(小学教育)2019年小学二年级奥数下册第六讲七座桥问题练习答案
七桥问题Seven Bridges Problem
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
七桥问题
笔画成。
回头来看七桥问题
由图可见，这个图形有 四个奇结点，所以，它 不能被一笔画。
转换一下图：
1 2 3 4
现在看完了七桥问题，来看看“八桥问题”吧
2
1
一 条 线 代 表 一 座 桥， 现 在 有 八 座 桥。
这个图形有两个奇结点， 所以可以一笔画。
七桥问题是一个几何问题，图中 什么都可以变，唯独点线之间的相 关位置，或相互连结的情况不能变。 欧拉认为对这类问题的研究，属于 一门新的几何学分支，他称之为” 位置几何学”。后来，这门数学分 支被正式命名为“拓扑学”（图 论）。现在，拓扑学已成为20世纪 最丰富多彩的一门数学分支。
18世纪著名古典数学问题之 一。在哥尼斯堡的一个公园 里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛及岛与河岸连接起 来（如图）。问是否可能从 这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究 并解决了此问题，他把问题 归结 “一笔画”问题，证明 上述走法是不可能的。
但是，为什么不可以呢？
“内部”与“外部”
一条头尾相连且自身不相 交的封闭曲线，把橡皮膜分 成两个部分。如果我们把其 中有限的部分称为闭曲线的 “内部”，那么另一部分便 是闭曲线的“外部”。从闭 曲线的内部走到闭曲线的外 部，不可能不通过该闭曲线。 因此，无论你怎样拉扯橡皮 膜，只要不切割、不撕裂、 不折叠、不穿孔，那么闭曲 线的内部和外部总是保持不 变的!
由左图可知，这个图形 有两个奇结点。
12ຫໍສະໝຸດ 简单的一笔画问题3
这个图形就不可以一笔 为什么呢 画。 仔细观察，这个图形有 四个奇结点； 所以不能一笔画。 没有奇数个奇结点的图 形。
二年级七桥问题一笔画问题1.5h
图 形
单数点个数
双数点个数
是否是 一笔画
起点、终点
A、B、C、D
0 0
2 2 2
4 3
1 2 4
√ √
√ √ √
A、B、C
以A、D为起 点、终点
以B、D为起 点或终点
以F、C为起 点、终点
4
4
0
5
×
×
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中共有4个交点，其中2个偶点， 2个奇点。
能一笔画成。从一个奇点出发，到 另一个奇点结束。
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
图1 图2 图3
连通的图形有可能一笔画
图4 图5
下面的图形能一笔画成吗？
为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不 能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点? 研究一笔 画问题，先要了解图形的特点。
你能用一笔画出下列图形吗？
两条相交的线处都有一个交点。
任何图形都是由点、线组成.图形中的点可以分 为偶点和奇点两大类。
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中12个交点都是偶点。 能一笔画成。从任一个偶点出发， 还到这个偶点结束。
起点
终点
起点 终点
一个图形能否一笔画成，关键在于图 中单数点的多少。 （1）凡是图形中没有单数点的一定可以 一笔画成。 （2）凡是图形中只有一个或者两个单数 点，一定可以一笔画成。画时必须从一个 单数点为起点，以另一单数点为终点。 （3）凡是图形中单数点的个数多于两个 时，此图肯定是不能一笔画成。
红蚂蚁获胜！
故事发生在18世纪 的哥尼斯堡城.流经 那里的一条河中有两 个小岛，还有七座桥 把这两个小岛与河岸 联系起来，
那Байду номын сангаас风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议 论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一 次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
学而思奥数之二年级答案
第一天答案：1.4+3+2+1=10（条）2.（1）有7个长方形。
（2）（3+2+1）×（3+2+1）=36（个）长方形。
3.18个三角形。
4.（3+2+1）+（4+3+2+1）+3=19（个）三角形。
5.将最小的长方形看做单位长方形，由1个单位长方形构成的长方形有4（个）；由2个单位长方形构成的长方形有4（个）；由4个单位长方形构成的长方形有1（个），所以共有4419++=（个）．将最小的三角形看做单位三角形，由1个单位三角形构成的三角形有8个；由2个单位三角形构成的三角形有4个；由4个单位三角形构成的三角形有4个，所以共有三角形84416++=（个）．观察发现，每条边以及对角线上都有3条线段，所以共有线段3824⨯=（条）．第二天答案：1.⑴图1可以一笔画成；⑵图2可以一笔画成。
2.(1)去掉一条线； (2)去掉一条线； (3)添加一条线；3.要想不重复地走遍每一条街，就得转化成一道一笔画的题目来思考。
图中A、B、C、D、E、F、G、H都是双数点，所以可以一笔画成，右图中一笔画的路线就是邮递员小马走的路线。
4.观察上图，可以发现仅有两个奇数点：A 点和D 点。
因此，出入口应设在A 点与D 点。
因此，出入口应设在A 点与D 点。
5. 用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，由于此图中有A 和C 两个奇点，虽然可以一笔画出此图形，但起点和终点必须为A 和C ，所以要想以C 和D 分别为起始点和终点，是无法一笔画出此图形的，所以不能找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸.DC BA第三天答案：1. ⑴871513(8713)1510015115++=++=+=⑵43561724(4317)(5624)6080140+++=+++=+=⑶284439625621(2862)(4456)(3921)9010060250+++++=+++++=++=2.⑴8249188218491004951-+=+-=-=⑵82504982181-+=-= (减50再加49等于减1)⑶41642941296470646-+=+-=-=3.⑴945119 94(5119)9470 24--=-+=-=⑵10037360 100(37360)1001000 ---=-++=-=⑶56(2617)5626173017 13-+=--=-=4. ⑴534951485250506311223003303+++++=⨯+-+-+=+=⑵8774858375778078818480107653532148004804+++++++++=⨯+-++---++=+= 5. 分析如下：前5天一共跳了多少下：35363738393053063073083093055678915035185++++=+++++++++=⨯+++++=+= （）（）（）（）（）（）或： 3536373839405404403402401)4055432120015185++++=-+-+-+-+-=⨯-++++=-= （）（）（）（）（（）后5天一共跳了多少下：59616365676016016036056076051135730015315++++=-++++++++=⨯-++++=+= （）（）（）（）（）这10天平均每天跳多少下：1853151050+÷=（）（下）第四天答案：1.2.一共发了8辆车.3. 一边栽树的棵数：25÷5+1=6(棵)两边栽树的棵数：6+6=12(棵)答：一共要栽12棵树.4.5～11号共有7个同学，30-7=23（人），原地不动的有23人.5.一半：30+30=60（元），一共有：60+60=120（元）第五天答案：1.第④幅图与其余四幅图不同，因为只有这幅图是由正方形组成的。
