等差数列基本量及等差中项的计算

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等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

2.等差数列(学生版)

第二节等差数列一知识梳理一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n +1-a n =d (n ∈N *).(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项满足A =a +b2或者2A =a +b .(3)通项公式：如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2，推导方法是倒序相加法.二等差数列a n 的性质(1)等差数列的拓展通项公式：a n =a m +(n -m )d (n ，m ∈N *)，d =a n -a mn -m.(2)a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d ),当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，斜率为公差d ，反之亦成立.若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(3)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，⋯仍是等差数列，公差为kd .(4)☆若a m 1+a m 1+⋯+a mk =a n 1+a n 1+⋯+a nk ⇔m 1+m 2+⋯+m k =n 1+n 2+⋯+n k .特别地，若m +n =p +q =2k ，则a m +a n =a p +a q =2a k .三等差数列前n 项和S n 的性质(1)S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项．显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．(2)☆S n n =d 2n +a 1-d2，即S n n 也是等差数列，其公差为a n 的公差的一半.(3)☆等差数列依次k 项之和，仍是等差数列，即数列S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，⋯也是等差数列，公差为k 2d ．(4)☆S 2n -1=2n -1 (a 1+a 2n -1)2=2n -1 a n （a n 是前2n -1项的最中间项），例S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5;S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n a n +a n +1 （a n 和a n +1是前2n 项的最中间两项），例S 10=10(a 1+a 10)2=5a 5+a 6 .(5)☆当总项数为2n -1项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n -1项偶数项，S 偶=(n -1)(a 2+a 2n -2)2=(n -1)a n，此时，S 奇-S 偶=a n ，S 奇S 偶=nn -1；当总项数为2n 项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n 项偶数项，S 偶=n (a 2+a 2n )2=na n +1，此时，S 偶-S 奇=nd ，S 偶S 奇=an +1a n ；(6)☆综合(4)和(5)得，n 为奇数时，S n =na 中，S 奇=n +12a 中，S 偶=n -12a 中，∴S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，S 偶-S 奇=nd 2.(7)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n +p }，{pa n +qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1+qd 2.二题型讲解一等差数列的基础题型一等差数列基本量的计算解题通法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4=0，a 5=5，则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n 1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=a 8=8，则公差d =( )A.14B.12C.1D.22.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4=24，S 9=99，则a 7=( )A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5=-14，S 3=-39，则S 10=( )A.6B.10C.12D.204.(2022·陕西汉中)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 6=15，S 9=99，则等差数列a n 的公差是( )A.-4B.-3C.14D.45.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为.二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）2.(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2)，a 1=12.(1)求证：1S n是等差数列；(2)求a n 的表达式．反思感悟等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n -a n -1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法2a n =a n +1+a n -1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n =pn +q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式验证S n =An 2+Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7.下列选项中，为“数列a n 是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A.2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)B.a n 2=a n +1⋅a n -1n ≥2C.通项公式a n =2n -3D.a n +2-a n =a n +1-a n -1n ≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为( )A.a ，c ，b B.a 2，b 2，c 2C.|a |，|b |，|c |D.1a ，1b ，1c9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a n是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )A.a n+3B.a2nC.a n-1+a nD.2a n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n-1在直线x-y-3=0上，则( )A.数列a n是等差数列B.数列a n是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=3nD.数列a n的通项公式为a n=3n三求数列{|a n|}的前n项和3.数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*)，设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．反思感悟已知等差数列{a n}，求绝对值数列{|a n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．11.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=-22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.12.在数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求T n.二等差数列性质的应用一下标和性质的应用（m+n=p+q=2k）1.(2022·广州市阶段训练)已知{a n}是等差数列，a3=5，a2-a4+a6=7，则数列{a n}的公差为( )A.-2B.-1C.1D.2反思感悟(1)由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q求解(注意项数不变，脚标和不变)．(2)等差数列中最常用的性质：①d=a p-a qp-q，②a m1+a m1+⋯+a mk=a n1+a n1+⋯+a nk⇔m1+m2+⋯+m k=n1+n2+⋯+n k.特别地若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q. (3)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．1.(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=( )A.1452B.145C.1752D.1752.(2021·江西九江一中月考)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3=59，则S9S5=( )A.1B.-1C.2D.123.(2022·北京通州·一模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若a3+a5=20，则S7=( )A.60B.70C.120D.1404.(2022·浙江杭州·二模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=( )A.12B.15C.18D.215.(2022·安徽滁州)已知a n是公差不为零的等差数列，若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k∈N∗，则m+k=( )A.7B.8C.9D.106.(2022·河北石家庄·二模)等差数列a n的前n 项和记为S n，若a2+a2021=6，则S2022=( )A.3033B.4044C.6066D.80887.(2022·河南平顶山)已知S n为正项等差数列a n的前n项和，若a3+a9=a26，则S11=( ) A.22 B.20 C.16 D.118.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{a n }满足a n+1=a n+2且a2+a4+a6=9，则log3(a5+a7+ a9)=( )A.-3B.3C.-13D.13二等差数列前n项和S n的性质2.(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=1，S30=5，则S40=( )A.7B.8C.9D.10反思感悟思路1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{a n}的前n项和S n=An2+Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得S n，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40-S30，得S40；思路4：利用S nn是等差数列，由S1010、S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得S40.9.(2021·山东师大附中模拟)若S n 是等差数列{a n}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则a10=__，S19=_____.10.若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足A nB n=2n-13n+1，则a3+a7+a11b5+b9的值为( )A.3944B.58C.1516D.132211.已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n =2n +33n -1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532C.1D.212.(2022·四川师范大学附属中学二模(理))设等差数列a n ，b n 的前n 项和分别是S n ，T n ，若Sn T n =2n3n +7，则a 6b 5=( )A.65B.1117C.1114D.313.在等差数列{a n }中，a 1=-2023，其前n 项和为S n ，若S 1212-S1010=2，则S 2023=( )A.-2023 B.-2022C.-2021D.-202014.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=-12，S 9=45，则S 12=____.三数列中的S 奇、S 偶相关问题3.在等差数列{a n }中，S 10=120，且在这10项中，S 奇S 偶=1113，则公差d =________.15.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.516.已知在等差数列{a n }中，公差d =1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____．17.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_______，项数是________．三等差数列中的最值问题一关于S n的最值问题解题通法(1)在等差数列{a n}中，当a1>0，d<0时，S n有最大值，使S n取得最值的n可由不等式组a n≥0，a n+1≤0确定；当a1<0，d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组a n≤0，a n+1≥0确定．(2)S n=d2n2+a1-d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．1.在等差数列{a n}中，a1=25，S8=S18，求前n 项和S n的最大值．2.(2022·吉林市调研)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当S n 最大时，n=()A.6B.7C.10D.9延伸 ①本例2中若将“S5=S9”改为“S5=S10”，则当S n取最大值时n=；延伸②本例2中，使S n<0的n的最小值为.二关于S n＞0或S n＜0时n的最值问题3.(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<-1，且其前n项和S n有最大值，则使得S n>0的最大值n为()A.11B.19C.20D.21延伸本例3中，使S n取最大值时n=.1.(2021·长春市模拟)等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.92.在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为.3.(2022·重庆·二模)(多选)设等差数列a n前n 项和为S n，公差d>0，若S9=S20，则下列结论中正确的有( )A.a15=0B.当n=15时，S n取得最小值C.a10+a22>0D.当S n>0时，n的最小值为294.(2022·内蒙古赤峰)已知等差数列a n的前n 项和为S n，若a3=15，S2=36，则S n取最大值时正整数n的值为( )A.9B.10C.11D.125.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10=S20，则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<06.(2022·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列a n的公差为d，其前n项和为S n，且S5=S13，a6+ a14<0，则使得S n<0的正整数n的最小值为( )A.16B.17C.18D.19跟踪测验1(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7=15，则该数列前9项和S9=( ) A.18 B.27 C.36 D.452已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2= 4，S4=22，a n=28，则n=( )A.3B.7C.9D.103(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则( ) A.d=3 B.a10=12C.S20=280D.a1=-44一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的范围是(　) A.d>875 B.d<325C.875<d<325D.875<d≤3255（多选）等差数列{a n}是递增数列，满足a7= 3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是( )A.d>0B.a1>0C.当n=5时S n最小D.S n>0时，n最小值为86（多选）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=07(2022·安徽·芜湖一中)等差数列a n的前n 项和为S n，满足：3a27+S21=72，则S25=( ) A.72 B.75 C.60 D.1008(2022·全国·高三阶段练习(理))若数列3a n+2是等差数列，a1=1，a5=-53，则a2= ( )A.-1B.1C.-2D.29(2022·全国·高三专题练习)已知数列a nn∈N*是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0,S9=27，则数列a n的公差是( )A.1B.2C.3D.410(2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测(文))已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5+ 2a10+a13=18，则S18=( )A.74B.81C.162D.14811(2022·安徽合肥·二模)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15=5(a3+a8+a m)，则m的值为( )A.10B.12C.13D.1412(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知a，b，c成等差数列，则( )A.a2，b2，c2一定成等差数列B.2a，2b，2c可能成等差数列C.ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)一定成等差数列D.1a，1b，1c可能成等差数列一轮复习第六章数列13(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d<0”是“S n有最大值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14(2022·重庆·二模)等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，若a m=5，则S m的最大值为( )A.3B.6C.9D.1215(2022·云南师大附中)已知a n是等差数列，S n是a n的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n>S3”是“a4>a3”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件16(2022·四川南充)设等差数列a n的前n项和为S n，满足a1<0,S9=S16，则( )A.d<0B.S n的最小值为S25C.a13=0D.满足S n>0的最大自然数n的值为2517(2022·全国·高三专题练习)在等差数列a n中，S n为a n的前n项和，a1>0，a6a7<0，则无法判断正负的是( )A.S11B.S12C.S13D.S1418(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=019(2022·全国·高三专题练习)(多选)等差数列a n与b n的前n项和分别为S n与T n，且S2nT n= 8n3n+5，则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时，b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀x∈N*，T n>020(2022·全国·高三专题练习)(多选设a n是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7> S8，则下列结论正确的是( )A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值21(2022·云南昭通)等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n,S nT n=3n-22n+1,a1=2，则b n的公差为____.22(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n，T n，且S nT n= n2n+1，则a3b5=_________.23(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n，b n的前n项和分别为S n，T n，若S nT n= 3n-12n+3，则a9b11=______．1112一轮复习第六章数列公众号：玩酷高中数学24(2022·黑龙江·哈九中二模)已知数列a n 满足a 1a 2⋅⋅⋅a n =2-2a n ，n ∈N ∗．证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；25(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=4-4a nn ∈N *．求证：1a n -2 是等差数列；26(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足，a 1=3，a n +1=3-4a n +1n ∈N *，设数列b n =1a n -1(1)求证数列b n 为等差数列；(2)求数列a n 的通项公式；27(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．。

