高中数学课件：复数三角形式的运算复数三角形式与运算.ppt

2 i sin 2 i sin
2 2
r1cos
1cos
2 sin 1sin 2 isin 1sin
r2 cos2 2 sin 2 2
2 cos 1sin
2
r1 r2
cos
1
2
i sin
1
2
。
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 2
r1 r2
cos
1
2 i sin
1
2 。
r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数 模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和。也就是说，两个复 数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角。
例题讲解
2
i sin
2
)
1 3
cos(
4
3
) i sin( 4
2
3
2
)
1 (cos 3
5
6
i sin
5
6
)
1 ( 3
3 1i ) 22
3 1i 66
解法二：
1 2
3 2
20 i
(3i)
(cos(
3
)
i
sin(
3
20
)
( 1 i ) 3
(
1 3
i
)
(cos(
20
3
)
i
sin(
20
3
)
1 i (cos i sin 4 ) 1 i ( 1 3 i )
例1：已知复数 z1
2cos 2
3
i sin
2
3
，z2
3cos
6
i sin
6
。求z1 z2。
解：z1
z2
23cos
2 3
6
i
sin
2 3
6
6cos5 6
i
sin
5 6
复数的相乘可以推广到 n 个复数相乘。若设 n 个复数为
z1 r1 cos 1 i sin 1 z2 r2 cos 2 i sin 2 z3 r3 cos 3 i sin 3
三、乘方（棣莫弗定理）
在复数三角形式的乘法运算法则
Z1 Z2 Zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]中，
取r1＝r2＝＝rn ，且1＝2＝＝n＝，
即
Z1＝Z2 ＝Zn＝（r cos i sin ),
则有
Zn＝[（r cos i sin )]n r（n cos n i sin n ) (n N*)
• 教学目的：
(1)掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算； (2)掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点。
• 教学重点：
(1)复数的三角形式的乘、除及乘方运算； (2)复数的三角形式的乘除过程。
• 教学难点：
乘除法及乘方运算 。
教学方法：
讲练结合法，数形结合法，演示法
• 教学设计：
多媒体教学
• 课时计划：
解 4( cos80 i sin 80 ) [2(cos 320 i sin 320 )] = 4 [cos(80 320 ) i sin(80 320 )] 2 =2[cos(240 ) i sin(240 )]
2( 1 3 i ) 22
1 3 i
例5：已知复数z r cos i sin ，r 0，求 1的三角形式。
)
解
i
3
1 2
(cos120
i sin120
)
i
1 2
(cos120
i sin120
)
(cos 270
i
sin
270
)
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
(cos120
i sin120
)
1 1
[cos(270
120
) i sin(270
120
)]
2
2(cos150 i sin150 )
2( 3 1 i ) 3 i . 22
3
3 3 22
3 1i 66
例8 计算 ( 3 7 i)2 (1 2i) (8 6i)4
例题讲解
2
解
( 3 7 i)2 (1 2i) (8 6i)4
3 7 i 1 2i 8 6i 4
2 ( 3)2 ( 7)2 (1)2 (2)2 10 5
5
4 82 (6)2
10000 1000
复数三角形式除法的运算法则为：两个复数相除（除 数不为0），其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除 以除数的模所提的商，它的辐角等于被誉为除数的辐角减 去除数的辐角所得的差。也就是说，两个复数相除（除数 不为0），是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角。 例4 计算 4(cos80 i sin 80 ) [2(cos 320 i sin 320 )] .
2
2
6 cos i sin
2
2
6i。
新课讲授
二、除法
设复数z1 r1cos 1 i sin 1，z2 r2 cos 2 i sin 2 ，且z2 0，
z1 z2
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 2
r1cos r2 cos
1 i sin 2 i sin
1 cos 2 cos
2
15
)5
25 (cos 2 i sin 2 )
3
3
32( 1 3 i ) 22
16 16 3 i
20
1 3
(3)
2
2
i
(3i)
(cos(
3
)
i
sin(
3
)
20
3(cos
2
i
sin
2
)
(cos(
20
3
)
i
sin(
20
3
)
3(cos
2
i
sin
2
)
(cos
4
3
i sin
4
3
)
3(cos
这是复数三角形式的 n 次幂 (n N *) 的运算法则，这个法则
叫做棣莫弗定理。
它表明：复数 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂， 它们辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。也就是说，复数的 n 次幂 (n N *) ，是把模的 n 次幂作为幂的模，把辐角的 n 倍 作为幂的辐角。
例7 用棣模弗定理计算：
1
i
3
cos
7 4
i sin
7 4
解：r
a2 b2
2，
cos a 1 2 ，
r2 2
sin b 1 2 ，
r 22
3
4
。
原式
2
cos
3 4
i
sin
3 4
3
cos
7 4
i
sin
7 4
2
3
cos
3 4
7 4
i
sin
3 4
7 4
6 cos 5 i sin 5
3 2 10 cos 20 50 80 i sin 20 50 80 60 cos150 i sin150
60
3 2
1`i 2
30
3 30i。
若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相 混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数 式相乘或三角式相乘。
例3：计算：
2课时
复习引入
1、复数代数形式的基本运算：
加：(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(d+d)i
减：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
乘：(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
除：a bi c di
(a bi)(c di) ac bd bc ad (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2 i
cos
i sin.
证明 左边= (cos 9 i sin 9 ) (cos14 i sin14 ) (cos 24 i sin 24 )
= (cos 23 i sin 23 ) (cos 24 i sin 24 )
cos( ) i sin( ) cos i sin 右边
课堂小结:
z
解：1 z
cos 0 i sin 0
r cos i sin
1 cos(0 ) i sin(0 )
r
1 cos( ) i sin( )
r
由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来 复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数。
例6 计算
i
3
1 2
(cos120
i sin120
2、运算性质：
z·z=|z|2=|z|2
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(n∈N)
3、复数加法的几何意义： 平行四边形法则 减法的几何意义： 三角形法则
新课讲授
一、乘法
设复数 z1 r1 cos 1 i sin 1 ，z2 r2 cos 2 i sin 2
zn rn cos n i sin n
z1 z2 zn
r1 r2 rncos 1 2 n i sin 1 2 n