【思维拓展】数学二年级思维拓展之七座桥问题(附答案)
二年级奥数七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做“七座桥问题”.当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决.这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.模仿这种思路，也能解决类似好多问题.练习题1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？参考答案1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥（每座桥只能走一次）一笔画问题：可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.号房间即可）.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入33。
小学数学奥林匹克辅导及练习过桥问题(含答案)-
过桥问题过桥问题也是行程问题的一种。
首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。
列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。
过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：过桥的路程= 桥长+ 车长车速= （桥长+ 车长）÷过桥时间通过桥的时间=（桥长+ 车长）÷车速桥长= 车速×过桥时间—车长车长= 车速×过桥时间—桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。
【典型例题】例1：一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？分析与解：从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长+ 车长。
通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。
（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。
例2：一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？分析与解：要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。
（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）（2）火车的速度：600÷30 = 20（米）答：这列火车每秒行20米。
想一想：你能根据例2改编一个求“火车长”的题目吗？例3：某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？分析与解：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。
火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。
小学二年级奥数下(大量练习)
二年级奥数（下）第一章速算与巧算做计算题时，根据不同算式的不同特点，恰当的运用运算定律、合理的改变运算顺序，使计算变得简单，从而提高计算速度和计算准确性。
解题技巧：1、熟记：2×5＝10，4×25＝100，8×125＝1000，16×625=10000,一个数乘10，就是这个数后面加上一个零，乘100，就是在这个数后面加上两个零，乘1000，就是在这个数后面加上三个零。
2、交换法：看哪几个数能凑成整十、整百的数，就交换它们的位置，把它们凑在一起计算。
交换位置时要连同它前面的运算符号一起交换。
3、拆数法：就是把一个数拆成两个数或几个数，使分拆后的数能和其他数凑成整十、整百数。
4、结合法：就是把能凑成整十、整百的数用括号结合在一起，使计算简便。
5、去括号法：如果括号前面是加号，去括号后，原来的加、减符号都不变；如果括号前面是减号，去括号后，原来括号里的加号要变为减号，原来的减号要变为加号。
6、填括号法：如果需要改变运算顺序，就要填括号；如果括号前面是加号，括到里面的各个数都不用改变符号；如果括号前面的是减号，括到括号里面的数原来是加号要变成减号，原来是减号要变成加号。
7、基准数法：如果几个数都接近某个数，就把原来的几个数都看作是这个数，再比较，多加几要减去几，少加几，再加上几；多减几，就加上几，少减几再减去几。
计算结果不变。
8、利用等差数列求和法进行简算。
例一、用简便方法计算下面各题。
⑴63+26+27 ⑵41＋64＋19⑶105＋44＋15 ⑷287＋146＋94例二、用简便方法计算下面各题。
⑴33＋146＋77＋54 ⑵192＋39＋37＋18＋353 ⑶73+63+37+27 ⑷172+37+95+63+28例三、用简便方法计算下列各题。
⑴88＋95 ⑵324＋104⑶327－102 ⑷231－95例四、用简便方法计算下面各题。
⑴78＋（29＋122）⑵134＋（82－34）⑶185－（36－15）⑷127－（27＋50）例五、用简便方法计算下面各题。
哥尼斯堡七桥问题答案
哥尼斯堡七桥问题答案问题简介哥尼斯堡七桥问题是数学史上的一个著名问题，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
问题描述如下：哥尼斯堡的一座岛屿被普雷格尔河和纳勒曼河所环绕，而岛上有七座桥连接了岛与河岸的各个区域。
欧拉的问题是能否找到一条路线，使得每座桥都只经过一次，且最终回到起点。
欧拉图的引入为了解决这一问题，欧拉引入了欧拉图的概念。
欧拉图是指一个图中存在一条路径，经过图中每条边一次且仅一次，且最终回到起点。
欧拉图的概念为解决哥尼斯堡七桥问题提供了思路。
哥尼斯堡七桥问题的解答欧拉图的性质在欧拉引入的欧拉图概念中，他提出了以下性质：1.如果一个图是欧拉图，那么它的度数为奇数的顶点个数一定是0个或2个。
2.如果一个图是欧拉图，那么它的每个顶点都是偶数度数。