等差数列基本量计算

＋45d＝20＋135＝155.故选 C.
21．(2019·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
解析(1)设{an}的公差为 d.由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.
10
5
=
4
.
解析令公差为
10 10 1+90 1 100 1
d,则 d=a2-a1=2a1,所以 = 5 +20 = 25 =4.
5
1
1
1
2019
11.等差数列{an}中,若 S1=1,S5=15,则2019 =( D ).
A.2019
B.1
C.1009
D.1010
5×4
解析因为等差数列{an}中,S1=1,S5=15,所以 S15=5×1+
d＝40.
d＝3.
2
法二：由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8.所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝
19，得 d＝3.所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
14.已知数列{an}是等差数列，若 a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差 d；
－26＝2＋（n－1）d，
7
7（a1＋a7）
2 2
所以 2a3＝ a3 ，又 an＞0，所以 a3＝7.因为 S7＝
＝7a4＝63，所以 a4
7
2
＝9.所以 d＝a4－a3＝2，所以 an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1.
16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3＋a5＝4，S15＝60，则 a20＝(

2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析

其次节等差数列及其前n项和突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．等差数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n .(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的基本运算[例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2C．3 D．4(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()A．1 B.53C．－2 D．3[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S3＝3(a1＋a3)2＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝()A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)由于{a n}，{b n}都是等差数列，本节主要包括3个学问点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，由于a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最终6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)． (4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.等差数列前n 项和的性质[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. [解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20等差数列前n 项和的最值[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？ [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1，由于a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则： ①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．力量练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明基础联通抓主干学问的“源”与“流” 等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，推断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 由于a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n －1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2022·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C ．10D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2021·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C. 4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得微小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2022·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)由于b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37B ．36C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .由于a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2021·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉利数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉利数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，由于b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.由于对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，由于a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n 的最大值为121. 二、填空题7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.依据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。

2、等差数列

2
设数列{an }的前n项和S n = f ( n) 2 a2 + a4 + ... + a2 n bn = , n = 1,2,3,... n 求证:数列{bn }是等差数列.
5,已知数列{an},其中an=2n2+n+5, (1)若数列
an p { } ∈ N * ) (n n
(5)在[100, 200]内,求不能被7整除也不能被5整除的整数之和. (6)等差数列{an}中,a1=-60, a17=-12 求其前30项绝对值的和. (7)已知数列{an},a1=1, an+1-an=n, 求Sn. (8)设等差数列{an}的前n项和为Sn, S7=7, S15=75, Tn为数列{Sn /n}的前n项和,求Tn.

3,求项数: (1)已知等差数列{an}中,a1=83, a4=98,求这个数列有多少项在300 到500之间(包括300和500). (2)已知凸n边形的各内角度数成等差数列,最小角为1200,公差为50, 求边数n的值. (3)在200到600之间能被5除余2的数有多少个.
4,求前n项和: (1)已知等差数列{an}中,S10=25, S20=100,求S30=___ (2)Sn=m, Sm=n ,(m≠n),求Sm+n=_ (3)Sm=Sn (m≠n)则Sm+n=___ (4)非常数的等差数列{an}的前n项的和 Sn=(m2-28m+180)n2+n+(m2-30m+200) 求S10的值.
7,求证数列是等差数列:
1 1 1 (1) 已知 , , 成等差数列, a b c b+c c+a a+b 求证: , , 也成等差数列. a b c 4 (2)已知数列{an},满足a1 = 4, an = 4 an 1 1 ≥ 2)令bn = (n an 2 求证:数列{bn }是等差数列. 1 求数列{an }的通项公式. 2

