常微分方程课件,中山版
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第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
第37页/共47页
综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
第26页/共47页
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
12-1常微分方程27页PPT
一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。 通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常 数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用 其它方法直接由方程解出。
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例：
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关（与未知函数及其导数无关），则称
该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐次方程。 自由项不为零的方程，称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
常微分方程课件_第01讲(66)
d 2 d g 1 F (t ). 2 dt m dt l ml
(1.11)
20
When we want to determine some particular motion, we should give its initial states(see C/P4): For example, when t=0,
参考书： 中文/丁同仁、李承治（北京大学）编，常微分 方程教程，第二版，高等教育出版社，2004.7
英文/M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag为：平时（以到课情况、完成作业情况） 与期末考试． 2. 考核形式：期末考试采用闭卷考试形式，试题来自试题 库． 3. 期末考试题形及分值比例为： 填空题(4个)……………………………约占20%， 选择题(4个)……………………………约占20%， 计算题(5个)……………………………约占44%， 证明与应用题(2个)……………………约占16%．
d 2 g 0. 2 dt l
(1.9)
18
(2) Free damped motion(有阻尼的自由运动E/P136): with damping but no external force(有阻尼但无外力) μ---the damping coefficient(阻尼系数) Math. Model(see C/P4):
Solution Function of the curve: y=f(x) Math. Model: Method:
dy 2 x, dx y ( 2) 5.
12
Integral (积分)
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
常微分方程课件,中山版
"
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 . 同理y cosx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 .
与其他学科的关系
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的 • 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响 • 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程，PDE 如
n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 an ( x) y f ( x) n dx dx
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 . 同理y cosx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 .
与其他学科的关系
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的 • 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响 • 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
SI模型 易感染者：Susceptible 已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
如
dy (2) xdy ydx 0 ; (1) 2 x; dx 3 2 d x dx (3) tx x 0; 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t; 4 dt dt
都是常微分方程
偏微分方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程，PDE 如
n阶线性微分方程的一般形式
d y d y a1 ( x) n1 an ( x) y f ( x) n dx dx
常微分方程PPT讲稿
则 常向量组x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )线性相关,
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。
4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。
常微分方程课件
在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律 预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析 优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益 制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。 常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。 解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。 唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程： 形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程： 形如y' = f(y)的 方程，其中f(y) 是一个关于y的 函数
一阶微分方程： 只含有一个自变 量和一个导数的 微分方程
高阶微分方程： 含有多个自变量 和多个导数的微 分方程
求解方法简介
分离变量法 变量代换法 欧拉方法 龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的 一阶微分方程， 其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通 过变量分离法、 积分因子法、 公式法等求解。
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汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。 混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。 举例：Lorenz 方程。 应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等 解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等 限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题 未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围
微分方程ppt课件
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运 动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值 问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
5
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第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
12
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
常微分方程ppt
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
年VIP
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连续包月VIP
VIP专享文档下载特权
享受60次VIP专享文档下买的VIP时长期间，下载特权不清零。
100W优质文档免费下 载
VIP有效期内的用户可以免费下载VIP免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券/积分获取。
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得
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• RLC电路 • 数学摆 • 人口模型 • 传染病模型 • 两生物种群生态模型 • Lorenz方程
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程 中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与 人口总数之比）是常数，记为r
SI模型 易感染者：Susceptible
已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
动力系统
• Dynamical system describes the evolution of a state over time
• • Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-
in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia
常微分方程 Ordinary Differential Equation
2014-2015学年第一学期
修改 h
• 课程安排：