欧拉图的性质为解决哥尼斯堡七桥问题提供了重要的线索。
哥尼斯堡七桥问题的解答根据欧拉图的性质，我们可以进行如下步骤来解决哥尼斯堡七桥问题：1.对于给定的一组桥和岛屿，首先统计每个岛屿的度数（与之相连的桥的数量）。
如果某个岛屿的度数为奇数，则将其记为M。
2.如果M为0，则存在一条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以回到起点，问题得到解答。
3.如果M为2，则存在两条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以从一条路径回到另一条路径，问题得到解答。
4.如果M大于2，则不存在满足条件的路径，问题无解。
示例以下是一个具体的示例来解答哥尼斯堡七桥问题：给定的桥和岛屿如下图所示：A---B---C/ \\ / \\ / \\D---E---F---G根据图中的连接关系，我们可以统计每个岛屿的度数： - A的度数为2 - B的度数为3 - C的度数为2 - D的度数为3 - E的度数为4 - F的度数为4 - G的度数为2从统计结果可知，B、D、E、F的度数为奇数，即M=4。
根据步骤3的解答方法，我们可以得出结论：不存在满足条件的路径，问题无解。
结论哥尼斯堡七桥问题既是数学史上的著名问题，也是欧拉图理论的起点之一。
小学数学奥林匹克辅导及练习过桥问题含答案
过桥问题过桥问题也是行程问题的一种..首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥..列车过桥的总路程是桥长加车长;这是解决过桥问题的关键..过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：过桥的路程 = 桥长 + 车长车速 = 桥长 + 车长÷过桥时间通过桥的时间 =桥长 + 车长÷车速桥长 = 车速×过桥时间—车长车长 = 车速×过桥时间—桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的..火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的;也要通过上面的数量关系来解决..典型例题例1：一列客车经过南京长江大桥;大桥长6700米;这列客车长100米;火车每分钟行400米;这列客车经过长江大桥需要多少分钟分析与解：从火车头上桥;到火车尾离桥;这之间是火车通过这座大桥的过程;也就是过桥的路程是桥长 + 车长..通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间..1过桥路程：6700 + 100 = 6800米2过桥时间：6800÷400 = 17分答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟..例2：一列火车长160米;全车通过440米的桥需要30秒钟;这列火车每秒行多少米分析与解：要想求火车过桥的速度;就要知道“过桥的路程”和过桥的时间.. 1过桥的路程：160 + 440 = 600米2火车的速度：600÷30 = 20米答：这列火车每秒行20米..想一想：你能根据例2改编一个求“火车长”的题目吗例3：某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟;接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟;求这列火车的长度分析与解：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒;为什么多用8秒呢原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144米;这144米正好和8秒相对应;这样可以求出车速..火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长;减去已知的隧道长;就是火车长..1第一个隧道比第二个长多少米360—216 = 144米2火车通过第一个隧道比第二个多用几秒24—16 = 8秒3火车每秒行多少米144÷8 = 18米4火车24秒行多少米18×24 = 432米5火车长多少米432—360 = 72米答：这列火车长72米..例4：某列火车通过342米的隧道用了23秒;接着通过234米的隧道用了17秒;这列火车与另一列长88米;速度为每秒22米的列车错车而过;问需要几秒钟分析与解：通过前两个已知条件;我们可以求出火车的车速和火车的车身长.. 342—234÷23—17= 18米……车速18×23—342 = 72米……………………车身长两车错车是从车头相遇开始;直到两车尾离开才是错车结束;两车错车的总路程是两个车身之和;两车是做相向运动;所以;根据“路程÷速度和 = 相遇时间”;可以求出两车错车需要的时间..72 + 88÷18 + 22= 4秒答：两车错车而过;需要4秒钟..模拟试题答题时间：30分钟1. 一列火车全长265米;每秒行驶25米;全车要通过一座985米长的大桥;问需要多少秒钟2. 一列长50米的火车;穿过200米长的山洞用了25秒钟;这列火车每秒行多少米3. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥;从车头上桥到车尾离桥用了1分钟;求这座桥长多少米4. 一列货车全长240米;每秒行驶15米;全车连续通过一条隧道和一座桥;共用40秒钟;桥长150米;问这条隧道长多少米5. 一列火车开过一座长1200米的大桥;需要75秒钟;火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟;求火车长多少米6. 在上下行轨道上;两列火车相对开来;一列火车长182米;每秒行18米;另一列火车每秒行17米;两列火车错车而过用了10秒钟;求另一列火车长多少米试题答案1. 一列火车全长265米;每秒行驶25米;全车要通过一座985米长的大桥;问需要多少秒钟265 + 985÷25 = 50秒答：需要50秒钟..2. 一列长50米的火车;穿过200米长的山洞用了25秒钟;这列火车每秒行多少米200 + 50÷25 = 10米答：这列火车每秒行10米..3. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥;从车头上桥到车尾离桥用了1分钟;求这座桥长多少米1分 = 60秒30×60—240 = 1560米答：这座桥长1560米..4. 一列货车全长240米;每秒行驶15米;全车连续通过一条隧道和一座桥;共用40秒钟;桥长150米;问这条隧道长多少米15×40—240—150 = 210米答：这条隧道长210米..5. 一列火车开过一座长1200米的大桥;需要75秒钟;火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟;求火车长多少米1200÷75—15= 20米20×15 = 300米答：火车长300米..6. 在上下行轨道上;两列火车相对开来;一列火车长182米;每秒行18米;另一列火车每秒行17米;两列火车错车而过用了10秒钟;求另一列火车长多少米18 + 17×10—182 = 168米答：另一列火车长168米..。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==七桥问题答案篇一：数学七桥问题解答如下数学七桥问题解答如下城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。