等差数列考点经典例题讲解

等差数列及其前n 项和考纲解读 1.利用等差数列的通项公式、前n 项和公式进行基本量的计算；2.等差数列的判定与证明；3.利用等差数列的性质求等差数列的综合问题．[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．[三基自测]1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．答案：4874．(必修5·习题2.3A 组改编)在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：165．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，则S 8＝__________.答案：96[考点例题]考点一等差数列的性质及基本量的运算|方法突破命题点1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D ．12[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，∴d ＝4，故选C. (2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B.[答案] (1)C (2)B命题点2 用等差数列的性质进行计算[例2] (1)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3 (2)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156[解析] (1)∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4，又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B.(2)3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.[答案] (1)B (2)B[方法提升]等差数列的计算技巧[母题变式]1．将例1中的(1)变为：已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，选D.答案：D2．将例2(1)改为：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：因为{a n }为等差数列，所以2a 4＝a 2＋a 6，所以a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0. 答案：B考点二等差数列的判定或证明|方法突破[例3] (2018·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[解析] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[方法提升]等差数列的判定与证明方法[母题变式]1．将本例条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．证明：因为2S n －na n ＝n ，①所以当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② 所以①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， (1－n )a n ＋1＋na n ＝1，所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．2．把本例变为已知数列{a n }满足：a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n ·a n ＋1，(n ∈N *)．求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求出a n .解析：由a n －a n ＋1＝2a n ·a n ＋1得出1a n ＋1－1a n＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×2＝2n ＋1，所以a n ＝12n ＋1.考点三等差数列前n 项和及综合问题|模型突破角度1 等差数列的前n 项和及性质[例4] (1)(2018·日照模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．(2)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．[解析] (1)由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.填60. 答案：60(2)①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256，∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时， S n 有最大值256. [模型解法]角度2 等差数列的综合问题[例5] 已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . [解析] (1)∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n .n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.[模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：法一：S 9＝9a 1＋9×8d 2＝27，∴a 1＋4d ＝3，① a 10＝a 1＋9d ＝8，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98，故选C.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.答案：C2．(2014·高考大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.[真题感悟]1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0，又d ≠0，则d ＝－2，所以a 6＝a 1＋5d ＝－9，所以{a n }前6项的和S 6＝1－92×6＝－24，故选A.答案：A2.[考点一、三](2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2，得⎩⎨⎧ma 1＋m (m －1)2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2. ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5. 答案：C3.[考点一、三](2013·高考新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．解析：由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋45d ＝0，S 15＝15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则S n ＝－3n ＋n (n －1)2·23＝13(n 2－10n )，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)，令f (x )＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x )＝x 2－203x ＝x ⎝⎛⎭⎫x －203，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，203时，f (x )递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫203，＋∞时，f (x )递增，又6<203<7，f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以nS n 的最小值为－49. 答案：－49。

