
(1)MN与面AA1D1D平行吗? (2)M在何处时,MN最短?
B1 z A1 C1
D1
M
A N
D y
B x
C
1、空间向量基本定理： 如果三个向量 a、 c不共面， 那么对空间任一 b、 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
强调：对于基底 {e1, e2 , e3}
（1)e1, e2 , e3不共面
{e1 , e2 , e3}—-基底
e1 , e2 , e3 --基向量
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.
（3）e1, e2 , e3中能否有0 ?
D
'
C ' (0,1,1) B ' (1,1,1) C (1,1,0) y
A
x
o (0,0,0) B
(1,0,0)
若E1，F1分别是A'B'和C'D' 的一个四等分点，那么 DF1 BE1 又是多少呢？
z D' F1 (0, ,1)
15 答案： 16
x
A'
3 (1, ,1) E1 4
2、难点： 确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
P８３
9,10,11
例2：如图，是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D' ，
' 求 ABDC .
解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐
标系O-xyz，则
所以 A(1, 0, 0), B(1,1, 0), D(0,0,0), C (0,1,1) z AB (1,1,0) (1,0,0) (0,1, 0) DC ' (0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) D ' ' ABDC 0 0 11 0 1 1 A '
空间向量的 坐标表示
1、共线向量定理 对于任意两个向量 ab(a ¹ 0) ，则向量 a 与 b ， 共线的充要条件是存在实数 l ,使得 b = l a
2、共面向量定理
对于两个不共线向量 a, b ,则向量 p 与向量 a, b
共面的充要条件是存在实数组(x,y),使得
P78
1,2,3,4
(1)AB (2,0,0) (2)AB1 (2,0, 2) (3)AC (2, 2,0) (4)AC1 (2, 2, 2) (5)CD1 (2, 0, 2) (6)C A1 (2, 2, 2)
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知a (2, 3,5), (3,1, 4) b 求a b, a b,8a 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
z A1 B1 C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้A B x
D y
C
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
求(1)a b; (2)3a b; (3)6a;
答案： （-2，7，4） （-10，1，16） （-18，12，30）