大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，思考过程如下图：伟大的数学家欧拉，睿智地把这样一个实际问题抽象成了一个由点线组成的简单的几何图形，把要解决的问题转化成图（二）的一笔画问题了。
这样一个抽象化的过程是欧拉解决这个问题时最精彩的思考，也是最值得我们学习的地方。
因为图（二）不能一笔画成，所以人们不能一次走遍7座桥。
1736年，欧拉把这题的结果发表在圣彼得堡科学院学报上，欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，可以说，正是这个问题的研究使其成为“图论”的鼻祖。
那么欧拉是如何判断图（二）不可以一笔画成呢？为了便于大家看懂，结合这个例子，我用自己的语言来说明一下一笔画问题的解题思路：这个图形中共有4个点7条线，每个点都是若干条路线的公共端点。
如果一个点是偶数条线的公共端点，我们称这个点为双数点（或偶点）；如果一个点是奇数条线的公共端点，我们称这个点为单数点（或奇点）。
图（二）中A点是5条线的公共端点，B、C、D点都是3条线的公共端点，因此图（二）有4个奇点。
一般，我们把起笔的点称为起点，停笔的点称为终点，其它的点称为路过点。
显然一笔画图形中所有路过点如果有进去的线就必须有出来的线，从而每个点连接的线数必须有偶数个才能完成一笔画，如果路过点中出现奇点，必然就会出现没有走过的路线或重复路线。
小学二年级奥数下册第六讲 七座桥问题练习+答案
第六讲七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做“七座桥问题”.当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决.这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.模仿这种思路，也能解决类似好多问题.习题六1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？习题六解答1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥（每座桥只能走一次）一笔画问题：可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可）.。
小学二年级奥数题图形及答案
一、计算题。
(共101题)1.图2-26是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中。
要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18。
答案：2.在图2-24中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。
答案：15=1+2+5+7，15=1+3+4+7，15=1+3+5+6，15=2+3+4+6 其中1和3用的次数最多，图中最中间的部分被三个圆包围，所以1和3应该填在里面。
但题目总3已填好，所以只能填1。
1填好后其他的也就好确定了。
答案见下图3.图2-23中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈。
请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14。
答案：案把14拆成4个自然数的和，如下14=1+2+5+6;14=1+3+4+6;14=2+3+4+5。
先把一个数填入，然后试一下确定其他数的位置。
答案如下图4.将2、4、6、8、10、12、14、16、18填在下面图表，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加的和都相等。
答案：案九宫格填九数的方法，确定中间是10最关键了，然后我们对这些数加和除以3，就有了相等的和应该是30，图形如下(有很多种，但是中间那个肯定是10)5.仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图?答案：6.请看下图，共有多少个正方形?答案：30 个正方形。
小结小方格16 个，4 个小方格为一个正方形共 9 个，9 个小方格为一个正方形共 4 个，最大的(16 个小方格)是 1 个。
16+9+4+1=30(个)共计 30 个正方形。
7.仔细观察这些图案可以发现，他们是按照下面这5个图案为一组，循环往复排列的，请问第52个图形是什么?答案：8.把上面一排的立体图形剪开，可以剪成下面哪种图形的样子?动手试一试。
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习过桥问题(含答案)
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习过桥问题(含答案)过桥问题也是行程问题的一种.首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥.列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键.过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：过桥的路程= 桥长+ 车长车速= （桥长+ 车长）÷过桥时间通过桥的时间=（桥长+ 车长）÷车速桥长= 车速×过桥时间—车长车长= 车速×过桥时间—桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的.火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决.【典型例题】例1：一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？分析与解：从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长+ 车长.通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间.（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟.例2：一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？分析与解：要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间.（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）（2）火车的速度：600÷30 = 20（米）答：这列火车每秒行20米.