专题4 第1讲等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题.核心知识回顾1.等差数列(1)01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2). (3)前n 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.2．等比数列(1)01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2).(3)等比数列的前n 项和公式：03S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1).3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 02a m ＋a n ＝2a p .(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)(3)等差数列“依次m 项的和”即S m …仍是等差数列．(4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇，S 奇S 偶＝a n ＋12n －1时，S 奇－S 偶，S 奇S 偶＝n －1其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k 反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇＝公比为q )．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m …(S m ≠0)成等比数列．热点考向探究考向1 等差数列、等比数列的运算例1 (1)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S 9等于( )A ．－8B ．－6C ．10D ．0答案 D解析 ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2×2)2＝a 1·(a 1＋3×2)，即2a 1＝－16，解得a 1＝－8.则S 9＝－8×9＋9×82×2＝0，故选D.(2)(2020·山东省泰安市肥城一中模拟)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A.78 B ．85 C ．1 D ．95答案 D解析设{a n }的公比为q (q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1`＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－1－q ＝0，即(q －1)(2q ＋1)＝0. 因为q ≠1，所以q ＝－12，则S 2＝a 1(1－q 2)1－q ＝34·a 11－q ，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝98·a 11－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1516·a 11－q，因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝mS 2·S 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫98·a 11－q 2＝m ·34·a 11－q ·1516·a 11－q ，因为a 1≠0，所以a 11－q ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫982＝m ×34×1516，得m ＝95，故选D.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．(多选)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，公差d ≠0，S 6＝90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是( )A ．a 1＝22B ．d ＝－2C ．当n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值D ．当S n ＞0时，n 的最大值为20 答案 BCD解析等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，由S 6＝90，可得6a 1＋15d ＝90，即2a 1＋5d ＝30， ①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 27＝a 3a 9，即(a 1＋6d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋8d )，化为a 1＋10d ＝0， ② 由①②解得a 1＝20，d ＝－2，则a n ＝20－2(n －1)＝22－2n ，S n ＝12n (20＋22－2n )＝21n －n 2，由S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4414，可得n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值110.由S n ＞0，可得0＜n ＜21，即n 的最大值为20.故选BCD. 2．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2022a 2020＝( )A ．4×20202－1B ．4×20192－1C ．4×20222－1D ．4×20192答案 A解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＋1a n＝2n －1，∴a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A.考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例2 (1)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *)．求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列．证明 ∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n －2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n 2a n －4＝－12为常数，又a 1＝1， ∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝n －1n (n ＋1)＋1，n ＝1,2,3，…，设b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，求证：数列{b n }是等比数列．证明 S n ＝1－a n ＋n －1n (n ＋1)，∴S n ＋1＝1－a n ＋1＋n(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，易知a 1＝12，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝n(n ＋1)(n ＋2)－a n ＋1－n －1n (n ＋1)＋a n ，∴2a n ＋1＝n ＋2－2(n ＋1)(n ＋2)－n －1n (n ＋1)＋a n ＝1n ＋1－2(n ＋1)(n ＋2)－1n ＋1＋1n (n ＋1)＋a n ，∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)＝a n ＋1n (n ＋1)，b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，则b n ＋1＝a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)，上式可化为2b n ＋1＝b n ，∴数列{b n }是以b 1＝1为首项，12为公比的等比数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n}为等比数列时，不能仅仅证明a n＋1＝qa n，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n}为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．1．(多选)(2020·日照一中摸底考试)已知数列{a n}满足：a1＝3，当n≥2时，a n＝( a n－1＋1＋1)2－1，则关于数列{a n}，下列说法正确的是()A．a2＝8 B．数列{a n}为递增数列C．数列{a n}为周期数列D．a n＝n2＋2n答案ABD解析由a n＝(a n－1＋1＋1)2－1得a n＋1＝(a n－1＋1＋1)2，∴a n＋1＝a n－1＋1＋1，即数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公差为1的等差数列，∴a n＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1.∴a n＝n2＋2n.所以易知A，B，D正确．2．已知正项数列{a n}满足a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，若a1＝2，则数列{a n}的前n 项和为________.答案3n－1解析∵a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，∴(a n＋1－3a n)(a n＋1＋2a n)＝0，∵a n>0，∴a n＋1＝3a n，∴{a n}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n＝3n－1.考向3数列中a n与S n的关系问题例3(1)(2020·河南省高三阶段性测试)设正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝(1＋a n)2(n∈N*)，则a5＋a6＋a7＋a8＝()A．24 B．48C．64 D．72答案 B解析当n ＝1时，由S 1＝a 1＝(1＋a 1)24，得a 1＝1，当n ≥2时，⎩⎨⎧4S n ＝(1＋a n )2，4S n －1＝(1＋a n －1)2，得4a n ＝(1＋a n )2－(1＋a n －1)2，∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1＝2，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2(a 6＋a 7)＝48.(2)(2020·山东省德州市二模)给出以下三个条件： ①数列{a n }是首项为 2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列； ②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________.记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解选①，由已知S n ＋1＝4S n ＋2， (*) 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， (**) (*)－(**)，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n (n ＋1)n 2(n ＋1)2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.选②，由已知3S n ＝22n ＋1＋λ， (*) 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ， (**) (*)－(**)，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1.当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，所以a n ＝22n －1，下同选①.选③，由已知3S n ＝a n ＋1－2， (*) 则n ≥2时，3S n －1＝a n －2， (**) (*)－(**)，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，3a 1＝a 2－2，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1，下同选①.由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n－S n －1(n ≥2).已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <12.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，所以S n ＝12n －1.13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.真题押题『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q (1＋q ＋q 2)＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5(1＋q ＋q 2)＝q 5＝32.故选D.2．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24可得⎩⎨⎧ a 1q 4－a 1q 2＝12，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1.因此S na n ＝2n－12n －1＝2－21－n .故选B.3．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.答案 3n 2－2n解析因为数列{2n －1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a n }的前n 项和为n ·1＋n (n －1)2·6＝3n 2－2n . 4．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，可得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－2＋d ＋(－2)＋5d ＝2，解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×1＝－20＋45＝25.5．(2020·江苏高考)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________.答案 4解析等差数列{a n }的前n 项和公式为P n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，等比数列{b n }的前n 项和公式为Q n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－b 11－q q n ＋b 11－q ，依题意S n ＝P n＋Q n ，即n 2－n ＋2n －1＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n －b 11－q q n ＋b 11－q，通过对比系数可知⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，q ＝2，b11－q ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝0，q ＝2，b 1＝1，故d ＋q ＝4.6．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍去)，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128， b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 7．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意，有 ⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1.(2)令b n ＝log 3a n ＝log 33n －1＝n －1，则S n ＝n (0＋n －1)2＝n (n －1)2，根据S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，可得 m (m －1)2＋m (m ＋1)2＝(m ＋2)(m ＋3)2，整理得m 2－5m －6＝0，因为m ＞0，所以m ＝6.『金版押题』8．已知数列{a n }满足na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，a 1＋a 2＋a 3＝75，记S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 5＋…＋a n a n ＋1·a n ＋2，则a 2＝________，使得S n 取得最大值的n 的值为________.答案 25 10解析由na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，可取n ＝1，即a 1－28＝0，可得a 1＝28，取n ＝2，可得2a 2－28a 3＝1，即a 3＝2a 2－28，又a 1＋a 2＋a 3＝75，可得a 2＝25，a 3＝22，当n ≥2时，由na n －28a n ＋1＝n －1可得a n ＋1n －a nn －1＝－28n (n －1)，可令c n ＝a n ＋1n ，则c n －1＝a nn －1(n ≥2)，c n －c n －1＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n －1(n ≥2)，由c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋…＋(c n －c n －1)＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋13－12＋…＋1n －1n －1，可得c n ＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1＝a 2＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1，则a n ＋1＝nc n ＝na 2＋28(1－n )＝28＋n (a 2－28)，故a n ＋1＝28－3n (n ≥2)，所以a n ＝31－3n (n ≥3)，又a 1＝28，a 2＝25，也符合上式，所以a n ＝31－3n . 令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(31－3n )(28－3n )(25－3n )，由b n ≥0，可得(31－3n )(28－3n )(25－3n )≥0，解得1≤n ≤8(n ∈N *)或n ＝10，又b 9＝－8，b 10＝10，所以n ＝10时，S n 取得最大值．9．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，a 3＝7a 1＝7. (1)求p ，S 4的值；(2)若b n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{b n }是等比数列．解 (1)由a 3＝7a 1＝7知，a 3＝7，a 1＝1.当n ＝1时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 2＝32＋p ，当n ＝2时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 3＝4＋3p ＝7，所以p ＝1，当n ＝3时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得2a 4＋3＝4S 3＋2，解得a 4＝412.所以S 4＝1＋52＋7＋412＝31.(2)证明：由(1)可得a n ＋1＝2S n －12n ＋1，则a n ＋2＝2S n ＋1－12(n ＋1)＋1. 两式作差得a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1－12，即a n ＋2＝3a n ＋1－12(n ∈N *)．由(1)得a 2＝52，所以a 2＝3a 1－12，所以a n ＋1＝3a n －12对n ∈N *恒成立，由上式变形可得a n ＋1－14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14.而a 1－14＝34≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －14是首项为34，公比为3的等比数列，所以a n －14＝34×3n －1＝3n4，所以b n ＝a n ＋1－a n ＝a n ＋1－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14＝3n ＋14－3n 4＝3n 2，所以b n ＋1＝3n ＋12，b n ＋1b n＝3.又b 1＝32，所以数列{b n }是首项为32，公比为3的等比数列．专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2020·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，则a 6的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则a 6＝25＝32.故选D. 2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 3．等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3da 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋d a 1＋1＝d ，得2dd ＝2＝d ，故选A.4．(2020·河北省张家口市二模)已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝()A．19 B．45C．55 D．100答案 C解析∵正项等比数列{a n}的公比为q，a1＝q≠1，∴a n＝q.q n－1＝q n，∵a m＝a1a2a3...a10，∴q m＝q.q2.q3.....q10＝q1＋2＋3＋ (10)q55.∴m＝55.故选C.5．(2020·河北省保定市一模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为()A.76钱B．56钱C．13钱D．23钱答案 D解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，又有a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，得a＝－6d，∵a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则d＝－16，∴a＋2d＝23.故选D.6．(2020·广州模拟)正项等比数列{a n}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是()A．1 B．1 2C．13D．14答案 C解析设{a n}的公比为q，因为a2a4＝1，且a2a4＝a23，所以a23＝1，易知q>0，所以a3＝1.由S3＝1＋1q ＋1q2＝13，得13q2＝1＋q＋q2，即12q2－q－1＝0，解得q＝13.故选C.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－12S 3 C ．S 6＝12S 3 D ．S 6＝2S 3答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则S 6＝(1＋q 3)S 3，S 9＝(1＋q 3＋q 6)S 3，因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，易知S 3≠0，解得q 3＝－12，故S 6＝12S 3.8．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项和为( )A ．0B ．252 C ．21 D ．42 答案 C解析函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21.故选C.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知无穷数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，则( )A ．{a n }可能为等差数列B ．{a n }可能为等比数列C ．{a n }中一定存在连续的三项构成等差数列D ．{a n }中一定存在连续的三项构成等比数列答案 ABC解析解法一：因为S n＝an2＋bn＋c，所以S n－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以a n＝S n－S n－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{a n}为等差数列，则a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当c＝0时，{a n}为等差数列，所以A正确；在a n＝2na－a ＋b(n≥2)中，当a＝0，b≠0时，a n＝b(n≥2)，若数列{a n}为等比数列，则a1＝b ＋c＝b，c＝0，验证知，当a＝c＝0，b≠0时，{a n}为等比数列，所以B正确；由a n＝2na－a＋b(n≥2)可知，{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C 正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka －a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.解法二：当c＝0，a≠0时，数列{a n}为等差数列，所以A正确；当a＝c＝0，b≠0时，数列{a n}为常数列，也是等比数列，所以B正确；当n≥2时，a n＝S n －S n－1＝2na－a＋b，则{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a ＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.10．(2020·海南省海口市模拟)已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为S n，则()A．q＝2 B．a n＝2nC．S10＝2047 D．a n＋a n＋1＜a n＋2答案ABD解析根据题意，对于A，正项等比数列{a n}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{a n}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，a n＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，S n＝2×(1－2n)1－2＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，a n＋a n＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3a n，而a n＋2＝2n＋2＝4×2n ＝4a n＞3a n，D正确．故选ABD.11．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10＝S20，则()A．公差d<0 B．a16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n <0时n ≥32答案 ABC解析因为等差数列中，S 10＝S 20，所以a 11＋a 12＋…＋a 19＋a 20＝5(a 15＋a 16)＝0，又a 1>0，所以a 15>0，a 16<0，所以d <0，S n ≤S 15，故A ，B ，C 正确；因为S 31＝31(a 1＋a 31)2＝31a 16<0，故D 错误．故选ABC.12．设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200答案 ABD解析因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20，则a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 正确；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 正确；1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 错误；a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 正确．故选ABD. 三、填空题13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3n －1解析由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n ＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.14．(2020·山东省聊城市三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 6＝________.答案 16解析由题意，得a 2＝a 1＋1＝2，a 3＝a 2＋2＝4，a 4＝a 3＋3＝7，a 5＝a 4＋4＝11，a 6＝a 5＋5＝16.15．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2解析由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)·22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2.16．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋2－32，n ≥2解析由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3n －2，所以13n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1不成立，所以a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2－32. 四、解答题17．(2020·江西省南昌市三模)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n a n ＋1＝2pn ＋1(p 为常数) .(1)若－a 1，12a 2，a 4成等差数列，求p 的值；(2)是否存在p ，使得{a n }为等比数列？若存在，求{a n }的前n 项和S n ；若不存在，请说明理由．解 (1)令n ＝1，a 1a 2＝2p ＋1⇒a 2＝2p ，且a n ＋1a n ＋2＝2pn ＋p ＋1，与已知条件相除得a n ＋2a n＝2p ，故a 4＝2p a 2＝(2p )2，而－a 1，12a 2，a 4成等差数列，则a 4－2＝a 2，即(2p )2－2＝2p ，解得2p ＝2，即p ＝1.(2)若{a n }是等比数列，则由a 1>0，a 2>0，知此数列首项和公比均为正数．设其公比为q ，则q ＝2p 2，故2p 2＝a 2a 1＝2p 2⇒p ＝2，此时a 1＝2，q ＝2⇒a n ＝2n ，故a n a n ＋1＝22n ＋1，而2pn ＋1＝22n ＋1，因此p ＝2时，{a n }为等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 18．(2020·山东省威海二模)从条件①2S n ＝(n ＋1)a n ，② S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)，③a n >0，a 2n ＋a n ＝2S n 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求k 的值．解若选择①，∵2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，n ∈N *.两项相减得2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n .即a n ＋1n ＋1＝a n n ，n ∈N *， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列.a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . ⎝ ⎛⎭⎪⎫或由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，利用相乘相消法，求得a n ＝n a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1 ＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2， k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)． ∴k ＝6.若选择②，由S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)变形得S n ＋S n －1＝S n －S n －1， S n ＋S n －1＝( S n ＋S n －1)( S n －S n －1)，易知S n >0，∴ S n －S n －1＝1，{S n }为等差数列，而S 1＝a 1＝1，∴ S n ＝n ，S n ＝n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，且n ＝1时也满足， ∴a n ＝2n －1.∵a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)2＝(2k －1)2，∴k ＝3或k ＝－13，又k ∈N *，∴k ＝3.若选择③，∵a 2n ＋a n ＝2S n (n ∈N *)，∴a 2n －1＋a n －1＝2S n －1(n ≥2)．两式相减得a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n (n ≥2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵a n >0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2，解得k ＝6或k ＝－1，又k ∈N *，∴k ＝6.19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可知当n ＝1时， a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可得a n ＋1－12S n ＋1－1＝0，两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0，即12a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n .所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2(2n －1)，所以S n＋(n＋2n)λ＝2(2n－1)＋(n＋2n)λ.若数列{S n＋(n＋2n)λ}为等差数列，则S1＋(1＋2)λ，S2＋(2＋22)λ，S3＋(3＋23)λ成等差数列，即有2[S2＋(2＋22)λ]＝[S1＋(1＋2)λ]＋[S3＋(3＋23)λ]，即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.经检验λ＝－2时，{S n＋(n＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2.。