计划上课18周（除去节假日、劳动周），
从9月1日开始，单周4节； 双周2节，上机。
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（2007年教育部精品教材），
王高雄等（中山大学), 高教出版社
两生物种群生态模型
• 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个 关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型
• 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食 鱼的总数为y(t)
• 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的 次数为bxy
• 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成 正比
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引子
总结
• 微分方程反映量与量之间的关系，与时间 有关，是一个动态系统
• 从已知的自然规律出发，考虑主要因素， 构造出由自变量、未知函数及其导数的关 系史，即微分方程，从而建立数学模型
• 数学模型的建立有多种方式 • 研究微分方程的解和解结构的性质，检查
• 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求 它飞行的轨道等
• 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未 知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程
• 基本思想:
把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程。
微分方程的历史
• 微分方程差不多是和微积分同时产生 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分
方程用级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数
学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又 不断地研究和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家 Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做 出了巨大的贡献
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程教程，丁同仁等编，高教出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
教学安排
• 第1周——第18周，共54学时 （含国庆等假期，实际课时更少） • 考试安排：按学校、学院统一安排， • 总成绩=平时（30%）+期末（70%），有
小论文可以加分，一般每周四课代表收交 作业，并统计作业情况。
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用。
随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用。
与其他学科的关系
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响
• 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
r(1 N (t)) Nm
logistic模型
传染病模型
• 假设传染病传播期间其地区总人数不变， 为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的 健康人数为y(t)，染病人数为x(t)
• 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比例系数为k
(3) dd22txtxddxt3x0; (4) d d44 xt5d d22 xt3xsitn;
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为常微分方程，ODE
第一章 绪论主要内容
• 线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组
• 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式，统称代数方程。
• 在实际工作中，常常出现一些特点和以上 方程完全不同的问题
• 比如：某个物体在重力作用下自由下落， 要寻求下落距离随时间变化的规律
是否与实际相吻合，不断改进模型 • 由微分方程发现或预测新的规律和性质
1.2 基本概念
• 1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程，DE
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程 中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与 人口总数之比）是常数，记为r
SI模型 易感染者：Susceptible
已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
动力系统
• Dynamical system describes the evolution of a state over time
• • Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-
in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia
常微分方程 Ordinary Differential Equation
2014-2015学年第一学期
修改 h
• 课程安排：
计划上课18周（除去节假日、劳动周），
从9月1日开始，单周4节； 双周2节，上机。
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（2007年教育部精品教材），
王高雄等（中山大学), 高教出版社
两生物种群生态模型
• 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个 关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型
• 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食 鱼的总数为y(t)
• 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的 次数为bxy
• 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成 正比
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引子
总结
• 微分方程反映量与量之间的关系，与时间 有关，是一个动态系统
• 从已知的自然规律出发，考虑主要因素， 构造出由自变量、未知函数及其导数的关 系史，即微分方程，从而建立数学模型
• 数学模型的建立有多种方式 • 研究微分方程的解和解结构的性质，检查
• 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求 它飞行的轨道等
• 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未 知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程
• 基本思想:
把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程。
微分方程的历史
• 微分方程差不多是和微积分同时产生 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分
方程用级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数
学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又 不断地研究和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家 Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做 出了巨大的贡献
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程教程，丁同仁等编，高教出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
教学安排
• 第1周——第18周，共54学时 （含国庆等假期，实际课时更少） • 考试安排：按学校、学院统一安排， • 总成绩=平时（30%）+期末（70%），有
小论文可以加分，一般每周四课代表收交 作业，并统计作业情况。
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用。
随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用。
与其他学科的关系
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响
• 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
r(1 N (t)) Nm
logistic模型
传染病模型
• 假设传染病传播期间其地区总人数不变， 为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的 健康人数为y(t)，染病人数为x(t)
• 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比例系数为k
(3) dd22txtxddxt3x0; (4) d d44 xt5d d22 xt3xsitn;
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为常微分方程，ODE
第一章 绪论主要内容
• 线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组
• 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式，统称代数方程。
• 在实际工作中，常常出现一些特点和以上 方程完全不同的问题
• 比如：某个物体在重力作用下自由下落， 要寻求下落距离随时间变化的规律
是否与实际相吻合，不断改进模型 • 由微分方程发现或预测新的规律和性质
1.2 基本概念
• 1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程，DE
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;