想一想：你能根据例2改编一个求“火车长”的题目吗？例3：某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？分析与解：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速.火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长.（1）第一个隧道比第二个长多少米？360—216 = 144（米）（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？24—16 = 8（秒）（3）火车每秒行多少米？144÷8 = 18（米）（4）火车24秒行多少米？18×24 = 432（米）（5）火车长多少米？432—360 = 72（米）答：这列火车长72米.例4：某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？分析与解：通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长.（342—234）÷（23—17）= 18（米）……车速18×23—342 = 72（米）……………………车身长两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程÷速度和= 相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间.（72 + 88）÷（18 + 22）= 4（秒）答：两车错车而过，需要4秒钟.【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？2. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？3. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？4. 一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？5. 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？6. 在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？【试题答案】1. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？（265 + 985）÷25 = 50（秒）答：需要50秒钟.2. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？（200 + 50）÷25 = 10（米）答：这列火车每秒行10米.3. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？1分= 60秒30×60—240 = 1560（米）答：这座桥长1560米.4. 一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，问这条隧道长多少米？15×40—240—150 = 210（米）答：这条隧道长210米.5. 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？1200÷（75—15）= 20（米）20×15 = 300（米）答：火车长300米.6. 在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？（18 + 17）×10—182 = 168（米）答：另一列火车长168米.。
七桥问题(讲义)
一笔画问题姓名：＿＿＿＿＿＿＿瑞士的著名数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。
）一笔画定义：下笔后笔尖不能离开纸；每条线都只能画一次而不能重复。
例1、动手画一画、试一试，下面的图形一笔画出来吗？例2、判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画。
例3、下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？例4、左下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？例5、右上图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图。
例6、右图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？【解析】 要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F 和I 点．例7、观察下面的图，看各至少用几笔画成？通过试画你能发现什么规律吗？图c图a课后练习题：1、判断图形中的奇点和偶点的个数。
2、下面的图形能一笔画出吗？3、根据一笔画的规律，先判断下图能不能一笔画出？再想想从哪里开始画？最后再动手画画看？4、右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？5、一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？6、右上图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、入口应该设在哪里？。
思维训练二下 七桥问题与一笔画
第八页，共26页。
简略图
全双
单数点2个
可以一笔画
单数点
连通图
单数点
不能一笔画
不连通图
单数点2个以上
第九页，共26页。
用我们的规律，说一说七桥问题的答案？
1、标点
2、判断
有4个单数点，所以不能一笔画
第十页，共26页。
判断步骤
1、标点
2、判断
第十一页，共26页。
实践操作
例1、下图中的两个图形，哪一个图形能一笔画成，哪个不能？为什么？
第二十二页，共26页。
通过今天的学习，你有哪些收获？
归纳反思
第二十三页，共26页。
归纳
能够用一笔画的图形的特征是：奇点的个数是0或2。1.当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点；2.当奇点个数是2的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。
第二十六页，共26页。
3、找起点和终点
第十七页，共26页。
举一反三
例3、园林工人张大伯为花园浇水，怎样走才能不重复地走遍每条小路？
第十八页，共26页。
标出双数点和单数点
分析
A、B分别为出入口
第十九页，共26页。
拓展与创新
例4、一个居民小区平面如图，邮递员能否从东南西北四个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍大街小巷呢？
活动探究
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