第07单元第2节等差数列

即当n≤12时，an＞0;当n≥14时，an＜ 0 ∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为
S12 S13 12 20
1211 5 (- ) 130 2 3
方法二：同方法一求得d - 5 3 ∴ S 20n n(n - 1) (- 5 ) (- 5 )n 2 125 n n 2 3 6 6 5 25 2 3 125 - (n - ) 6 2 24 ∵n∈N*, ∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130
∴ bn bn1 1 ,即当n≥2时，bn bn1 1
又∵ b1 2a1 1 ,∴数列{ bn }是首项和公差均为1的等差数列.
n bn 1 n 1 1 n 2n an ,∴ an n 于是 2
题型三等差数列性质的应用【例3】 (1)(2008· 宁夏、海南)已知{an}为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求a5; (2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和. 分析（1）由等差数列的性质a3+a8=a6+a5,即可求出a5,或用a1与d表示出 a3,a8,a6,根据已知条件列出关于a1与d的方程组，求出a1与d的值，然后根据等差数列的通项公式求出a5. (2)由等差数列{an}的前n项和Sn的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列，即由2(100-30)=30+(S3m-100)可求出S3m. 解 (1)方法一：由等差数列的通项公式得
方法三:同方法一求得d -
5 3
又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0.

第36讲等差数列的概念及基本运算36

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)因为 2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，所以 2×3a3＋3×2a8＝54，所以 a3＋a8＝9，所以 S10＝10a12＋a10＝10a32＋a8＝102×9＝45. (2)a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以 a8>0，因为 a7＋a10＝a8＋a9<0，所以 a9<－a8<0. 所以数列的前 8 项和最大，即 n＝8. 答案：(1)A (2)8
复习目标
课前预习
高频考点
考点二·等差数列性质的应用
课时小结
训练手册
【例 2】(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则
此数列的前 10 项的和 S10 等于(
)
A．45
B．60
C．75
D．90
(2)若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝ __________时，{an}的前 n 项和最大．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
高考总复习第（1）轮文科数学
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
第六单元数列与算法
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
第36讲等差数列的概念及基本运算
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式，前 n 项和公式及其性质．
复习目标
课前预习
【变式探究】
高频考点
课时小结

等差数列的判定与证明—中项公式法

4
例题 2： (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四个数．【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
总结：等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差中项的应用
1 1 1 例 3：已知 a 、b 、c 成等差数列．求证：，， b＋c c＋a a＋b 成等差数列． 1 2 2 2 2 2 2 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝2(a ＋c )． a＋c＋2b a＋c＋2b 1 1 ∴ ＋＝＝ b＋c a＋b b＋ca＋b ab＋bc＋ca＋b2 a＋c＋2b 2a＋c＋2b ＝ 1 2 2 ＝a＋c2b＋a＋c ab＋bc＋ca＋2a ＋c 2 ＝ . a＋c 1 1 1 ∴ ，，成等差数列． b＋c c＋a a＋b
例1．已知数列的通项公式为，其中 p, q, 是 n 常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
a pn q
p0
分析：由等差数列的定义，要判断是来自是等差数列，只要看是不是一个与n 无关的常数就行了.
a n a n 1(n 2)
与
{a n }

等差数列的基本性质与求和公式

等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。

学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。

本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。

该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。

一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。

等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。

2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。

3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。

二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。

等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。

三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。

以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。

这两个部分的和恰好等于整个数列的和。

3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。

4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。

四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。

1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。

首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。

代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。

等差数列典型例题及详细解答

(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明因为an＝2－ (n≥2，n∈N*)，
bn＝ (n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－ .
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)解由(1)知bn＝n－，
∴ 是以＝为首项，1为公差的等差数列，
.等差数列典型例题及详细解答
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1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋ d.
2．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()
A．8B．10C．12D．14
答案C
解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋ ×d＝12，
解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()

等差数列的基本运算(教师用)

