大连理工大学2000-2017年数学分析真题

大连理工大学2000年数学分析真题 (2)

大连理工大学2001年数学分析真题 (4)

大连理工大学2002年数学分析真题 (6)

大连理工大学2003年数学分析真题 (8)

大连理工大学2004年数学分析真题 (10)

大连理工大学2005年数学分析真题 (12)

大连理工大学2006年数学分析真题 (14)

大连理工大学2008年数学分析真题 (16)

大连理工大学2009年数学分析真题 (18)

大连理工大学2010年数学分析真题 (20)

大连理工大学2011年数学分析真题 (22)

大连理工大学2013年数学分析真题 (24)

大连理工大学2014年数学分析真题 (25)

大连理工大学2015年数学分析真题 (28)

大连理工大学2016年数学分析真意 (30)

大连理工大学2017年数学分析真题 (32)

大连理工大学2000年数学分析真题

一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：

()x

x f 1

=

于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。 2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。 3.证明：Dirichlet 函数：

()()⎪⎩

⎪⎨⎧==有理数为无理数q p

x q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。 4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，

()⎰=β

α

0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。

5.证明：∑∞

=-1

n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。

6.证明：()⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0,00

,1sin 4

x x x

x x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。 7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。

8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑

++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形

()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。

9.假设∞

→=n n a a lim ，证明2

2lim 2

21a n na a a a n

n n

=

+++∞

→ 。 11.计算曲面积分⎰⎰

++=S

dxdy z dzdx y dydz x I 3

3

3

，S 为椭球面122

2222=++c

z b y a x 的外侧。

12.设()[]()⎰-==-∈>1

1

,,3,2,111,10 n dx x C x n n ，，　，φφφ，对于任意的c>0，()x n φ在[][]

1,,1,1c -上一致收敛于0。证明：对于任意()[]1,1-∈C x g ，()()()⎰-∞→=1

1

0lim g x x g n n φ

13.证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点

14.()y x f ,于()[]b a ,,⨯+∞∞-连续，()()⎰+∞∞

-=dx y x f y I ,于[)b a y ,∈收敛，但是()⎰+∞

∞

-dx b x f ,发

散，证明，()y I 于[)b a y ,∈非一致收敛。

大连理工大学2001年数学分析真题

数学分析试题

一.从以下的1到8题中选答6题

1.证明：()2x x f =在区间[0，M]内一致连续（M 为任意正数），但是在[0,+∞]不一致连续

2.证明：若()x f 在[a,b]内连续，那么()x f 在[a,b]内Riemann 可积。

3.证明：若α>1，那么广义积分

dx x αsin 1

⎰

+∞

收敛

4.证明：若()x f ，()x g 为区间(a,b)上的连续函数，对任意的()()b a ,,⊂βα有：

()()⎰⎰=β

αβ

α

dx x g dx x f ，那么，()()x g x f ≡于(a,b)

5.证明：若∑∞

=1

n n a 收敛，那么∑∞

=-1

n nx n e a 在[0,∞)一致收敛

6.已知：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0

,00

,2

x x e x f x ，求()0f ''

7.已知：()()()

()⎰

+-+

-++=

at

x at

x d a

at x at x t x u ααψφφ21

2

,

其中，ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数，计算()()2

2

222,,x t x u a t t x u ∂∂-∂∂ 8.计算，半径为R 的球的表面积

二.从9到14题中选取6题

9.已知：()0lim ='∞

→x f x ，求证()0lim

=∞

→x

x f x 10.证明：()dx x f a

⎰+∞收敛，且()λ=+∞

→x f x lim ，那么0=λ

11.计算曲面积分⎰⎰

++=S

dxdy z dzdx y dydz x I 3

3

3

，S 为旋转椭球面122

2222=++c

z b y a x 的

外侧

12.设()[]()()()1011001,0≤≤==∈x f f f C x f ，　，，，求证()()x f x S n ''=对于任意小于1的

正数δ，在区间(]δ-1,0一致收敛，但是不在(0,1)一致收敛