图⑴
图⑵
图⑶
图⑷
2
0
能
2
3
能
0
1
能
能
0
2
第六页，共26页。
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
二年级奥数修桥问题
二年级奥数修桥问题问题描述2年级的小学生正在研究奥数课程，其中一道问题是关于修桥的。
问题的描述如下：某座小岛上有三座房子，分别位于河的左岸和右岸。
每个房子都需要建一座桥连接到对岸。
每座桥只能连接一座房子。
另外，规定在任何时候，连接到左岸的桥的数量不能多于连接到右岸的桥的数量。
学生们需要找出可能的桥的连接方式，并回答以下问题：1. 穷举出所有可能的桥的连接方式。
2. 通过遍历所有可能的桥的连接方式，找出符合规定的连接方式。
3. 计算符合规定的连接方式的数量。
解答步骤一：穷举所有可能的连接方式我们可以使用一个简单的穷举法来找到所有可能的桥的连接方式。
假设编号为1、2、3的房子分别位于左岸、右岸和左岸，我们可以列出下表，表示每个房子连接到左岸的桥的数量：根据规定，在任何时候，左岸桥的数量不能超过右岸桥的数量。
因此，我们可以得到下表，表示每个房子连接到右岸的桥的数量：接下来，我们可计算出所有可能的连接方式。
为了方便起见，我们用L和R分别表示连接到左岸和右岸的桥，0和1表示该房子是否连接到对应的岸边。
通过排列组合的方法，我们可以得到以下可能的连接方式：LRL, LLR, LRR, RLR, RLL, RRL步骤二：找出符合规定的连接方式根据规定，我们需要找出符合条件的连接方式，即左岸桥的数量不能多于右岸桥的数量。
我们通过遍历所有可能的连接方式，找出符合条件的连接方式。
根据上述可能的连接方式，我们可以看出只有LRL和LLR满足条件。
因为RLL、RLR、LRR、RRL都违反了规定。
步骤三：计算符合规定的连接方式的数量经过前面的步骤，我们找到了两种满足条件的连接方式，即LRL和LLR。
因此，符合规定的连接方式的数量为2。
结论在给定的条件下，对于2年级的奥数修桥问题，有两种符合规定的桥的连接方式，分别为LRL和LLR。
注意：以上为针对给定问题的简单解答，仅供参考。
实际问题可能存在更多复杂的情况，需要进一步分析和研究。
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2019年小学二年级奥数下册第六讲七座桥问题练习答案
二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.
今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.
这个问题叫做“七座桥问题”.
当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？
好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.
你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！
可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.
这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.
也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想
像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！
让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.
在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.
在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.
在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.
在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.
这样七桥问题就得到了圆满的解决.
这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.
最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：
①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.
②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.
③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.
模仿这种思路，也能解决类似好多问题.
习题六
1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.
过桥问题：
可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？
仿此例依次判断出：
2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？
（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）
3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）
4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.
如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？
习题六解答
1.解：见下图
过桥问题：
可否一次通过所有的桥
（每座桥只能走一次）
一笔画问题：
可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）
2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.
3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.
因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.
所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.
4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.
当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4
仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可）.
小学教育资料
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