第45课等差数列的基本运算考点提要1．掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能运用公式解决一些简单的问题． 2．掌握等差数列的前n 项和公式及其推导的思想方法，并能运用公式解决一些问题． 3．掌握等差中项的概念及其应用．基础自测1．若x ，y ，z 成等差数列，则代数式2()4()()z x x y y z ----= 0 ．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，下列条件中，能确定{a n }是等差数列的为 ①②③ ． ① a n +1–a n = d （d 为常数）； ② a n +2+a n =2a n +1；③ a n =an +b （a ，b 为常数）； ④ S n = an 2+bn +c （a ，b ，c 为常数）．3．（1）（2007•江西）已知数列{a n }对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=．若119a =，则36a = 4；（2）（2008•北京）已知数列{a n }对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a = －30 ．解由已知42212,a a a =+=-84424,a a a =+=-108224630a a a =+=--=-．4．（1）等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n = 17 ；（2）（2008•广东）等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若a 1=0.5，S 4=20，则6S = 48 ．解 4146202S d =⨯+=，3=∴d ，故61615482S d =⨯+=． 5．（1）若点（n ，a n ）在函数21y x =-的图象上，则数列{a n }的前n 项和S n = n 2 ；（2）等差数列{a n }中，若a 11=20，则{a n }的前21项的和为 420 ．6．若等差数列的首项为－3，且从第5项开始，以后各项的值都为正数，则公差的取值范围是 3(,1]4．知识梳理1．等差数列的概念：若一个数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，则称该数列为等差数列（又叫算术数列），常数d 叫做等差数列的公差．根2．等差数列的通项公式：a n =a 1+(n －1)d =a k +(n －k )d （a n 是关于n 的一次型代数式，即可写成a n =an+b ，其中n 的系数为公差）．3．等差数列的公差公式：p qa a d p q-=-（公差是等差数列的图象的斜率）．4．等差数列的求和公式： S n =12(a 1+a n )n = na 1+12n (n －1)d = a 12n +n （n 为奇数） =122()2n n na a ++（n 为偶数）（S n 是n 的二次型代数式，且无常数项，即可写成S n =an 2+bn ，其中n 2的系数为公差的一半）．5．等差中项：a 、b 、c 成等差数列⇔b －a =c －b ⇔2b =a+c ⇔b =2a c+⇔b 是a 与c 的等差中项；等差数列除首项和末项外的任何一项都是其前后两项的等差中项． 6．若等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，则2121n n n n a A b B --=．例题解析例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知50,302010==a a ．（1）求通项a n ；（2）若S n =242，求n ．点评从等差数列的通项公式和求和公式入手，化归为基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系，通过列方程（组）解决问题，这是研究等差数列的最基本方法．运用函数思想分析数列问题，更加快捷方便，如方法二是从等差数列的通项公式与正自然数n 之间的函数关系入手，利用待定系数法解决问题；方法三是从等差数列中任意两项之间关系入手．本题还可以从几何意义去分析，根据三点共线建立关系式．由此可知，根据等差数列的任意两项，都可以求其他任何一项．例2 （2007•湖北）若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且，求使得nna b 为整数的正整数n 的个数．7453n nA nB n +=+解方法一：∵ A n 和B n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且7453n n A n B n +=+， ∴ 121121*********12121211()(21)2212()(21)2n n n n n n n n n n n n a a n a a a a a a b b b b b b b b n A B --------+⋅-++=====+++⋅- 7(21)451438719127(21)32211n n n n n n n -+++====+-++++(*)n ∈N ， ∵n n a b 为整数，*n ∈N ，∴1,2,3,5,11n =时，∴使得n na b 为整数的正整数n 有5个．方法二：设(745),(3)n n A kn n B kn n =+=+，则1(745)(1)[7(1)45](1438)n n n a A A kn n k n n k n -=-=+---+=+， 1(3)(1)[(1)3](22)n n n b B B kn n k n n k n -=-=+---+=+，下同方法一．点评本题主要考察等差数列的前n 项和公式，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性，方法一利用等差中项的性质，方法而利用等差数列的和的表达形式．本题是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．易错点：不能将等差数列的项与前n 项和进行合理转化．例3 （2008•北京）数列{a n }满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数．（1）当21a =-时，求λ及3a 的值；（2）数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；解（1）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，，且11a =．所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（2）数列{a n }不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-，得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{a n }为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-，解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-．这与{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能是等差数列．点评对于存在性探索问题，若按时所得似的结论是否定的，则需要用反证法加以证明．本题的结论是一个全称命题，要注意其判断方法．例4 （2006•江苏）设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c ，证明：{a n }为等差数列的充要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n +1．证必要性：设是{a n }公差为d 1的等差数列，则b n +1–b n =(a n +1–a n +3) – (a n –a n +2)= (a n +1–a n ) – (a n +3–a n +2)= d 1– d 1=0，∴b n ≤b n +1成立．又c n +1–c n =(a n +1–a n )+2 (a n +2–a n +1)+3 (a n +3–a n +2)=d 1+2d 1+3d 1=6d 1(常数) ， ∴数列{c n }为等差数列．充分性：设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n +1． ∵c n =a n +2a n +1+3a n +2 ，① ∴c n +2=a n +2+2a n +3+3a n +4，②①-②得c n –c n +2= (a n –a n +2)+2 (a n +1–a n +3)+3 (a n+2–a n +4)=b n +2b n +1+3b n +2． ∵c n –c n +2= (c n –c n +1)+(c n +1–c n +2)= –2d 2， ∴b n +2b n +1+3b n +2= –2d 2 ，③ ∴b n+1+2b n +2+3b n +3= –2d 2．④ ④-③得 (b n +1–b n )+2(b n +2–b n +1)+3(b n +3–b n +2)=0． ⑤∵b n +1–b n ≥0， b n +2–b n +1≥0 ， b n +3–b n +2≥0， ∴由⑤得b n +1–b n =0，由此不妨设b n =d 3，则a n –a n +2= d 3(常数)，由此c n =a n +2a n +1+3a n +2=4a n +2a n +1–3d 3， ⑥ ∴c n +1=4a n +1+2a n +2–5d 3 ，⑦⑦-⑥得c n +1–c n =2( a n +1–a n ) –2d 3， ∴1132311()22n n n n a a c c d d d ++-=-+=+(常数)，∴数列{a n }公差等差数列．点评理解公差d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义与通项公式.本题注意同构相减法的运用．例5 （2004•江苏）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若首项132a =，公差d =1，求满足22()k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列}{n a ，使得对于一切正整数k 都有22()k k S S =成立．分析解决第（1）题的关键是理解式子22()k k S S =的含义：2k S 表示等差数列}{n a 的前2k 项的和，k S 表示等差数列}{n a 的前k 项的和．第（2）小题可直接求、用性质求，也可运用化一般为特殊，再从特殊回到一般的解题思想来解题：若所求的无穷等差数列}{n a ，对于一切正整数k 都有22()k k S S =成立，则取k =1或k =2，必有22()k k S S =成立．反之，所求的无穷等差数列}{n a ，对于k =1或k =2，都有22()k k S S =成立，未必对于一切正整数k 都有22()k k S S =成立．故须验证其一般性．点评理解并熟练掌握等差数列的前n项和公式是解决本题的基础，相关数学思想、数学方法是解决本题的关键．数列问题常与函数、方程（组）、不等式、几何等知识相结合，对数学思想、方法的理解和各种数学能力有一定的要求．方法总结1．判断数列是等差数列的常用方法：（1）定义公式法：{ a n }为等差数列⇔a n +1–a n = d （d 为常数）．（2）中项公式法：{ a n }为等差数列⇔2a n =a n －1+a n+1（n ≥2）．（3）通项公式法：{ a n }为等差数列⇔a n =an +b （a ，b 为常数）．（4）求和公式法：{ a n }为等差数列⇔S n = an 2+bn （a ，b 为常数）． 2．证明数列是等差数列的常用方法：（1）定义法；（2）中项公式法．3．等差数列的通项公式和求和公式联系着五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n ，根据方程思想之间的关系，已知其中的三个量，就可以通过列方程（组）求出另外两个量，这是研究等差数列的最基本方法．4．注意等差数列与一次函数的关系，利用等差数列图象的特征与几何意义（如公差是等差数列的图象的斜率，三点共线等）等函数思想分析数列问题，更加快捷方便．练习45 等差数列的基本运算班级姓名学号1．（1）1001(3)4k k =+=∑ 3464 ；（2）20(12)n n =-∑ 399- ．2．等差数列的前三项依次是11+x ，x 65，x 1，则这个数列的第101项是 263． 3．（2007•全国）已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = 252n n-- ．解由52n a n =-+，13a =-，则其前n 项和n S =1()2n n a a +=252n n--．4．（1）（2007•宁夏）已知{a n }是等差数列，1010a =，1070S =，则其公差d =23；（2）（2008•天津）若等差数列{a n }的前5项和525S =，且23a =，则7a = 13 ．解 1524545()5()722a a a a S a ++==⇒=，4272255132a a a a d a -=+=+⋅=．5．（1）等差数列{a n }中，a 1=1，a 3+a 5=14，若其前k 项和为100，则k = 10 ；（2）（2007•广东）已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k = 8 ．6．（1）若公差不为零的等差数列的前10项之和是前5项之和的4倍，则首项与公差之比为 1:2 ；（2）（2008四川延考）已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且55S a =．若40a ≠，则74a a = 3 _．解 551234142300S a a a a a a a a a =⇒+++=⇒+=+=，令231,1,a a ==-43a ⇒=-，74129a a a =-=-，所以743a a =． 7．（2007•北京）若数列{a n }的前n 项和S n =n 2－10n （n=1，2，3…），则此数列的通项公式为 a n =2n －11 ；数列{na n }中数值最小的项是第 3 项． 8．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若9953a b =，则1717ST = 53 ． 9．（2008•北京）已知等差数列{a n }中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{b n }的前5项和等于 90 ．解由21151634153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 33(1)3,n a n n ∴=+-=26,n n b a n == 所以5630590.2S +=⨯= 10．（2008•安徽）在数列{a n }在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n ∈N ,其中,a b 为常数，则ab = －1 ．解 ∵,254-=n a n ∴,231=a 从而222)25423(2n n n n S n -=-+=． ∴a =2，21-=b ，则1ab =-．11．（2008•海南）已知{a n }是一个等差数列，且21a =，55a =-．（1）求{a n }的通项n a ；（2）求{a n }前n 项和S n 的最大值．解（1）设{a n }的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--，所以2n =时，n S 取到最大值4．12．在等差数列{a n }中，n S 、m S 分别是前n 、m 项的和，n m ≠．（1）若m a n a n m ==,，求n m a +；（2）若n S m S m n ==,，求n m S +．解（1）方法一：设{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧=-+==-+=,)1(,)1(11m d n a a n d m a a n m两式相减，得m n d n m -=-)(，∴1-=d ， ∴0)1(=-⨯+=+=+m m md a a n n m ．方法二：由{a n }是等差数列可设n a pn q =+， ∵m a n a n m ==,，∴,,m na pm q n a pn q m =+=⎧⎨=+=⎩两式相减，得1p =-，q m n =+，∴()()()0m n a p m n q m n m n +=++=-+++=．方法三：由{a n }是等差数列可知A （m ，a m ），B （n ，a n ），P （m+n ，a m +n ）三点共线，即ABAP ，∵m a n a n m ==,，∴(,),(,)m n AB n m m n AP n a n +=--=-， ∴()()()0m n n m a n n m n +-⋅---=，∴0m n a +=．（2）方法一：设{a n }的公差为d ，由题意，得11(1),2(1),2m n m m S ma d n n n S na d m -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩两式相减，得m n n n m m d a n m -=+--+-)(21)(221， ∴m n n m n m d a n m -=-+-+-)1)((21)(1， ∵n m ≠，∴1)1(211-=-++n m d a ． ①∴d n m n m a n m S n m )1)((21)(1-++++=+])1(21)[(1d n m a n m -+++= ②将①代入②得)(n m S n m +-=+．方法二：由{a n }是等差数列可设2n a pn qn =+，∵n S m S m n ==,，∴22,,m n S pm qm n S pn qn m ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 两式相减，得22()()p m n q m n n m -+-=-． ∵n m ≠，∴()1p m n q ++=-，∴2()()[()]()()m n S p m n q m n p m n q m n m n +=+++=+++=-+．备用题1．等差数列{a n }中，若33,4,31521==+=n a a a a ，则n = 50 ． 2．（2007•重庆）若等差数列{a n }的前3项和39S =且11a =，则2a = 3 ． 3．等差数列{a n }中，若113,2a d ==公差，则前40项和S 40= 510 ． 4．（2008•全国Ⅰ）已知等差数列{a n }满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 95 ．解由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=． 5．（2008•陕西）已知{a n }是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S = 100 ．解设公差为d ，则由已知得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩110110*********2a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩．6．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则 55a b = 9 ． 7．（2007•宁夏）等差数列{a n }中，a 4+a 6=6，其前5项和S 5=10，则公差d =12．解 ∵{}n a 是等差数列，∴46526a a a +==，即53a =；又∵53510S a ==，∴32a =，再由532a a d =+，得d =12． 8．等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=20，那么a 3等于 4 ．9．若等差数列的首项为10，且从第八项开始，以后各项的值都为负数，则公差d 的取值范围是． 10．已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：cb a b ac a c b +++,,也成等差数列．11．已知数列{a n }、{b n }满足：nna a a a b n n ++++++++= 32132321，证明{a n }成等差数列的充分条件是{b n }成等差数列．12．设{a n }是等差数列，求证：以)(21∙∈+++=N n n a a a b n n 为通项的数列{b n }是等差数列．证设{}n a 的公差为d （常数）， ∵2)(11n n n a a n b b +=--•n 12))(1(11-+--n a a n •11-n 222111d a a a a n n =+-+=-（常数），其中2≥n ．∴{}n b 是等差数列．13．已知数集序列{1}， {3， 5}， {7，9，11}，{13，15，17，19}， …，其中第n个集合有n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．（1）求第n 个集合中最小数a n 的表达式；（2）求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；（3）令f (n )=*()(1n n ∈N ，求证：2≤()3f n <．解（1）设第n 个集合中最小数a n , 则第n －1个集合中最小数a n －1 ，又第n －1个集合中共有n －1个数, 且依次增加2，∴12(1)n n a n a -+-=，即 12(1)(2)n n a a n n --=-≥，∴122(2),n n a a n ---=-232(3)n n a a n ---=-21,,2a a ⋅⋅⋅-=，相加得21(1)(11)22n n n a a n n -+--=⨯=-, 即得21n a n n a =-+．又11a =， ∴21n a n n =-+．（2）由（1）得21n a n n =-+，从而得23(1)(1)22n n n S n n n n -=-++⨯=．（3）由（2）得3n S n =，∴1()(1(1)n n f n n ==+ *()n ∈N ， ∵00112211111(1)C ()C ()C ()C ()n n n n n n n n n n n n+=+++⋅⋅⋅+ ≥001111C ()C ()2n n n n+=，又当n ≥2 时，1(1)(2)(1)11C ()!!k k n k n n n n k n k k n--⋅⋅⋅-+=⋅<≤111(1)1k k k k =---． ∴00112211111(1)C ()C ()C ()C ()n n n n n n n n n n n n+=+++⋅⋅⋅+ ≤1111111(1)()()2231n n ++-+-+⋅⋅⋅+--133n=-<． ∴ 2≤()3f n <．。

超全等差数列基础知识总结(求基本量、性质、最值)

等差数列定义：一个数列从第二项起，后一项与前一项的差等于一个常数。

a n−a n−1=d 等差中项：由三个数a A b组成的等差数列，A=a+b，A叫做ab的等差中项通项公式： a n=a1+(n−1)以n为自变量的一次函数前n项和：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)d2是以n为自变量的二次函数两者关系：a n=S n−S n−1类型一：等差数列基本量的计算在等差数列的五个基本量a1、d、n、a n、S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用。

关键:1.判读题目考的是求基本量：一般问a n、S n（n可为1、2、7、n等）2.列出通项公式、求和公式，把已知量代进去3.把列出的方程组解出来，再向所求靠近1.已知等差数列{}na中，a2=2,a3=4,则a10=.182.在等差数列中,,则.133.已知等差数列的前n项之和记为S n，S10=210 ，S30=820，则S15等于。

4654.等差数列{}na的前n项和为nS，公差d= - 2，若S10=S11，则a1=205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）C A．1 B C.- 2 D 36、等差数列{}na中，若232nS n n=+，则公差d=. 6类型二：等差数列的性质1.=na dmnam)(-+}{na6,7253+==aaa____________6=a{}na{}na nS3S1a532. （最重要！！！！！）在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+；若2m=p+q ，则2a m =a p +a q ，3. 若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

等差数列的判定与证明—中项公式法ppt课件

与
an1 an (n 2),
an an1 (pn q) [p(n 1) q]
pn q (pn p q)

p.
3
{a } 这是一个与 n 无关的常数，所以是等差数列，公差是p.
在通项公式中令 n＝1，得
，所以这个
n
等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为
个数．【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
5
化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d>0，∴d＝1，故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
2
a pn q 例1．已知数列的通项公式为
，其中 p, q, 是
常数，且
，那么这个数列是否一定是等n差数
p 0 列？如果是，其首项与公差是什么？
{a } 分析：由等差数列的定义，要判断是不是等差数列，
只要看
是不是一个与n 无关的 n
常数就行了. a n a n1(n 2)
解：取数列
{a } 中的任意相邻两项 n
等差数列的判定与证明—中项公式法
1
等差中项的定义如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .

等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d aa n n=--1（d为公差）（2³n ，*n N Î）注：下面所有涉及n ，*n N Î省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()nma a n m d =+-变形推广：变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为项为00）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n aa a n n n212+++=Ûn n n aa a（（3）数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n +=（其中b k ,是常数）。

等差数列 2025年高考数学基础专项复习

6 < 0,
4.［人A选必二P25习题4.2第10题变式］在等差数列{ }中，2 = 3,6 = 11，直线过点 , , , ( ≠ ,
,∈ ∗ )，则直线的斜率为( A )
A.2
B.−2
C.4
D.−4
【解析】
解法一由题意，{ }是等差数列，2 = 3,6 = 11，设数列{ }的公差为，则6 − 2 = 4 = 8，得 = 2，则
5 =( C )
A.25
B.22
C.20
D.15
【解析】解法一设等差数列{ }的公差为，则由2 + 6 = 10，可得1 + 3 = 5①，由4 8 = 45，可得
1 + 3 1 + 7 = 45②，由①②可得1 = 2， = 1，所以5 = 51 +
5×4
×
2
= 20，故选C.
阳之数，日月之法，十九岁为一章.四章为一蔀，七十六岁.二十蔀为一遂，遂千五百二十岁．”已知有个人，他们
的年龄之和恰好为十蔀（即760岁），其中年龄最小的25岁，年龄最大的 ≤ 120 岁，且除了年龄最大的以外，
其余 − 1人的年龄依次相差2岁，则的值可以是(
A.15
B.16
CD
)
C.17
第六章数列
第二节等差数列
2025年高考数学专项复习
目
录
壹
等差数列基本量的计算
贰
等差数列的判定与证明
叁
等差数列的性质
壹
等差数列基本量
的计算
教材知识萃取
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则
通项公式
an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d(n,m∈N*).

等差数列

等差数列一．等差数列的主要内容1，等差数列的基本知识2，等差数列的项3，等差数列的和等差数列的基本知识（一）数列的基本知识（1）1，2，3，4，5，6……（2）2，4，6，8，10，12……（3）5，10，15，20，25，30像这样按一定顺序排列的一列数叫数列。

其中每一个数叫叫做这个数列的项，在第1个位置上的数叫这个数列的第1项（首项），在最后1个位置上的数叫这个数列的末项，在第几个位置上的数就叫第几项。

（二）等差数列的基本数列（1）1，2，3，4，5，6……（公差=1）（2）2，4，6，8，10，12……(公差=2)（3）5，10，15，20，25，30 (公差=5)从第2项起，每一项与前一项的差都相等，像这样的数列就是等差数列，这个数就叫等差数列的公差。

数列：1，3，5，7，9，11……第2项：3=1+2 首项+公差×1 1=2-1第3项：5=1+2×2 首项+公差×2 2=3-1第4项：7=1+2×3 首项+公差×3 3=4-1第5项：9=1+2×4 首项+公差×（5-1）第6项：11=1+2×5 首项+公差×（6-1）等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1 已知数列2，5，8，11，14……求（1）它的第十项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）197是这个数列中的第几项？（4）这个数列被几除有相同的余数？分析：首项=2 公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=293（3）2+3×（X -1）=1973×（X -1）=197-2X-1 =（197-2）÷3X =（197-2）÷3+1=66（项）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项= 2 + 3 ×（项数- 1）（4）这个数列每一项除以3都余2.等差数列的每一项除以它的公差，余数相同。

6.2 等差数列

等差数列基本量的计算
(1)在等差数列{an } 中,已知 a 4 = 9, a 9 = −6, S n = 63, 求n. (2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列的项数. 【思路分析思路分析】先运用等差数列的通项公式求出公差和首项，思路分析再入前n项和公式即可求得项数n. 解:（1）设首项为a1,公差为d, 则， 9 = a1 + 3d 得a1 = 18
变式探究 3．(2011年南宁模拟)已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22， a6＝7，则a5＝________. 解析：由于
{an}为等差数列，故a3＋a8＝a5＋a6，
∴a5＝a3＋a8－a6＝22－7＝15. 答案：15
4．(2010年大连模拟)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16， a4＝1，则a12的值是( A ) A．15 B．30 C．31 D．64
解析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。设数列5,8,11,…和3,7,11,…分别为
{a n }, {bn }, 则a n
= 3n + 2, bn = 4n − 1
设 {a n }中的第n项与 {bn }中的第m项相同，即
4 3n + 2 = 4m −1∴n = m − 1, 又m, n ∈ N ∗ ,∴设m = 3r, (r ∈ N ∗ )得n = 4r − 1 3
(1)当1≤n≤6(n∈N*)时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2. (2)当n≥7(n∈N*)时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+…+a6)(a7+a8+…+an) =-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6) =-Sn+2S6=n2--12n+72.

等差数列基础

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示. 定义用符号表示为：在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A =3.等差数列的通项公式为4.等差数列{}n a 的前n 项的和n S = =5.等差数列的重要性质（1）等差数列下标和性质在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则若 ,2p n m =+则（2）在等差数列中，公差m na a d m n -=-.（3）等差数列下标性质下标成等差，项成等差（4）把一等差数列截成项数相等的若干段后，每段内各项之和组成新的等差，d m d 2'= （m 为每段的项数）即等差m m m m m S S S S S 232,,--（5）{}{}{}{}{}{}n n n n n n m b a b a a a b a 21,,,,λλλλλ±++均等差，则也等差，其公差分别为 2211,.,,d d d d d λλλλ±，而{}{}{}nn n n n n n a a b a b a a ,,,,12⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧不一定等差，除非常数列，可理解一次函数。

简单说成为：几个等差数列经过加减及数乘后的数列仍然是等差数列（6）由()/111,2222n n n n n S S dn d d S na d a d nn 禳-镲=+?+-=睚镲镲铪说明等差（7）（1）项数为偶数（2n ），则nd S S =奇偶- （2）若项数为奇数（2n-1）,则①,n S n a =奇②1),n S n a =-偶（③21(21)n n S n a -=-可理解成项数乘以中间项，此外还有 )(1;-项数相除偶奇偶奇-==n nS S a S S n （8）等差数列的单调性 d>0 {a n }为递增数列 d<0 {a n }为递减数列1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（）.A. 3B. 5C. －3D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝，b ＝，c ＝ .6. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）.A. 12B. 24C. 36D. 487. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45668. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（）A. 24B. 26C. 27D. 289. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .10. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = . 11.数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .12．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 413．设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5＝________. 等差数列的判断与证明_例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，且a n a n ＋1＝4S n ＋λ(λ为常数)．(1)求证：数列{a 2k －1}是等差数列，并求出这个数列的通项公式；(2)是否存在λ，使得{a n }是等差数列，并说明理由．1.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．122,511-+==-nn n a a a 且=2n na l l 禳+镲睚镲镲铪若等差，则_______等差数列基本量的计算例2、 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．5B ．10 C.52 D ．54(2)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 2.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.等差数列的性质及最值例3、已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 3.等差数列{a n }前17项的和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( )A ．3B ．6C ．17D ．51{}151215161215S 0,S 0,,n S S Sa a a a ><鬃?等差且则,最大的是 {}{}99,2413,,,b an n T s T S n b a n n n n n n 求且项和均等差，前-+={}{}251722810121671,n ,3n n n n n n S n a a a a a b S T T n b b b b 、均等差，为其前项和，且则-----++++==++++4.数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0. (1)求数列的前n 项和S n ；(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围．5.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？设各项均为正数的数列的前n 项和为S n ，已知，且对一切都成立．（1）若λ=1，求数列的通项公式；（2）求λ的值，使数列是等差数列．。